專題13二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題解題點(diǎn)撥考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點(diǎn)B移動到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動到點(diǎn)D，移動路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．【小結(jié)】雖然由兩個性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時，結(jié)果可簡記為：（各個點(diǎn)對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標(biāo)系中的4個點(diǎn)A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個點(diǎn)”并不是完全等價的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．直擊中考1．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）由二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對稱軸上一點(diǎn)，得二次函數(shù)頂點(diǎn)為，設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)代入即可求出函數(shù)解析式；（2）連接，根據(jù)求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)，分三種情況：當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，當(dāng)為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出n即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對稱軸上一點(diǎn)，二次函數(shù)頂點(diǎn)為，設(shè)二次函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入得，，，；（2）如圖，連接，當(dāng)時，，或2，，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，；（3）設(shè)，當(dāng)為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，當(dāng)為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，當(dāng)為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，綜上：或或．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線與圖形面積，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形是性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．已知拋物線關(guān)于軸對稱，與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線還經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)在軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱軸，可得，然后將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可計算出答案．（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，分兩種情況討論，①定點(diǎn)、為邊的平行四邊形；②定點(diǎn)、為對角線的平行四邊形，利用平行四邊的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）∵拋物線關(guān)于軸對稱，∴對稱軸．即．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）由（1）可知，拋物線的解析式為，且函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．∴．①以為邊構(gòu)造平行四邊形時，∴，即平行于軸．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴．解得：．即點(diǎn)的坐標(biāo)為或．②以為對角線構(gòu)造平行四邊形時，∴，．又∵點(diǎn)在軸上，對角線在軸上，∴點(diǎn)在軸上，即點(diǎn)的坐標(biāo)為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵．3．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線的頂點(diǎn)為D，其對稱軸與線段交于點(diǎn)E，垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段與點(diǎn)P和F，動直線l在拋物線的對稱軸的右側(cè)（不含對稱軸）沿x軸正方向移動到B點(diǎn)．(1)求出所在直線的表達(dá)式；(2)在動直線l移動的過程中，試求使四邊形為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出，，，設(shè)所在直線的表達(dá)式為：，由待定系數(shù)法求出所在直線的表達(dá)式即可；（2）證，只要，四邊形即為平行四邊形，由二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由直線的解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，則，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P的坐標(biāo)為：，F(xiàn)的坐標(biāo)為：，由得出方程，解方程進(jìn)而得出答案；【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的表達(dá)式為：，當(dāng)時，或，∴，，當(dāng)時，，∴，設(shè)所在直線的表達(dá)式為：，將、代入，得：，解得：，∴所在直線的表達(dá)式為：；（2）解：∵軸，軸，∴，只要，四邊形即為平行四邊形，∵，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，將代入，即，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：，∴，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則P的坐標(biāo)為：，F(xiàn)的坐標(biāo)為：，∴，由得：，解得：（不合題意舍去），，當(dāng)時，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時的最小值；（4）點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時的最小值為；（4）存在，或．