數(shù)學(xué)思維跨越抽象與現(xiàn)實(shí)的邊界目錄TOC\h\h一、數(shù)學(xué)\h1什么是數(shù)學(xué)？\h2抽象\h3原理\h4過程\h5推廣\h6內(nèi)在和外在\h7公理化\h8數(shù)學(xué)是什么\h二、范疇論\h9范疇論是什么？\h10情境\h11關(guān)系\h12結(jié)構(gòu)\h13相同\h14泛性質(zhì)\h15范疇論是什么1

什么是數(shù)學(xué)？無麩質(zhì)巧克力布朗尼配料115克黃油125克黑巧克力150克糖粉80克土豆粉2個(gè)中等大小的雞蛋方法1.將黃油和巧克力融化，一起攪勻，然后冷卻一會兒。2.將加入糖的蛋液打發(fā)。3.緩緩將巧克力倒入蛋液中。4.倒入土豆粉。5.將混合液體倒入單獨(dú)的幾個(gè)小號模具中，將烤箱溫度調(diào)至180°C預(yù)熱，然后放入模具，烤大約10分鐘（或者根據(jù)你喜歡的熟度調(diào)節(jié)時(shí)間）。數(shù)學(xué)，就像食譜一樣，包含配料和方法。同樣，就像食譜如果不談?wù)摲椒〞兊脽o用，如果我們不談?wù)摂?shù)學(xué)的研究方法，而只討論數(shù)學(xué)的研究對象，我們就無法理解數(shù)學(xué)究竟是什么。碰巧，在上述這個(gè)食譜里，方法很重要——我們沒法兒直接用一個(gè)很大的托盤成功地烤出布朗尼，我們必須要用小號模具。在數(shù)學(xué)里，方法也許比配料更重要。真正的數(shù)學(xué)很可能并不是你在學(xué)校的數(shù)學(xué)課上學(xué)到的東西。不過，就我自己而言，我似乎一直都知道數(shù)學(xué)的內(nèi)涵要比我們在學(xué)校學(xué)到的那些更豐富。那么，什么是數(shù)學(xué)呢？食譜書按照所需廚具來給食譜分類會怎樣？做飯的流程通常類似于這樣：決定你想做什么，買原材料，然后著手烹飪。有時(shí)，步驟的順序會發(fā)生顛倒：你在商店或市場里閑逛，看到一些不錯(cuò)的食材，想要用它們來做飯。也許是某種格外新鮮的魚，也許是一種你從未見過的蘑菇。你先把它們買回家，然后才開始查可以用它們做什么菜。偶爾，你遇到的情況可能會與上述這兩種完全不同：你買了一個(gè)新的廚具，于是你想用這個(gè)廚具做所有它能做的美食。也許你買了一臺攪拌機(jī)，于是突然之間，你便開始做湯、奶昔、冰激凌。你可能還試著用它做了土豆泥，但結(jié)果很不理想（成品看起來就像一罐膠水）。也許你買了一只慢燉鍋，或是一只蒸鍋，或是一個(gè)電飯煲。也許你剛剛學(xué)會了一種新的烹飪技術(shù)，比如分離蛋清和蛋黃，或是給黃油脫水，于是你想用你的新技術(shù)做盡可能多的事。因此，我們有兩種方法來烹飪，而其中一種看起來要更實(shí)用。大多數(shù)烹飪書都是根據(jù)菜品的性質(zhì)，而不是烹飪方法來歸類的：一章介紹前菜，一章介紹湯品，一章介紹魚類的做法，一章介紹肉類的做法，一章介紹甜品，等等。有時(shí)，書里可能會有一章專門講解某種配料的使用，比如專門介紹巧克力類甜點(diǎn)的食譜或蔬菜類的食譜等。有時(shí)，書里可能還會有一章專門介紹特殊場合的烹飪食譜，比如圣誕節(jié)午宴。但如果書里有一章是關(guān)于“用到橡膠刮鏟的食譜”或者“用到手動打蛋器的食譜”的，那么這本書看起來就太奇怪了。不過，廚具本身通常都會自帶一些可以用到此工具的簡單食譜，攪拌機(jī)會自帶攪拌機(jī)食譜，慢燉鍋和冰激凌機(jī)也同樣如此。這與做學(xué)術(shù)研究的研究對象頗具異曲同工之處。通常，當(dāng)你說起你所研究的課題時(shí)，你會根據(jù)你的研究對象是什么來描述它。也許你研究的是鳥類、植物、食物、烹飪、理發(fā)，或者是過去發(fā)生的事，又抑或是社會如何運(yùn)轉(zhuǎn)。一旦你決定了想要研究什么，你就需要學(xué)習(xí)研究它的方法，或是自創(chuàng)一些研究方法，就像在烹飪中學(xué)習(xí)打發(fā)蛋白或是給黃油脫水一樣。然而，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們所研究的對象本身就取決于我們使用的研究方法。這就類似于我們買了一個(gè)攪拌機(jī)，然后決定用它做各種美食這種情況。與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)的研究過程可以說是逆向的。通常而言，是我們的研究對象決定我們的研究方法；是我們先決定晚飯想吃什么，然后再選用合適的廚具。但是，當(dāng)我們因新買的攪拌機(jī)而心情激動時(shí)，我們就會想試試用它來做我們所有的飯菜。（至少，我就見過這么做的人。）這多少有點(diǎn)兒像“先有雞還是先有蛋”的問題。但我的論點(diǎn)是，數(shù)學(xué)是由它的研究方法來定義的，而它的研究對象則是由那些研究方法決定的。立體主義當(dāng)風(fēng)格影響內(nèi)容的選擇時(shí)用研究方法給數(shù)學(xué)分類與藝術(shù)流派的分類十分相似。諸如立體主義、點(diǎn)彩畫派、印象派這些流派都是依據(jù)作畫方法，而不是依據(jù)作畫內(nèi)容來劃分的。芭蕾和歌劇也是如此，其藝術(shù)形式是根據(jù)表達(dá)方式劃分的，而主題內(nèi)容通常是有固定范疇的。芭蕾很適合抒發(fā)情感，但并不那么適合描述對白，也不適合表達(dá)政治訴求。立體主義顯然不適合描繪昆蟲。交響樂適合表現(xiàn)大喜大悲，但并不適合傳達(dá)如“請把鹽遞給我”這樣的尋常信息。在數(shù)學(xué)里，我們使用的方法是邏輯。我們只想使用純粹的邏輯推理，而非使用實(shí)驗(yàn)、實(shí)證、盲信、希望、民主、暴力等種種途徑。僅僅是邏輯。那么，我們研究的對象是什么呢？我們研究所有符合邏輯規(guī)則的事物。數(shù)學(xué)是運(yùn)用邏輯規(guī)則，對所有符合邏輯規(guī)則的事物進(jìn)行的研究。我承認(rèn)這是一個(gè)過分簡化的定義。但我希望，在讀了本書更多內(nèi)容以后，你會明白這個(gè)定義就它本身而言已經(jīng)足夠準(zhǔn)確了，它正是一個(gè)范疇論數(shù)學(xué)家會給出的定義，而非像第一眼看上去那樣是個(gè)循環(huán)論證。誰是首相用它是做什么的來描述事物設(shè)想有人問你“誰是首相”，而你回答說“他是政府首腦”。這個(gè)答案沒錯(cuò)，但并不能讓人滿意，因?yàn)樗鼪]有正面回答問題：你描述了首相的性質(zhì)，但沒告訴我們首相是做什么的。同樣，我剛剛對于數(shù)學(xué)的“定義”也描述了數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，但并沒有告訴你它是做什么的。因此，這個(gè)定義可能不是很有幫助，或者至少不太全面——不過，這只是了解數(shù)學(xué)的開始。我們可以說清楚數(shù)學(xué)是什么，而不是數(shù)學(xué)像什么嗎？數(shù)學(xué)到底研究什么？它的確研究數(shù)字，但也研究其他東西，比如形狀、圖像和模式，以及肉眼看不到的——富有邏輯的想法。甚至還有更多：那些我們目前還不知道的東西。數(shù)學(xué)持續(xù)發(fā)展的原因之一就是，一旦你掌握了一種方法，你總能找到更多可以用它來研究的對象，然后你又能找到更多研究這些對象的方法，再然后你又能用新方法找到更多可以研究的對象，如此循環(huán)往復(fù)，就像雞生蛋，蛋生雞，雞生蛋……山脈登上一座山能讓你看到更高的山你是否有過這種體驗(yàn)——登上一座山的頂峰，發(fā)現(xiàn)的卻是比它更高的所有其他山峰？數(shù)學(xué)也是如此，它越發(fā)展，可供研究的對象就越多。此事的發(fā)生一般伴隨著兩種過程。第一種是“抽象化”：我們用邏輯梳理清楚了本來沒有邏輯存在的領(lǐng)域。打個(gè)比方，可能你原本只用電飯煲煮米飯，而有一天，你發(fā)現(xiàn)你也可以用它來烤蛋糕，而且用電飯煲烤出來的蛋糕和用傳統(tǒng)烤箱烤出來的蛋糕只有一點(diǎn)點(diǎn)不同。換句話說，我們借助一種新的視角來看待原本不是數(shù)學(xué)的事物，從而將其變?yōu)閿?shù)學(xué)。這就是x和y會出現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的原因——我們原先的目的是研究數(shù)字，但后來我們發(fā)現(xiàn)此種處理數(shù)字的方法也可以應(yīng)用到其他領(lǐng)域。第二種是“廣義化”：我們明白了如何用我們已經(jīng)理解的事物來建構(gòu)更復(fù)雜的事物。這就好像你用攪拌機(jī)做了一個(gè)蛋糕，又用攪拌機(jī)做了酥皮，然后把兩者堆疊起來，創(chuàng)造出一種新的甜點(diǎn)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這就等同于用比較簡單的數(shù)字、三角形和日常生活中的事物來建構(gòu)多項(xiàng)式、矩陣、四維空間等。我會在接下來的幾章探討抽象化和廣義化這兩種過程，但首先我想請讀者看一看數(shù)學(xué)是如何奇妙又怪異地實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)過程的。鳥類鳥類不等于鳥類研究假設(shè)你是一個(gè)研究鳥類的專家。你研究鳥類的行為、飲食、求偶方式、育幼方式以及它們怎樣消化食物，等等。然而，你永遠(yuǎn)不可能用更簡單的鳥類來創(chuàng)造一種新的鳥類——鳥類不是這樣創(chuàng)造出來的。在這件事上，你不能使用廣義化，至少不能使用數(shù)學(xué)的廣義化。另一件你無法做到的事情是把不是鳥類的東西變成鳥類。鳥也不是這樣創(chuàng)造出來的。所以你也沒有辦法使用抽象化。有時(shí)，我們也會發(fā)現(xiàn)自己犯了分類的錯(cuò)誤，需要對此進(jìn)行修正，比如把雷龍“變?yōu)椤币环N迷惑龍，但那只是因?yàn)槲覀円庾R到了雷龍是迷惑龍屬的一種，而不是真的把前者變成了后者。我們不是魔術(shù)師，不能把一件東西變成另一件東西。但在數(shù)學(xué)里，我們可以這樣做，因?yàn)閿?shù)學(xué)研究的是關(guān)于事物的想法，而不是真實(shí)事物本身。因此，我們只需要改變自己頭腦中的想法，就可以改變我們的研究對象。通常，這意味著改變我們對某種事物的看法，改變我們的視角，或是改變我們描述的方式。一個(gè)數(shù)學(xué)上的例子是繩結(jié)，如下圖所示。在18世紀(jì)和19世紀(jì)，范德蒙、高斯和其他一些數(shù)學(xué)家想出了如何用數(shù)學(xué)的方式來看待繩結(jié)，這樣他們就可以用邏輯規(guī)則來研究繩結(jié)了。這個(gè)方式就是，想象把一根繩子的兩端粘在一起，使其成為一個(gè)封閉的環(huán)。雖然這樣一來，繩結(jié)沒有膠水就做不成了，但這也讓數(shù)學(xué)家能更方便地研究它。