第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州市天河區(qū)高一（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈N|3≤x<7}，B={y∈R|y≥4}，則A∩B=(

)A.? B.集合A C.{4,5,6} D.[4,7)2.已知命題p：sinθ<0，命題q：θ為第三象限或第四象限的角，則p是q的(

)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.下列正確的是(

)A.a0=1 B.若a12?a?14.集合A，B與對應關系f如圖所示，下列說法正確的是(

)A.若f(a?1)=12f(5)，則a=2

B.f：A→B是從集合A到集合B的函數(shù)

C.x∈A，y∈B對應關系f：x→y=2x?1

D.f：A→B的定義域為集合A，值域為集合B

5.已知角α的終邊上有一點P的坐標是(3t,4t)，其中A.α=π4 B.sinα=45 C.6.下列正確的是(

)A.sinπ12cosπ12=12 7.函數(shù)f(x)=x2?2A.3個 B.2個 C.1個 D.0個8.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1℃，空氣的溫度是θ0℃，那么tmin后物體的溫度θ(單位：℃)可由公式θ=θ0+(θ1?θ0)e?kt求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有75℃的物體，放在A.2min B.3min C.4min D.6min二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為x=1，且與x軸交于點A(?1,0)，則(

)A.a>0

B.?m∈R，a+b≥am2+bm

C.ax+c>0的解集為{x|x<3}

D.cx2+bx+a<0的解集為{x|?1<x<13}

A.φ=π3

B.在區(qū)間[π2,2π3]單調(diào)遞增

C.若方程f(x)=k在區(qū)間[0,π2]上有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，則cos(x1+x2)=?32

D.將y=f(x)圖象的橫坐標伸長到原來的2A.C20244=C20242020 B.C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若扇形的半徑為r，面積為π3r213.已知a=40.1，b=30.6，c=log32，則a14.已知函數(shù)f(x)=|log5x|，若0<n<m，且f(m)=f(n)，則n+3m四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設a，b∈R，P={1,a}，Q={?1,?b}．

(1)當P=Q時，求a?b的值；

(2)已知集合M={x|x2?5x?6<0}，若P?M，求實數(shù)a16.(本小題15分)

(1)化簡：f(α)=sin(2π?α)cos(π+α)cos(π2+α)17.(本小題15分)

設函數(shù)f(x)=1?a2x+1(a∈R)．

(1)當a=2時，證明：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，并求出函數(shù)f(x)的值域；

(2)當18.(本小題17分)

如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊AB，AD上的點．

(1)當DQ=AP=13時，求tan∠PCQ的值；

(2)當△APQ的周長為2時，

(i)求∠PCQ的大?。?/p>

(ii)設∠BCP=α，S為△PCQ的面積，求19.(本小題17分)

我們知道，函數(shù)y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，該性質(zhì)可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)?b為奇函數(shù)，已知函數(shù)g(x)=?5x+15x?1．

(1)函數(shù)g(x)是否為中心對稱圖形？若是請用題設證明并求出對稱中心，若不是請說明理由；

(2)已知直線y=?209x+659與函數(shù)y=|g(x)|的圖象有三個交點.設為(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)參考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.D

6.D

7.A

8.C

9.BCD

10.BC

11.ABC

12.2π313.b>a>c

14.(4,+∞)

15.解：(1)因為P=Q，

所以a=?1，?b=1，

即a=?1，b=?1，

所以a?b=0；

(2)集合M={x|x2?5x?6<0}={x|?1<x<6}，

因為P?M，

所以?1<a<6，

即實數(shù)a的取值范圍為16.解：(1)f(α)=sin(2π?α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(π?α)sin(?π?α)sin(9π2+α)

=?sinα(?cosα)(?sinα)?cosαsinαcosα17.解：(1)證明：當a=2時，f(x)=1?22x+1，

f(?x)=1?22?x+1=1?2×2x1+2x，

f(?x)+f(x)=2?2(1+2x)1+2x=0，

故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

又y=22x+1為R上的減函數(shù)，

所以f(x)=1?22x+1為R上的增函數(shù)，且當x→?∞時，f(x)→?1，且當x→+∞時，f(x)→1，

所以f(x)的值域為(?1,1)；

(2)當a>0時，f(x)=1?a18.解：(1)因為正方形ABCD的邊長為1，DQ=AP=13，

則AQ=23，PB=23，

所CQ=CD2+DQ2=12+(13)2=103，

CP=CB2+BP2=12+(23)2=133，

PQ=AQ2+AP2=(23)2+(13)2=53，

則cos∠PCQ=CP2+CQ2?PQ22CP?CQ=9130，

所以sin∠PCQ=1?cos2∠PCQ=7130，

則tan∠PCQ=sin∠PCQcos∠PCQ=79．

(2)(i)設線段BP、DQ的長度分別為a、b，∠BCP=α，∠DCQ=β，

因為正方形ABCD的邊長為119.解：(1)函數(shù)g(x)的圖象有對稱中心，證明如下：

因為g(x)=?5x+15x?1=10x?1?5，

假設函數(shù)y=g(x)的圖象關于點P(m,n)成中心對稱圖形，

等價于函數(shù)y=g(x+m)?n=10x+m?1?5?n為奇函數(shù)，

因為x+m?1≠0，即x≠1?m，

可知y=g(x+m)?n的定義域為{x|x≠1?m}，

可得1?m=0，即m=1，

此時y=g(x+1)?n=10x?5?n，

可得10x?5?n=?(10?x?5?n)，解得n=?5，

此時y=g(x+1)?5=10x為定義在(?∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)的奇函數(shù)，

所以y=g(x)的對稱中心為(1,?5)；

(2)直線y=?209x+659與函數(shù)y=|g(x)|的圖象有三個交點，

|g(x)|=5?10x?1,x∈(?∞,1)?5+10x?1,x∈(1,3)5?10x?1,x∈[3,+∞),

函數(shù)y=?209x+659的圖象過點(1,5)，

當x=3時，y=59>|g(x)|=0，

所以當x∈(?∞,1)∪[3，+∞)時，

直線y=?209x+659與函數(shù)y=|g(x)|的圖象有兩個交點，如下圖：

設另外兩個交點為(x1,y1)，(x2,y2)，

兩個交點關于點(1,5)對稱，

則y1+y2=10，

當x∈(1,3)時，

由y=?209x+659y=?5+10x?1，解得x3=52y3=53，x4=4y4=?53(舍)，

則直線y=?209x+659與函數(shù)y=|g(x)|的圖象有一個交點(52,53)，如下圖：

設坐標為(x3,