1第四章彎曲內(nèi)力材料力學(xué)2§4–1彎曲的概念和實(shí)例§4–2受彎桿件的簡(jiǎn)化§4–3剪力和彎矩§4–4剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖§4–5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系§4–6平面曲桿的彎曲內(nèi)力第四章彎曲內(nèi)力3§4–1彎曲的概念、實(shí)例1.彎曲變形:直桿在垂直其軸線的外力作用下，桿的軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。受力特點(diǎn)：外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線。變形特點(diǎn)：直桿變成曲桿，橫截面發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。一、彎曲的概念和實(shí)例彎曲內(nèi)力43.工程實(shí)例彎曲內(nèi)力5彎曲內(nèi)力64.平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)。

對(duì)稱彎曲（如下圖）——

平面彎曲的特例縱向?qū)ΨQ面MP1P2q彎曲內(nèi)力7非對(duì)稱彎曲——

若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或者，梁雖具有縱向?qū)ΨQ面但外力并不作用在對(duì)稱面內(nèi)，這種彎曲則統(tǒng)稱為非對(duì)稱彎曲。下面幾章中，將以對(duì)稱彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計(jì)算。P彎曲內(nèi)力8

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。1.構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化通常取梁的軸線來(lái)代替梁。2.載荷簡(jiǎn)化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡(jiǎn)化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3.支座簡(jiǎn)化集中載荷分布載荷集中力偶Meq§4–2受彎桿件的簡(jiǎn)化彎曲內(nèi)力9①固定鉸支座

2個(gè)約束，1個(gè)自由度。彎曲內(nèi)力10②可動(dòng)鉸支座（輥軸支座）

1個(gè)約束，2個(gè)自由度。彎曲內(nèi)力11③固定端

3個(gè)約束，0個(gè)自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4.梁的三種基本形式①簡(jiǎn)支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁彎曲內(nèi)力12③外伸梁—集中力Pq—均布力5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。彎曲內(nèi)力13[例1]貯液罐如圖示，試求貯液罐的計(jì)算簡(jiǎn)圖。解：q—均布力彎曲內(nèi)力14彎曲內(nèi)力15PPPPPPPP彎曲內(nèi)力16§4–3剪力和彎矩一、彎曲內(nèi)力：彎曲內(nèi)力[例2]已知：如圖，P，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。PYAXARBAB解：①求支座約束力PalABx17ABPYARBmmx彎曲內(nèi)力②求內(nèi)力——截面法AYAFSMRBPMFS∴彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1.彎矩：M

構(gòu)件受彎時(shí)，垂直于橫截面的分布內(nèi)力系的合力偶矩。CC18彎曲內(nèi)力2.剪力：FS

構(gòu)件受彎時(shí)，切于橫截面的分布內(nèi)力系的合力。3.內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:①剪力FS:繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負(fù)彎矩。FS(+)FS(–)FS(–)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)“上壓下拉”為正，反之為負(fù)19[例3]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。xy解：截面法求內(nèi)力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。圖（a）二、例題qqLab1122qLFS1AM1圖（b）x1彎曲內(nèi)力202--2截面處截取的分離體如圖（c）xy圖（a）qqLab1122qLFS2BM2x2彎曲內(nèi)力圖（c）21彎曲內(nèi)力§4–4剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖1.剪力方程和彎矩方程：

內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。2.剪力圖和彎矩圖：剪力方程)(xMM=彎矩方程剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示繪制方法：類似于其他內(nèi)力圖的畫法，截面法求內(nèi)力，先設(shè)為正22彎曲內(nèi)力[例4]求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。解：（1）求支反力（2）列內(nèi)力方程（3）畫內(nèi)力圖23彎曲內(nèi)力在集中力或者有約束力作用的位置，剪力有突然變化，應(yīng)作為剪力方程的分界。在集中力偶或者有約束反力偶作用的位置，彎矩有突然變化，應(yīng)作為彎矩方程的分界。24解：（1）求支反力（2）列內(nèi)力方程（3）畫內(nèi)力圖xMql2/8xFSql/2ql/2彎曲內(nèi)力25彎曲內(nèi)力解：（1）求支反力

(本題可省略此步)（2）列內(nèi)力方程（3）畫內(nèi)力圖xlqABRAMAql2/226彎曲內(nèi)力解：（1）列內(nèi)力方程（2）畫內(nèi)力圖BC段：AC段：Fl/2Fl/2+mFl+ml/2lABRAMAx2mFCx127彎曲內(nèi)力解：（1）求支反力（2）列內(nèi)力方程（3）畫內(nèi)力圖lABl/2CPl/2PlDRCRAx28彎曲內(nèi)力解：①求支反力②內(nèi)力方程q0RA③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖RBLFS(x)xxM(x)29這次課要學(xué)什么？§4–5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系彎曲內(nèi)力30一、載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAy剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。

彎曲內(nèi)力31彎矩與荷載集度的關(guān)系是：彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。彎曲內(nèi)力321.

若q(x)=0，則FS(x)為常量，對(duì)應(yīng)FS圖為平行于x

軸的直線；M(x)是

x的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)M圖為斜直線。幾個(gè)重要結(jié)論：2.

若q(x)=常數(shù)，則FS(x)是

x的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)FS圖為斜直線；M(x)是

x的二次函數(shù)，對(duì)應(yīng)M圖為拋物線。

若q(x)=常數(shù)>0，即向上作用，則FS圖中斜直線的斜率為正，而M圖中拋物線的開(kāi)口向上；若q(x)=常數(shù)<0，即向下作用，則FS圖中斜直線的斜率為負(fù)，而M圖中拋物線的開(kāi)口向下。彎曲內(nèi)力33還不算完哦！3.

