2023—2024學(xué)年湖南省岳陽市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★)1.已知集合，則

A．B．C．D．(★)2.復(fù)數(shù)的虛部為（）

A．B．2iC．D．2(★)3.設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面內(nèi)，“”是“且”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(★★)4.，則（）

A．B．C．D．(★★)5.若，則事件與事件的關(guān)系是（）

A．事件與事件互斥B．事件與事件對立C．事件與事件相互獨(dú)立D．事件與事件互斥又獨(dú)立(★★★)6.為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則為（）

A．B．C．D．(★★★)7.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，軍營所在的位置為，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A．3B．4C．5D．6(★★★)8.如圖，正四面體的長為，，則（）

A．B．C．D．二、多選題(★★★)9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．C．向量與的夾角為D．若在上的投影向量為(★★★)10.已知圓，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．圓關(guān)于直線對稱B．直線與圓相交所得弦長為C．若，則距離的最大值為D．的最小值為(★★)11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)（異于、），則下列結(jié)論正確的是（）

A．該雙曲線的離心率為B．該雙曲線的漸近線方程為C．若，則的面積為D．點(diǎn)到、兩點(diǎn)的連線斜率乘積為(★★★)12.在棱長為2的正方體中為CD的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的一動點(diǎn)（不包含四個(gè)頂點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是：（）

A．點(diǎn)到平面的距離為B．三棱錐體積是定值，定值為1C．存在點(diǎn)，使得平面D．存在點(diǎn)，使得且三、填空題(★)13.在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則________________.(★★)14.若直線與圓相切，則________________.(★★)15.若，且，則的最小值等于________________.(★★)16.斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)：1，1，2，3，5，8為邊的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線.自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等.如圖為該螺旋線的前一部分，如果用接下來的一段圓弧所對應(yīng)的扇形做圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為________________.四、解答題(★★)17.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最大值.(★★★)18.2020年1月15日教育部制定出臺了“強(qiáng)基計(jì)劃”，2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃，強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過程中通過筆試，進(jìn)入面試環(huán)節(jié).現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．(1)求a，b的值；(2)估計(jì)這100名同學(xué)面試成績的眾數(shù)和分位數(shù)（百分位數(shù)精確到0.1）；(3)在第四、第五兩組中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自不同組的概率．(★★)19.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求；(2)若，且的面積為，求．(★★★)20.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.(★★★)21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.(★★★)2