【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)直線的解析式為，然后把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入求解即可；（3）由題意易得點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時，即為BC的長，然后問題可求解；（4）由題意可設(shè)點(diǎn)，然后可分①當(dāng)AC為對角線時，②當(dāng)AM為對角線時，③當(dāng)AN為對角線時，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得拋物線的解析式為，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，∴，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（3）由拋物線可得對稱軸為直線，由題意可得如圖所示：連接BP、BC，∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時，即為BC的長，此時BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，∵，∴，∴的最小值為，∵點(diǎn)P在直線BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由題意可設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可分：①當(dāng)AC為對角線時，如圖所示：連接MN，交AC于點(diǎn)D，∵四邊形ANCM是平行四邊形，∴點(diǎn)D為AC、MN的中點(diǎn)，∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，解得：，∴；②當(dāng)AM為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；③當(dāng)AN為對角線時，同理可得：，即，解得：，∴；∴綜上所述：當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵．5．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上一點(diǎn)．在平移后的拋物線上確定一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】(1)(2)，(3)；；【分析】（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線中求出b，c即可；（2）設(shè)交于，可得，求出直線AB的解析式，設(shè)，則，，表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后拋物線解析式及點(diǎn)E、F坐標(biāo)，設(shè)，，分情況討論：①當(dāng)為對角線時，②當(dāng)為對角線時，③當(dāng)為對角線時，分別根據(jù)對角線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同列式計算即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入得：，解得：，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）如圖，設(shè)交于，∵，，∴OA＝OB＝4，∴，∵PC∥OB，PD∥OA，∴，，∴，設(shè)直線AB的解析式為，則，解得：，∴直線AB的解析式為，設(shè)，則，，∴，∴當(dāng)時，取得最大值，此時；（3）由題意得：平移后拋物線解析式為，，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴設(shè)，，分情況討論：①當(dāng)為對角線時，則，解得：，此時，∴；②當(dāng)為對角線時，則，即，此時，∴；③當(dāng)為對角線時，則，即，此時，∴，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質(zhì)列方程．6．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線段CB上方的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PFAB交BC于點(diǎn)F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式，(2)當(dāng)△PEF的周長為最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長．(3)若點(diǎn)G是拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，是否存在以C、B、G、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線函數(shù)表達(dá)式為，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)，△PEF的周長為(3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【分析】（1）由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求解析式；（2）利用直線和拋物線的位置關(guān)系相切時對應(yīng)的等腰直角三角形PEF周長最大，二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立方程，根的判別式，從而找出對應(yīng)點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而求出周長；（3）根據(jù)平行四邊形對角線性質(zhì)和中點(diǎn)公式，把BC是否為對角線分情況進(jìn)行分析，設(shè)出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式列方程計算即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A(-1,0)，B(3,0)代入，得：，解得，所以拋物線解析式為，C(0，3)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式，將B(3，0)，C(0，3)代入得：，解得，所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為（2）解：如圖，設(shè)將直線BC平移到與拋物線相切時的解析式為，與拋物線聯(lián)立得：整理得，解得，將代入，解得，將代入得，即△PEF的周長為最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)將代入得，則此時，因?yàn)椤鱌EF為等腰直角三角形，則△PEF的周長最大為（3）答：存在．已知B(3，0)，C(0，3)，設(shè)點(diǎn)Ｇ(，)，N(1，n)，當(dāng)BC為平行四邊形對角線時，根據(jù)中點(diǎn)公式得：，，則G點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)BC為平行四邊形的邊時，由題意可知：或，解得或則G點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，-5)或(4，-5)故點(diǎn)G坐標(biāo)為(2，3)或(-2，-5)或(4，-5)【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、直線與拋物線的位置關(guān)系、根的判別式，等腰直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)求解析式；（2利用直線和拋物線的位置關(guān)系，巧妙利用判別式；（3）熟悉平行四邊形對角線性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)公式分情況展開討論．7．（2022·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)最大為(3)存在，的坐標(biāo)為或（3，-16）或【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出c的值即可；（2）過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得，當(dāng)最大時，最大，，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式為，設(shè)，，則，求得PH，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對角線三種情況討論求解即可．【詳解】（1）（1）∵點(diǎn)在拋物線的圖象上，∴∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）過作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)最大時，最大，設(shè)直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設(shè)，，則，∴，∵，∴當(dāng)時，最大為，∴此時最大為，即點(diǎn)到直線的距離值最大；（3）存在．