PAGEPAGE1第1課時(shí)利用向量證明空間中的平行關(guān)系課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.若直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析A中,m·n=-2≠0,所以解除A;B中,m·n=1+5=6≠0,所以解除B;C中,m·n=-1,所以解除C;D中,m·n=0,所以m⊥n,能使l∥α.故選D.答案D2.已知空間四邊形ABCD中,AC=BD,順次連接各邊中點(diǎn)P,Q,R,S,如圖,所得圖形是()A.長(zhǎng)方形B.正方形C.梯形D.菱形解析因?yàn)镻Q=同理SR=12所以四邊形PQRS為平行四邊形.又PS=所以|PS|=12|BD|,即PS=又|PQ|=12|AC|,故PQ=12所以PS=PQ,故四邊形ABCD為菱形.答案D3.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則線段AB與坐標(biāo)平面()A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交解析AB=(0,5,-3),坐標(biāo)平面yOz的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),因?yàn)锳B·n=0,所以AB⊥n.故線段AB與坐標(biāo)平面yOz平行.答案C4.已知直線l的方向向量v=(2,-1,3),且過(guò)A(0,y,3)和B(-1,2,z)兩點(diǎn),則y=,z=.

解析因?yàn)関∥AB,而AB=(-1,2-y,z-3),所以-12=2-y-答案35.已知直線l∥平面ABC,且l的一個(gè)方向向量為a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),則實(shí)數(shù)m的值是.

解析∵直線l∥平面ABC,∴存在實(shí)數(shù)x,y,使a=xAB+yAC,AB=(1,0,-1),AC=(0,1,∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴2=x,m=答案-36.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一個(gè)法向量n.解如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).設(shè)平面ACD1的法向量n=(x,y,z).∵AC=(-1,1,0),AD1=(又∵n為平面ACD1的一個(gè)法向量,∴n∴(x,令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一個(gè)法向量n=(1,1,1).7.已知三棱錐O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC兩兩垂直,試找出一點(diǎn)D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),設(shè)所求點(diǎn)D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB?BD∥因此(即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,1,2).8.已知三棱錐P-ABC,D,E,F分別為棱PA,PB,PC的中點(diǎn),求證:平面DEF∥平面ABC.證明如圖:設(shè)PD=a,PE=b,PF=c,則PA=2a,PB=2b,PC=2c,所以DE=b-a,DF=c-a,AB=2b-2a,AC=2c-2a,對(duì)于平面ABC內(nèi)任始終線l,設(shè)其方向向量為e,由平面對(duì)量基本定理知,存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使e=xAB+yAC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2xDE+2yDF,因此e與DE,DF共面,即e∥平面DEF,所以l?平面DEF,即l∥平面DEF.由l的隨意性知,平面ABC∥平面實(shí)力提升1.若AB=λCD+μCE,則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A.相交 B.平行C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)解析∵AB=λCD+μCE,∴AB,CD,CE共面,則AB答案D2.若點(diǎn)A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),則平面ABC的一個(gè)法向量為()A.(bc,ac,ab) B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac) D.(ab,ac,bc)解析設(shè)法向量為n=(x,y,z),則AB·n=0,AC·n=0,則-ax+by=0,-ax+cz=0,答案A3.已知直線l與平面α垂直,直線l的一個(gè)方向向量為u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)與平面α平行,則z等于()A.3 B.6 C.-9 D.9解析∵l⊥α,v與平面α平行,∴u⊥v,即u·v=0,∴1×3+3×2+z×1=0,∴z=-9.答案C4.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,12,已知α∥解析因?yàn)棣痢桅?所以u(píng)∥v.則x-即x=4,y=答案155.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=.

解析因?yàn)锳B=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,又因?yàn)閍·AB=0,a·AC=0,所以x-3所以x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).答案2∶3∶(-4)6.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的單位法向量.解AB=(4,2,-2),AC=(2,4,-2),設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC的單位法向量,則有|取z>0,得x=y=111,z=3故平面ABC的單位法向量為n=11117.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,點(diǎn)P是DD1的中點(diǎn).設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),∴OA=(1,-1,0),OP=(-1,-1,1),BD1=(-2,-設(shè)平面PAO的法向量為n1=(x,y,z),則n令x=1,則y=1,z=2,∴平面PAO的一個(gè)法向量為n1