第09講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題及方程的根（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第11題,6分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性函數(shù)對稱性的應(yīng)用極值與最值的綜合應(yīng)用判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)2022年新I卷，第10題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率）求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2022年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2021年新Ⅱ卷，第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根求離散型隨機(jī)查量的均值均值的實(shí)際應(yīng)用2021年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能結(jié)合零點(diǎn)的定義及零點(diǎn)存在性定理解決零點(diǎn)問題3能結(jié)合方程的根的定義用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識講解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)或者通過零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）或者通過零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)（方程的根）對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)（方程的根）尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．考點(diǎn)一、求函數(shù)零點(diǎn)及其個數(shù)1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個數(shù).3．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，試討論的零點(diǎn)個數(shù).1．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距；(2)探究的零點(diǎn)個數(shù)．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，判斷的零點(diǎn)個數(shù).3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的極大值；(2)若，求在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．考點(diǎn)二、由函數(shù)零點(diǎn)及個數(shù)求參數(shù)值1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．3．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，求的取值范圍．4．（2024·廣東茂名·一模）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個零點(diǎn)，求.2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求其單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上僅有2個零點(diǎn)，求的取值范圍．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)．(1)求證：至多只有一個零點(diǎn)；(2)當(dāng)時，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，若成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．考點(diǎn)三、求方程根的個數(shù)1．（2024·浙江溫州·一模）已知（）.(1)求導(dǎo)函數(shù)的最值；(2)試討論關(guān)于的方程（）的根的個數(shù)，并說明理由.1．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值及的最大值；(2)證明：當(dāng)時，；(3)判斷關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)，并證明．2．（2024·河南信陽·一模）已知函數(shù)．(1)若，求證：；(2)討論關(guān)于x的方程在上的根的情況．考點(diǎn)四、由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍1．（2024·貴州貴陽·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時.求在處的切線方程;(2)若方程存兩個不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.2．（2024·山東煙臺·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若方程有三個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2023·廣東梅州·三模）已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)若有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)五、圖象交點(diǎn)問題1．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點(diǎn).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點(diǎn).2．（2024·陜西西安·二模）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若時，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍.3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求的取值范圍.考點(diǎn)六、零點(diǎn)、方程的根、圖象交點(diǎn)小題綜合1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點(diǎn)B．當(dāng)時，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心3．（2022·全國·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn) B．有三個零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線4．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號是．1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù)恰好有一零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知，若函數(shù)有4個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，，則（

）A．若有極值點(diǎn)，則B．當(dāng)時，有一個零點(diǎn)C．D．當(dāng)時，曲線上斜率為2的切線是直線4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為.5．（2024·天津北辰·三模）若函數(shù)有四個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.一、單選題1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）方程有兩個不等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn)B．有一個零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極值點(diǎn)為B．的極值點(diǎn)為1C．直線是曲線的一條切線D．有兩個零點(diǎn)三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．6．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是.7．（23-24高三上·四川內(nèi)江·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與曲線有三個交點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題8．（2023·廣西河池·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)與直線在上有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．