2023年江蘇新高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷（12）

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）設(shè)集合M={0,1,2},N={x|f—3X+2,0},則M0|N=（）

A.{1}B.{2}C.{0,1）D.{1,2}

2.（5分）d—4。的展開(kāi)式中1的系數(shù)是（）

x

A.-210B.-120C.120D.210

3.（5分）某自來(lái)水廠一蓄水池可以用甲、乙兩個(gè)水泵注水，單開(kāi)甲泵需15小時(shí)注滿，單開(kāi)乙泵需18小時(shí)

注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，并且使兩泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩水泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)

間最少需（）

A.4小時(shí)B.7小時(shí)C.6小時(shí)D.14小時(shí)

4.（5分）已知函數(shù)/（幻=少7+》2—4和且⑶，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(-co,2)U(8,+oo)B.(0,2)

C.(0,2)U(8,-H?)D.(8,+oo)

5.（5分）函數(shù)），=》氣皿）工的大致圖象為（）

6.（5分）對(duì)于數(shù)據(jù)組（七，y）（i=l,2,3,…，/?）,如果由線性回歸方程得到的對(duì)應(yīng)于自變量看的估計(jì)

值是X，那么將》稱為相應(yīng)于點(diǎn)（七，升）的殘差.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材

料y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過(guò)程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（a），）如表所示:

X3456

y2.534m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出），關(guān)于工的線性回歸方程為S，=0.7x+a,據(jù)此計(jì)算出樣本（4,3）處的殘差為-0.15,則

表中m的值為（）

A.3.3B.4.5C.5D.5.5

7.（5分）如圖，已知雙曲線C:*■-方的左、右焦點(diǎn)分別為不F2,以。入為直徑的圓與

雙曲線C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P,線段PF、與另一條漸近線交于點(diǎn)Q,且bOPF?的面積是NOPQ面

積的2倍，則該雙曲線的離心率為（）

B.—C.72D.G

2

2+30LI,X..1

8.（5分）已知函數(shù)/（%）=?若加工〃,且f（ni）+f（n）=4,則m+n的最小值是（)

x+l,xv1

A.2B.e-\C.4一3加3D.3-37w2

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a>b,c<0>則<b2c

B.若a>b,c<0,則ayc<

C.若a<Z?<0,貝加

_N混V+5"山，I/占TC

D.函數(shù)y=的最小值是2

10.(5分)已知數(shù)列｛《,｝中，4=2,當(dāng)〃..2時(shí)，q=(/%+2+1)2-2,則關(guān)于數(shù)列｛《,｝的說(shuō)法正確的是

()

A.々=5B.數(shù)列｛/｝為遞增數(shù)列

C.勺="+2〃_1D.數(shù)列｛%｝為周期數(shù)列

11.(5分)已知函數(shù)〃x)=sin(2i+馬與g(x)=cos(2x+馬，則下列結(jié)論正確的是()

44

A.g(x)的圖象可由/*)的圖象向左平移/個(gè)單位長(zhǎng)度得到

B.的圖象與g(x)的圖象相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為與圮

C.f(x)+g(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=X

2

D.y(x)-g(x)在區(qū)間弓，9上單調(diào)遞增

12.(5分)嫦娥奔月是中華民族的千年夢(mèng)想.2020年12月我國(guó)嫦娥五號(hào)“探月工程”首次實(shí)現(xiàn)從月球無(wú)人

采樣返回.某校航天興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點(diǎn)制動(dòng)(俗

稱“踩剎車”)后，以詼7〃/s的速度進(jìn)入距離月球表面〃k〃的環(huán)月圓形軌道(月球的球心為橢圓的一個(gè)焦

點(diǎn))，環(huán)繞周期為出，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為〃而〃，則()

遠(yuǎn)月點(diǎn)J:■，近月點(diǎn)

、〃

\、…7

…一J

A.圓形軌道的周長(zhǎng)為(2/m)而

B.月球半徑為

2用

C.近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為（m-n+—）km

冗

D.橢圓軌道的離心率為絲

m+n

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知tan（a+0=2,rnn（n*—/?）=—,/?a（0,馬，則1an/?的值為_(kāi)___.

22

14.（5分）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“,若Sg=-2,5,”=0,S,川=3,則機(jī)=.