∵∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，）分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-16）②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，方法同①可得，，∴∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-7，-16）；③當(dāng)AC為對角線時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為，即H（）∴，解得，?！唷帱c(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，8）綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或（3，-16）或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．(1)請直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值．(3)點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，作//交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，；(2)，面積的最大值；(3)存在，或或．【分析】（1）令得到，求出x即可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，令，則即可求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）過P作軸交BC于Q，先求出直線BC的解析式，根據(jù)三角形的面積，當(dāng)平行于直線BC直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，點(diǎn)P到BC的距離最大，此時，的面積最大，利用三角形面積公式求解；（3）根據(jù)點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，作//交軸于點(diǎn)得到，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時，當(dāng)點(diǎn)F在x軸的上方時，結(jié)合點(diǎn)，利用平行四邊形的性質(zhì)來列出方程求解．【詳解】（1）解：令，則，解得，，∴，，令，則，∴；（2）解：過P作軸交BC于Q，如下圖．設(shè)直線BC為，將、代入得，解得，∴直線BC為，根據(jù)三角形的面積，當(dāng)平行于直線BC直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，點(diǎn)P到BC的距離最大，此時，的面積最大，∵，∴，，∴，∵，∴時，PQ最大為，而，∴的面積最大為；（3）解：存在．∵點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，作//交軸于點(diǎn)，如下圖．∴，設(shè)．當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時，∵，即，∴，解得（舍去），，∴．當(dāng)點(diǎn)F在x軸的上方時，令，則，解得，，∴或．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與平行四邊形、二次函數(shù)與面積等問題的綜合題，主要考查求點(diǎn)的坐標(biāo)，平行四邊形的性質(zhì)，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等．9．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點(diǎn)O的直線MN．點(diǎn)D是直線MN上任意一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線的對稱軸l上時，連接CD，關(guān)x軸相交于點(diǎn)E，水線段OE的長；②如圖2，在拋物線的對稱軸l上是否存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F與點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時，點(diǎn)D的坐標(biāo)：或；當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時，點(diǎn)D的坐標(biāo)：．【分析】(1)把，代入即可得出拋物線的表達(dá)式；（2）①求出直線BC解析式：，再由直線MN：及拋物線的對稱軸：，即可得出．進(jìn)而得出直線CD的解析式為：，即可得出答案；②分以BC為邊時，即，，以及分以BC為對角線時，進(jìn)行討論即可得出答案．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入得：解得∴拋物線的表達(dá)式為．（2）①由（1）可知：，設(shè)直線BC：，將點(diǎn)，代入得：解得∴直線BC：，則直線MN：．∵拋物線的對稱軸：，把代入，得，∴．設(shè)直線CD：，將點(diǎn)，代入得：解得∴直線CD：．當(dāng)時，得，∴，∴．②存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為項點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．理由如下：（I）若平行四邊形以BC為邊時，由可知，F(xiàn)D在直線MN上，∴點(diǎn)F是直線MN與對稱軸l的交點(diǎn)，即．由點(diǎn)D在直線MN上，設(shè)．如圖2-1，若四邊形BCFD是平行四邊形，則．過點(diǎn)D作y軸的垂線交對稱軸l于點(diǎn)G，則．∵，∴，∵軸，∴，∴．又∵，∴，∴，，

∵，，∴，解得．∴，如圖2-2，若四邊形BCDF是平行四邊形，則．同理可證：，∴，∵，，∴，解得．∴（II）若平行四邊形以BC為對角線時，由于點(diǎn)D在BC的上方，則點(diǎn)F一定在BC的下方．∴如圖2-3，存在一種平行四邊形，即．設(shè)，，同理可證：，∴，∵，，，∴．解得∴，．綜上所述，存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時，點(diǎn)D的坐標(biāo)：或；當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時，點(diǎn)D的坐標(biāo)：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.10．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)，當(dāng)四邊形為矩形時，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)（或）(2)①，②存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，再把代入即可得出答案；（2）①過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，根據(jù)，又因?yàn)?，證明出，從而得出，將，，代入即可求出m的值；②根據(jù)上問可以得到，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，，要讓以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當(dāng)以為邊時，存在平行四邊形為；2）當(dāng)以為邊時，存在平行四邊形為；3）當(dāng)以為對角線時，存在平行四邊形為；即可得出答案．