6.3特殊的平行四邊形第6章平行四邊形第3課時(shí)

菱形的性質(zhì)與判定平行四邊形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),就成為了矩形.有一個(gè)角是直角溫故知新矩形在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長(zhǎng)度，能否得到一個(gè)特殊的平行四邊形？探究新知

平行四邊形菱形鄰邊相等菱形的定義一菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ADCB∵四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形.幾何語(yǔ)言：菱形是一種特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).菱形具有工整,勻稱,美觀等許多優(yōu)點(diǎn),常被人們用在圖案設(shè)計(jì)上.將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開(kāi)即可.

如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？①②③④用上面的方法得到的菱形有兩條折痕，通過(guò)觀察你發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題.OABCD菱形是軸對(duì)稱圖形,它有兩條對(duì)稱軸.對(duì)稱軸是分別經(jīng)過(guò)兩組對(duì)角頂點(diǎn)的兩條直線.菱形的性質(zhì)二已知:如圖四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DA=DC.求證：（1）AB=BC=CD=DA；（2）AC⊥BD.ABCDO∵四邊形ABCD是菱形，又∵DA=DC.∴DA=BC，AB=DC，∴AB=BC=DC=DA.證明：（1）菱形的性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等.∵ABCD是菱形，∴AO=CO（平行四邊形對(duì)角線互相平分）.∵AB=BC，

∴AC⊥BD（等腰三角形三線合一）.證明：（2）菱形的性質(zhì)定理2菱形的對(duì)角線互相垂直.已知:如圖四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DA=DC.求證：（1）AB=BC=CD=DA；（2）AC⊥BD.ABCDO菱形的性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等.∵四邊形ABCD是菱形

，

∴AB=BC=CD=AD.幾何語(yǔ)言：菱形的性質(zhì)定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直.∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD.ABCDO幾何語(yǔ)言：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴∠2=∠3，四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴AE=DE，

∴四邊形AEDF是菱形，

∴EF⊥AD．【例】已知：如圖，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求證：EF⊥AD.

證明：123AEBDCF菱形的判定三思考：怎么判定一個(gè)四邊形是菱形呢？根據(jù)定義得：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.ABCD∵四邊形ABCD為平行四邊形，

AD=AB，∴四邊形ABCD為菱形.還有其他方法嗎?有兩條邊相等觀察下列哪個(gè)四邊形是菱形？有三條邊相等有四條邊相等555555555通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)第三個(gè)四邊形為菱形.猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.提出猜想已知：在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求證：四邊形ABCD是菱形.證明：∵AD=BC，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.

（菱形的定義）ABCD驗(yàn)證猜想幾何語(yǔ)言∵在四邊形ABCD，AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形.菱形的判定定理1：四條邊相等的四邊形是菱形.ABCD得出結(jié)論用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)四邊形.轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形?猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.提出猜想ABCD已知：在ABCD中，AC⊥BD，求證：ABCD是菱形.證明：∴ABCD是菱形.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD.∵AC⊥BD，∴AC為線段BD的垂直平分線.∴BA=AD.

（線段垂直平分線的性質(zhì)）O驗(yàn)證猜想∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC

⊥BD,幾何語(yǔ)言得出結(jié)論菱形的判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.∴

ABCD是菱形.ABCDO判定定理1：四條邊相等的四邊形是菱形∵AB=BC=CD=AD

，

∴四邊形ABCD是菱形.幾何語(yǔ)言：判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形∵四邊形ABCD是平行四邊形，

AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形.ABCDO幾何語(yǔ)言：證明：∵∠1=∠2,AE=AC,AD=AD,

∴△ACD≌△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS).

∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,

∴四邊形CDEF是菱形.2【例】如圖,在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E、F分別在AB、

AD上，且AE=AC，EF

=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.ACBEDF1【例】如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AO=4，BO=3.求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO∴平行四邊形ABCD是菱形.∵

OA=4，OB=3，AB=5，證明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，菱形ABCD兩條對(duì)角線BD、AC長(zhǎng)分別是6cm和8cm，求菱形的面積.

ABCDO你有什么發(fā)現(xiàn)？知識(shí)拓展

◆菱形的面積菱形的面積公式S菱形=BC×AE想一想:已知菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，能求出它的面積嗎?

S菱形ABCD菱形ABCDOE菱形的面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半（2）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，則∠ABD=_______.（1）已知菱形的周長(zhǎng)是12cm，那么它的邊長(zhǎng)是______.3cm60°ABCDO課堂練習(xí)1.填空題2.下列說(shuō)法正確的是（）A.鄰角相等的四邊形是菱形B.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形D3.菱形ABCD中，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，已知AB＝5cm，AO=4cm，求兩對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.

∵Rt△AOB中，OB2+OA2=AB2，AB=5cm，AO=4cm，∴OB=3cm.∴BD=2OB=6cm，AC=2OA=8cm.ABCDO4.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線EF⊥BD，分別交AD，BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接BE，DF.

求證：四邊形BEDF是菱形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.∴△OED≌△OFB.∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形.∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．證明：課堂小結(jié)菱形的定義菱形的性質(zhì)邊角對(duì)角線對(duì)稱性有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的四條邊都相等菱形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)菱形的對(duì)角線互相垂直平分菱形是軸對(duì)稱圖形圖形定理內(nèi)容幾何語(yǔ)言菱形的判定定理定理1