（23-24高三上·北京大興·階段練習(xí)）已知，(1)求的極值；(2)若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.10．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，求的取值范圍．一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)，則該直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州貴陽·一模）已知函數(shù)，若方程存在三個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．4．（2024·湖北黃岡·二模）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.5．（2024·福建泉州·一模）已知函數(shù)有且只有兩個零點(diǎn)，則a的范圍．三、解答題6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知在時取得極大值．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)令，試判斷在上零點(diǎn)的個數(shù)．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，.(1)若的最小值為0，求的值；(2)當(dāng)時，證明：方程在上有解.8．（2024·廣東梅州·二模）已知函數(shù)，，（）．(1)證明：當(dāng)時，；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)．1．2．3．4．9．（2024·廣西南寧·二模）已知函數(shù)(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍，(2)若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍，10．（2024·廣西賀州·一模）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于x的方程有且只有一個解，求a的取值范圍．1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤簦瑒t；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）2．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點(diǎn)①；②．3．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))4．（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．5．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點(diǎn)，求的取值范圍．6．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.7．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個實(shí)根，且兩個實(shí)根互為倒數(shù).8．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．9．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個零點(diǎn)．10．（2018·江蘇·高考真題）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為第09講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題及方程的根（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第11題,6分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性函數(shù)對稱性的應(yīng)用極值與最值的綜合應(yīng)用判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)2022年新I卷，第10題,5分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率）求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2022年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2021年新Ⅱ卷，第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根求離散型隨機(jī)查量的均值均值的實(shí)際應(yīng)用2021年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2能結(jié)合零點(diǎn)的定義及零點(diǎn)存在性定理解決零點(diǎn)問題3能結(jié)合方程的根的定義用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)知識講解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)或者通過零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）或者通過零點(diǎn)個數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)（方程的根）對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）①根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)（方程的根）尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．考點(diǎn)一、求函數(shù)零點(diǎn)及其個數(shù)1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，求時方程的解，分區(qū)間確定函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性求最值；（2）函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，討論，結(jié)合圖象確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）的定義域是，，，當(dāng)時，，得.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時，函數(shù)取最大值，最大值為；（2）由，得，令，則，由得，由，得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，，作函數(shù)的圖象如下：綜上：當(dāng)或時，在上有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，在上有2個零點(diǎn)，當(dāng)或時，在上沒有零點(diǎn).2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個數(shù).【答案】(1)最小值(2)答案見解析【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的最小值；（2）令，得，令，則與有相同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再分類討論即可得出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此的最小值為；（2），且，令，得，令，則與有相同的零點(diǎn)，且，令，則，因?yàn)楫?dāng)時，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，使，且當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此的最小值為，由，得，即，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，則，所以，從而，即所以的最小值，所以當(dāng)時，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，因?yàn)?，?dāng)趨近于0時，趨近于；當(dāng)趨近于時，趨近于，所以有兩個零點(diǎn).綜上，當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為0；當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.3．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，試討論的零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率和切點(diǎn)，從而求得切線方程；（2）由為奇函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為討論在上的零點(diǎn)，求得導(dǎo)數(shù)，討論，，和，求得的單調(diào)性、極值和最值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得到零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，，.，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)?