每一個(gè)繩結(jié)都可以用三維空間里的一個(gè)環(huán)來表示。在拓?fù)鋵W(xué)里，研究這種問題的方法有很多，對此我們稍后會加以討論。總之，這樣一來，我們不但可以對真正存在的繩結(jié)進(jìn)行種種推斷，還可以研究那些在宏觀世界中不成立，但在微觀世界的分子結(jié)構(gòu)中真實(shí)存在的“結(jié)”。關(guān)于將“真實(shí)”世界中的事物轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)”世界中的事物，幾何圖形是另一個(gè)更為古老的例子。數(shù)學(xué)的發(fā)展可以說經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段：1.它起源于對數(shù)字的研究。2.人們想出了一些方法來研究這些數(shù)字。3.人們意識到，這些方法也可以用來研究其他事物。4.人們四處尋找其他可以用這些方法來研究的事物。其實(shí)還有一個(gè)步驟0，位于數(shù)字誕生以前：有人發(fā)明了數(shù)字這個(gè)概念。數(shù)字可以說是數(shù)學(xué)中可以研究的最基本的東西，但數(shù)字并不是一開始就有的。也許，數(shù)字的發(fā)明就是最早的抽象化過程。接下來我要講的故事是關(guān)于抽象的數(shù)學(xué)的。我想說的是，它的力量和美麗并非體現(xiàn)在它所提供的答案和它所解決的問題上，而在于它對人的啟蒙，它帶來的照亮世界的一束光。正是這束光讓人看得更加清楚，而由此，我們便邁出了認(rèn)識周圍世界的第一步。2

抽象蛋黃醬或者荷蘭醬配料2個(gè)蛋黃300毫升橄欖油調(diào)味料方法1.用手動打蛋器或手持?jǐn)嚢杵鲾嚢璧包S和調(diào)味料。2.非常緩慢地滴入橄欖油，一邊滴一邊攪拌。如果是做荷蘭醬，則需要用100克融化的黃油代替橄欖油。在一定程度上，蛋黃醬和荷蘭醬是一樣的——它們的制作方法一樣，只是加入蛋黃液的油脂類型不同。在兩種制作過程中，蛋黃都發(fā)揮了奇妙的魔力，使得成品變得香濃滑膩。成品逐漸成形的過程就像魔法，我怎么看都看不厭。蛋黃醬和荷蘭醬的相似之處就是數(shù)學(xué)尋找的那類事物：一些大體相似，只有微小細(xì)節(jié)不同的事物。這是一種省力的做法，因?yàn)槟憧梢砸淮涡詫W(xué)會做幾件事。烹飪書也許會告訴你，制作荷蘭醬需要使用一種不同的方法，但我總是置之不理，以便讓我的生活更簡單一些。數(shù)學(xué)也是如此，通過尋找除了微小細(xì)節(jié)外其他大體一致的事物來達(dá)成簡化的目的。派抽象作為藍(lán)圖農(nóng)舍派、牧羊人派和漁夫派三者大同小異，唯一的不同就是土豆泥下面的餡料。各類奶酥也是如此，做不同的奶酥并不需要不同的食譜，你只消學(xué)會做奶酥皮，然后把你喜歡的水果放進(jìn)模具作為餡料，再把奶酥皮放在上面一起烘焙即可。我的另一個(gè)最愛是倒置蛋糕。在烘焙倒置蛋糕的時(shí)候，你需要把水果放在模具底層，再把蛋糕預(yù)拌粉倒在上面，烤好以后把蛋糕整個(gè)倒過來，這樣水果就在上面了。為了讓蛋糕更美味，你也可以在放水果前在模具底層涂上一層加了紅糖的融化的黃油，這樣你就能為水果蛋糕增添一絲焦糖風(fēng)味了。當(dāng)然，一些水果比另一些水果更適合這種做法，比如香蕉、蘋果、梨和李子。葡萄不是很適合。西瓜則完全不適合。對奶酥來說也是如此。西瓜奶酥？還是算了吧。咸味派的制作方法也差不多。先烤好空的餅皮，放進(jìn)你喜歡的餡料，再放進(jìn)攪拌好的雞蛋和牛奶（或奶油），整個(gè)放進(jìn)烤箱烤制一下——完成。餡料可以是奶酪培根、魚、蔬菜，任何你喜歡放的食材。上述所有的“食譜”都并非真正完整的食譜，只是藍(lán)圖或框架。你可以加入你自己選擇的水果、肉類或其他餡料來制作不同的成品，當(dāng)然，你需要從那些適合做餡料的食物里選擇。數(shù)學(xué)也是如此。數(shù)學(xué)致力于尋找事物的相似之處，由此，對于很多不同的情況，你只需要一個(gè)“食譜”就可以應(yīng)付了。關(guān)鍵在于你要先忽略一些細(xì)節(jié)，讓事物變得更容易理解，在這之后，你可以考慮重新加入額外的變量。這就是抽象化的過程。就像西瓜奶酥一樣，當(dāng)你提取出那份經(jīng)過抽象化的“食譜”之后，你可能會發(fā)現(xiàn)它并不能應(yīng)用于所有的“食材”。但至少你可以用它進(jìn)行各種嘗試，而且有些時(shí)候，看起來完全不相干的事物也可能適用于同一份食譜。思考一下等邊三角形的對稱：等邊三角形既是軸對稱圖形，也是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。那么，除了把三角形剪下來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)以外，我們還有別的方法可以描述它的對稱性嗎？有一個(gè)辦法是把三個(gè)角分別標(biāo)為1、2和3，如下圖所示：然后，我們就可以討論這些數(shù)字可以如何交換位置了。比如，如果我們以一條中垂線為軸翻轉(zhuǎn)三角形，那么數(shù)字1和3就交換了位置。如果我們把這個(gè)三角形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，那么數(shù)字1就會被轉(zhuǎn)到數(shù)字2之前的位置，數(shù)字2就會被轉(zhuǎn)到數(shù)字3之前的位置，數(shù)字3就會被轉(zhuǎn)到數(shù)字1之前的位置。你會發(fā)現(xiàn)，等邊三角形的6種對稱方式精準(zhǔn)地對應(yīng)了數(shù)字1、2和3的6種位置交換方式。等邊三角形的三種軸對稱，分別對應(yīng)了數(shù)字1和3、1和2、2和3的換位。等邊三角形的三種旋轉(zhuǎn)對稱則是：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與原三角形重合，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°后與原三角形重合，以及旋轉(zhuǎn)360°后與原三角形重合。該例表明，抽象上來看，一個(gè)等邊三角形的對稱問題與數(shù)字1、2和3的排列問題相同，因此，我們可以同時(shí)研究這兩個(gè)問題。雜亂的廚房抽象就是收起你不需要的東西抽象就像在準(zhǔn)備烹飪時(shí)把你暫時(shí)不需要的廚具和配料收起來，這樣廚房就不會顯得那么雜亂。換句話說，抽象就是把你目前不需要的想法收起來，這樣你的大腦就不會那么雜亂。你更擅長的是清理自己的廚房還是清理自己的大腦？（我個(gè)人肯定更擅長后者。）抽象是數(shù)學(xué)研究的重要的第一步。這也是一個(gè)會讓你感到有些不適的步驟，因?yàn)樗屇汶x現(xiàn)實(shí)遠(yuǎn)了一些。我從來不把食品加工機(jī)收起來，因?yàn)橐苿铀苈闊?，而且我想確保在我想用的時(shí)候隨時(shí)可以使用它，而不必大費(fèi)周章地把它從碗櫥里拿出來。也許在大腦中進(jìn)行的抽象過程對你來說就與此類似?？纯聪旅孢@個(gè)問題：我買了兩張郵票，每張36便士。我一共花了多少錢？這種會出現(xiàn)在小學(xué)課堂中的問題，也被稱作“文字題”（wordproblem），因?yàn)樗怯梦淖謥肀硎龅?。孩子們會被告知，解這種題的第一步就是把這道文字題轉(zhuǎn)化為數(shù)字和符號：36×2=?這就是一種抽象的過程。我們丟棄了，或者說忽略了我們要買的是郵票這件事，因?yàn)檫@與解題無關(guān)。郵票也可以替換為蘋果、香蕉、猴子……而我們要計(jì)算的總和是一樣的，解也一樣：72便士。那么下面這道題呢？我父親的年齡現(xiàn)在是我的年齡的3倍，10年以后，他的年齡將會是我的年齡的2倍。那么，我現(xiàn)在的年齡是多少歲？或者這道題：我有一個(gè)6英寸蛋糕的食譜，其中寫明了覆蓋蛋糕的頂部和側(cè)面總共需要用到多少克糖霜。那么，覆蓋一個(gè)8英寸蛋糕的頂部和側(cè)面需要用到多少克糖霜呢？對于那道關(guān)于郵票的題目，你大概不需要寫下計(jì)算過程就可以得出結(jié)果，因?yàn)榇鸢阜浅ｏ@而易見。但要解答后面兩個(gè)問題，你可能就需要進(jìn)行一些抽象化的工作，你需要忽略諸如父親、蛋糕、糖霜這些細(xì)節(jié)，寫下包含數(shù)字和符號的計(jì)算式。在本章的后面部分，我們會揭曉這兩道題的答案。甜食太真實(shí)的事物不遵循數(shù)學(xué)規(guī)律如果你曾經(jīng)試過教小朋友學(xué)算數(shù)，你可能用過如下這個(gè)例子。你試著讓他們解決這個(gè)實(shí)際生活中的問題：如果奶奶給你5顆糖，爺爺又給你5顆糖，你一共有幾顆糖？而孩子可能會回答說：“一顆都沒有，因?yàn)槲野阉鼈兌汲酝炅?！”這里的問題在于，糖并不遵從邏輯規(guī)則，所以用數(shù)學(xué)來研究它們不管用。我們可以強(qiáng)迫糖遵從邏輯嗎？比如，我們可以給這個(gè)例子增加一條額外的規(guī)定：“……并且你不能吃這些糖。”但如果不讓孩子吃糖，那么糖的意義何在？我們可以把糖視為某種“東西”而不再是糖。我們丟掉了一些現(xiàn)實(shí)性的細(xì)節(jié)，卻獲得了新的視角和更高的處理效率。數(shù)字的好處在于，我們可以研究“東西”，并且不必因?yàn)椤皷|西”自身屬性的不同而改變我們的思考路徑。一旦我們明白2+2=4，我們就知道了兩個(gè)東西加上另外兩個(gè)東西會變成四個(gè)東西，不管這些東西是糖、猴子、房子還是別的什么。這就是抽象的過程：把糖、猴子、房子或別的什么，變成數(shù)字。數(shù)字是如此的基本，我們很難想象沒有它們的生活，也很難想象發(fā)明它們的過程。當(dāng)我們數(shù)數(shù)的時(shí)候，我們甚至都沒意識到自己已經(jīng)在使用抽象思維了?？葱『⒆觽兣Φ貙W(xué)算數(shù)會讓你更容易意識到這件事，因?yàn)楹⒆觽兩形催m應(yīng)這一從具體到抽象的跨越。點(diǎn)兵點(diǎn)將數(shù)字作為一種抽象形式我曾經(jīng)在一所小學(xué)里幫忙教課，在那里，我認(rèn)識了一位精力充沛的孩子?jì)寢?。她也在那所學(xué)校幫忙。她告訴我，當(dāng)別的媽媽驕傲地宣稱她們的孩子可以數(shù)到20或30時(shí)，她會感覺很沮喪。但她會立即這樣反駁：“我兒子只能數(shù)到3，但他明白3到底是什么意思?！彼f的有道理。當(dāng)一個(gè)孩子剛開始“學(xué)著數(shù)到10”的時(shí)候，他們所做的不過是學(xué)著背一首小詩，像是“小小蜘蛛兒，爬上排水管……”一般。只不過，這首小詩是這樣寫的：“1，2，3，4，5，6……”之后他們會意識到，這首詩和指東西有關(guān)，于是他們便開始隨意地一邊指東西，一邊背這首“詩”。再然后，他們意識到他們應(yīng)該在背這首詩的時(shí)候，每念一個(gè)字，就指著一樣?xùn)|西，但他們很難確保每樣?xùn)|西只被指過一次。