.3.1等比數(shù)列的概念【題型1等比數(shù)列的定義】1、（2021·陜西延安·高二校考階段練習(xí)）下面各數(shù)列是等比數(shù)列的是（）（1），，，；（2）1，2，3，4；（3）x，x，x，x；（4），，，.A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（3）（4）C．（1）（4）D．（1）（2）（4）2、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列a，，，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A．B．或C．D．且3、（2023·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（）A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列4、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，則數(shù)列{an}（）A．一定是等差數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列或等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列5、（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)校考期中）（多選）已知數(shù)列是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）A．B．C．D．【題型2等比數(shù)列的通項(xiàng)與基本量】1、（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，則（）A．-3B．3C．3或-3D．或2、（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二康平高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）等比數(shù)列中，若，則公比為（）A．B．C．D．或3、（2023·河北衡水·高二衡水第二中學(xué)?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（）A．B．C．2D．44、（2023·云南曲靖·高二曲靖民族中學(xué)?？计谀ǘ噙x）在等比數(shù)列中，，則的公比可能為（）A．B．C．2D．45、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，若，是方程的兩個(gè)根，求和．【題型3等比中項(xiàng)及其應(yīng)用】1、（2022·廣西梧州·高二?？计谥校┡c的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別是（）A．B．C．D．2、（2023·上海普陀·高二?？计谥校啊笔恰癎是a、b的等比中項(xiàng)”的（）條件A．既不充分也不必要B．充分不必要C．必要不充分D．充要3、（2023·河南信陽(yáng)·高二信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則（）A．2B．C．D．4、（2021·河南洛陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，則等于（）A．12B．10C．8D．305、（2023·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎獢?shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則（）A．5B．C．D．無(wú)法確定【題型4等比數(shù)列的性質(zhì)】1、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A．12B．2C．30D．322、（2023·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，已知，則必有（）A．B．C．D．3、（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校┮阎?xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A．1012B．2024C．D．4、（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有，，則（）A．B．C．D．5、（2023·云南昆明·高三昆明市第十中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則.【題型5等比數(shù)列的證明】1、（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．證明：為等比數(shù)列；2、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，．（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式．3、（2023·天津·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且.在數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：是等比數(shù)列.4、（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5、（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，，且是以3為公比的等比數(shù)列，記．（1）求、、、的值；（2）求證：是等比數(shù)列．【題型6由等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列】1、（2022·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬(wàn)歷十二年（公元1584年），他寫(xiě)成《律學(xué)新說(shuō)》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過(guò)絲綢之路帶到了西方，對(duì)西方音樂(lè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)正數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，新插入的第4個(gè)數(shù)應(yīng)為（）A．B．C．D．2、（2023·福建福州·高二福州第一中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，且，將去掉一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)依次為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則（）A．B．C．D．3、（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）（多選）已知數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，公比為，則（）A．將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列B．取出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列C．從數(shù)列中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列4、（2023·北京·高二北京市八一中學(xué)?？计谥校┰诤椭g插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于.5、（2023·上?！じ叨？计谥校┰O(shè)、、…、是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后，得到的數(shù)列（按原來(lái)順序）是等比數(shù)列，則滿(mǎn)足題意的所有數(shù)對(duì)為．【題型7等比數(shù)列的單調(diào)性與最值】1、（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為q，且，則“為遞減數(shù)列”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2、（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，則取最大值時(shí)的值為（）A．8B．9C．10D．113、（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．4、（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，并且滿(mǎn)足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．沒(méi)有最大值5、（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）關(guān)于遞減等比數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．【題型8等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】1、（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂(lè)律制，它與五度相生律、純律并稱(chēng)三大律制．“十二平均律”將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．而早在16世紀(jì)，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計(jì)算出這個(gè)比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．若第一個(gè)單音的頻率為，則第四個(gè)單音的頻率為（）A．B．C．D．2、（2023·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）提丟斯—波得定則是關(guān)于太陽(yáng)系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是1766年由德國(guó)的一位中學(xué)老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來(lái)被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一條定律，即太陽(yáng)系第顆行星與太陽(yáng)的平均距離（以天文單位A．U.為單位）構(gòu)成數(shù)列，且數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)乘以10后再減4構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.已知，，則太陽(yáng)系第5顆行星與太陽(yáng)的平均距離為（）A．1.6B．2C．2.8D．2003、（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊．”羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說(shuō)：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問(wèn)題中，馬主人比豬主人多賠償了（）斗．A．B．C．3D．4、（2023·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）為了更好地解決就業(yè)問(wèn)題，國(guó)家在2020年提出了“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，有不少地區(qū)出臺(tái)了相關(guān)政策去鼓勵(lì)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進(jìn)貨.因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求，據(jù)測(cè)算：每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費(fèi)1000元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2021年5月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元5、（2022·四川·高三四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校?883年，德國(guó)數(shù)學(xué)