，所以為奇函?shù).又因?yàn)?，所以只需要討論在上的零點(diǎn).，.令函數(shù)，①當(dāng)，即時，分段討論：當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減因?yàn)?，，所以存在，使?當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以在上?個零點(diǎn)，在上有3個零點(diǎn).②當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞減，所以在上沒有零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn).③當(dāng)，即時，分段討論：當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使?當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以在上沒有零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn).④當(dāng)，即時，分段討論：當(dāng)時，.當(dāng)時，令函數(shù)，.所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使?所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以存在，使?當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以在上沒有零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn).綜上，當(dāng)時，在上有3個零點(diǎn)；當(dāng)時，在上有1個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.1．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距；(2)探究的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)(2)有兩個零點(diǎn)【分析】（1）求得，得到，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，進(jìn)而求得其在軸上的截距；（2）得到在上遞增，結(jié)合，得到，使得，進(jìn)而求得單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，即可求解.【詳解】（1）解析：由函數(shù)，可得，所以，又，所以的方程為，即，令，可得，所以直線在軸上的截距為．（2）解：因?yàn)楹驮谏暇鶈握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，使得，所以，?dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以有兩個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，判斷的零點(diǎn)個數(shù).【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；(2)2個.【分析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和余弦函數(shù)有界性可判斷導(dǎo)數(shù)符號，當(dāng)時，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，然后可得導(dǎo)函數(shù)符號；（2）當(dāng)時，利用二次導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)有界性可判斷函數(shù)值符號，當(dāng)時，記，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象，根據(jù)與的圖象交點(diǎn)個數(shù)判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，則，所以，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，記，則，因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.綜上，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，則，

記，則，當(dāng)時，，所以，在單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，在上無零點(diǎn).當(dāng)時，因?yàn)?，所以，此時無零點(diǎn).當(dāng)時，記，則，因?yàn)楫?dāng)趨近于0時，趨近于0，所以的變化越來越慢，圖象下凹，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)和的圖象如圖，由圖可知，當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有一個交點(diǎn)，即有一個零點(diǎn).易知是的一個零點(diǎn).綜上，函數(shù)共有2個零點(diǎn).3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的極大值；(2)若，求在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)2025個零點(diǎn)【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，分情況討論，求函數(shù)的極大值.（2）先分析方程在上解得個數(shù)，再分析在上解的個數(shù)，進(jìn)一步考慮方程在上解的個數(shù)，可得問題答案.【詳解】（1）由題易得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，?dāng)時，隨的變化情況如下表：0200極小值極大值由上表可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為．當(dāng)時，隨的變化情況如下表：0200極大值極小值由上表可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為．綜上所述，當(dāng)時，的極大值為；當(dāng)時，的極大值為0．（2）方法一：當(dāng)時，，所以函數(shù)．由，得．所以要求在區(qū)間上的零點(diǎn)的個數(shù)，只需求的圖象與的圖象在區(qū)間上的交點(diǎn)個數(shù)即可．由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．又在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且只有1個零點(diǎn)．因?yàn)楫?dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上有極大值，即當(dāng)時，恒有．又當(dāng)時，的值域?yàn)?，且其最小正周期為，現(xiàn)考查在其一個周期上的情況，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點(diǎn)，即在區(qū)間上有且只有1個零點(diǎn)．因?yàn)樵趨^(qū)間上，，所以與的圖象在區(qū)間上無交點(diǎn)，即在區(qū)間上無零點(diǎn)．在區(qū)間上，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點(diǎn)，即在區(qū)間上有且只有1個零點(diǎn)．所以在一個周期上有且只有2個零點(diǎn)．同理可知，在區(qū)間上，且單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，所以與的圖象在區(qū)間和上各有一個交點(diǎn)，即在上的每一個區(qū)間上都有且只有2個零點(diǎn)．所以在上共有個零點(diǎn)．綜上可知，在區(qū)間上共有個零點(diǎn)．方法二：當(dāng)時，，所以函數(shù)．當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．又，所以存在唯一零點(diǎn)，使得．所以在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)．當(dāng)時，，所以．所以在上無零點(diǎn)．當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，所以存在唯一零點(diǎn)．當(dāng)時，，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增．又，所以存在，使得．即當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，所以在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)所以在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)．當(dāng)時，，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增．又，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減：又，所以存在唯一，使得．所以在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)．