所以當(dāng)大人問“這幅圖里有幾只鴨子”的時(shí)候，他們每次的回答都會不同。他們也可能會認(rèn)定某一個(gè)數(shù)字，比如6，然后把所有東西都數(shù)成6個(gè)，也不管鴨子到底有幾只。最后，他們意識到他們要把這首詩里的每一個(gè)字都精準(zhǔn)地對應(yīng)上一樣?xùn)|西，一字一物，不多不少。直到此時(shí)，他們才真正學(xué)會數(shù)數(shù)。這就是一種抽象化的過程，而且是一種出奇深奧的抽象化過程。試想一下做買賣但不會數(shù)數(shù)的情景?！昂?，你的每一只羊，我都用一袋谷子來交換?！比缓竽憔偷萌グ压茸雍脱蛉阂灰粚?yīng)排列在一起，以確保每只羊確實(shí)都換到了一袋谷子。后來你發(fā)現(xiàn)，在面對一群羊和好幾袋谷子的時(shí)候，一邊指著羊或谷子一邊有韻律地背一首小詩會更方便。這首詩可以是關(guān)于任何內(nèi)容的，只要你在指著羊和谷子的時(shí)候背的是同樣的詩即可。它甚至可以是“點(diǎn)兵點(diǎn)將”（“Eenymeenyminymoe”）這樣毫無意義的詩。最后，你創(chuàng)作了一首各方面都很合適的詩，并在每次做買賣的時(shí)候都堅(jiān)持使用這首詩，一勞永逸地解決了所有的問題。于是突然間，你創(chuàng)造了數(shù)字。這就是我們在“學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)”的過程中不曾留意的抽象化過程。由此我們也知道了，簡單地學(xué)習(xí)背誦“1、2、3、4……”這首詩與理解如何用它來數(shù)數(shù)是截然不同的兩件事。嬰兒和洗澡水小心別扔掉太多每個(gè)人都知道，嬰兒和洗澡水不能一起倒掉。當(dāng)我們到處簡化和理想化我們的問題情境時(shí)，我們必須很小心地避免過度簡化——我們不能把研究對象簡化到讓它們失去了其所有有用的特性。比如，當(dāng)我們在搭樂高積木時(shí)，我們可以忽略它們的顏色，但我們不能忽略它們的大小，因?yàn)榉e木的大小會影響我們具體要怎么搭。但如果我們只是用樂高積木來數(shù)數(shù)，那么尺寸就是可以忽略的。決定忽略哪些特點(diǎn)主要取決于我們討論的情境。這個(gè)重要的話題我們之后會再來探討。對于范疇論而言，情境非常重要。假設(shè)你要規(guī)劃100人的出游活動，為此你需要租幾輛小巴。已知每輛小巴可以坐15人，那么你一共需要租多少輛小巴呢？簡單來說，你需要計(jì)算的是：100÷15≈6.7而得到這一結(jié)果后，你還要進(jìn)一步考慮具體的情境：你不可能租0.7輛小巴，所以為了將所有人包括在內(nèi)，你需要將結(jié)果“五入”為7輛小巴。那么再看看這個(gè)情境。你想給朋友郵寄一些巧克力，一張平信郵票最多可以用來寄100克物品。已知每塊巧克力是15克，那么你一共可以寄多少塊巧克力呢？同樣，你需要計(jì)算的是：100÷15≈6.7你得到了同樣的結(jié)果，但這次的情境與上一次不同：你不可能寄0.7塊巧克力，所以為了不超出預(yù)算，你需要將結(jié)果“四舍”為6塊巧克力。心碎抽象作為簡化曾經(jīng)，在經(jīng)歷了一次令我心碎的悲慘事件后，我好心的朋友們?yōu)榱四芨玫亍袄斫狻蔽?，開始不斷地詢問我各種關(guān)于此事的細(xì)節(jié)，而這一舉動只讓我感到越來越厭煩。最后，一個(gè)聰慧的朋友對我說：“其實(shí)這件事很簡單。你失去了你所愛的某樣?xùn)|西?！边@就是任何人需要知道的關(guān)于此事的情況。然后，她成功地將我的注意力轉(zhuǎn)移到探討將事物簡單化而非復(fù)雜化是一項(xiàng)多么明智的行動，即便有些人會覺得這樣做讓你看起來很蠢?！昂唵位焙汀斑^度簡化”有一個(gè)微妙的差別：后者意味著你想錯(cuò)了，而且忽略了重要的問題。那位朋友的智慧就是一種抽象，她將心碎的本質(zhì)提煉出來了?？瓷先?，抽象好像會帶著你逐步遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)，但實(shí)際上，它會帶領(lǐng)你逐步貼近事物的本質(zhì)或核心。要抵達(dá)核心，你就必須剝離衣服、皮肉和骨頭。路標(biāo)抽象作為對事物理想模式的研究路標(biāo)也是一種抽象形式。它們并不會為你細(xì)致地描繪路途中可能出現(xiàn)的各種情境，而是會描繪一種理想化的情境，并凸顯該情境的核心特征。比如，不是所有的弓形橋都長成下面這樣：但這個(gè)路標(biāo)概括出了弓形橋的本質(zhì)特征。同理，不是所有過馬路的孩子都長成下面這樣：但此類簡化的優(yōu)點(diǎn)是顯而易見的。當(dāng)你在開車的時(shí)候，看懂路標(biāo)比讀懂一句話要快得多；而且，路標(biāo)也能讓不熟悉當(dāng)?shù)卣Z言的外國人更容易理解。而路標(biāo)的缺點(diǎn)是，在你剛開始學(xué)習(xí)開車的時(shí)候，你必須先弄懂種種稀奇古怪的路標(biāo)都是什么意思?？傆幸恍┞窐?biāo)要比另一些路標(biāo)更容易看懂。比如下圖左邊這種就比右邊這種貼近現(xiàn)實(shí)許多：上圖右邊這個(gè)“禁止入內(nèi)”的路標(biāo)就非常抽象。它看起來完全不像它所代表的意思。（“禁止入內(nèi)”看起來應(yīng)該像什么樣子呢？）但在現(xiàn)實(shí)生活中，它的作用更重要——你在你的駕駛生涯中遇到的“禁止入內(nèi)”的路標(biāo)想必要遠(yuǎn)多于“有鹿出沒”的路標(biāo)。數(shù)學(xué)的抽象化過程的弊端之一就是，你需要用到一大堆稀奇古怪的符號。其原因與上述情況類似：一旦你明白了這些符號的意思，它們使用起來就會變得很方便，從而你可以將更多的腦力集中用于攻克更為復(fù)雜和重要的數(shù)學(xué)問題。符號的使用也使數(shù)學(xué)可以跨越語言——你可能會驚訝地發(fā)現(xiàn)，讀一本用某種你不懂的外語寫成的數(shù)學(xué)書并沒有那么困難。數(shù)學(xué)里最為基本的“古怪符號”就是我們經(jīng)常見到的運(yùn)算符號：+、-、×、÷、=。一旦你熟悉了這些符號，讀懂“2+2=4”就會比讀懂“二加二等于四”簡單、快捷許多。而當(dāng)你所學(xué)到的數(shù)學(xué)越來越復(fù)雜，其所涉及的符號也會變得越來越復(fù)雜，就比如下面這些：Σ，?，∮，，，……我不打算解釋這些復(fù)雜符號的意義，我只是想舉個(gè)例子。就像路標(biāo)一樣，以符號為主要語言的數(shù)學(xué)一開始看上去的確很難理解，但長遠(yuǎn)來看，符號起到了重要的簡化作用。谷歌地圖用地圖指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)的困難讀懂地圖為什么不容易？看懂地圖不難，難的是將地圖與實(shí)際路況一一對應(yīng)，讓地圖發(fā)揮效用。地圖是對現(xiàn)實(shí)的抽象，它選擇了現(xiàn)實(shí)的某些方面進(jìn)行描述，為的是讓你更容易找到你要找的地方。在實(shí)際應(yīng)用中，困難存在于抽象與現(xiàn)實(shí)之間的轉(zhuǎn)化，也就是在地圖和你要找的地方之間建立聯(lián)系。谷歌地圖提供了一種將抽象轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)的便捷之路，它是通過谷歌街景和全球定位系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的。通常，在地圖使用中，最難弄明白的是：你在哪里？你面朝什么方向？這兩點(diǎn)是地圖和現(xiàn)實(shí)之間的重要連接點(diǎn)。全球定位系統(tǒng)能幫你弄清楚你在哪里，而谷歌街景則能為你提供一張關(guān)于你所在之地的現(xiàn)實(shí)場景照片，讓你弄清楚自己面朝什么方向。數(shù)學(xué)也必須經(jīng)由這幾個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn)。首先，你需要提煉現(xiàn)實(shí)。然后，你需要在抽象的世界進(jìn)行邏輯推理。最后，你需要把這些抽象的東西再應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去。不同的人擅長這個(gè)過程中的不同步驟。整個(gè)過程最核心的部分就是游刃有余地在抽象和現(xiàn)實(shí)之間穿梭，而要做到這一點(diǎn)，就必須先有人來畫一張地圖。比如，你有一個(gè)8英寸方形蛋糕的食譜，而你現(xiàn)在想做一個(gè)圓形蛋糕。那么，你應(yīng)該使用什么尺寸的圓形模具呢？首先，你需要將這個(gè)實(shí)際生活問題抽象化為數(shù)學(xué)語言：我們想找到一個(gè)與這個(gè)已知的正方形（8×8=64）面積相同的圓形。圓形的面積是πr2，r是半徑。如果我們用d來表示圓形的直徑（因?yàn)榈案饽＞叩拇笮⊥ǔＪ怯弥睆蕉前霃絹肀硎镜模?，那么我們就需要此直徑滿足：現(xiàn)在，我們需要進(jìn)行邏輯推理，用代數(shù)運(yùn)算來確定d是多少。（就整個(gè)問題解決過程而言，只有這一步涉及真正的數(shù)學(xué)。）最后，我們需要把得到的結(jié)果應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中去。首先，我們不需要那個(gè)負(fù)數(shù)解，因?yàn)槲覀冊谟懻摰氖堑案饽＞撸越獗仨毷钦龜?shù)。其次，我們不需要那么多小數(shù)點(diǎn)，因?yàn)榈案饽＞叩某叽缤ǔＪ怯谜麛?shù)來表示的。綜上所述，我們需要的那個(gè)現(xiàn)實(shí)答案是9英寸的圓形蛋糕模具。數(shù)學(xué)以及使用地圖的關(guān)鍵就在于針對不同情境進(jìn)行不同程度的抽象。當(dāng)你在看某條街的地圖時(shí)，你需要地圖顯示出這條街上所有樓房的照片嗎？你需要知道哪里有草地，而哪里沒有嗎？答案取決于你準(zhǔn)備用地圖來做什么，對于不同的情況，你需要的地圖也不一樣。如果你在開車，你就需要知道哪些路是單行道，但如果你在步行，這條信息就不重要了。在數(shù)學(xué)里也是如此，不同的情境需要不同程度的抽象。數(shù)字1是什么？回答這個(gè)問題有兩種方法，它們分別是兩種不同程度的抽象。第一個(gè)回答：1是數(shù)數(shù)的基本單元。第二個(gè)回答：1是唯一一個(gè)其他數(shù)字乘以它之后不會發(fā)生變化的數(shù)字。這兩個(gè)答案在不同的情境下都是有意義的。當(dāng)我們需要做加法的時(shí)候，第一個(gè)答案就很有用；在數(shù)學(xué)里，這個(gè)答案相當(dāng)于將數(shù)字定義為一個(gè)“群”——一個(gè)我們可以做加法的世界。