15.（5分）已知圓。:“一3）2+），2=4,點(diǎn)”在拋物線7:9二4工上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M引直線［,右與圓C相切，

切點(diǎn)分別為尸，Q,則|。。|的取值范圍為.

2

16.（5分）設(shè)數(shù)列?）的前〃項(xiàng)和為5。，％=3,S“=；a*i+K〃匕N'）.己知尸?,尸?是雙曲線°：\一）？=1

的左、右焦點(diǎn)，心（〃，2zl）（〃eN>若/…|匕耳|-|勺制1對(duì)〃eN"恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是____.

4+2

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（1（）分）已知AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,/?,c,且4=6，b=2,c-b=2bcosA.

（1）求sin4的值：

（2）若AD平分NZMC交"C于。?求三角形4/3C的面積S的值.

18.（12分）己知他“｝為等差數(shù)列，%,七,%分別是表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且4，%，%中

的任何兩個(gè)數(shù)都不在表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行

第二行469

第三行1287

請(qǐng)從①4=2,②4=1,③4=3的三個(gè)條件中選一個(gè)填入上表，使?jié)M足以上條件的數(shù)列｛七｝存在；并在此

存在的數(shù)列｛4｝中，試解答下列兩個(gè)問(wèn)題

（1）求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式:

（2）設(shè)數(shù)列包｝滿足瓦=（-1嚴(yán)見(jiàn)求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和7；.

19.（12分）已知在四棱錐中，/%_L平面A8C",四邊形A/CL＞為矩形，IJA=AB=2,A/）=3①,

E為棱BC上一點(diǎn)，且AE=2EC.

（1）求證：平面以E_L平面尸?！?；

（2）在線段回上是否存在點(diǎn)尸'使得直線,與平面尸切所成的角為3"?若存在，求出篝的值；若

不存在，說(shuō)明理由.

20.（12分）天文學(xué)上用星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小，星體越亮.視星等是指觀測(cè)者用肉眼所看到

的星體亮度；絕對(duì)星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方測(cè)得的恒星的亮度，反映恒星的真實(shí)發(fā)光

本領(lǐng).

如表列出了（除太陽(yáng)外）視星等數(shù)值最小的10顆最亮恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中。以0,1.3].

星名天狼星老人星南門二大角星織女一五車二參宿七南河三水委一參宿四

視星等-1.47-0.72-0.27-0.040.030.080.120.380.46a

絕對(duì)星1.42-.5534.4-0.380.60.1-6.982.67-2.78-5.85

等

赤緯-16.7°-52.7°-60.8°19.2°38.8°46°-8.2°5.2°-57.2°7.4°

（1）從表中隨機(jī)選擇?顆恒星，求它的絕對(duì)星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值的概率：

（2）已知徐州的緯度是北緯34。，當(dāng)且僅當(dāng)一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于-56。時(shí)，能在徐州的夜空中看到

它.現(xiàn)從這10顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，記其中能在徐州的夜空中看到的數(shù)量為X顆，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望;

(3)記。=0時(shí)，10顆恒星的視星等的方差為父，記。=1.3時(shí)10顆恒星的視星等的方差為學(xué)，直接寫(xiě)出s：

與［之間的大小關(guān)系.

［專=l(a>b>0)和雙曲線，耳=1

21.(12分)已知A、3為橢圓的公共頂點(diǎn),P，。分別為雙曲

線和橢圓上不同于A,3的動(dòng)點(diǎn)，且滿足而+8戶=；1缶0+8。)(/16凡"|>1),設(shè)直線AP、BP、AQ、BQ

的斜率分別為&rk,、心、勺.

(1)求證：點(diǎn)P、Q、。三點(diǎn)共線；

⑵當(dāng)〃=2'〃=6時(shí)’若點(diǎn)AQ都在第一象限，且直線PQ的斜率嗎，求WQ的面積S；

(3)若石、用分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)，且QFJ/PB，求甘+y+尺+公的值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)="-or有兩個(gè)零點(diǎn)內(nèi),乙，且為〈天.

(1)求證：a>e；

(2)求證：內(nèi)+勺＞2?