所以在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)．所以在上共有個零點(diǎn)．綜上所述，在區(qū)間上共有個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，要利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值情況，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.考點(diǎn)二、由函數(shù)零點(diǎn)及個數(shù)求參數(shù)值1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時,,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.3．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值大于0來求單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，分析可得的取值范圍.【詳解】（1）由，得，令，得，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）令，解得或．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示：0200單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減由函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，得方程有且僅有三個不等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個交點(diǎn)．顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．4．（2024·廣東茂名·一模）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）構(gòu)建函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)，令，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在指定區(qū)間的最值，即得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以不等式轉(zhuǎn)化為，在上恒成立.令，所以.當(dāng)時，恒成立.若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，故，符合題意；若，令函數(shù)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且?dāng)時，.所以，，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因?yàn)?，，令，即，所?令，，則.令，得.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得極小值，即當(dāng)時，取得極小值.又因?yàn)?，，所?所以.當(dāng)取得極大值，即當(dāng)時，取得極大值.又因?yàn)?，，所?所以，所以當(dāng)，.所以.又因?yàn)椋詴r，在上存在零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題（1）構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最值.（3）本題計(jì)算量較大，注意導(dǎo)數(shù)求解過程中的容易出現(xiàn)的問題，以及單調(diào)性的分析要注意取值范圍.1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個零點(diǎn)，求.【答案】(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出，再分析單調(diào)性求出極值.（2）由函數(shù)零點(diǎn)的意義，等價(jià)變形得在只有一解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，，依題意，，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.（2）函數(shù)在只有一個零點(diǎn)，等價(jià)于在只有一個零點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)在只有一個零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)在只有一解，即在只有一解，于是曲線與直線只有一個公共點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在取得極小值同時也是最小值，當(dāng)時，；當(dāng)時，，畫山大致的圖象，如圖，在只有一個零點(diǎn)時，，所以在只有一個零點(diǎn)吋，.2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求其單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上僅有2個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)；的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；(2)【分析】（1）首先根據(jù)，求的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先參變分離為，再構(gòu)造函數(shù)，，并判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，極值和端點(diǎn)值，根據(jù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，即可求解.【詳解】（1），，得，當(dāng)時，，得或，的變化情況如下表所示，00增區(qū)間極大值減區(qū)間極小值增區(qū)間所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；（2）令，，得，令，，，得，如下表，130減區(qū)間極小值3增區(qū)間因?yàn)楹瘮?shù)在上僅有2個零點(diǎn)，即與有2個交點(diǎn)，如圖：即.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的單調(diào)遞增區(qū)間為，得出函數(shù)在處取到極值，即可求解；（2）由（1），令得，令得，若有兩個零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，此時,令的單調(diào)性即可求解．【詳解】（1）由題，的定義域?yàn)?，，由于函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因此函數(shù)在處取得極值，故，解得．因此，令，解得，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，符合題意，故，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）由（1）知，則，令，得．令，則，整理得．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的最大值為，即．若有兩個零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，此時,令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，易知若有兩個零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有一個交點(diǎn)，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)．(1)求證：至多只有一個零點(diǎn)；(2)當(dāng)時，分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，若成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分、及進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可得；（2）由（1）可將轉(zhuǎn)換為，再構(gòu)造函數(shù)，分及進(jìn)行分類討論即可得.【詳解】（1）由題意得，，當(dāng)時，令，解得，①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又，此時函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時，，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，又，則函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，在上至多只有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)至多只有一個零點(diǎn)；③當(dāng)時，，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，又，則函數(shù)在上至多只有一個零點(diǎn)，在區(qū)間上無零點(diǎn)，所以函數(shù)至多只有一個零點(diǎn)，綜上，函數(shù)至多只有一個零點(diǎn)；（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，此時，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕?所以，即，設(shè)，則，令，則，①當(dāng)時，，此時恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，此時，②當(dāng)時，，設(shè)的兩個根為，且，則，所以，則當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，此時，與矛盾，不合題意.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助第一問所得，將雙變量、變?yōu)閱巫兞?，從而可?gòu)造函數(shù)，分及進(jìn)行討論即可得.考點(diǎn)三、求方程根的個數(shù)1．（2024·浙江溫州·一模）已知（）.(1)求導(dǎo)函數(shù)的最值；(2)試討論關(guān)于的方程（）的根的個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)最大值等于(2)答案見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，對再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得最值；（2）方程變形為，令，對求導(dǎo)，確定單調(diào)性，得出函數(shù)值域后可得結(jié)論．【詳解】（1）∵，記∴，解得：當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的最大值等于.（2）方法1：由，即，即.令，∴，由解得：∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且所以：當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，方程有1個解；當(dāng)時，方程有2個解.方法2：由，即，即.令，，∴，由解得：∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且所以：當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，方程有1個解；當(dāng)時，方程有2個解.方法3：由，即，兩邊取對數(shù)得：，即.令，所以由，解得當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減所以當(dāng)，即時，方程無解；當(dāng)，即時，方程有1個解；當(dāng)，即時，方程有2個解.1．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值及的最大值；(2)證明：當(dāng)時，；(3)判斷關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)，并證明．【答案】(1)，最大值為0(2)證明見解析(3)2個，證明見解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）依題意即證當(dāng)時，記，，當(dāng)時直接說明即可，當(dāng)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；（3）設(shè)，，當(dāng)時，由（1）知，則，當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時，，令，利用導(dǎo)數(shù)說明在區(qū)間上單調(diào)遞減，即可得到，從而說明函數(shù)在無零點(diǎn)，即可得解.【詳解】（1）由題意知，且，，，解得，，，則，當(dāng)時，，．故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．當(dāng)時，令，則，，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則．綜上所述，，的最大值為．（2）因?yàn)?，要證當(dāng)時，即證，記，，當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，記，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，，綜上所述，當(dāng)時，．（3）設(shè)，，，當(dāng)時，由（1）知，故，故在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根．當(dāng)時，，因此為的一個實(shí)數(shù)根．當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，，存在，使得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，又，在區(qū)間上有且只有一個實(shí)數(shù)根，在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根．當(dāng)時，，令，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，，于是恒成立．故在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，綜上所述，有2個不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2．（2024·河南信陽·一模）已知函數(shù)．(1)若，求證：；(2)討論關(guān)于x的方程在上的根的情況．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求出最大值即得.（2）構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)并確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再按導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況分類討論求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）依題意，，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，于是在上單調(diào)遞減，①當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，而，因此僅有1個零點(diǎn)；②當(dāng)時，，，存在唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；而，則在上有唯一的零點(diǎn)0，又，則當(dāng)，即時，在上有唯一的零點(diǎn)，函數(shù)在上有2個零點(diǎn)；若，在上無零點(diǎn)，在上有1個零點(diǎn)；③當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此僅有1個零點(diǎn)0；④當(dāng)時，顯然，則，且，又，則函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，．當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，而，則在上有唯一的零點(diǎn)0，顯然，則，且，又，因此在上有唯一的零點(diǎn)，此時有兩個零點(diǎn)；所以當(dāng)且時，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)或時，有一個零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)四、由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍1．（2024·貴州貴陽·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時.求在處的切線方程;(2)若方程存兩個不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）方程進(jìn)行分離參數(shù)變形為，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象得出結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)時，，則，所以，，所以在處的切線方程為：，即．（2）由得，，易知，顯然當(dāng)時等式不成立，所以當(dāng)時，令，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，作出的大致圖象，如圖，由的圖象可知當(dāng)時，方程有兩個不同的解，即方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，所以的取值范圍是．.2．（2024·山東煙臺·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，若方程有三個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性；（2）將方程化為，再討論方程的解的個數(shù)，然后得到方程的根滿足的條件，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）求導(dǎo)知.當(dāng)時，由可知，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，對有，對有，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，，故原方程可化為.