而當(dāng)我們想討論乘法的時(shí)候，第二個(gè)概念就很有用了；這個(gè)答案相當(dāng)于將數(shù)字定義為一個(gè)“環(huán)”——一個(gè)我們既可以做加法也可以做乘法的世界。關(guān)于群的研究與圖形的對稱性相關(guān)，關(guān)于環(huán)的研究與圖形的其他幾何學(xué)特性有關(guān)。我們稍后會繼續(xù)討論這個(gè)問題。不合適的地圖會讓人沮喪，因?yàn)樗鼈儾皇翘唧w就是太不具體。（比如，我就不喜歡那些會顯示樓房三維照片的地圖，它們太過具體，會阻礙人們分辨街道的走向。）在數(shù)學(xué)中也是如此。如果你把某種過于復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念或方法應(yīng)用到一個(gè)并不真正需要它的情境中，你就會覺得這種數(shù)學(xué)概念或方法毫無意義。這就好比用杜威十進(jìn)制分類法來給你僅有的20本書歸類一樣。跳高抽象的跳高我上學(xué)的時(shí)候很不擅長跳高。當(dāng)然，我早就說過自己不擅長各種運(yùn)動，但跳高是我尤其不擅長的一項(xiàng)，我甚至跳不過最矮的那根桿。問題是，沒有人教我怎么才能跳過最矮的那根桿。我記得班上的一部分同學(xué)好像天生就會跳，而其他不會跳的人則被告知再試一次，再試一次，再試一次。但是當(dāng)你在眾人面前反復(fù)幾次碰掉橫桿的時(shí)候，你會忍不住失去希望并放棄嘗試。思考越來越抽象的概念與跳高多少有些類似。你必須跳過被放置得越來越高的橫桿。而如果在最開始沒有人給你解釋如何才能跳過去的話，你就會一直碰掉橫桿，直至放棄嘗試。不同的人會在不同的“高度”達(dá)到自己的抽象極限，就像在跳高中，橫桿每提高一次就會有一部分人失敗退出。從具體事物到數(shù)字的抽象對許多人來說并不困難，他們甚至都沒有意識到自己進(jìn)行了這樣的抽象轉(zhuǎn)換。讓不少人覺得難以逾越的第一道橫桿很可能是從數(shù)字到變量x和y的轉(zhuǎn)換。他們不會進(jìn)行這種轉(zhuǎn)換，也不理解這種轉(zhuǎn)換的意義，因此他們在數(shù)次失敗的嘗試后選擇了放棄。（就像我始終不理解跳高的意義一樣。但現(xiàn)在，我明白了背越式跳高是一種能使你的身體以一種優(yōu)雅的姿態(tài)越過橫桿的有效方式。如果當(dāng)時(shí)有人告訴我，完成一次跳高甚至不需要讓你的身體重心越過橫桿，我應(yīng)該會對跳高更感興趣。）另一個(gè)很多人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中會遇到的瓶頸是微積分——一種全新的、奇怪的，甚至可以說是狡猾的運(yùn)算和推理“無窮小”的事物的方法。一部分人通過了嚴(yán)格微積分的考試，但仍然不幸在數(shù)學(xué)本科階段或博士階段遇到了瓶頸。大多數(shù)人只會在大學(xué)的數(shù)學(xué)課上學(xué)到嚴(yán)格微積分。人們認(rèn)為它難，是因?yàn)樗环先藗兺ǔＫ斫獾臄?shù)學(xué)——確切地描述及闡釋事物并給出高度確定性的答案。中學(xué)里的微積分通常會用于解決某些具體問題，比如：“如果你畫出了y=x2的函數(shù)圖像，那么x=0到x=2之間曲線下陰影部分的面積是多少？”在中學(xué)里，老師會教我們這樣求解：“對x2進(jìn)行積分后得到x3/3，然后代入x=2，得出解為8/3?！钡诖髮W(xué)里，我們需要做的是證明這個(gè)計(jì)算過程的有效性。在中學(xué)，我們通常會用一種實(shí)驗(yàn)性的方法給出證明，即在小方格紙上畫出函數(shù)圖，再數(shù)一數(shù)陰影部分有多少個(gè)小方格。因?yàn)榭倳幸恍┬》礁駴]有被陰影填滿，所以只有當(dāng)小方格無窮小的時(shí)候，我們才能得出真正精確的答案。嚴(yán)格微積分將計(jì)算陰影面積的論證過程納入滴水不漏的邏輯分析，這反而讓人們更加困惑，因?yàn)樗鼪]有以人們期待的那種方式給出一個(gè)確切的答案。相反，它給出的回答是：畫著無窮小的小方格的紙是不存在的，因此當(dāng)我們用方格越來越小的紙畫函數(shù)圖時(shí)，我們會發(fā)現(xiàn)陰影面積的數(shù)值越來越接近8/3。進(jìn)而我們可以證明，無論我們希望這個(gè)數(shù)值有多接近8/3，總有一個(gè)尺寸的小方格可以滿足我們的要求。資深的數(shù)學(xué)學(xué)者可能會遇到的一個(gè)抽象瓶頸則是范疇論。他們遇到這個(gè)困難時(shí)的反應(yīng)就和中學(xué)生遇到x和y時(shí)的反應(yīng)一樣——他們不理解為什么要這么做，并且拒絕進(jìn)一步的抽象。每到這時(shí)，我就會想起約翰·拜艾茲（JohnBaez）教授在國際范疇論論壇上談到抽象時(shí)提出的觀點(diǎn)：如果你不喜歡抽象，那你為什么還要研究數(shù)學(xué)呢？也許你該去金融行業(yè)，畢竟，那里所有的數(shù)字前面都有一個(gè)美元符號。目前來看，我暫時(shí)還沒有遇到我無法突破的抽象瓶頸，但我仍然記得我曾遇到過的幾次重大挑戰(zhàn)，在那些時(shí)刻，我總覺得自己必須奮力一搏才能越過面前的橫桿。從數(shù)字到圖像我母親教會了我如何畫x2的函數(shù)圖，就像這樣：我清晰地記得自己對于數(shù)字的取平方過程竟然可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)曲線圖像這件事的極度困惑。我坐在家里的綠色大扶手椅上想啊想，想到我的大腦都快要從頭骨里面跳出來了。在我的記憶里，這就是我每一次在做研究時(shí)遇到一個(gè)很難理解的數(shù)學(xué)概念時(shí)的真實(shí)感受。從數(shù)字到字母我很擅長解包含變量x的方程式，比如：2x+3=7我知道我可以將這個(gè)方程式進(jìn)行如下變換：然而，當(dāng)我第一次遇到一個(gè)包含a、b和c而非數(shù)字的方程式時(shí)，例如：ax+b=c我清晰地記得自己完全想不出來該怎樣解出這個(gè)方程式的x等于多少，因?yàn)槲腋緹o從知道a、b和c分別是多少。我知道應(yīng)該在等式的兩邊同時(shí)減去b，但我不知道減去b之后，等式的右邊該寫什么。我還記得，當(dāng)有人告訴我等式的右邊應(yīng)該是c-b的時(shí)候，我感覺自己好傻。為什么我就沒想到這個(gè)答案呢？所以，這個(gè)方程式的解是：就像我總跟我的學(xué)生們說的那樣，當(dāng)你因?yàn)橹皼]有搞懂一件事而覺得自己很傻的時(shí)候，這種心情恰恰說明，你現(xiàn)在比當(dāng)時(shí)更聰明了。從數(shù)字到關(guān)系我印象中最近的一次突破抽象瓶頸，是我剛開始學(xué)習(xí)范疇論的時(shí)候。為了敘述的完整性和趣味性，我還是先來說明一下這個(gè)抽象概念是什么吧——“只包含一個(gè)對象的范疇就是幺半群”。盡管笑吧，但這就是當(dāng)時(shí)讓我困惑不已的那個(gè)概念。我連續(xù)幾天都在思考這個(gè)概念，再一次感覺到我的大腦快從頭骨里面跳出來了，仿佛回到了第一次看到曲線圖像的時(shí)候。而現(xiàn)在，只有一個(gè)對象的范疇就是幺半群這個(gè)概念對我而言已經(jīng)是一個(gè)理所當(dāng)然的事實(shí)，所以我也知道，我肯定比當(dāng)時(shí)更聰明了?，F(xiàn)在就來解釋這個(gè)例子的含義還為時(shí)尚早，我會在本書的第二部分探討這個(gè)問題。我們之后會談到，范疇論研究的是事物之間的關(guān)系，一個(gè)范疇就是一個(gè)研究這些關(guān)系的數(shù)學(xué)情境。一個(gè)幺半群也是一個(gè)數(shù)學(xué)情境，只不過其涉及的研究對象是更具體的東西，比如數(shù)字及類似事物的乘法?！爸挥幸粋€(gè)對象的范疇就是幺半群”這一概念呼應(yīng)了將數(shù)字看作世界與自己之間的關(guān)系的觀點(diǎn)。我知道這聽上去有些怪異，但這一理解方式對明白這個(gè)概念的含義非常重要。下金蛋的鵝制造解決問題的機(jī)器我們都希望找到制造金蛋的方法，但如果我們能找到直接“制造”一只下金蛋的鵝的方法，那就更好了——一個(gè)下金蛋的鵝的制造機(jī)。更進(jìn)一步，如果我們能制造一個(gè)專門用來制造上面這種機(jī)器的機(jī)器，豈非更佳？一個(gè)制造下金蛋的鵝的機(jī)器的機(jī)器。這就是一種抽象：制造機(jī)器來做某件事，而不是直接去做某件事。這種做法的目的是節(jié)省人力和腦力，讓人類只需要負(fù)責(zé)思考那些機(jī)器做不到的事情。要制造一臺機(jī)器去做本來由人來做的工作，你首先需要做到在不同的層面上對這項(xiàng)工作有所理解。當(dāng)你走在一個(gè)你很熟悉的地方時(shí)，你不會去想你正在什么街道上走路，或者在哪個(gè)路口、什么時(shí)候需要轉(zhuǎn)彎，你只需要跟著自己的直覺走就好。但如果你要告訴別人該怎么走，你就需要更仔細(xì)地分析這條路你具體是怎么走的，以便解釋給別人聽。也許你也有過這樣的經(jīng)歷：當(dāng)你向當(dāng)?shù)厝舜蚵犇硹l街道具體在哪里時(shí)，他們往往回答不上來，原因就在于，當(dāng)你走在你自己家鄉(xiāng)的街道上時(shí)，你并不會特地去想這些街道的名字。學(xué)習(xí)外語也是如此。當(dāng)你學(xué)習(xí)的是自己的母語時(shí)，你通常不會去思考它的具體使用規(guī)則——你會本能地模仿你周圍的大人。而當(dāng)你長大成人，某個(gè)外國人問起關(guān)于你的母語中一些讓他難以理解的部分時(shí)，你就不得不回過頭去以一種完全不同的方式分析自己究竟是如何使用這種語言的。如果你想要制造一臺做蛋糕的機(jī)器，你就必須把制作蛋糕的每個(gè)步驟分析得清清楚楚，這樣你才能弄明白該如何讓機(jī)器去完成這個(gè)任務(wù)。即便只是打雞蛋也需要進(jìn)行認(rèn)真的分析——我們是怎么知道該用多大的力氣把雞蛋磕到碗上的呢？前文中的解方程就是此類機(jī)器的一個(gè)例子。首先，我們需要學(xué)習(xí)怎么解這種方程：2x+3=7然后，我們要做的是發(fā)明一個(gè)“機(jī)器”來解這種方程，也就是說，我們要解的是下面這個(gè)方程：ax+b=c因?yàn)槠渲械腶、b和c可以是任意數(shù)字。我們還可以試著用類似的方法得到一元二次方程的通解，即解出下面這個(gè)方程：ax2+bx+c=0然后，我們就會得到解決此類問題的機(jī)器所給出的那個(gè)經(jīng)典答案：更進(jìn)一步，為了發(fā)明出能制造這些解方程機(jī)器的機(jī)器，我們就需要理解“代數(shù)基本定理”（fundamentaltheoremofalgebra）：任何一個(gè)一元復(fù)系數(shù)方程都至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。