2023年江蘇新高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷（12）

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）設(shè)集合M={0,1,2},N="|/—3x+2,0}，則M0|N=（）

A.{1}B.{2}C.{0,1）D.{1,2）

【答案】D【詳解】vN={X\X2-3X+2^0）={xI（A-l）（x-2）0}={x|lM2},

.?.A/Q/V={I,2},

故選：D.

2.（5分）已一工嚴(yán)的展開(kāi)式中r的系數(shù)是（）

x

A.-210B.-120C.120D.210

【答案】B

【詳解】由二項(xiàng)式（1-4°的展開(kāi)式的通項(xiàng)u尸c；。（與?（r），=（m”T°得，

xx

令2/—10=4,得r=7,

即展開(kāi)式中/的系數(shù)是（-l）7C；=-120,

故選：B.

3.（5分）某自來(lái)水廠一蓄水池可以用甲、乙兩個(gè)水泵注水，單開(kāi)甲泵需15小時(shí)注滿，單開(kāi)乙泵需18小時(shí)

注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，并且使兩泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩水泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)

旬最少需（）

A.4小時(shí)B.7小時(shí)C.6小時(shí)D.14小時(shí)

【答案】C

【詳解】(1一一xlO)+—,

1518

=6（小時(shí)）

故選：C.

4.（5分）已知函數(shù)/a"/，/-?,且/（醺2。）＞/（3）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(-00,2)58，+oo)B.(0,2)

C.(0,2)0(8,+00)D.(8,+oo)

【答案】C

［詳解】???/(4-x)=312T+(4-x)2-4(4-x)=3"方+x2-4x=fix),

J(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，

v>=31T和)，=V-4x都在(TO⑵上是減函數(shù)，在(2,”)上是期函數(shù),

???J(x)在(YO,2)上為減函數(shù)，在(2,+CO)上為增函數(shù)，

X/(log2?)>f(3),/Jlog,a-21>|3-21,

即log2av1或log2a>3,解得()<a<2或。>8,

??.a的取值范圍為(0,2)0(8,+oo).

故選：C.

5.(5分)函數(shù)yn/sin/rx的大致圖象為()

c.D.

【答案】D

【詳解】函數(shù).f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A,

當(dāng)0＜元＜1時(shí)，f(x)＞0,排除C,

故選：D.

6.(5分)對(duì)于數(shù)據(jù)組(七，另)(i=l,2,3,…，〃)，如果由線性回歸方程得到的對(duì)應(yīng)于自變量大的估計(jì)

值是X，那么將另-其稱為相應(yīng)干點(diǎn)(為，凹)的殘差.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(噸)與所需某種原材

料y(噸)的相關(guān)性，在生產(chǎn)過(guò)程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(x,y)如表所示：

X3456

y2.534m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出)，關(guān)于x的線性回歸方程為a=0.7x+a,據(jù)此計(jì)算出樣本(4,3)處的殘差為-0.15,則

表中m的值為()

A.3.3B.4.5C.5D.5.5

【答案】B

【詳解】由樣本(4,3)處的殘差為-0.15,

即3—(0.7x4+a)=-0.15,

可得。=0.35

回歸方程為：j=0.7x+0.35.

4WT7%%—八=-2.5+3+4+〃?9.5+m

樣本平均數(shù)x=4.5,y=------------=-------,

44

即0.7x4.5+0.35=85+”

4

解得："?=4.5.

故選：B.

22

7.（5分）如圖，已知雙曲線C:1-與的左、右焦點(diǎn)分別為不F、,以”;為直徑的圓與

a

雙曲線C的漸近線在第i象限的交點(diǎn)為P,線段2石與另一條漸近線交于點(diǎn)Q,且M）PF’的面積是'OPQ面

積的2倍，則該雙曲線的離心率為（）

C.0D.G

【答案】C

【詳解】設(shè)E（—co）,g（c、,o）,直線OP的方程為區(qū)一胡=0,①

2

以。入為直徑的圓的方程為（x-$+y②

由①②解得p（工，弛）,

cC

直線PF1的方程為y=嚴(yán)，（x+c）,與漸近線方程反+av=o，

a-+c~

解得Q（-;7dr，J^r），

2a~+e2a~+e

由AOPF2的面積是△OPQ面積的2倍,

可得F2到直線OP的距離為Q到直線OP的距離的2倍,

?a，be_a'bc

即有=2/Mw+c?,

\lb2+a2xlb2+a2

化為々/=2//+(?,即為c=VJa,

所以e=￡=\/2.

