第五單元第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題1.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理直觀想象

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)3.平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

[0，π]共線且同向相互垂直共線但反向[探究]

兩個(gè)向量a，b的夾角與其數(shù)量積有何關(guān)系？數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為鈍角．|a||b|cos

θ|a||b|·cosθ

4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝________．[探究]

向量數(shù)量積的運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律嗎？提示：向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線．a(chǎn)·c＋b·c[拓展]平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)a2＋b2＝0→a＝b＝0.5．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝________．(2)a⊥b?a·b＝________．(4)cosθ＝______________．(5)|a·b|≤|a||b|.|a|cos

θ06．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則(1)|a|＝________；(2)a·b＝____________；(3)a⊥b?________________；(4)cosθ＝________________．x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0

答案：垂內(nèi)

B【易錯(cuò)點(diǎn)撥】混淆平面幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征致誤．

D【易錯(cuò)點(diǎn)撥】混淆公式或整體變換出錯(cuò)導(dǎo)致計(jì)算失誤．

D

ABC

4．[真題體驗(yàn)](2021·全國(guó)甲卷理)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則實(shí)數(shù)k＝__________．02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3

特訓(xùn)點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算【自主沖關(guān)類】D

C

B

[錦囊·妙法]求非零向量a，b的數(shù)量積的3種方法方法適用范圍定義法已知或求兩個(gè)向量的模和夾角基底法直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解坐標(biāo)法①已知或求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積考向1求向量的模典例1

(1)(2022·湖南模擬)已知向量a，b滿足|a|＝3|b|＝2，a?b＝1，若－a＋2b與ma＋3b共線(m∈R)，則|ma＋3b|＝(

)A．2 B．4特訓(xùn)點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【多維考向類】[解題指導(dǎo)](1)由向量共線計(jì)算m的值→采用先平方再開(kāi)根號(hào)的方法計(jì)算|ma＋3b|的大?。?2)根據(jù)題意設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)→利用坐標(biāo)法以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立方程求解．答案：(1)A

(2)C

(2)求向量模的最值(范圍)的方法：①代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．

[解題指導(dǎo)](1)計(jì)算a·(a＋b)，|a＋b|→應(yīng)用公式求cos〈a，a＋b〉．(2)根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求b→應(yīng)用數(shù)量積公式變形求〈a，b〉．答案：(1)D

(2)B

考向3平面向量的垂直問(wèn)題典例3

(1)(2020·全國(guó)Ⅱ卷)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是(

)A．a(chǎn)＋2b B．2a＋bC．a(chǎn)－2b D．2a－b

[解題指導(dǎo)](1)求向量的數(shù)量積→結(jié)合向量垂直的充分必要條件列出方程→求得實(shí)數(shù)k的值．答案：(1)D

(2)C

法三：根據(jù)條件，分別作出向量b與A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的向量的位置關(guān)系，如圖所示：由圖易知，只有選項(xiàng)D滿足題意，故選D.

有關(guān)向量垂直的解題策略(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．考向1平面幾何中的向量方法典例4如圖，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，BE，CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.特訓(xùn)點(diǎn)3平面向量的應(yīng)用【多維考向類】

向量在平面幾何中的應(yīng)用(2)證明垂直問(wèn)題，如判定三角形形狀，證明四邊形是矩形、直角梯形等，常用向量垂直的充要條件．(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式求解．(4)求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算與向量的求模公式運(yùn)算．考向2向量在三角中的應(yīng)用典例5

(2022·湖北孝感高三期中)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π．(1)若a⊥b，求|a＋b|的值；(2)設(shè)c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

向量在三角中的應(yīng)用(1)三角運(yùn)算：將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用向量的有關(guān)法則、性質(zhì)列出方程，轉(zhuǎn)化為三角恒等變換，化簡(jiǎn)求值．(2)求夾角、面積問(wèn)題：與余弦定理結(jié)合求角或線段長(zhǎng)度，與正弦形式的面積公式結(jié)合求三角形面積等．考向3向量在物理中的應(yīng)用舉例典例6

(2022·湖北襄陽(yáng)高三月考)在日常生活中，我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情境(如圖)．假設(shè)行李包所受重力均為G，兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|，F(xiàn)1與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是(

)[解題指導(dǎo)]根據(jù)|F1|＝|F2|，F(xiàn)1與F2的夾角為θ，結(jié)合受力分析圖