我們在后文中會對這個(gè)定理進(jìn)行解釋。切蛋糕一個(gè)關(guān)于抽象的例子我還記得第一次做英國中等教育普通證書（GCSE）資格考試的數(shù)學(xué)考試題時(shí)的一道題目。那道題是關(guān)于在給定可以切的刀數(shù)時(shí)，能把蛋糕切成最多塊的方法的。很顯然，如果你只能切一刀（直線），你就只能得到兩塊蛋糕，如果你只能切兩刀，那么你最多只能得到四塊蛋糕。但是如果你可以切三刀、四刀，甚至更多的刀數(shù)呢？切三刀得到最多塊蛋糕的方法如下所示，使用這種切法，你可以切出7塊蛋糕。對于這個(gè)問題，你的第一反應(yīng)也許和我的一樣：這個(gè)問題好傻，誰會這樣切蛋糕？這樣切出來的蛋糕都是不同形狀的，完全沒有意義。對于切蛋糕來說，真正重要的是什么？是最多能切多少塊，還是切出來的蛋糕大小形狀是否平均？現(xiàn)在，讓我們暫且不去考慮蛋糕大小形狀的問題，而是嘗試著通過這個(gè)切三刀、四刀……的實(shí)驗(yàn)，得到一個(gè)公式，用以在給定刀數(shù)的情況下計(jì)算出能切的最多塊數(shù)。也就是說，我們的目的不在于解決這個(gè)具體的問題，而在于研發(fā)一種機(jī)器，用于解決這一類的問題。這就是我們學(xué)到的那些含有x、y以及其他東西的公式的本質(zhì)——一臺機(jī)器。如果我們有了這樣一臺機(jī)器，我們就可以把給定的刀數(shù)輸入這臺機(jī)器，然后，這臺機(jī)器就會給出一個(gè)答案：你能切出來的蛋糕的最多塊數(shù)。一個(gè)公式甚至比一臺機(jī)器還要更好：它能告訴你它所代表的那臺機(jī)器是怎么工作的，而非僅僅作為一個(gè)神秘的黑匣子出現(xiàn)。所以，如果這個(gè)公式告訴你，問題的答案是：它的意思就是，我們可以把x替換成給定的刀數(shù)，代入具體數(shù)值后計(jì)算出的結(jié)果就是能切出來的蛋糕的最多塊數(shù)。同樣，這也是一種抽象，因?yàn)槟悴⒉皇窃诮鉀Q某個(gè)具體的問題，而是在討論一個(gè)假設(shè)的問題。你并不是真的在解決問題，而是在想如何解決問題。除了寫出公式本身外，你也可以把所有可能的答案列成一張表，如下所示：你不可能把這張表真的“寫完”，在某個(gè)時(shí)候，你不得不停下來，因?yàn)榧埐粔蛴?，你的時(shí)間也不夠用。但公式則不同，它不會“停止”——它是一個(gè)可以給出任意給定刀數(shù)下你能得到的蛋糕塊數(shù)的最大值的機(jī)器。也許你不需要準(zhǔn)備中等教育普通證書的考試，但也許你的孩子們要準(zhǔn)備這個(gè)考試，而你需要為他們提供輔導(dǎo)。你輔導(dǎo)他們，但你并不會代替他們參加這個(gè)考試。所以，這也是一個(gè)元問題——我們要做的不是真的去解決這個(gè)問題，而是試圖找到讓別人能夠解決這個(gè)問題的方法。教書與此有異曲同工之妙，因?yàn)槟悴⒉皇侵苯痈嬖V學(xué)生們問題的答案，而是試著教會他們自己找到答案——這與你自己直接回答這個(gè)問題隔了一層。培訓(xùn)老師又是更上一層的抽象了。以此類推，接下來的一個(gè)問題就是，誰來培訓(xùn)這些培訓(xùn)老師的人？做蛋糕并不需要耗費(fèi)多少腦力，但發(fā)明一種新的蛋糕烹飪方法就不一樣了，你需要變得比之前更聰明一些。發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的數(shù)字顯然已經(jīng)不是一件多么“有趣”的事，因?yàn)槲覀円呀?jīng)知道給出所有新數(shù)字的方法了。如果你找到了治愈癌癥的方法，卻只是一個(gè)病人一個(gè)病人地進(jìn)行治療，而沒有向全世界通報(bào)這個(gè)治愈癌癥的方法，那么這簡直可以說是不道德了。所有這些關(guān)于抽象的例子確實(shí)讓我們遠(yuǎn)離了現(xiàn)實(shí)一步，但我們由此得到的是一個(gè)更廣闊的視角。如果你把一支火把放得遠(yuǎn)一些，這支火把就會照亮更大的區(qū)域——但也要注意別放得太遠(yuǎn)，因?yàn)槟菢拥脑捁饩妥兊锰盗恕３橄蟮臄?shù)學(xué)抽象是理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。抽象也是數(shù)學(xué)看起來遠(yuǎn)離“實(shí)際生活”的原因所在。這種與實(shí)際生活的疏遠(yuǎn)正是數(shù)學(xué)發(fā)揮其優(yōu)勢的地方，同時(shí)也是它的局限性所在。每一層次的抽象都使得數(shù)學(xué)更加遠(yuǎn)離實(shí)際生活，也使得解釋它與實(shí)際生活的關(guān)聯(lián)變得更加困難，因?yàn)檫@種關(guān)聯(lián)有一種多米諾骨牌效應(yīng)——抽象的數(shù)學(xué)也許不能直接應(yīng)用于實(shí)際生活，但它可以間接地應(yīng)用在另一種事物上，而那種事物可以直接應(yīng)用于實(shí)際生活。這樣的應(yīng)用鏈可以包含好幾節(jié)，比如：范疇論→拓?fù)鋵W(xué)→物理學(xué)→化學(xué)→醫(yī)藥抽象是理解為什么數(shù)學(xué)與普遍意義上的科學(xué)有所不同的關(guān)鍵。對以實(shí)證為基礎(chǔ)的科學(xué)來說，證據(jù)總是最重要的。首先你需要提出一個(gè)“假設(shè)”——一個(gè)你覺得可能正確的理論，不論這個(gè)理論是源自觀察、直覺、懷疑、偶然見聞還是其他。然后，你需要通過尋找符合科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的證據(jù)來嚴(yán)格檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)。這些科學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)包括：?樣本量要足夠大。三四個(gè)實(shí)證性案例只能被視為“逸事證據(jù)”，很可能并不可靠。?證據(jù)必須是經(jīng)過變量控制的。你必須考慮到其他可能影響結(jié)果的因素，比如安慰劑效應(yīng)、社會經(jīng)濟(jì)因素、實(shí)驗(yàn)參與者的年齡等。?證據(jù)必須是客觀的、無偏見的。比如，藥劑實(shí)驗(yàn)就必須被設(shè)計(jì)為“雙盲試驗(yàn)”，也即主試和被試都不知道他們拿到的藥劑到底是真正的實(shí)驗(yàn)藥物還是安慰劑。最后，你得到的結(jié)果必須符合統(tǒng)計(jì)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。你可能得到了一大堆非常有說服力的證據(jù)，但你的最終結(jié)論總是需要附帶一個(gè)表示該結(jié)論確定性的百分比。數(shù)學(xué)則與此不同。數(shù)學(xué)研究的第一步與其他科學(xué)沒什么不同——提出一個(gè)你認(rèn)為正確的假設(shè)。但接下來就不一樣了，我們不再使用實(shí)證性的方式來嚴(yán)格檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)，而是使用邏輯來嚴(yán)格檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)。此處的“嚴(yán)格”就其定義而言與一般科學(xué)意義上的“嚴(yán)格”完全不同。它與樣本大小無關(guān)，因?yàn)閿?shù)學(xué)研究并不涉及任何樣本，而只關(guān)乎思考、推演的過程。主觀感覺也不會影響這個(gè)過程，因?yàn)槲覀兯龅闹皇菓?yīng)用邏輯規(guī)則而已。打個(gè)比方，假設(shè)你想弄清楚要完全覆蓋某尺寸的蛋糕表面需要多少糖霜這個(gè)問題。你可以直接做個(gè)實(shí)驗(yàn)——烤一個(gè)蛋糕，加上糖霜，然后看看你一共用了多少糖霜?；蛘?，你也可以用邏輯進(jìn)行推理——做一個(gè)關(guān)于蛋糕表面積的計(jì)算。要計(jì)算這個(gè)蛋糕的表面積，你需要先對蛋糕的形狀進(jìn)行模擬——比如，你可能需要假設(shè)它的表面是一個(gè)完全規(guī)則的圓形，且表面是完全平滑的。當(dāng)然，實(shí)際生活中并不存在完全規(guī)則的圓形和完全平滑的蛋糕。但這個(gè)方法的好處在于，你不需要真的去做一個(gè)蛋糕才能弄明白具體需要多少糖霜。使用邏輯推理來代替實(shí)驗(yàn)有許多好處。實(shí)驗(yàn)可能不切實(shí)際假設(shè)你現(xiàn)在想知道的是蓋一座房子需要多少塊磚。顯然，為了弄清楚這個(gè)問題而專門蓋一座房子是不切實(shí)際的。與此類似，假如你想弄明白的是改變一條公路的路線會如何影響交通流量呢？實(shí)驗(yàn)可能過于危險(xiǎn)假如你想知道的是一座橋可以承受的最大運(yùn)載量呢？顯然，你不可能讓很多的車輛駛上橋面，然后觀察橋會在什么時(shí)候崩塌。實(shí)驗(yàn)可能無法實(shí)施假如你想知道的是為什么太陽每天都會升起來，或者為什么行星的運(yùn)行軌跡是這樣而不是那樣的呢？你顯然不可能改變外太空的狀況，然后看看行星會不會改變運(yùn)行軌跡。實(shí)驗(yàn)可能會引發(fā)災(zāi)難假如你想知道的是某種傳染病是如何傳播的呢？顯然，你不可能在人群中散播這種疾病的傳染病菌，然后看看它是如何傳播的，因?yàn)檫@正是你想避免的事情。實(shí)驗(yàn)可能是不道德的在我寫作本書的時(shí)候，我聽說有人提出了撲殺獾可以減少牛群肺結(jié)核感染率的主張。但是，我們該怎樣檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)呢？通過殺死很多獾來看看結(jié)果如何真的合乎道德嗎？在以上這些情況中，邏輯推理顯然要更勝于實(shí)驗(yàn)論證。前者最重要的優(yōu)勢在于，借助邏輯推理，你所得出的結(jié)論不僅僅是“幾乎肯定是正確的”，更是完全不可辯駁的。邏輯是如何運(yùn)作的？邏輯性論據(jù)包含一系列的主張，其中的每一個(gè)判斷都是完全依據(jù)邏輯由上一個(gè)判斷推導(dǎo)出來的。這很好理解，但問題在于，第一個(gè)判斷從何而來？例如，你可以假設(shè)你的蛋糕表面是完全規(guī)則的圓形。你可以假設(shè)一個(gè)攜帶傳染病菌的人遇到另一個(gè)人后將這種疾病傳染給對方的概率是50%。這些基礎(chǔ)的假設(shè)構(gòu)成了抽象過程的一部分。它們通常會涉及對實(shí)際生活中的事物的理想化，由此你就可以運(yùn)用邏輯對它們進(jìn)行推理。這種做法的弊端在于，經(jīng)過理想化的事物與實(shí)際生活中的事物不完全相同；而它的優(yōu)勢在于，在完成了理想化處理之后，你就可以運(yùn)用邏輯來分析它們并得出結(jié)論了。