大連市2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)命題人：安道波常愛華張振華校對人：安道波注意事項：1.請在答題紙上作答，在試卷上作答無效.2.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由補集和交集的定義運算.【詳解】集合，集合，則，有.故選：C2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)【答案】B【解析】【詳解】評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差，故選B.點睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)平均水平；方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小（即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。跇颖救萘肯嗤那闆r下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度．3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由即可判斷；【詳解】若，可得：，若，則，則“”是“”的充分必要條件，故選：C4.若向量，且，則實數(shù)m的值為（）A.－2 B.－ C.1 D.－2或1【答案】D【解析】【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示.【詳解】因為向量，且，所以，解得m=－2或1.故A，B，C錯誤.故選：D.5.用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則零點所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由零點存在性定理即可判斷；【詳解】因為，，所以零點所在的區(qū)間，再計算的符號，故選：C6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于x軸對稱 D.關(guān)于原點對稱【答案】A【解析】【分析】證得與互為反函數(shù)，由反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱可直接得答案.【詳解】的反函數(shù)滿足，化簡可得，所以，因為反函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，即與關(guān)于直線對稱，故選：A.7.已知平行四邊形ABCD，點E是CD的中點，點F滿足，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量之間的大小關(guān)系，進(jìn)行代換得到答案.【詳解】由于，,,由于點E是CD的中點，所以，，，故，故選：B8.已知函數(shù)定義域為，，對任意的，，當(dāng)時，有.若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性列不等式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)時，有，即，即，令，則當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于令，證明函數(shù)在上單調(diào)遞減.二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的或不選得0分.9.某商場組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有標(biāo)號分別為1~8的8個大小形狀相同的小球，現(xiàn)抽獎?wù)邚闹谐槿?個小球.事件“取出的小球編號為奇數(shù)”，事件“取出的小球編號為偶數(shù)”，事件“取出的小球編號小于6”，事件“取出的小球編號大于6”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與B互斥 B.A與B相互對立C.C與D相互對立 D.B與D相互獨立【答案】ABD【解析】【分析】分別求出樣本空間和事件、、、，再利用互斥事件、對立事件及相互獨立事件的定義逐一判斷.【詳解】抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球的樣本空間為，事件，事件，事件，事件，且，則與互斥，且與互為對立事件，AB正確；且真包含于，事件C與D不相互對立，C錯誤；，，事件B與D相互獨立，D正確.故選：ABD10.下列關(guān)于向量說法，正確的是（）A.若，，則B.在△ABC中，若，則△AOC與△ABC的面積之比為C.兩個非零向量，，若，則與共線且反向D.若，則存在唯一實數(shù)使得【答案】BC【解析】【分析】對于A，舉例判斷，對于B，設(shè)為中點，連接，則可得，從而分析判斷，對于C，對已知等式兩邊平方化簡進(jìn)行判斷，對于D，舉例判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，因為零向量與任意向量都平行，所以，成立，而此時不一定平行，所以A錯誤，對于B，因為，所以，設(shè)為的中點，連接，則，所以，所以點到的距離等于點到的距離的3倍，所以△AOC與△ABC的面積之比為，所以B正確，對于C，由，得，化簡得，所以，所以與的夾角為，所以與共線且反向，所以C正確，對于D，當(dāng)時，不存在唯一實數(shù)使得，所以D錯誤.故選：BC11.已知若方程有四個不同的解，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象可得：，，所以，則ABC選項可得，然后，則，利用函數(shù)的單調(diào)性求解可得D.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：方程有四個不同的解，則，，故A錯誤，C正確；，所以，故B正確；設(shè)，所以，因為，所以，則，則的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題紙的相應(yīng)位置上.12.為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重（單位：kg）的大致情況，隨機抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，估計這個學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)為________kg.【答案】48【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義結(jié)合題意求解即可.【詳解】這10個數(shù)從小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60，因為，所以這10個數(shù)的40%分位數(shù)為，所以這個學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)約為48kg.故答案為：48.13.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義以及冪函數(shù)的單調(diào)性可直接求出參數(shù)m的值.【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，符合題意；故答案為：-1.14.不等式的解集為________.【答案】【解析】【分析】先對原不等式變形，然后構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】原不等式等價于，令，則，所以，因為，和在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以原不等式的解集為.故答案為：四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）是定義域為的偶函數(shù).