a

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)/'(%)=,2”阮C,若〃?工”，且以〃?)+f(〃)=4,則〃?+〃的最小值是［)

x+l,x<1

A.2B.e-\C.4-3勿3D.3—3/〃2

【答案】C

【詳解】由函數(shù)解析式可知函數(shù)在每?段都為單調(diào)遞增函數(shù)，

且當(dāng)工<1時(shí)，/(x)<2,當(dāng)"1時(shí),/(x)..2,所以函數(shù)/(%)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，

又用工〃，且/(〃?)+/(〃)=4,所以〃？，〃中有一個(gè)小于1,一個(gè)大于等于1,

不妨設(shè)〃<1,m..1?則f(m)+f(n)=2+3lnm+n+\=4,即〃=1-31nm，

所以m+/i=in-3>lmn+1,m..1,

令g(x)=x-3/nx+1,x..\,所以*3)=1-3=^^--,

XX

當(dāng)掇擊3時(shí)?，/(x)<0,函數(shù)g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)%>3時(shí)，^(x)>0,函數(shù)g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)％=3時(shí)，函數(shù)g(x)*=3-3妨3+1=4-3加3,無(wú)

最大值，

故刑+〃的最小值為4-3加3,

故選：C.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.（5分）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a>b,c<0,則。:<丘

B.若a>b,c<（）?則a,c<Be

C.若avbvO,則.2>〃匕>6

D.函數(shù)）,=三2的最小值是2

6+4

【答案】BC

【詳解】A.取。=2,b=-3,c=-\,則42c>方^,故A錯(cuò)誤；

B.a>b/.a3>by,c<0?/.a'c<b3c,故3正確；

C.\'a<b<0?a2>ab,ab>b2,a'>ab>b',故C正確;

7*AT2+5（」x~+4j+1r~^~I.r~^~

D.函數(shù)尸]-----=----y------------=yjx+44-------,令，/+4=，€[2,+oo）,

xlx2+4VX2+4G+4

由函數(shù)>?=/+1在飛[2,+8）上單調(diào)遞增，/.y.2+工=工，故D錯(cuò)誤.

?/22

故選：BC.

10.（5分）已知數(shù)列｛q｝中，q=2,當(dāng)“..2時(shí)，《,=（瘋了1+1）2-2,則關(guān)于數(shù)列伍“｝的說(shuō)法正確的是

（）

A.a2=5B.數(shù)列｛為｝為遞增數(shù)列

2

C.an=n+2n-\D.數(shù)列｛a,J為周期數(shù)列

【答案】見(jiàn)解析【詳解】因?yàn)楫?dāng)此.2時(shí)，a“=（瘋了1+1）2-2,所以4+2>0,

所以+2=+2+1,所以Ja”+2-Ja,—+2=I,

又4=2,Jq+2=2,

所以數(shù)列｛瘋工1｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

所以+2=2+(/?—I)x1=n+1.

月7以u(píng)n—(〃十1)2—2=〃2十2〃一I?

所以。2=7，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列｛/｝為遞增數(shù)列，

結(jié)合選項(xiàng)可知4)錯(cuò)誤，正確.

故選：BC.

11.(5分)已知函數(shù)f(x)=sin(2%+三)與g(x)=cos(2x+匹)，則下列結(jié)論正確的是(

44

A.ga)的圖象可由〃幻的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到

B./(X)的圖象與g(x)的圖象相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為近手

C./(x)+g(x)圖象的一條對(duì)稱軸為.丫=工

2

D.〃x)?g(x)在區(qū)間(工,馬上單調(diào)遞增

42

【答案】C。

【詳解】?.,函數(shù)f(x)=sin(2x+—)?g(x)=cos(2x+—)，

44

則把/(x)的圖象向左平移］個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得y=sin(2x4-^+—)=-sin(2x4--)=-cos(2.r--)=cos(2x+藝)的圖象，故A錯(cuò)誤;

4444

/(X)的圖象與g(x)的圖象相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即tan(2A-4--)=I的兩個(gè)相鄰的解，

4

它們之間的最小距離為工，故3錯(cuò)誤；

2

令工=￡,求得f[x}+g(x)=\/2sin(2x+—+—)=V2cos2x=—V2,為最小值，

244

故f(x)+g(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=3，故。正確；

在區(qū)間(工,工)上，44￡(4,24)，函數(shù)/(x)?g(x)=,sin(4x+C)='cos4x單調(diào)遞增，

2222

故D正確，

故選：CD.