你得到的最終結(jié)果的不準(zhǔn)確之處就源于你最初對實(shí)際問題進(jìn)行抽象化處理的過程中所丟掉的信息。這與統(tǒng)計(jì)結(jié)果截然不同，因?yàn)楹笳叩牟粶?zhǔn)確之處在于，雖然有證據(jù)支持你的假設(shè)，但你的假設(shè)仍然有很小的概率是錯(cuò)的。采用數(shù)學(xué)的方法（與之相對的是通常人們所說的“科學(xué)的方法”）要求你必須清晰地陳述你的假設(shè)是什么。人們可以不同意你的假設(shè)，但是他們不能不同意你的結(jié)論，也就是說：如果我們做了這樣的假設(shè)，那么由此假設(shè)推導(dǎo)出的這個(gè)結(jié)論就是正確的。例如，如果一只雞夠10個(gè)人吃，那么兩只雞就夠20個(gè)人吃。你可以不同意一只雞夠10個(gè)人吃這一假設(shè)（也許不夠10個(gè)人吃，除非是某種轉(zhuǎn)基因巨型雞），但你不能不同意這個(gè)結(jié)論：如果一只雞夠10個(gè)人吃，那么兩只雞就夠20個(gè)人吃。但這個(gè)結(jié)論還是存在一個(gè)可能的漏洞：所有的雞都一樣大嗎？我們也許可以加上“所有的雞大小都差不多”這條假設(shè)以確保這個(gè)問題可以用數(shù)學(xué)解答。這是一個(gè)不切實(shí)際的假設(shè)嗎？如果你要給一個(gè)40人的聚會訂烤雞，那么你很有可能需要做類似的運(yùn)算，即便每只雞的大小并不是完全一樣的。當(dāng)然，你也可以用實(shí)驗(yàn)的方法來解決這個(gè)問題：也許你可以依賴餐飲服務(wù)商的經(jīng)驗(yàn)，理論上他們擁有足夠多的聚會餐食供應(yīng)經(jīng)驗(yàn)，知道你應(yīng)該訂多少只雞。抽象之所以讓人覺得難以理解，是因?yàn)樗鼛覀冸x開了具體事物的世界，而進(jìn)入只存在于頭腦中的“概念”的世界。但有一些抽象概念我們已經(jīng)十分熟悉了，因而我們不再能意識到它是一種抽象。打個(gè)比方，如果我們開始思考一般的雞有多大這個(gè)問題，我們事實(shí)上就已經(jīng)在進(jìn)行抽象思考了：一只“一般的雞”并不是一只具體的雞，而是一個(gè)關(guān)于雞的概念。還有我之前提到的，數(shù)字也是一種抽象。數(shù)字1、2、3、4……只是一些概念。也正是因?yàn)樗鼈兪歉拍?，我們才得以使用純粹的邏輯推理來處理它們。抽象的美妙之處在于，在你對某個(gè)抽象概念已經(jīng)非常熟悉了以后，它似乎就變成了一個(gè)具體的事物，而不再是一個(gè)想象出來的概念。你也許已經(jīng)很習(xí)慣“2”這個(gè)概念，這意味著你已經(jīng)適應(yīng)了這種程度的抽象。而對于“-2”這個(gè)概念，你可能就沒有那么習(xí)慣了。那么2的平方根呢？這是一個(gè)自己乘以自己等于2的數(shù)字。但它到底是什么呢？你也許會說它是1.414…，但這是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)——你沒辦法把整個(gè)數(shù)字寫出來，如此一來你該如何知道它到底是什么呢？那么-1的平方根呢？我們稍后會進(jìn)一步探討這些問題，并說明為什么對于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)來說，2的平方根比-2的平方根更復(fù)雜，甚至比-1的平方根更復(fù)雜，雖然直覺上我們會認(rèn)為-1的平方根更難理解，因?yàn)椤艾F(xiàn)實(shí)生活”中并不存在與此對應(yīng)的實(shí)際事物。抽象這一過程多少有些類似于運(yùn)用你的想象力。數(shù)學(xué)的抽象帶領(lǐng)我們進(jìn)入一個(gè)想象的世界，在這里，任何事情都有可能發(fā)生，只要它的存在不是自相矛盾的。你能想象透明的樂高積木嗎？這并不是很難。那么軟軟的像橡皮泥一樣的樂高積木呢？這就有些奇怪了。那么被碰到就會自動變顏色的樂高積木呢？或者四維的樂高積木？隱形的樂高積木？早上會給你煮咖啡的樂高積木？當(dāng)然，你能想象出來一樣事物，并不意味著它就能存在于實(shí)際生活中——尤其是如果你的想象力很豐富的話。而數(shù)學(xué)世界的美妙就在于，一旦你想象出一個(gè)數(shù)學(xué)概念，它就真正在這個(gè)世界中存在了。你的想象力越豐富，你就越有機(jī)會探索更多的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。另一個(gè)我們很熟悉的抽象概念是形狀。正方形是什么？它是一個(gè)包含4條相等的邊和4個(gè)相等的角的形狀。但現(xiàn)實(shí)生活中存在完美的正方形嗎？不存在。仔細(xì)考量的話，現(xiàn)實(shí)生活中的正方形都不是絕對完美的正方形。圓形也是如此。直線呢？真的存在完美的直線嗎？我想答案是否定的。不過，雖然現(xiàn)實(shí)生活中的直線不過是趨近于完美直線這個(gè)概念的近似物，但我們顯然已經(jīng)非常習(xí)慣使用這個(gè)概念了。運(yùn)用抽象來計(jì)算現(xiàn)在我來講講如何用抽象的辦法解決我們之前提出的兩個(gè)問題，這樣你就可以看出抽象化具體是怎么運(yùn)作的了。我爸爸的年齡現(xiàn)在是我的3倍，而10年以后他的年齡將會是我的2倍。那么我現(xiàn)在幾歲呢？我用x代表我的年齡，y代表我爸爸的年齡。如此，“爸爸的年齡是我的年齡的3倍”就可以寫成：y=3x到目前為止還很簡單。但“10年后他的年齡將會是我的年齡的2倍”就有些復(fù)雜了。這一步的關(guān)鍵就在于，10年之后，我的年齡將會變成x+10，他的年齡將會變成y+10；我們還知道，那時(shí)候他的年齡將會是我的2倍，也就是說：y+10=2（x+10）我們可以將第一個(gè)等式代入第二個(gè)等式，即用3x替代上面這個(gè)等式中的y，如此，我們就得到：3x+10=2（x+10）=2x+20……去掉括號做乘法運(yùn)算x+10=20……兩邊同時(shí)減去2xx=10……兩邊同時(shí)減去10所以我們得出結(jié)論：我現(xiàn)在的年齡是10歲（我爸爸的年齡為30歲）。請注意，在上述計(jì)算中，我們采用了如下幾個(gè)步驟：1.我們從一個(gè)用文字描述的“實(shí)際生活”問題入手。2.我們運(yùn)用抽象的方式將這個(gè)問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫壿嫺拍睢?.我們借助邏輯規(guī)則來處理這些抽象的概念。4.我們?nèi)∠橄螅瑢栴}的答案放回實(shí)際生活場景之中。我們還可以進(jìn)一步抽象。剛才我們所進(jìn)行的工作幫助我們解決了上述那道應(yīng)用題，但如果進(jìn)一步抽象，我們就可以解決所有類似的問題。對于剛才的題目，我們是從兩個(gè)具體的方程入手的：y=3xy+10=2（x+10）現(xiàn)在，我們可以用字母來替代那些具體的數(shù)字，這樣我們就可以解決參數(shù)為任意數(shù)字的這兩個(gè)方程了：y=a1x+b1y=a2x+b2我們原題目里的第二個(gè)方程看起來可能與這里的第二個(gè)方程并不相同，但是當(dāng)你把原方程中的y移到等式的左邊時(shí)，它就變成了：y=2x+10現(xiàn)在，由于兩個(gè)等式的右邊相同，都等于y，因此我們可以把上述兩個(gè)適用于一般情況的方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程，如下所示：a1x+b1=a2x+b2如果我們把包含x的項(xiàng)都放到同一邊，我們就得到了：除a1=a2這種特殊情況外，我們在最后一步得出的解都是有效的；而如果是a1=a2，則我們必須使b1=b2，也就是說，與y相關(guān)的兩個(gè)等式是一樣的，如此我們就沒有足夠的信息來確定x和y的具體數(shù)值了，這意味著，這個(gè)問題有無窮多的解?，F(xiàn)在我們來看另一個(gè)例子。我已經(jīng)知道覆蓋一個(gè)6英寸蛋糕的表面和側(cè)面需要用到多少糖霜了。那么，覆蓋一個(gè)8英寸蛋糕的表面和側(cè)面需要用到多少糖霜呢？我們假設(shè)兩個(gè)蛋糕的表面都是圓形，而且都有2英寸高。我們需要算出6英寸和8英寸蛋糕的糖霜覆蓋面積，看看后者比前者大多少。因?yàn)閮蓚€(gè)蛋糕的表面都是圓形的，所以直接計(jì)算半徑為r的蛋糕表面的面積相對省力，只需要代入r=3或r=4（半徑為直徑的一半）即可。以下為具體步驟：?蛋糕的表面是一個(gè)圓形，所以這個(gè)圓形的面積為πr2。?蛋糕側(cè)面的面積是它的高度乘以圓形表面的周長。圓形周長為2πr，所以蛋糕側(cè)面的表面積為2×2πr=4πr。?所以，覆蓋一個(gè)表面半徑為r的蛋糕所需的糖霜為πr2+4πr?，F(xiàn)在，我們可以用這個(gè)方法來算出覆蓋兩個(gè)不同尺寸的蛋糕分別所需的糖霜：?對于6英寸蛋糕來說，其半徑為3，所以我們需要糖霜覆蓋的總面積就是：（π×32）+（4π×3）=9π+12π=21π?對于8英寸蛋糕來說，其半徑為4，所以我們需要糖霜覆蓋的總面積就是：（π×42）+（4π×4）=16π＋16π=32π最后我們需要把這個(gè)結(jié)果轉(zhuǎn)化為一個(gè)可以直接應(yīng)用在做蛋糕上的數(shù)字。我們需要知道的是，做一個(gè)8英寸蛋糕要比做一個(gè)6英寸蛋糕多用多少糖霜，所以我們需要知道上面的第二個(gè)面積總和比第一個(gè)面積總和大多少。也即，我們需要用第二個(gè)蛋糕的面積總和除以第一個(gè)蛋糕的面積總和。?就面積總和而言，8英寸蛋糕與6英寸蛋糕的比就是：因?yàn)檫@只是一個(gè)關(guān)于覆蓋蛋糕表面需要用到多少糖霜的問題，而不是一個(gè)有關(guān)用藥劑量之類需要精確計(jì)算數(shù)值的問題，所以我們在這里取一個(gè)近似值即可：32/21大約等于1.5，也就是說，你需要依照6英寸蛋糕配方中配料的1.5倍來準(zhǔn)備，才能做好8英寸蛋糕的糖霜。在這個(gè)問題中，值得注意的是，我們做了一個(gè)假設(shè)，即蛋糕有2英寸高，所以最終的答案可能不夠準(zhǔn)確，但不準(zhǔn)確的原因只在于這個(gè)假設(shè)。所以我們最終的、無法辯駁的結(jié)論是：如果所有蛋糕都是2英寸高，那么我們就需要按原配方中配料的1.5倍準(zhǔn)備原材料。這個(gè)關(guān)于蛋糕的例子比那個(gè)計(jì)算兒子和爸爸的年齡的例子更實(shí)用一些。關(guān)于年齡的那個(gè)問題只是一個(gè)簡單的腦筋急轉(zhuǎn)彎，而關(guān)于糖霜的這個(gè)問題則是一個(gè)抽象思維在現(xiàn)實(shí)生活中幫助我們解決問題的實(shí)例。當(dāng)然，我們也可以通過實(shí)驗(yàn)的方法得出答案，比如做出一大堆糖霜來看看大一些的蛋糕會用掉多少，但那樣做很可能會造成浪費(fèi)。抽象的方法會耗費(fèi)更多的腦力，但它不會浪費(fèi)那么多的糖霜。1英寸≈2.54厘米?！幷咦?