而，所以原方程又等價(jià)于.由于和不能同時為零，故原方程又等價(jià)于.即.設(shè)，則，從而對有，對有.故在上遞增，在上遞減，這就得到，且不等號兩邊相等當(dāng)且僅當(dāng).然后考慮關(guān)于的方程：①若，由于當(dāng)時有，而在上遞增，故方程至多有一個解；而，，所以方程恰有一個解；②若，由于在上遞增，在上遞減，故方程至多有兩個解；而由有，再結(jié)合，，，即知方程恰有兩個解，且這兩個解分別屬于和；③若，則.由于，且不等號兩邊相等當(dāng)且僅當(dāng)，故方程恰有一解.④若，則，故方程無解.由剛剛討論的的解的數(shù)量情況可知，方程存在三個不同的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的二次方程有兩個不同的根，且，.一方面，若關(guān)于的二次方程有兩個不同的根，且，，則首先有，且.故，，所以.而方程的解是，兩解符號相反，故只能，.所以，即.這就得到，所以，解得.故我們得到；另一方面，當(dāng)時，關(guān)于的二次方程有兩個不同的根，.且有，，.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于取值范圍問題，使用分類討論法是最直接的手段.1．（2023·廣東梅州·三模）已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）由題意得，令，則，分類討論，，即可得出答案；（2）由（1）得，題意轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，令，則，分類討論，，，即可得出答案．【詳解】（1），令，則當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，得，，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，，方程在上有實(shí)根等價(jià)于方程在上有實(shí)根.令，則當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不合題意；當(dāng)時，，得，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以綜上所述，的取值范圍為2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)若有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件利用切點(diǎn)求出的斜率和函數(shù)值列兩個等式求解即可.（2）把方程中的參數(shù)分離，構(gòu)造新函數(shù)，將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的大致圖象數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以．又，所以．，，所以．綜上．（2）由（1）得，易知，所以有兩個不同的實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為：關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根．設(shè)，，令得，或．所以當(dāng)變化時，的變化情況為000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的極大值為，極小值為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且時，，，當(dāng)且時，，當(dāng)時，．根據(jù)以上信息畫出的大致圖象，如圖所示．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為考點(diǎn)五、圖象交點(diǎn)問題1．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．因?yàn)椋詢蛇吶?shù)得，即，問題等價(jià)為與有且僅有兩個交點(diǎn)．①當(dāng)時，與只有一個交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所以當(dāng)且時有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)椋傻茫?dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取對?shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]【整體點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點(diǎn)的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，若，則，此時無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點(diǎn)，即的解的個數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點(diǎn)即的解的個數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個解，當(dāng)時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個零點(diǎn)，且：當(dāng)時，即即，當(dāng)時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點(diǎn)，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點(diǎn)，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時，首先，證明與曲線有2個交點(diǎn)，即證明有2個零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個交點(diǎn)，即證明有2個零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)椋?，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.1．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點(diǎn).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)求證：函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點(diǎn).【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)題意求出參數(shù)的值，然后求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）由題意構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以切點(diǎn)為.因?yàn)椋?，所以切線方程為.因?yàn)榍芯€經(jīng)過原點(diǎn)，所以，所以.由定義域?yàn)?，故，所以在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)（），則.因?yàn)楫?dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，且，因?yàn)?，且?dāng)時，單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在時沒有零點(diǎn)，所以當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn).當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋液瘮?shù)的圖象是不間斷的，所以當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點(diǎn).綜上所述，函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點(diǎn).2．（2024·陜西西安·二模）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若時，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)對、及分類討論即可得；（2）原問題可等價(jià)于即在上無解，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究即可得.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時，，由，得，由，得，當(dāng)時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，②當(dāng)時，，，當(dāng)時，，的區(qū)間上單調(diào)遞減，③當(dāng)時，由，得或，且.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：遞減遞增遞減綜上所述，當(dāng)時，的在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上的單調(diào)遞減；當(dāng)時，在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間和上單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若時，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個公共點(diǎn)，即關(guān)于的方程，即在區(qū)間上僅只有一個解，是方程的解，且時，問題等價(jià)于即在上無解，即曲線或與直線無公共點(diǎn)，，由得，當(dāng)或時，變化時，，的變化情況如下表：遞減，負(fù)值無意義遞減，正值極小值遞增，正值且當(dāng)且時，；當(dāng)且時，.