12.(5分)嫦娥奔月是中華民族的千年夢(mèng)想.2020年12月我國(guó)嫦娥五號(hào)“探月工程”首次實(shí)現(xiàn)從月球無(wú)人

采樣返回.某校航天興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點(diǎn)制動(dòng)(俗

稱“踩剎車”)后，以向7/S的速度進(jìn)入距離月球表面忌〃的環(huán)月圓形軌道(月球的球心為橢圓的一個(gè)焦

點(diǎn))，環(huán)繞周期為抬，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的最近距離為〃7k〃，則()

遠(yuǎn)月點(diǎn)：!—上近月點(diǎn)

\、一夕

一一」

A.圓形軌道的周長(zhǎng)為(240)加

B.月球半徑為(業(yè)-〃)51

2房

C.近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為?-〃+巴的〃

兀

D.橢圓軌道的離心率為絲二

m+n

【答案】BC

【詳解】由題，以閡7〃S的速度進(jìn)入距離月球表面〃。〃的環(huán)月圓形軌道，環(huán)繞周期為笈，

則可得環(huán)繞的圓形軌道周長(zhǎng)為由，半徑為/曲故A錯(cuò)誤;

則月球半徑為焉一〃跖故B正確;

則近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離為。"券-〃即故C正確;

設(shè)橢圓的方程為=1(。>〃>0),則m+R=a+crn+R=a—c

解得2zv="?+〃+2R,2c=m-n

所以橢圓的離心率為0=￡=生=〃L〃,故。錯(cuò)誤,

alam+n+2R

故選：BC.

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)已知ltan(a+6)=2,tan(a-/7)=g,則tan/的值為.

【答案】-

3

【詳解】因?yàn)閘an(a+/?)=2,tan(?f-/?)=—,/?s(O,—),

2

2-1

所以tanIp=tanl(?+/3)-(a-fi)\=tan(a+0-tan(a-=——2^=2,

l+tan(a+/?)tan(a-/?)R2x14

2

所以2tany=3,可得3tan?/?+8tan/?-3=0,

l-lan2/]4

解得lan〃=g,或一3(舍去).

故答案為：-，

3

14.(5分)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，若S,,i=—2,S/0,S,用=3,則，〃

【答案】5

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,°;S*t=-2,1sM=0,Sn+l=3>

(w-1)(///-2)

(w-1)?1+-----------------a=-2

<mai+-----------a=0

/八[m+l)w,c

(〃?+l)q+---------d=3

m=5

解之得：<4=一2,〃z=5.

d=\

故答案為：5.

15.(5分)已知圓。:。一3尸+)，2=4,點(diǎn)M在拋物線r：V=4x上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M引直線4，/?與圓C相切,

切點(diǎn)分別為尸，Q，則|?。|的取值范圍為.

【答案】[2夜，4)

【詳解】圓的方程：。-3>+)，2=4,

易知PC_LPM,C'O_LM0,MCUPQ,\PC|=2

所以涼邊形…=2，笛“=2flPC||PM|=|P0，

所以?陽(yáng)二!3吧=也業(yè)二4、「^；,

|CM||CM|V|CM|2

ICMI的最小值時(shí)IPQ|最小，

設(shè)“(X,)，)，則|CM|=J(x-3f+/=6一+9,當(dāng)x=l時(shí)，|CM|=2&,

當(dāng)Xf+8時(shí)|尸Q|趨近圓的直徑，

所以|P0|€[2&,4).

故答案為：［2夜，4).

16.(5分)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，%=3,Sn=-an+l+l(neN").已知不屈是雙曲線C:七-y2=1

q_1

的左、右焦點(diǎn)，P?(n，一^)(〃eM),若/…|匕"I-1EEI對(duì)neM恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是_______.