（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，又∵，∴，解得：，∴（或）；（2）①∵點(diǎn)P在x軸正半軸上，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，∴，，在中，，當(dāng)四邊形為矩形時，，∴，又，∴，∴，∴，解得；②由題可得點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，∴，∵點(diǎn)M在直線上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，存在以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，1）、當(dāng)以為邊時，平行四邊形為，點(diǎn)C向左平移8個單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴將點(diǎn)M向左平移8個單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴代入，解得：，∴，2）、當(dāng)以為邊時，平行四邊形為，點(diǎn)B向右平移8個單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，∴將M向右平移8個單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴代入，解得：，∴，3）、當(dāng)以為對角線時，點(diǎn)M向左平移5個單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)C向左平移5個單位后，與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，∴代入，得：，∴，綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，中心對稱，平行四邊形的存在性問題，矩形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)并作出輔助線是本題的關(guān)鍵．11．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在直線上方的拋物線上運(yùn)動（與點(diǎn)B，C不重合），求使面積最大時M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請在圖1中探索）(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請在圖2中探索）【答案】(1)，(2)，當(dāng)時，S有最大值為(3)滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為，，【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過M點(diǎn)作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，求出直線BC的解析式，設(shè)M（m，-+m+），則N（m，-m+），可得S△MBC=?MN?OB=+，再求解即可；（3）設(shè)Q（0，t），P（m，-+m+），分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)AQ為平行四邊形的對角線時；③當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．（1）解：把點(diǎn)和分別代入可得，解得∴拋物線的解析式為把代入可得∴；（2）解：作直線，作軸交直線于點(diǎn)N設(shè)直線的解析式為（）把點(diǎn)和分別代入可得解得∴直線的解析式為設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m∴，∴∴（）∴當(dāng)時，S有最大值為把代入可得∴；（3）解：當(dāng)以為邊時，只要，且即可∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4把代入可得把代入可得∴此時，當(dāng)以為對角線時，作軸于點(diǎn)H∵四邊形是平行四邊形∴∴在和中∴∴∴∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2把代入可得∴此時綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為，，【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學(xué)校考期末）如圖，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)．(1)求a，b，c的值；(2)在拋物線對稱軸上找出一點(diǎn)P，使的值最小，并求出此時的面積；(3)若點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)點(diǎn)P見解析，(3)存在，或或【分析】（1）將代入，求出a的值，確定函數(shù)的解析式后，再將B點(diǎn)和C點(diǎn)代入解析式即可求b、c的值；（2）根據(jù)拋物線的對稱軸可知當(dāng)B、C、P三點(diǎn)共線時，有最小值，直線與對稱軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)再求的面積即可；（3）設(shè)，分三種情況討論：①當(dāng)為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)為平行四邊形的對角線時；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．【詳解】（1）解：（1）將代入，∴，解得，∴，將代入，∴，解得：（舍）或，將代入，∴；（2）∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴，∴當(dāng)B、C、P三點(diǎn)共線時，有最小值，設(shè)的直線解析式為∴∴∴，∴，設(shè)的直線解析式為∴∴∴，∴直線與y軸交于∴∴（3）存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，理由如下：設(shè)，①當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，∴（舍），∴；②當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，∴，∴或；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，∴（舍），∴；綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，用軸對稱求最短距離的方法，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·天津紅橋·九年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．經(jīng)過點(diǎn)B的直線與y軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是直線上的動點(diǎn)，過M作軸交拋物線于點(diǎn)N，判斷是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M、N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，用解析式可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)（2）用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，由點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱，可知點(diǎn)P為對稱軸與直線的交點(diǎn)時，的周長最小，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（3）由可知，，設(shè)點(diǎn)、，求得，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)【詳解】（1）∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2）∵經(jīng)過點(diǎn)直線與y軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴直線的解析式為：，聯(lián)立方程組，解得：或，∴，∵拋物線的對稱軸為：，且，∴點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∵，∴當(dāng)點(diǎn)P為對稱軸與直線的交點(diǎn)時，的周長最小，∴（3）存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M、N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形∵，即，∴要使以點(diǎn)M、N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M在直線上，∴設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為：，∴，即，當(dāng)時，解得：，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或，當(dāng)，解得：（舍去）綜上所述：存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M、N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、軸對稱的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)；掌握方程的思想和分類討論的方法是解決問題的關(guān)鍵14．