專題五

概率與統(tǒng)計第2講隨機變量及其分布考情分析KAOQINGFENXI離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常相結(jié)合在一起進行考查，重點考查超幾何分布、二項分布及正態(tài)分布，以解答題為主，中等難度.內(nèi)容索引考點一考點二考點三專題強化練1考點一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用PARTONE核心提煉離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).例1

(1)(多選)設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表：√√X12345Pm0.10.2n0.3若離散型隨機變量Y＝－3X＋1，且E(X)＝3，則A.m＝0.1 B.n＝0.1C.E(Y)＝－8 D.D(Y)＝－7.8解析由E(X)＝1×m＋2×0.1＋3×0.2＋4×n＋5×0.3＝3，得m＋4n＝0.7，又由m＋0.1＋0.2＋n＋0.3＝1，得m＋n＝0.4，從而得m＝0.3，n＝0.1，故A選項錯誤，B選項正確；E(Y)＝－3E(X)＋1＝－8，故C選項正確；因為D(X)＝0.3×(1－3)2＋0.1×(2－3)2＋0.1×(4－3)2＋0.3×(5－3)2＝2.6，所以D(Y)＝(－3)2D(X)＝23.4，故D選項錯誤.(2)已知隨機變量ξ的分布列如表所示，若E(ξ)＝D(ξ)，則下列結(jié)論中不可能成立的是ξkk－1Pa1－a√解析由題意得E(ξ)＝ka＋(k－1)(1－a)＝k－1＋a，D(ξ)＝[k－(k－1＋a)]2·a＋[k－1－(k－1＋a)]2·(1－a)＝a(1－a).因為E(ξ)＝D(ξ)，所以k－1＋a＝a(1－a)，所以k＝1－a2，規(guī)律方法分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質(zhì)可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率.跟蹤演練1

(1)已知隨機變量X，Y的分布列如下：則E(X)·E(Y)的最小值為√(2)(2021·紹興模擬)設(shè)a>0，若隨機變量ξ的分布列如下：ξ－102Pa2a3a則下列方差值中最大的是A.D(ξ) B.D(|ξ|)C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|＋1)√其中D(2ξ－1)最大.2考點二隨機變量的分布列PARTTWO核心提煉1.超幾何分布在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2.二項分布一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝

pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.考向1二項分布例2

為了加強食品安全監(jiān)管，某縣市場監(jiān)管局計劃添購一批食品檢測儀器，符合這次采購要求的檢測儀器只有甲、乙兩種型號，下表是該縣市場監(jiān)管局以往使用甲、乙兩種型號檢測儀器的使用年限及數(shù)量統(tǒng)計表.使用年限1年2年3年4年合計甲型號檢測儀器數(shù)量/臺287320乙型號檢測儀器數(shù)量/臺396220以頻率估計概率.(1)分別從以往使用的甲、乙兩種檢測儀器中各隨機抽取一臺，求甲型號檢測儀器的使用年限比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年的概率；解記事件Ai為“從以往使用的甲型號檢測儀器中隨機抽取一臺，使用年限為i年”，事件Bi為“從以往使用的乙型號檢測儀器中隨機抽取一臺，使用年限為i年”，i＝1,2,3,4，事件C為“從以往使用的甲、乙兩種型號檢測儀器中各隨機抽取一臺，甲型號檢測儀器的使用年限比乙型號檢測儀器的使用年限恰好多1年”，則(2)若該縣市場監(jiān)管局購買甲、乙兩種型號檢測儀器各2臺，記2年后仍可使用的檢測儀器的臺數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值.使用年限1年2年3年4年合計甲型號檢測儀器數(shù)量/臺287320乙型號檢測儀器數(shù)量/臺396220設(shè)2年后仍可使用的甲型號檢測儀器有X臺，乙型號檢測儀器有Y臺，由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，P(ξ＝1)＝P(X＝1，Y＝0)＋P(X＝0，Y＝1)P(ξ＝3)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)所以ξ的分布列為考向2超幾何分布例3