故的取值范圍為.3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為方程有且僅有兩個不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識可作出的圖象，進(jìn)而得到，結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則定義域?yàn)?，，?dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意知：且；與有且僅有兩個交點(diǎn)，方程有且僅有兩個不等實(shí)根，即方程有且僅有兩個不等實(shí)根，即方程有且僅有兩個不等實(shí)根；令，則定義域?yàn)?，，?dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可得大致圖象如下圖所示，令，則，有且僅有兩個不同實(shí)數(shù)根的充要條件為，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題根據(jù)曲線與直線交點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠首先將問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，進(jìn)而采用同構(gòu)的邏輯，通過構(gòu)造函數(shù)的方式進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)不同函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題.考點(diǎn)六、零點(diǎn)、方程的根、圖象交點(diǎn)小題綜合1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2．（2024·全國·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點(diǎn)B．當(dāng)時，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個零點(diǎn)，于是時，有三個零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心3．（2022·全國·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn) B．有三個零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.4．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點(diǎn)，②正確；對于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個交點(diǎn)，直線與曲線有一個交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．1．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù)恰好有一零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題將函數(shù)恰好有一零點(diǎn)，且等價(jià)于與相切，將切線斜率k和截距b求出來根據(jù)即可求解.【詳解】函數(shù)即，因?yàn)楹瘮?shù)恰好有一零點(diǎn)，且，則由指數(shù)函數(shù)圖象特性與相切，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，切點(diǎn)在切線上，故，所以由得.故選：B.2．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知，若函數(shù)有4個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷在和上各有1個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有2個零點(diǎn)，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)建立不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．又，，，所以在和上各有1個零點(diǎn)．又因?yàn)橛?個根，所以當(dāng)時，有2個零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，解得．故選：B．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)，，則（

）A．若有極值點(diǎn)，則B．當(dāng)時，有一個零點(diǎn)C．D．當(dāng)時，曲線上斜率為2的切線是直線【答案】BC【分析】對A，判斷當(dāng)時情況即可；對B，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可；對C，根據(jù)得關(guān)于對稱，再判斷的對稱性判斷即可；對D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】對A，由題得，當(dāng)時，遞增，不存在極值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯誤；對B，當(dāng)時，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，，所以函?shù)在上有一個零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)有一個零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對C，由得關(guān)于對稱，令，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?，則是奇函數(shù)，圖象的對稱中心是原點(diǎn)，將的圖象向上平移一個單位長度得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C選項(xiàng)正確；對D，令，可得．又，，所以當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，故D選項(xiàng)錯誤.故選：BC．4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，即可得到，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，令，則，易知單調(diào)遞增，所以.令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，得.所以的最大值為.故答案為：5．（2024·天津北辰·三模）若函數(shù)有四個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】分析可知關(guān)于直線對稱，由對稱性可知當(dāng)時，有2個零點(diǎn)，令，化簡整理可得：與在內(nèi)只有一個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象分析求解.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，可知關(guān)于直線對稱，原題意等價(jià)于：當(dāng)時，有2個零點(diǎn)，且，即，若，則，顯然，若時，令，可得，令，可知與在內(nèi)只有一個交點(diǎn)，則，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，又，可得的圖象如圖所示，由圖象可知：或或，解得或或，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱性可得當(dāng)時，有2個零點(diǎn)，這樣可以去絕對值，把問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題.一、單選題1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）方程有兩個不等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形為有兩個不等的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造，求導(dǎo)，得到單調(diào)性和極值情況，又當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，從而得到答案.【詳解】由題意得有兩個不等的實(shí)數(shù)解，令，定義域?yàn)镽，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在時取得極小值，也是最小值，故，又當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，故要想有兩個不等的實(shí)數(shù)解，則.故選：C2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫圖，根據(jù)圖象得零點(diǎn)個數(shù).