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，連接，點(diǎn)P是線段上方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)，求的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將該拋物線關(guān)于直線對稱得到新拋物線，點(diǎn)E是原拋物線y和新拋物線的交點(diǎn)，F(xiàn)是原拋物線對稱軸上一點(diǎn)，G為新拋物線上一點(diǎn)，若以E、F、A、G為頂點(diǎn)的四邊形是是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，(3)或或．【分析】（1）直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)，寫出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，即可得解；（2）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，證明，得到，得到當(dāng)最大時，最大，進(jìn)行求解即可；（3）求出新拋物線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分分別為對角線，三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴；（2）解：過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，則，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴；設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴；∵交于點(diǎn)，聯(lián)立直線的解析式得：，解得：，∴，∴，∵軸，∴的橫坐標(biāo)為，代入，得：，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)最大時，最大，設(shè)，則：，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值：，此時：，；（3）解：關(guān)于的對稱點(diǎn)為：，則：新的拋物線的解析式為：，聯(lián)立兩個拋物線的解析式：，解得：，∴，∵F是原拋物線對稱軸上一點(diǎn)，G為新拋物線上一點(diǎn)，∴設(shè)，，∵，以E、F、A、G為頂點(diǎn)的四邊形是是平行四邊形，①為對角線時：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得：，解得：，∴；②為對角線時：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得：，解得：，∴；③為對角線時：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得：，解得：，∴；綜上：以E、F、A、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．15．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)為線段下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，動點(diǎn)在原拋物線的對稱軸上，點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)(2)當(dāng)時，取得最大值，最大值為1，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）將，代入拋物線，列方程組求解即可得到答案；（2）延長交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入列方程組求解得出解析式，設(shè)，根據(jù)軸得到，，根據(jù)三角形面積公式用t表示出，利用函數(shù)性質(zhì)即可得到最值；（3）根據(jù)，得到，結(jié)合拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，得到新拋物線解析式，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分分類討論根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到答案．【詳解】（1）解：將，代入拋物線得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：如圖，延長交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，∵，，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，其中，∴，，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為1，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：∵，，∴，∵拋物線沿射線方向平移個單位長度，∴拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，∴平移后的拋物線解析式為，∵點(diǎn)在原拋物線對稱軸上，∴設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)以為對角線時，，即，∴，∵點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，∴，②當(dāng)以為對角線時，，即，，∵點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，∴，③當(dāng)以為對角線時，，即，，∵點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，∴，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．16．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)與x軸另一個交點(diǎn)A．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)，將曲線，沿y軸向下平移n個單位長度（）．曲線與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形是平行四邊形，直接寫出P的坐標(biāo)．【答案】(1)①；②(2)（2，-4）或（0，-3）(3)（1+，）或【分析】（1）①利用待定系數(shù)解答，即可求解；②利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）過點(diǎn)E作EG⊥x軸交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，然后根據(jù)△EFG∽△BFH，即可求解；（3）先求出向上翻折部分的圖象解析式為，可得向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為，平移后拋物線剩下部分的解析式為，分別求出直線BC和直線的解析式為，可得BC∥C′G′，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)，然后分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時；當(dāng)點(diǎn)P在向上翻折部分平移后的圖象上，點(diǎn)Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時；當(dāng)點(diǎn)P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點(diǎn)Q在向上翻折部分平移后的圖象上時，即可求解．