(2021·房山模擬)單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的12名運動員按照預(yù)賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據(jù)運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取單次最高分作為比賽成績.現(xiàn)有運動員甲、乙二人在2021賽季單板滑雪U型池世界杯分站比賽成績?nèi)缦卤恚悍终具\動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設(shè)甲、乙二人每次比賽成績相互獨立.(1)從上表5站中隨機選取1站，求在該站運動員甲的成績高于運動員乙的成績的概率；分站運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70解設(shè)“該站運動員甲的成績高于該站運動員乙的成績”為事件A，運動員甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為86.20,92.80,87.50,89.50,86.00，運動員乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為88.40,88.60,89.10,88.20,87.70，其中第2站和第4站甲的成績高于乙的成績，(2)從下表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數(shù)，求X的分布列和均值；分站運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70解X可能取的值為0,1,2，則∴X的分布列為(3)假如從甲、乙2人中推薦1人參加2022年北京冬奧會單板滑雪U型池比賽，根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，你推薦誰參加，并說明理由.解推薦乙.規(guī)律方法求隨機變量X的均值與方差的方法及步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能的全部取值；(2)求X取每個值對應(yīng)的概率，寫出隨機變量X的分布列；(3)由均值和方差的計算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若隨機變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點分布、二項分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；解設(shè)事件A表示“甲被企業(yè)M正式錄取”，事件B表示“乙被企業(yè)M正式錄取”，事件C表示“丙被企業(yè)M正式錄取”，設(shè)事件D表示“甲、乙、丙三人都沒有被企業(yè)M正式錄取”，(2)為鼓勵優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，企業(yè)M決定給報名參加應(yīng)聘且通過資料初審的大學(xué)生一定的補貼，補貼標準如下表：參與環(huán)節(jié)筆試面試補貼(元)100200記甲、乙、丙三人獲得的所有補貼之和為X元，求X的分布列和均值.解X的所有可能取值為300,500,700,900，所以X的分布列為3考點三正態(tài)分布PARTTHREE核心提煉解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸x＝μ.(2)樣本標準差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉(zhuǎn)化為3σ的特殊區(qū)間.例4

(1)(2021·棗莊模擬)醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)、中、外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)(普通衛(wèi)生紗布或無紡布)，中層為隔離過濾層(超細聚丙烯纖維熔噴材料層)，外層為特殊材料抑菌層(無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層).根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標準，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率x～N(0.9372，0.01392).若x～N(μ，σ2)(σ>0)，則P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)≈0.9973，0.9772550≈0.3164.有如下命題：甲：P(x≤0.9)<0.5；乙：P(x<0.4)>P(x>1.5)；丙：P(x>0.9789)≈0.00135；?。杭僭O(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于μ＋2σ的數(shù)量，則P(X≥1)≈0.6.其中假命題是A.甲

B.乙

C.丙

D.丁√解析由題意可知，正態(tài)分布中μ＝0.9372，σ＝0.0139；因為0.9<μ，所以P(x≤0.9)<P(x≤μ)＝0.5，故甲正確；因為|μ－0.4|<|1.5－μ|,0.4<μ<1.5，所以P(x<0.4)>P(x>1.5)，故乙正確；因為P(x>0.9789)＝P(x>μ＋3σ)，且P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)≈0.9973，又因為P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.9772550≈0.6836，故丁錯誤.(2)(2021·常州模擬)設(shè)隨機變量ξ～N(μ，1)，函數(shù)f(x)＝x2＋2x－ξ沒有零點的概率是0.5，則P(0<ξ≤1)等于(附：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545)A.0.1587 B.0.1359C.0.2718 D.0.3413√解析∵函數(shù)f(x)＝x2＋2x－ξ沒有零點，即一元二次方程x2＋2x－ξ＝0無實根，∴Δ＝4＋4ξ<0，∴ξ<－1，又∵f(x)＝x2＋2x－ξ沒有零點的概率是0.5，∴P(ξ<－1)＝0.5，由正態(tài)曲線的對稱性知μ＝－1，∴ξ～N(－1,1)，∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1，∴P(－2<ξ<0)≈0.6827，P(－3<ξ<1)≈0.9545，規(guī)律方法利用正態(tài)曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1，注意下面三個結(jié)論的活用：(1)對任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a).跟蹤演練3

(1)一批電阻的電阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000,52).現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機抽取一個電阻，測得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認為A.甲、乙兩箱電阻均可出廠B.甲、乙兩箱電阻均不可出廠C.甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D.甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠√解析因為X～N(1000,52)，所以μ＝1000，σ＝5，所以μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.因為1011∈[985,1015]，982?[985,1015]，所以甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠.(2)(2021·丹東模擬)2012年國家開始實行法定節(jié)假日高速公路免費通行政策，某收費站在統(tǒng)計了2021年清明節(jié)前后車輛通行數(shù)量之后，發(fā)現(xiàn)該站近幾天每天通行車輛的數(shù)量ξ服從正態(tài)分布N(1000，σ2)，若P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1200)＝b，則

的最小值為_____.8解析ξ服從正態(tài)分布N(1000，σ2)，則P(ξ>1200)＝a＝P(ξ<800)，4專題強化練PARTFOUR1.設(shè)隨機變量X，Y滿足Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝

，則D(Y)等于A.4

B.5

C.6

D.7一、單項選擇題1234567891011121314√12345678910111213142.(2021·沈陽模擬)某工廠生產(chǎn)了10000根鋼管，其鋼管內(nèi)徑(單位：mm)近似服從正態(tài)分布N(20，σ2)(σ>0)，工作人員通過抽樣的方式統(tǒng)計出，鋼管內(nèi)徑高于20.05mm的占鋼管總數(shù)的