凡+2

【答案】/..4

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，=3,

.=49

當(dāng)兒.2時(shí),S-=一q+1,

兩式作差得q=］4r討_芋可，

n+\n

即m行-q=］勺+1，

得&L=殳，(〃.⑵，

n+\n

則%=&=2,即q=2〃，(兒.2),

n2"

3,n=13,n=1

則%=則S"=,

2〃,n..2n(n+1)+1,n..2

耳（一石，0）,F4也,0）,

4（1,|），I/；1-1［牙上196,

當(dāng)〃..2時(shí)，設(shè)線段勺入與雙曲線交于點(diǎn)G,

匕（〃,之二乙的坐標(biāo)化簡(jiǎn)為P（/z,-），落在雙曲線C:工-y2=1的漸近線y=上，

。“+2242

當(dāng)“f+oo,乙（〃￡）,可近似看成第一象限雙曲線上的點(diǎn)，

則用4-I匕瑪If-2a=4,

則/..4,

故答案為：/..4.

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知A4BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且〃=遙，b=2,c-b=2bcosA.

（1）求sin8的值；

（2）若4）平分N3AC交8c于。，求三角形4X:的面積S的值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）因?yàn)閏-l=3cos4,

又由余弦定理可得/=-22?ccosA,

所以/=b2+c2-c（c-b）,可得護(hù)+bc=/,

因?yàn)閍=\/6,b=2,

可得c=l,

由余弦定理。*二尸+/-2Z?ccos4,將a=b=2,c=l,代入，可得6=4+l-2x2xlxcos4,可得

cosA=——，

4

所以sinA=巫，由止弦定理，_可得sin4=典.

4sin4sinB4

4

則由正弦定理可得__=可得&1!。=巫，

sinAsinC8

在兒ABD中，———=———，①

sin/BADsinZADB

在A4C。中，———=———，②

sinZ.DACsinZADC

又因?yàn)锳D平分NAQC，

所以sinZADB=sinZADC，

②，①，可得2=絲=空=2,可得CD二述,

cABBD3

由g2#_710_715

J/T以SMX=-DC?AC?sinC=—x---x2x----=----.

MDC22386

18.（12分）已知｛%｝為等差數(shù)歹!，％,a2,%分別是表笫一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且q，a2?的中

的任何兩個(gè)數(shù)都不在表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行

第二行469

第三行1287

請(qǐng)從①4=2,②4=1,③4=3的三個(gè)條件中選一個(gè)填入上表，使?jié)M足以上條件的數(shù)列伍”｝存在；并在此

存在的數(shù)列｛/｝中，試解答下列兩個(gè)問(wèn)題

（1）求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛"｝滿足"=(-1嚴(yán)G；,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)若選擇條件①4=2,則放在第一行的任何一列，滿足條件的等差數(shù)列｛4)都不存在，

若選擇條件②q=1，則放在第一行的第二列，結(jié)合條件可得4=I,/=4,%=7,則q=3〃-2,則〃GN*,

若選擇條件③4=3,則放在第一行的任何一列，結(jié)滿足條件的等差數(shù)列｛/｝都不存在，

綜上可得生,=3〃-2,則〃wN*,

(2)由(1)知，"=(7嚴(yán)(3〃-2)2,

當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，

/.Tn=b[+力2+/+...+bn—a；一a；+…+c/~_t—ci~?

=(%+/)(4—/)+(%+a4)(%—%)+—+-%)(%-]+%)，

*、成1+3〃-2)93

=-3(4+%+%+...+4)=—3乂-----------=--?2+-?

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

9393

2

Tn=1一+bH=--(^-1)+-(77-1)4-(3〃―2)2=/_5〃_2,

--H2為偶數(shù)

22

2/J-。〃一2,〃為奇數(shù)

22

19.(12分)已知在四棱錐P—A8c。中，Q4_L平面A88,四邊形人38為矩形，PA=AB=2,AD=3叵,

E為極BC上一點(diǎn)、,且8E=2EC.