原理會議巧克力布丁配料2個(gè)大雞蛋140克細(xì)白砂糖140克自發(fā)粉140克黃油（軟化）可可粉（用量隨意）大約7塊巧克力方法1.將黃油和細(xì)白砂糖一起攪拌成輕軟的糊狀。2.倒入雞蛋后繼續(xù)攪拌，然后倒入面粉。3.倒入可可粉直至面糊呈深棕色。4.將面糊倒入14個(gè)單獨(dú)的硅膠模具中，先裝一半滿，然后放入半塊巧克力，然后倒入更多的面糊。5.將烤箱溫度設(shè)置為180°C，烤大約10分鐘?？竞煤蟊M快吃掉。我管這個(gè)配方叫作“會議布丁”，是因?yàn)槲业谝淮巫鏊窃谝淮螘h晚宴之后，一大群數(shù)學(xué)家高高興興地涌入我的公寓，請我做一些布丁吃。我不得不在我家的廚房里拿現(xiàn)有的材料進(jìn)行即興創(chuàng)作。幸運(yùn)的是，我總是在廚房里備有很多的巧克力。如此，我就可以參照烤蛋糕的基本原理來制作布丁了。同等分量的雞蛋、面粉、黃油和糖就是一個(gè)不錯(cuò)的起點(diǎn)——我知道有很多其他的蛋糕配方非常復(fù)雜，但我們沒必要把它們用在這里，不是嗎？大多數(shù)人都喜愛巧克力，而且放一些巧克力在布丁中間會讓布丁內(nèi)餡兒變得柔軟黏稠，而這種溫?zé)?、黏稠的?nèi)餡兒帶來的味覺快感會淡化人們對布丁其他部分的注意。重點(diǎn)在于，如果你理解了一個(gè)過程背后的原理，而不是只記住整個(gè)過程，你就能更有效地控制這個(gè)過程，而一旦出現(xiàn)問題，你也可以更有效地進(jìn)行解決，并且可以更好地調(diào)整整個(gè)過程的部分環(huán)節(jié)，以使這個(gè)“配方”適用于不同的目的。除此之外，在面臨極端情況（如缺少配料、器具損壞或喝醉酒身體不適……）的時(shí)候，你也能應(yīng)對得更加游刃有余。在醉酒的時(shí)候烘焙如何應(yīng)對極端情況在醉酒的時(shí)候開車很危險(xiǎn)，這種做法在任何時(shí)候都是應(yīng)該避免的。不過，在醉酒的時(shí)候烘焙則很有趣（如果你知道自己在做什么的話）。除了嚴(yán)格遵照食譜進(jìn)行操作，理解烤蛋糕背后的原理還有別的理由。比如，也許你的朋友對小麥過敏，那么你就必須烤制不含小麥的蛋糕。（就我的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)而言，小麥粉在烤布朗尼蛋糕時(shí)的最佳替代品是土豆粉，在烤奶酥時(shí)的最佳替代品是燕麥粉，在烤千層餅時(shí)的最佳替代品則是大米粉。）或者，也許你想做低脂蛋糕，那么你就需要理解脂肪在蛋糕烘焙中扮演的角色，即制造氣泡，如此一來，你就可以使用能夠發(fā)揮相同作用的食物來替代油脂，比如一種很特別的配料——蘋果泥。理解方法背后的原理還能幫助你在不搞砸整個(gè)過程的前提下走捷徑，而且，如果你像我一樣懶的話，你就會一直用這種辦法找捷徑，或者簡化步驟。比如，當(dāng)你處于醉酒狀態(tài)時(shí)，分離蛋清和蛋黃會變得困難很多。而涉及巧克力的食譜通常都會包含這句話：把巧克力掰成小塊，放在一個(gè)可以用于加熱的碗里，把碗放在平底鍋中，在鍋里倒入水，慢慢煮開，確保碗底不會碰到平底鍋的底。攪拌巧克力塊直至融化。但我們知道，這句話實(shí)質(zhì)上想說的就是“將巧克力融化”。而我因?yàn)閷?shí)在好奇為什么碗底不能碰到平底鍋的底而嘗試了這種“錯(cuò)誤”的做法，卻發(fā)現(xiàn)結(jié)果好像并沒有什么不同。實(shí)際上，我還經(jīng)常借助微波爐來融化巧克力，或者，更好的辦法是，將盛放巧克力的器皿直接放在電磁爐上，調(diào)小火加熱。烹飪書很少向你解釋為什么你要這樣做某個(gè)步驟，這讓我很沮喪。但是，理解就是力量。如果你幫助某人更好地理解了某樣?xùn)|西，你就賦予了他更多的力量。也許那些烹飪書的作者是故意這么做的，他們不想讓我們理解太多，否則我們可能就不需要他們來發(fā)明食譜了。在數(shù)學(xué)中，一個(gè)類似的例子就是乘法表。將乘法表背下來的確很有用，因?yàn)檫@樣一來你就不需要在每一次計(jì)算時(shí)都扳著手指頭數(shù)數(shù)了。但理解乘法表中的運(yùn)算結(jié)果是怎樣得出來的也很重要，這樣一來，萬一你忘記了其中的某些數(shù)字，你仍然可以手動計(jì)算出結(jié)果。順便一說，烹飪書總是會告訴你要用塔塔粉做蛋白糖霜脆餅，但我從沒用過這種食材，而我的蛋白糖霜脆餅依然十分完美，美味無比。焊接為理解汽車工作原理而進(jìn)行的嘗試我16歲的時(shí)候曾因?yàn)楹附由狭穗娨?。?dāng)時(shí)，學(xué)校布置了一項(xiàng)關(guān)于汽車的作業(yè)，我們小組需要在兩位物理老師的指導(dǎo)下把一輛舊名爵汽車分解，然后組裝上新的部件。出于某種原因，我比其他人更擅長焊接，并且我覺得這項(xiàng)工作很讓人激動——那些噪聲、四散的火花、由高溫作業(yè)帶來的溫度上升、它所包含的潛在的危險(xiǎn)性，以及用加熱的方式將金屬連接起來的“魔力”，都讓我深深著迷。對比之下，我并不很擅長理解整輛車的運(yùn)作原理。我所做的只是焊接老師叫我焊接的那些零件。我猜當(dāng)?shù)仉娨暸_也許是因?yàn)橛X得一幫女生組裝一輛車這件事很奇怪（希望現(xiàn)在這件事不會再被認(rèn)為奇怪了），所以就決定把我們當(dāng)作拍攝題材。于是理所當(dāng)然，我焊接零件的場面也被拍了進(jìn)去。采訪者問我們是不是想要以此來吸引我們未來的男友，但對我個(gè)人而言，我只是因?yàn)橄肜斫馄嚨墓ぷ髟聿抛鲞@件事的。我仍然認(rèn)為，理解一件你一直在使用的工具其背后的工作原理是個(gè)很好的主意，因?yàn)檫@樣一來，在發(fā)生故障的時(shí)候，你就掌握了更多的主動權(quán)，并且你也更有可能讓這件工具最大限度地發(fā)揮效用。問題在于，隨著科技的進(jìn)步，事物的原理越來越多地被埋藏在電子元件和程序代碼中，因而也就更難以被拆解開來，一一理解。在我學(xué)會開車之后的一段時(shí)間里，我碰到的大多數(shù)問題都是電子方面的，而非機(jī)械方面的。不幸的是，當(dāng)時(shí)我試圖理解汽車工作原理的計(jì)劃失敗了。我學(xué)會了如何焊接，但沒能進(jìn)一步理解汽車的工作原理，所以當(dāng)我的車遇到問題的時(shí)候，除了請求專業(yè)人士的幫助，我依然沒有其他選擇。而對于數(shù)學(xué)，如果我遇到了問題，我還是有可能自己搞定的——至少，我可以檢查一下我的推理，看看其中是否存在邏輯漏洞。如果在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，孩子們總是得出錯(cuò)誤的解答，而找不到錯(cuò)出在哪里，那么數(shù)學(xué)這門課就很可能會讓他們失去信心。這就是為什么在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很重要的一件事是理解學(xué)生的思維方式，并且指出他們思考過程中的邏輯錯(cuò)誤出在哪里，而不是只看最終答案是錯(cuò)是對。火星當(dāng)我們在某顆地外星球上尋找生命的時(shí)候，我們首先在找的是什么？當(dāng)我們在另一顆行星上尋找生命存在的證據(jù)時(shí)，我們首先尋找的是水存在的跡象。這是因?yàn)槲覀円呀?jīng)得出結(jié)論，或者說已經(jīng)認(rèn)定，水對生命體是至關(guān)重要的。歐洲的探索者在遙遠(yuǎn)的殖民地做了許多錯(cuò)誤的決定（包括殖民這件事本身），其中之一就是試圖在完全不同的氣候條件下種植從歐洲帶過去的農(nóng)作物。他們完全不理解是什么使得農(nóng)作物生長，因而也就不知道為什么這些農(nóng)作物在當(dāng)?shù)貧夂蜓谉?、土壤貧瘠的地理?xiàng)l件下無法健康生長。也有可能，他們根本沒有預(yù)料到這些遙遠(yuǎn)的殖民地的氣候會與歐洲截然不同。不管出于什么原因，這些農(nóng)作物最終都沒能長成。學(xué)習(xí)事物背后的運(yùn)作原理的目的之一就是理解到底是什么使得它能夠正常運(yùn)作，如此一來你才可能知道，當(dāng)你前往一個(gè)遙遠(yuǎn)的地方，發(fā)現(xiàn)其地理?xiàng)l件與之前截然不同時(shí)，它是否還能正常運(yùn)作。對于遙遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)之地，這個(gè)道理同樣適用。比如，“自然數(shù)”是我們最為熟悉的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。這個(gè)概念指的是我們數(shù)數(shù)時(shí)所使用的數(shù)字：1、2、3、4……它們被稱為“自然數(shù)”是有原因的——它們的存在對人們來說很自然。但問題就是，我們對它們實(shí)在太熟悉了，因而也就注意不到我們使用它們的地方。就像只有當(dāng)你的手臂受傷時(shí)，你才會意識到平時(shí)習(xí)以為常的、使用雙手做的事情現(xiàn)在竟然變得如此困難。我們也許并不會注意到什么時(shí)候我們需要同時(shí)使用兩只手，什么時(shí)候只用一只手就夠了。刷牙似乎是單手就可以完成的活動，但你要怎么用單手把牙膏擠到牙刷上呢？吃薯片似乎只用一只手就夠了，但你要怎么用單手把包裝袋打開呢？自然數(shù)也是這樣的。我們理所當(dāng)然地認(rèn)為我們可以進(jìn)行加法和乘法計(jì)算，無論數(shù)字相加或相乘的順序?yàn)楹巍Ｎ覀冋J(rèn)為8+4和4+8是一樣的，并且我們經(jīng)常使用這個(gè)規(guī)律來簡化計(jì)算——把小數(shù)字加到大數(shù)字上面比把大數(shù)字加到小數(shù)字上面更簡單。對于那些還在扳著手指數(shù)數(shù)的孩子而言，這個(gè)規(guī)律更是有用。比如計(jì)算2+26，如果是把26加到2上面，孩子們需要數(shù)上很久，但如果是從26開始數(shù)2個(gè)數(shù)，計(jì)算就會快上很多——而對于老師來說，難處就在于說服孩子們把兩個(gè)數(shù)字換位置以后進(jìn)行相加，兩者所得到的答案是一樣的。同樣，6×4和4×6的結(jié)果是一樣的。這對我們來說是一件好事，因?yàn)檫@意味著我們只要背下來乘法口訣表的一半就夠了。對我個(gè)人而言，在計(jì)算4×6的時(shí)候，我只能把這個(gè)計(jì)算理解為“6個(gè)4”，而不是“4個(gè)6”。同樣，在計(jì)算8×6的時(shí)候，我只能把它想成“6個(gè)8”，而對8×7來說，我則必須把它想成“7個(gè)8”。下面這張表展示了乘法口訣表中我相對熟悉和不太熟悉的部分——也許你也有類似但不同的偏好？你更喜歡“8個(gè)6”，還是“6個(gè)8”，還是二者皆可？對于這張表，我是先從上往下背，然后再從左往右背的，所以我更熟悉“6個(gè)5”，但沒那么熟悉“5個(gè)6”。我并不知道我的大腦為什么會以這樣的方式處理乘法口訣表，不過幸運(yùn)的是，把乘號前后的兩個(gè)數(shù)字交換位置后得到的答案是一樣的，這樣一來即便我沒能背下所有的口訣，我也能根據(jù)我知道的那些推導(dǎo)出其他的答案。