（1）求的解析式，并直接寫出的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）解不等式.【答案】（1），的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，最小值是（2）.【解析】【分析】（1）由是偶函數(shù)列式子可求得，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可得函數(shù)的最小值；（2）由奇偶性和單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為，再解絕對值不等式即可得答案.【小問1詳解】因為是偶函數(shù)，所以對，都有即，整理得，所以，，令，則，由可得，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性可得的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，的最小值是.【小問2詳解】因為是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，所以等價于，解得：，所以不等式的解集是.16.甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為．（1）分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件，則再利用獨立事件的概率計算公式，解方程組即可得到答案.（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗至少有一個一等品的事件，利用對立事件，即計算即可.【詳解】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件，由題設(shè)條件有即解得，，．即甲、乙、丙三臺機床各自加工零件是一等品的概率分別是，，；（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗至少有一個一等品的事件，則．故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為．【點晴】本題主要考查獨立事件的概率計算問題，涉及到對立事件的概率計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.17.如圖，在中，.（1）若E是BD的中點，試用和表示；（2）若G是AD上一點，且，過點G的直線交AB于點F，交AC于點H.若，，其中，均為正實數(shù)，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加減法運算法則，結(jié)合平面向量基本定理求解；（2）由已知條件可得，再由F，G，H三點共線，得，然后利用基本不等式可求得答案.【小問1詳解】因為，所以，所以，因為E是BD的中點，所以；【小問2詳解】由，，得，，因為，，所以，因為F，G，H三點共線，所以，則當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.18.某公司生產(chǎn)A、B兩種型號電動汽車電機，為了了解電機的某項指標(biāo)，從這兩種電機中各抽取100臺進(jìn)行檢測，獲得該項指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）估計B型電機該項指標(biāo)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）；（2）從A型電機指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取2件，B型電機指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取4件，再從這6件中任意抽取2件，求指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件的概率；（3）根據(jù)檢測結(jié)果確定該項指標(biāo)的一個臨界值m，且，某汽車廠準(zhǔn)備用A、B兩種型號電機生產(chǎn)C牌和D牌汽車各1萬輛，有以下兩種方案可供選擇：方案一：將A型電機用于生產(chǎn)C牌汽車，其中該指標(biāo)小于等于臨界值m的電機會導(dǎo)致每臺汽車損失7000元；將B型電機用于生產(chǎn)D牌汽車，其中該指標(biāo)大于等于臨界值m的電機會導(dǎo)致每臺汽車損失3000元；方案二：重新檢測所用的電機，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需1010萬元.請從汽車廠節(jié)約成本的角度考慮，選擇合理的方案，并說明理由.【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的定義求解；（2）根據(jù)分層抽樣的定義分別求出來自A型電機指標(biāo)在和及來自B型電機指標(biāo)在和的臺數(shù)，然后利用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式求解；（3）設(shè)將A、B兩種型號電機應(yīng)用C牌、D牌汽車時，該汽車廠損失y（萬元），然后根據(jù)題意表示出，分，，三種情況討論即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得B型電機該項指標(biāo)的平均值為：.【小問2詳解】根據(jù)分層抽樣得，來自A型電機指標(biāo)在和的各1臺，分別記為x，y，來自B型電機指標(biāo)在和分別為3臺和1臺，分別記為，，和p.從中任意抽取兩件，樣本空間可記為共15個樣本點，記事件M：指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件，則共含3個樣本點，所以.【小問3詳解】設(shè)將A、B兩種型號電機應(yīng)用C牌、D牌汽車時，該汽車廠損失y（萬元），，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上所述，當(dāng)臨界值時，選擇方案二；當(dāng)臨界值時，選擇方案一或二都行；當(dāng)臨界值時，選擇方案一.19.兩個定義域相同的函數(shù)和，存在實數(shù)m，n，使，則稱為和的函數(shù).（1）函數(shù)為和的函數(shù)，且.判斷函數(shù)的圖象是否有對稱中心，并說明理由.（2）函數(shù)為和的函數(shù)，且.①判斷單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；②證明：函數(shù)有且只有兩個零點，，且.【答案】（1）有對稱中心，理由見解析（2）①在和都是單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)可求解，進(jìn)而根據(jù)求解函數(shù)的對稱性，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可作差求解，（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理可得，使得，結(jié)合可知，即可求解.【小問1詳解】，因為，所以，有對稱中心，理由如下：的定義域為，且，都有，，所以的圖象關(guān)于中心對稱【小問2詳解】，因為，所以，，定義域為，因為，①在和都是單調(diào)遞增函數(shù)，證明：任取，，且，因為，所以，，，所以，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)，同理，當(dāng)時，，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)，②證明：因為，所以，，取當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，因為在是單調(diào)遞增函數(shù)，若，則是在的唯一零點，若，則，使得，由單調(diào)性可得是在的唯一零點，因為，都有，且所以是的零點，由單調(diào)性可得是在的唯一零點，綜上所述，函