（1）解：①把點(diǎn)和點(diǎn)代入得：，解得：，∴拋物線解析式為；②令y=0，則，解得：，∴點(diǎn)A（-2，0），設(shè)直線AD的解析式為，∴把點(diǎn)和點(diǎn)A（-2，0）代入得：，解得：，∴直線AD的解析式為；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥x軸交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥x軸交AD于點(diǎn)H，當(dāng)x=6時，，∴點(diǎn)H（6，-4），即BH=4，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴，∵的面積記為，的面積記為，且，∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x軸，∴△EFG∽△BFH，∴，∴，解得：或0，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-4）或（0，-3）；（3）解：，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，-4），當(dāng)x=0時，y=-3，即點(diǎn)C（0，-3），∴點(diǎn)，∴向上翻折部分的圖象解析式為，∴向上翻折部分平移后的函數(shù)解析式為，平移后拋物線剩下部分的解析式為，設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B（6，0），C（0，-3）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，同理直線的解析式為，∴BC∥C′G′，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)C′向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點(diǎn)G′，∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P，Q均在向上翻折部分平移后的圖象上時，，解得：（不合題意，舍去），當(dāng)點(diǎn)P在向上翻折部分平移后的圖象上，點(diǎn)Q在平移后拋物線剩下部分的圖象上時，，解得：或（不合題意，舍去），當(dāng)點(diǎn)P在平移后拋物線剩下部分的圖象上，點(diǎn)Q在向上翻折部分平移后的圖象上時，，解得：（舍去，不合題意）或，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+，）或（1﹣，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．17．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為，拋物線的對稱軸交直線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點(diǎn)，求h的最大值；(3)M是（1）中拋物線上一點(diǎn)，N是直線上一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；或或或【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）由題意得，求BC的表達(dá)式為：；拋物線平移后的表達(dá)式為：，根據(jù)題意得，即可求解；（3）設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（1）解：由可知，，解得：，∴．（2）分別令中，得，，；設(shè)BC的表達(dá)式為：，將，代入得，解得：；∴BC的表達(dá)式為：；拋物線平移后的表達(dá)式為：，根據(jù)題意得，，即，∵該拋物線與直線始終有交點(diǎn)，∴，∴，∴h的最大值為．（3）存在，理由如下：將代入中得，①當(dāng)DE為平行四邊形的一條邊時，∵四邊形DEMN是平行四邊形，∴，，∵軸，∴軸，∴設(shè)，，當(dāng)時，解得：，（舍去），∴，當(dāng)時，解得：，∴或；②當(dāng)DE為平行四邊形的對角線時，設(shè)，，∵D、E的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），∴M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），∴，解得：，（舍去），∴此時點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0）；綜上分析可知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：或或或（3，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．18．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)，同時出發(fā)．設(shè)運(yùn)動時間為秒（）．當(dāng)為何值時，的面積最大？最大面積是多少？(3)已知是拋物線上一點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時，的面積最大，最大面積是(3)存在，的坐標(biāo)為或或或【分析】用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達(dá)式為；過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)面積為，由，，可得，，即得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)秒時，的面積最大，求得其最大面積；由，得直線解析式為，設(shè)，，分三種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）將點(diǎn)，代入中，得，解這個方程組得，二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖：設(shè)面積為，根據(jù)題意得：，．，，在中，令得，，，．，，，當(dāng)時，的面積最大，最大面積是；（3）存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：由，得直線解析式為，設(shè)，，又，，當(dāng)，是對角線，則，的中點(diǎn)重合，，解得與重合，舍去或，；當(dāng)，為對角線，則，的中點(diǎn)重合，，解得舍去或，；當(dāng)，為對角線，則，的中點(diǎn)重合，，解得或，或，綜上所述，的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．19．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）如圖．在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．已知點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合）．過點(diǎn)E作軸交拋物線于點(diǎn)P，交于點(diǎn)F．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若，請求出m的值；(3)是否存在這樣的m，使得與相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由；(4)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到拋物線對稱軸上時，點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上的動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，是否存在以C、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)存在，m的值為0或3；(4)存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）將，代入拋物線中，求得，，即可得到該拋物線的表達(dá)式；（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)得到，再利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得到，，然后利用，即可求出得值；（3）逆用勾股定理，得到，使得與相似，分兩種情況討論：①，，得到，求解即可得到的值；②，同理求解即可；（4）設(shè)，，分三種情況討論：①、為