M的極值（極大或極?。┌l(fā)生于FS為零的截面上。4.

在集中力作用截面的左右兩側(cè)，F(xiàn)S圖有突變，突變值等于此集中力的大小，M圖在此發(fā)生轉(zhuǎn)折；在集中力偶作用截面的左右兩側(cè)，F(xiàn)S圖無(wú)變化，M圖有突變，突變值等于此集中力偶的數(shù)值。優(yōu)點(diǎn)：快速、準(zhǔn)確、當(dāng)場(chǎng)可以檢驗(yàn)！彎曲內(nèi)力34外力無(wú)外力段q=0FS圖特征M圖特征集中力CP集中力偶Cm水平直線xFSC無(wú)變化斜直線彎曲內(nèi)力自左向右突變與m反x

MM1M2FS<0xxFSFS>0FS降函數(shù)xx增函數(shù)MM均布載荷段q>0q<0斜直線增函數(shù)xFSxFS降函數(shù)曲線墳狀xMxM盆狀xFSCFS1FS2FS1–FS2=P自左向右突變自左向右折角xM折向與P反向35二、應(yīng)用微分關(guān)系做內(nèi)力圖（簡(jiǎn)易作圖法）驗(yàn)證一下！比前一種做內(nèi)力圖的方法如何？彎曲內(nèi)力36[例5]

用簡(jiǎn)易作圖法畫圖示梁的內(nèi)力圖。aaqaqA分界約束反力???彎曲內(nèi)力37aaqaqAqa2–xMFSxqa–彎曲內(nèi)力38[例6]改內(nèi)力圖之錯(cuò)。a2aaqqa2ABFSx––+qa/4qa/43qa/47qa/4xMqa2/449qa2/323qa2/25qa2/4+彎曲內(nèi)力39總結(jié)一下，這次課學(xué)會(huì)了什么？彎曲內(nèi)力40作業(yè)：試用簡(jiǎn)易作圖法畫下列圖示梁的內(nèi)力圖。qqa2/2qaACD（1）（2）l/2lABmFC彎曲內(nèi)力41彎曲內(nèi)力解：求支反力qqa2qaRARDABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+控制面FS值M值A(chǔ)RBLBRCLCRDL-qa/2-qa/2qa/2-qa/2-qa/2-qa/20-qa2/2-qa2/20-qa2/2qa2/2FSxqa/2qa/2qa/2––+[例7]42彎曲內(nèi)力解：求支反力qqa2/2qaABCDRARB控制面FS值M值CRALARDLDRBL-qa-qaqa/2qa/2qa/2-qa/20-qa2-qa2/2000FSxqaqa/2qa/2–+qa2xMqa2/2qa2/8–43彎曲內(nèi)力解：ABCDq3qa22qaaaa控制面FS值M值A(chǔ)RCLCRDLDRBL2qa2qa2qaqaqaqa02qa2-qa2qa2/2qa2/23qa2/2FSx2qaqa+xM2qa2qa2qa2/23qa2/2++44彎曲內(nèi)力§4–6按疊加原理作彎矩圖一、疊加原理：適用條件：所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與荷載滿足線性關(guān)系。即在彈性限度內(nèi)滿足胡克定律。

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。45彎曲內(nèi)力二、材料力學(xué)構(gòu)件小變形、線性范圍內(nèi)必遵守此原理

——疊加方法步驟：

①分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；②將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡(jiǎn)單拼湊）。46彎曲內(nèi)力[例8]按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點(diǎn)處）。qqPP=+AAABBBxM+xM1+=xM2

++47彎曲內(nèi)力[例9]按疊加原理作圖示梁的彎矩圖。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+–2Pa2PaPa(1)++48彎曲內(nèi)力PLLL0.5P0.5PPPLLLP0PLL0.5P0.5PMxPL+=+M2x0.5PL0.5PL–+M1x+0.5PL=+[例10]按疊加原理作圖示梁的彎矩圖。49彎曲內(nèi)力§4–7平面曲桿的彎曲內(nèi)力一、平面剛架1.概念：同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連接而組成的框架結(jié)構(gòu)。兩段桿件之間的剛性連接稱為剛節(jié)點(diǎn)。

50彎曲內(nèi)力51彎曲內(nèi)力

彎矩方程的求法與普通梁的方法相同。2.特點(diǎn)：（1）剛架的每?jī)蓚€(gè)組成部分在其連接處夾角不變；（2）軸線為折線；（3）剛架各桿的內(nèi)力有：FS、M、FN。3.靜定剛架彎矩圖的繪制：約定把彎矩圖繪在桿件受壓的一側(cè)，不需注明正、負(fù)號(hào)。52彎曲內(nèi)力

平面剛架可以看作由若干直梁用剛節(jié)點(diǎn)連接而成，因此可采用先拆后合的方法，把剛架問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直梁。具體步驟為：1.求約束力；2.用截面法從剛節(jié)點(diǎn)處把剛架截成幾段直桿，并根據(jù)平衡方程求出截開(kāi)段處的彎矩；3.把各段看作水平梁，作各段的彎矩圖；4.把各段彎矩圖組合起來(lái)，即為剛架的彎矩圖。53彎曲內(nèi)力[例11]試作圖示剛架的彎矩圖。P1P2alA