【詳解】,當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，，，，則的草圖如下：由圖象可得函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.故選：C.二、多選題3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點(diǎn)B．有一個零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)y與零點(diǎn)存在性定理求解三次函數(shù)的極值點(diǎn)，零點(diǎn)，對稱中心，切線問題.【詳解】選項(xiàng)A：則恒成立，故單調(diào)遞增，故不存在兩個極值點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯誤.選項(xiàng)B:又單調(diào)遞增，故有一個零點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C：故點(diǎn)是曲線的對稱中心，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D：令，即，令，則令，則當(dāng)則當(dāng)切線斜率為切點(diǎn)為則切線方程為：與不相等，當(dāng)時同樣切線方程不為，故選項(xiàng)D錯誤.故選：BC.4．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極值點(diǎn)為B．的極值點(diǎn)為1C．直線是曲線的一條切線D．有兩個零點(diǎn)【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系可判斷AB；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的知識可判斷D；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，從而得以判斷．【詳解】對A：因?yàn)?，所以，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.可知在處取得唯一極小值，也是的最小值，所以的極值點(diǎn)為，故A錯誤，B正確；對C：因?yàn)?，，所以在處的切線方程為，即，故C正確．對D：因?yàn)?，，結(jié)合在上的單調(diào)性，可知是在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時，恒成立，故恒成立，所以在上沒有零點(diǎn)；綜上：只有一個零點(diǎn)，故D錯誤．故選：BC.三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值，作出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】由題意，得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，取最大值．作出函數(shù)的大致圖象，如圖．由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點(diǎn)，即方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.6．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可作出函數(shù)的圖象，根據(jù)只有一個交點(diǎn)，即可結(jié)合圖象求解.【詳解】，由于為對勾函數(shù)，最小值為2，而，所以在單調(diào)遞減，故，作出的大致圖象如下：故要使恰有一個零點(diǎn)，只需要只有一個交點(diǎn)，故，即，故答案為：7．（23-24高三上·四川內(nèi)江·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與曲線有三個交點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)為有三個不同的交點(diǎn).構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)極值即可求解.【詳解】由于的圖象與曲線有三個交點(diǎn)，所以有三個不同的實(shí)數(shù)根，即有三個不同的交點(diǎn).記,則，令，則或，此時單調(diào)遞增，令，則，此時單調(diào)遞減，故和分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，要使有三個不同的交點(diǎn)，則,即而，故，故答案為：四、解答題8．（2023·廣西河池·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)與直線在上有兩個不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，點(diǎn)斜式求切線方程即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，在指定區(qū)間上求最大值，最小值即可解決.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題知，函數(shù)與直線在上有兩個不同的交點(diǎn)，令，所以，因?yàn)椋粤?，得，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上有最大值，因?yàn)?，又，所以，所以在上有最小值，所以在上有兩個不同的交點(diǎn)的條件是，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為9．（23-24高三上·北京大興·階段練習(xí)）已知，(1)求的極值；(2)若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求極值；（2）問題化為與有兩個交點(diǎn)，結(jié)合（1）結(jié)論及性質(zhì)確定參數(shù)范圍.【詳解】（1）令且，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上遞增，上遞減，故的極大值為，無極小值.（2）由題設(shè)，有兩個根，即與有兩個交點(diǎn)，由（1）知：在上遞增，上遞減，在上，在上，且當(dāng)趨向正無窮時趨向于0，綜上，只需，即.10．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值大于0來求單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和取值情況，分析可得的取值范圍.【詳解】（1）由，得，令，得，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）令，解得或．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示：0200單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減由函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，得方程有且僅有三個不等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個交點(diǎn)．顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象有三個交點(diǎn)，則該直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：問題轉(zhuǎn)化為方程有三個不等的實(shí)數(shù)根.分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性后求出參數(shù)的范圍；方法二：分離函數(shù)，令，則方程變?yōu)?，分別構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性和極值，再討論當(dāng)時圖象的情況和當(dāng)時設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再由點(diǎn)在直線上和點(diǎn)斜式方程寫出切線方程，求出斜率，最后綜合以上求出斜率范圍.【詳解】問題轉(zhuǎn)化為方程有三個不等的實(shí)數(shù)根．方法一：分離參數(shù)因?yàn)?，所以方程有三個不等的實(shí)根等價(jià)于方程有兩個不等的實(shí)根．令，則．令，則，即單調(diào)遞增．又，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時，單調(diào)遞增，且．又因?yàn)楫?dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選：C．方法二：分離函數(shù)令，則，所以．令，則，解得，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有極小值；而且，所以方程有一解．①當(dāng)時，過一、三象限，兩圖象有兩個交點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時，過原點(diǎn)O作的切線，設(shè)切點(diǎn)，則，所以．又，得，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：方法一關(guān)鍵是能夠把問題轉(zhuǎn)化為方程有三個不等的實(shí)數(shù)根，再分離參數(shù)后由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性和特殊