杭州市部分重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校?班級(jí)?姓名?試場號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.2.已知直線的方向向量，平面的法向量，若直線與平面平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.7B.C.2D.3.已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3B.C.2D.14.已知雙曲線的焦距為，則的值為（）A.4B.2C.1D.5.圓與圓的公共弦長為（）A.B.C.D.6.已知等差數(shù)列，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.在直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，則到平面的距離為（）A.B.C.D.8.已知為拋物線的焦點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A.B.C.D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列命題，其中正確的有（）A.空間中任意兩個(gè)向量一定共面B.若空間向量，則與的夾角為鈍角C.若是空間的一個(gè)基底，則中任意兩個(gè)向量不共線D.若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則為常數(shù)列B.若，則為常數(shù)列C.若，則D.若，則是遞增數(shù)列11.在平面直角坐標(biāo)系中，圓錐曲線可以用方程來表示，圖形的幾何性質(zhì)被方程的系數(shù)所確定.曲線的方程是依賴于坐標(biāo)系的，而方程所表示的曲線的幾何性質(zhì)是不依賴于坐標(biāo)系的，所以表示這些幾何性質(zhì)的量，如圓錐曲線的離心率，焦距等，不會(huì)由于直角坐標(biāo)系的位置變化而變化.已知某圓錐曲線的方程為是曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.該曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱B.的取值范圍是C.該曲線是雙曲線，離心率為D.該曲線是橢圓，離心率為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為的等比數(shù)列滿足，則正整數(shù)的值為__________.13.已知圓，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓交于點(diǎn)，，則的面積的最大值為__________.14.在正方體中，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)是直線上的一點(diǎn)，過向圓引兩條切線，切點(diǎn)為，使得為正三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo).17.（15分）如圖，在四棱錐中，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.18.（17分）已知橢圓的離心率為，長軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交圓于點(diǎn)，直線垂直，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn).記的面積分別為.（i）若，求的取值范圍；（ii）是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19.（17分）已知數(shù)列，定義和的“生成數(shù)列”為：，，其中表示和兩個(gè)數(shù)中較小的數(shù)；定義和的“生成點(diǎn)列”為：.（1）若，求的值及線段的長；（2）若，求的所有可能值；（3）若，求的最大值，并求出此時(shí)所有可能的數(shù)列與.參考答案一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.B2.B3.A4.C5.C6.A7.D8.C二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.ACD10.ACD11.AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.2313.214.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以；（2）由（1）可知，，所以16.（1）曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為由題意可設(shè)的圓心坐標(biāo)為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）由題意得，在中，，設(shè)，則，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.17.（1）取中點(diǎn)，連接，由條件可知，是的中位線，所以，又因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面；?）取中點(diǎn)，連接，由條件可知，在等腰直角三角形中，，在直角梯形中，，由，故，又因?yàn)槠矫妫云矫?，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.18.（1）由題意知：，解得，故，所以橢圓的方程為.（2）（i）由題可知是的中點(diǎn)，即，且，易知，故，故是的中點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，易知，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由得，由條件可知，故直線的方程為：，由直線過點(diǎn)，故.由可知得，又，故，此時(shí)令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故.綜上，取值范圍是.（ii）由題得，由（i）可知，故，所以，當(dāng)，即為定值3.19.（1）由題可知，，，所以.（2）若，則，若，則綜上：的可能取值為21或19.（3）當(dāng)時(shí)，，所以，，即，故是下述“”型折線中的各數(shù)之和的最小值.下面嘗試尋求的最大值，為了使得和盡量的大，上述“”型折線應(yīng)該盡量經(jīng)過較大的數(shù)字，故我們可以嘗試下述填法：20121212此時(shí)不難進(jìn)一步得到下述填法：2012621212101712下面我們證明58是的最大值，設(shè)存在某種填法，使得，情形一：若，則，矛盾，從而；情形二：，則，此時(shí)填法如下2012從而，所以，所以，（1）若填法為20121212則，所以，所以，故填法如