(1)求證：平面承￡_1平面。￡)上；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)尸，使得直線尸尸與平面尸ED所成的角為300?若存在，求出竺的值；若

FB

不存在，說(shuō)明理由.

p

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)證明：在矩形A5CD中，A￡=2X/5,DE=瓜,AD=30,

:.AE2+DE2=AD2,AEA.DE,

?.?姑_1平面ABCD,OEu平面ABC。，

.?.PA上DE,

又A￡：nPA=A,AE.%u平面P4E,

.,.OE_L平面皿:，

?.?OEu平面2DE,

.?.平面ZMK_L平面PDK.

(2)解：以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x,)，，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),P(0,0,2),8(2,0,0),0(0,3夜，0),E(2,2應(yīng),0),

設(shè)八戶=2八月，ze[0,1],則人(29,0,0),

..PF=(2A,0,-2),DE=(2,一點(diǎn)，0),PE=(2,20,-2),

設(shè)平面尸ED的法向量為萬(wàn)=(x,y,z),則卜竺二°,即卜-夫=。

n-PE=()[2j+2V2y-2z=0

令X=1,則>=夜，z=3,/?=(1,V2>3)?

?.?直線尸產(chǎn)與平面PED所成的角為30。,

/.sin30°=|PbnI，即L|,21-6卜化簡(jiǎn)得分+3/1-3=0,

|PF|.|”|2J4/P+4X2百

解得之二-3±內(nèi),

2

1s110-34-V2T

A€[091]9;?2=-----------,

.AF4歷+3

-FB2"

20.(12分)天文學(xué)上用星等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小，星體越亮.視星等是指觀測(cè)者用肉眼所看到

的星體亮度：絕對(duì)星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方測(cè)得的恒星的亮度，反映恒星的真實(shí)發(fā)光

本領(lǐng).

如表列出了(除太陽(yáng)外)視星等數(shù)值最小的10顆最亮恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中〃u[0,1.3].

星名天狼星老人星南門二大角星織女一五車二參宿七南河三水委一參宿四

視星等-1.47-0.72-0.27-0.040.030.080.120.380.46a

絕對(duì)星1.42-5.534.4-0.380.60.1-6.982.67-2.78-5.85

等

赤緯-16.7°-52.7°-60.8°19.2°38.8°46°-8.2°5.2°-57.2°7.4°

(1)從表中隨機(jī)選擇一顆恒星，求它的絕對(duì)星等的數(shù)值小「視星等的數(shù)值的概率;

(2)已知徐州的緯度是北緯34。，當(dāng)且僅當(dāng)一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于-56。時(shí)，能在徐州的夜空中看到

它.現(xiàn)從這10顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，記其中能在徐州的夜空中看到的數(shù)量為X顆，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望;

（3）記。=0時(shí)，10顆恒星的視星等的方差為s：,記4=1.3時(shí)10顆恒星的視星等的方差為門,直接寫(xiě)出s；

與［之間的大小關(guān)系.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】（1）設(shè)一顆星的絕對(duì)星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值為事件A,

由圖表中的數(shù)據(jù)可知，10顆恒星有5顆恒星絕對(duì)星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值,

所以P（A）=-=-；

102

（2）由圖表中的數(shù)據(jù)可知，有8顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于-56,有2顆恒星的“赤緯”數(shù)值小于-56,

所以隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,

則眼=2）=等=捻

Ci。105

「（一）=警嘿

P（X=4）=咎三

^10I

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X234

P1456

T05T053

所以￡?（乂）=2'巴+3><笆+4乂1=3.

10510535

（3）前9顆的視星等的平均值為，一1.47-0.72-0.27-0.04+003+0.08+0.12+0.38+0.46卜-0.16,

0比13更接近視星等的平均值,

21.(12分)已知A、“為橢圓，占…>。)和雙曲線，臥的公共頂點(diǎn),P，。分別為雙曲

線和橢圓上不同于A,8的動(dòng)點(diǎn)，且滿足4戶+8戶="人0+8。)(/1￡凡|/1|>1),設(shè)直線AP、BP、4Q、BQ

的斜率分別為K、&、攵3、k「

(1)求證：點(diǎn)尸、Q、O三點(diǎn)共線；

(2)當(dāng)a=2,〃=6時(shí)，若點(diǎn)P、Q都在第一象限，且直線尸。的斜率為:，求MPQ的面積S；

(3)若《、尸2分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn)，且QFJ/PF1,求好+后+后+后的值.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】(1)證明：