但是，如果我們進(jìn)入了一個(gè)這些原理不再適用的數(shù)學(xué)領(lǐng)域呢？在這種情況下，我們不得不開始努力思考這些原理都引起了哪些連鎖反應(yīng)。所有的事情都會開始出錯(cuò)。我們還能解方程嗎？我們還能畫圖表嗎？我們用于解決所有問題的常規(guī)辦法還能適用嗎？在本書的后面，我會對這些問題給出解答。一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的有趣的原則是關(guān)于質(zhì)數(shù)的。要知道，質(zhì)數(shù)就是只能被1和它自己整除的數(shù)（而且1不是質(zhì)數(shù)）。所以最開始的幾個(gè)質(zhì)數(shù)是：2，3，5，7，11，13……現(xiàn)在，對于任何一個(gè)數(shù)，我都可以把它寫成一個(gè)質(zhì)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果。比如，6=2×3，除此之外沒有其他質(zhì)數(shù)相乘可以得到6，除了把2和3交換位置，而這也算不上不同；再比如，24=2×2×2×3，除此以外沒有別的質(zhì)數(shù)相乘可以得到24這個(gè)結(jié)果。這是自然數(shù)的一個(gè)很重要的特性，但它并不適用于數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。這就給數(shù)學(xué)的探索者制造了一些麻煩，就像歐洲殖民者在與家鄉(xiāng)截然不同的氣候條件下試圖種植來自家鄉(xiāng)的農(nóng)作物一樣。比如，幾次證明費(fèi)馬大定理的嘗試都失敗了，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的研究者認(rèn)為他們是在一個(gè)質(zhì)因數(shù)分解定理成立的數(shù)學(xué)領(lǐng)域里分析這個(gè)問題的，但事實(shí)并非如此。他們假設(shè)火星有水存在，并據(jù)此設(shè)計(jì)了一個(gè)非?！奥斆鳌钡幕鹦翘剿饔?jì)劃。費(fèi)馬大定理是皮埃爾·德·費(fèi)馬于1637年在一本書的頁邊寫下的一個(gè)著名猜想。它是關(guān)于下面這個(gè)方程的：an+bn=cn，其中a、b、c均為正整數(shù)。當(dāng)n=2時(shí)，這個(gè)方程就是畢達(dá)哥拉斯定理（或稱勾股定理）：直角三角形的斜邊的平方等于兩個(gè)直角邊的平方之和。很多直角三角形的斜邊注定不是整數(shù)。比如，如果直角三角形兩個(gè)直角邊的長度都是1厘米，那么該三角形的斜邊的長度就是√2厘米，這個(gè)數(shù)不是有理數(shù)，更不是整數(shù)。然而，也有一些大家十分熟悉的整數(shù)邊長的直角三角形特例，比如三邊長之比為3:4:5或5:12:13的直角三角形，其數(shù)值關(guān)系就滿足上面這個(gè)方程，如下所示：32+42=52，以及52+122=132與之相對，當(dāng)n的數(shù)值大于2時(shí)，則不存在能滿足這個(gè)方程的整數(shù)a、b和c。這就是費(fèi)馬大定理的主要內(nèi)容。不過，這一猜想直到1995年才由安德魯·懷爾斯借助一些來自看起來幾乎完全不相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域、在當(dāng)時(shí)而言十分先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法最終予以證明。數(shù)字的原則數(shù)字有哪些基本原理呢？對于這些原理，我們往往會因?yàn)檫^于熟悉而難以察覺到它們的存在。以下是一些你也許早已認(rèn)為是理所當(dāng)然的關(guān)于數(shù)字的事實(shí)：?數(shù)字可以相加。?數(shù)字可以相減，但結(jié)果可能為負(fù)。?數(shù)字可以相乘。?數(shù)字可以相除，但結(jié)果可能是小數(shù)。?如果我們給一個(gè)數(shù)字加上0，則它保持不變。?如果我們將數(shù)字乘以1，則它保持不變。?不能用數(shù)字除以0。?給一個(gè)數(shù)字加上另一個(gè)數(shù)字x，又減掉這個(gè)數(shù)字x，你會得到原來的數(shù)字。?讓一個(gè)數(shù)字乘以另一個(gè)數(shù)字x，又除以這個(gè)數(shù)字x，你會得到原來的數(shù)字。?幾個(gè)數(shù)字相加的時(shí)候，交換它們的位置對結(jié)果沒有影響。?幾個(gè)數(shù)字相乘的時(shí)候，交換它們的位置對結(jié)果沒有影響。但如果你把+、-、×、÷四種運(yùn)算混合在一起進(jìn)行計(jì)算，則交換數(shù)字位置會使結(jié)果發(fā)生改變。?用0乘以任何數(shù)字都會得到0。?用-1乘以任何數(shù)字，都會得到原來那個(gè)數(shù)的相反數(shù)。?“負(fù)負(fù)得正?！?把同樣的數(shù)相加幾次就等于把這個(gè)數(shù)乘以幾。類似的“基本原理”還有很多，因此，也許你會想，它們也許能被簡化為數(shù)量更精簡的“超級基本原理”。就像幼女童軍的法則一樣，只有一條：幼女童軍為別人著想，并且每天做一件好事?？偟膩碇v，上面那些我所列出的數(shù)學(xué)原理越靠后越難。當(dāng)你剛開始接觸數(shù)字的時(shí)候，你很難理解為什么有加法交換律和乘法交換律，為什么1乘以任何數(shù)字并不改變那個(gè)數(shù)字。（最近的一個(gè)研究表明，小學(xué)生常常在相關(guān)的問題上犯錯(cuò)。）或者，用數(shù)字乘以0，為什么會得到0？或者更難的一條，我們是怎么找到“負(fù)負(fù)得正”這個(gè)規(guī)律的？你也許會想，這些原理是從哪里來的？發(fā)現(xiàn)事物背后的運(yùn)行原理叫作公理化（axiomatisation），我們稍后會進(jìn)一步討論這個(gè)話題。在數(shù)學(xué)里，這個(gè)概念指的是，我們總結(jié)出關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的原理，比如關(guān)于數(shù)字的原理，然后看看這些原理在其他領(lǐng)域是否適用。在后文中你會吃驚地發(fā)現(xiàn)，“一個(gè)數(shù)字乘以0就等于0”并不是一個(gè)適用于所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本原理，它是從更基本的原理推導(dǎo)出來的。遵循關(guān)于數(shù)字的原理的事物在很多方面都不得不和數(shù)字類似，但它們不必是真正的數(shù)字。比如這樣的多項(xiàng)式：4x2+3x+2它們并不是真的數(shù)字，但它們也遵循數(shù)字所遵循的那些原理。如果我們?nèi)サ舫朔ń粨Q律這條原理的話，那么還有更多的例子符合數(shù)字所遵循的原理。比如矩陣：它們遵循關(guān)于數(shù)字的所有原理，除了乘法交換律。對于這句話的具體含義，我們需要謹(jǐn)慎對待。在我們進(jìn)一步談?wù)摴砘膬?nèi)容之后，我們會重新討論這個(gè)問題。這就是理解事物背后的原理的意義——把它們應(yīng)用到其他領(lǐng)域。給好奇者的問題請給下面這個(gè)2×2的表格涂色。規(guī)則是藍(lán)色和紅色在每行和每列都只能出現(xiàn)一次。根據(jù)已涂色格子的顏色，你會發(fā)現(xiàn)對于剩余的格子，涂色的方法只有一種：解：因?yàn)槲覀円还仓挥袃煞N顏色，所以我們可以直接試一下：藍(lán)色不行，所以空白格子只能涂紅色。給勇敢者的問題請給下面這個(gè)3×3的表格涂色，規(guī)則與上一個(gè)例子相同。我們會發(fā)現(xiàn)，對于剩余的空白格子，涂色的方法仍然只有一種。解：我們從正中間的格子開始。首先，它不能是藍(lán)色，因?yàn)樗筮呉呀?jīng)有一個(gè)藍(lán)色格子了。我們可以試一下把這個(gè)格子涂成紅色，這樣的話它右邊的格子就必須是綠色，但其上面的格子已經(jīng)被涂成綠色了，所以紅色也是錯(cuò)的。排除掉兩個(gè)錯(cuò)誤答案之后，我們就知道正中間的格子只能涂成綠色，而它右邊的格子只能是紅色，于是整個(gè)表格涂好以后就是這樣的：“每樣?xùn)|西在每一行和每一列只能出現(xiàn)一次”這一規(guī)則多少有點(diǎn)兒像簡化版的數(shù)獨(dú)，這個(gè)規(guī)則在數(shù)學(xué)上被稱為“拉丁方陣”（Latinsquare）性質(zhì)。這是數(shù)學(xué)中研究“群”概念時(shí)的一條十分重要的原理，我們在后文中會再次討論這個(gè)數(shù)學(xué)分支。給無畏者的問題那么，規(guī)則不變，下面這個(gè)4×4的表格又該如何涂色呢？這個(gè)表格恰好有4種成立的涂色方案。解：實(shí)際上，這是一個(gè)被稱為“有限單群分類”（classificationoffinitegroups）的數(shù)學(xué)分支中的一個(gè)意義重大的問題。最后一個(gè)問題：如果把顏色換成數(shù)字，你會覺得這道題變得更難，還是更簡單了？畢竟，顏色本身對問題的解答并沒有什么影響。如果換成字母呢？顯然，把表格中的某種具體事物替換成數(shù)字或字母并不會改變其背后的數(shù)學(xué)原理，無論出現(xiàn)在表格中的具體事物是什么，這些事物的分布模式都不會改變。4

過程千層酥配料450克高筋面粉450克黃油冷水鹽少許方法……將以上這些簡單的配料組合起來的方式有很多，但其中的大多數(shù)都無法讓你做出千層酥。制作千層酥是一個(gè)很耗時(shí)的過程，很多步驟都對精確性有要求，其中就包括反復(fù)的冷卻、搟皮和折疊，以制作出千層酥區(qū)別于其他面點(diǎn)的美味的奶油“千層”。因?yàn)檎麄€(gè)制作過程十分復(fù)雜，千層酥素來以難做著稱。相比之下，它的一個(gè)變種，油酥松餅則簡單很多。制作油酥松餅需要的配料和千層餅一樣（除了黃油使用量更少），而你只需要把配料扔進(jìn)食物處理機(jī)就可以把它做出來了。數(shù)學(xué)的魅力之一就在于，像做甜點(diǎn)一樣，你可以用很簡單的配料做出很復(fù)雜的成品。當(dāng)然，復(fù)雜煩瑣的制作過程也可能會讓你感到挫敗，就像做千層酥一樣。就我個(gè)人而言，我倒不覺得做千層酥有那么復(fù)雜，只要嚴(yán)格遵循食譜所寫步驟去做就可以了。但我相信，即使你不想自己嘗試去做，你仍然可以欣賞用如此簡單的配料能做出如此美味的甜點(diǎn)這一事實(shí)。數(shù)學(xué)不只是關(guān)于結(jié)果，它更多地是關(guān)于理解得出結(jié)果的過程。紐約馬拉松比賽并不只是關(guān)于從A地到B地2005年，我參加了紐約市馬拉松比賽。我覺得這是一個(gè)了不起的