，則這批鋼管中，內(nèi)徑在19.95mm到20mm之間的鋼管數(shù)約為A.4200根

B.4500根C.4800根

D.5200根√123456789101112131412345678910111213143.(2021·遂寧模擬)“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價值.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動.某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進行準備，且各自選取的書均不相同.比賽時，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準備的書的人數(shù)的均值為√1234567891011121314解析記抽到自己準備的書的學(xué)生數(shù)為X，則X可能取值為0,1,2,4，12345678910111213144.某校高三學(xué)生小李每天早晨7點下課后，從教室到學(xué)校餐廳吃早餐，步行4分鐘，打飯所需時間Z(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)，吃飯需要15分鐘，而后步行4分鐘返回教室.已知學(xué)校要求學(xué)生7：30開始在教室內(nèi)上自習(xí)，則小李上自習(xí)不遲到的概率約為(保留至小數(shù)點后四位小數(shù))參考數(shù)據(jù)：若隨機變量Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)≈0.9973.A.0.1657 B.0.8344C.0.9773 D.0.9987√1234567891011121314解析由題意可知，小李打飯時間不超過30－4－15－4＝7(分鐘)，所以小李上自習(xí)不遲到的概率即為P(Z<7)，因為打飯所需時間Z(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)，所以μ＝5，σ＝1，μ＋2σ＝5＋2×1＝7，1234567891011121314√1234567891011121314在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正確；12345678910111213146.(2021·杭州模擬)已知0<k<1,0<x<1，隨機變量X的分布列如下：當(dāng)E(X)取最大值時，D(X)等于√12345678910111213141234567891011121314二、多項選擇題7.袋子中有2個黑球，1個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分數(shù)為X，則√√√1234567891011121314解析從袋子中有放回地隨機取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球記1分，取4次球的總分數(shù)，即為取到黑球的次數(shù)，1234567891011121314√√√123456789101112131412345678910111213141234567891011121314三、填空題0.169.(2021·南昌模擬)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，則P(ξ≤0)＝______.解析因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16.123456789101112131410.(2021·曲靖模擬)已知隨機變量ξ的分布列為(4,9]1234567891011121314解析由隨機變量ξ的分布列知，ξ2的所有可能取值為0,1,4,9，∴實數(shù)x的取值范圍是4<x≤9.123456789101112131411.甲、乙兩個球隊進行籃球決賽，采取五局三勝制(共贏得三場比賽的隊伍獲勝，最多比賽五局)，每場球賽無平局.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主場安排為“主客主主客”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽相互獨立，則甲隊以3∶2獲勝的概率為______.0.18解析由題意知，甲隊以3∶2獲勝，則甲隊第五場必勝，前四場“主客主主”中勝兩局，有兩種情況：一種為三個主場勝兩場，一種為客場勝一場主場勝一場，123456789101112131432解析根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知，要使誤差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.9545，1234567891011121314四、解答題13.《健康中國行動(2019－2030年)》包括15個專項行動，其中全民健身行動提出鼓勵公眾每周進行3次以上、每次30分鐘以上中等強度運動，或者累計150分鐘中等強度或75分鐘高強度身體活動，日常生活中要盡量多動，達到每天6千步～10千步的身體活動量，某高校從該校教職工中隨機抽取了若干名，統(tǒng)計他們的日均步行數(shù)(均在2千步～14千步之間)，得到的數(shù)據(jù)如下表：日均步行數(shù)/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人數(shù)1224a24b9頻率0.080.160.40.16c0.061234567891011121314(1)求a，b，c的值；日均步行數(shù)/千步[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14]人數(shù)1224a24b9頻率0.080.160.40.16c0.06c＝1－0.08－0.16－0.4－0.16－0.06＝0.14.(2)“每天運動一小時，健康工作五十年”，學(xué)校為了鼓勵教職工積極參與鍛煉，決定對日均步行數(shù)不低于m千步的教職工進行獎勵，為了使全校30%的教職工得到獎勵，試估計m的值；1234567891011121314解由題意知，日均步行數(shù)在[10,14]內(nèi)的頻率為0.14＋0.06＝0.2，日均步行數(shù)在[8,14]內(nèi)的頻率為0.16＋0.14＋0.06＝0.36，解得m＝8.75.所以當(dāng)m＝8.75時，全校30%的教職工能夠得到獎勵.(3)在第(2)問的條件下，以頻率作為概率，從該校得到獎勵的教職工中隨機抽取3人，設(shè)這3人中日均步行數(shù)不低于10千步的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.1234567891011121314解由題意知，該校得到獎勵的教職工在全校教職工中所占的比例為0.3，1234567891011121314所以X的分布列為14.(2021·南通模擬)2020年國慶節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握國慶節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了3日上午9：20～10：40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費站點，1234567891011121314它們通過該收費站點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9：20～9：40記作[20,40)，9：40～10：00記作[40,60)，10：00～10：20記作[60,80)，10：20