2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項.

1.已知集合M={X|-4<X<1},N={X|-1<M<3}〃JMUN=（）

A.{x|-4<x<3}B.{x|-ld}C.{0,l,2)D.{-r|-l<x<4}

2.已知：=i—1,則z=().

A.l-zB.-zC.-l-zD.l

3.求圓f+）,2一21+6），=0的圓心至iJx-y+2=O的距離（)

A.2石B.2C.3及D.>/6

五了的二項展開式中/的系數(shù)為（

4.1-)

A.15B.6C.-4D.-13

5.已知向量則“（"租4一到=0"是）條件.

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知/（尤）=0由5（0>0）,/（%）=-1,/（七）=1,1七一4=泉則刃=（）

A.IB.2C.3D.4

7.記水的質(zhì)量為d=手，并且△越大，水質(zhì)量越好.若S不變，且4=2.14=2.2,.則叫

與〃2的關(guān)系為（）

A.%<n2

B.n｝>n2

C.若Svl,則“<%；若S>1，則%>%；

D若Sv1,則〃]>%；若S>1，則〃1<%;

8.已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4,4,2瓶,2&,則該四棱

錐的高為（）

A.—B.且C.2>/3D.百

22

9.已知（百,）[）,（和用）是函數(shù)丁=2、圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）

A.log2號>號B.log?牛〈詈

C.log2^±^->x,4-x2D.log,

io.若集合｛（x,y）ly=工+5-OOYWI,is。｝表示的圖形中，兩點間最大距離為

d,面積為5,則（）

A.c/=3,SvlB.d=3,S>lC.d=M,S<1D.d=M,S>T

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題,每小題5分，共25分.

11.已知拋物線丁=16幾則焦點坐標(biāo)為.

12.已知ae[/，彳],且。與夕的終邊關(guān)于原點對稱，則cos"的最大值為.

13.已知雙曲線￡-）,2=1,則過（3,0）且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為

4

14.已知三個圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列.第一個圓柱的直徑為65mm，第二、

三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，求前兩個圓柱的高度分別為

15.己知歷二招q二4},牝，/不為常數(shù)列且各項均不相同，下列正確的是

①4也均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；②勺也均為等比數(shù)列，則M中最多三

個元素；③勺為等差數(shù)列也為等比數(shù)列，則M中最多三個元素.

④仆單調(diào)遞增也單調(diào)遞減，則加中最多一個元素

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在AA8C中M=7,A為鈍角，sin28=#bcos8.

⑴求ZA;

⑵從條件①，條件②和條件③中選擇一個作為已知，求AABC的面積.

①〃=7,②cos5=;@csinA=-|>/3.

注：如果選擇條件①，條件②和條件③分別解答，按笫一個解答計分.

17.已知四棱錐尸一48。,4)//8。，48=8。=1,4。=3,。￡=生=2,芯$是4。上

一點PE上AD.

(1)若尸是PE中點，證明：BF//平面PCD.

⑵若A8_L平面求平面Q4B與平面PC。夾角的余弦值.

18.已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付0.8萬元，第4次賠付0.6萬元

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：

(1)求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率.

⑵⑴毛利潤是保費與賠償金額之差.設(shè)毛利潤為X，估計X的數(shù)學(xué)期望.

(U)若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%,已賠償過的增加20%.估計保單下

一保險期毛利潤的數(shù)學(xué)期望.

19.已知橢圓方程/=焦點和短軸端點構(gòu)成邊長為2的正方形,

過(0"小＞&川勺直線/與橢圓交于A8,C(0,l),連接AC交橢圓于。.

(1)求橢圓的離心率和方程.

⑵若直線的斜率為0,求九

20.己知/(?=久+-n(1+%)在(，,/(，))(/>0)處切線為/.

⑴若/的斜率左=-1,求fM單調(diào)區(qū)間.

(2)證明：切線/不經(jīng)過。(。,0).

(3)已知無=1,J⑺)，C(0J⑺)，0(0,0),其中2〉0,切線/與y軸交于點3時.當(dāng)

2sMe°=15SA3。,符合條件的A的個數(shù)為？

(參考數(shù)據(jù)：I.O9<ln3<1.10,1.60<ln5<I.6l,l.94<ln7<1.95)

21.設(shè)集合例={(iJ")|i￡{l,2},/￡{3,4},s￡{5,6}Je{7,8},2］(i+J+s+r)}.對于給

定有窮數(shù)列兒{q}(1。48),及序列0/%,....，4,4=&,小與川￡知,定義變換

T:將數(shù)列A的第4",s3項加1,得到數(shù)列［(A);將數(shù)列［(A)的第4牛歌山列加1,

得到數(shù)列口⑷…;重復(fù)上述操作，得到數(shù)列小口⑷,記為Q(A),若4+/+%+%

為偶數(shù)，證明：“存在序列。，使得Q(A)為常數(shù)列”的充要條件為

+a2=+。6=47+

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)答案解析

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項.

1.已知集合M={X|-4<XW1},N={X|-1<X<3/IJM|JN=()

A.{x|-4<x<3}B.{x|-l<x<l}C.{O,1,2}D.{x|-1<x<4}

【答案】A

【解析】由題意得MUN=(<3)

故選：A.

2.已知f=則z=().

i

A.1—zB.—iC.—1—/D.l

【答案】C

【解析】由題意得z=i(，-1)=一1”,故選：c.

3.求圓f+J一2x+6y=（）的圓心至Ijx-）'+2=。的距離（）

A.26B.2C.35/2D.>/6

【答案】C

【解析】由題意得Y+/一2X+6丁=0,即+（y+3）2=10

則其圓心坐標(biāo)為（1,-3）,則圓心到直線x-），+2=0的距離為+

VI2+12

故選：C.

4.k-?了的二項展開式中V的系數(shù)為（）

A.15B.6C.-4D.-13

【答案】B

【解析】卜一?）4的二項展開式為乙1=0：4]-?）'=€：：（-1丫”,（〃=0,1,234）

令4-1=3,解得〃=2,故所求即為。，—1『=6.故選：B.

5.已知向量26,則“R+B）R-3）=o"是%=〃或々=V的（）條件.

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因為（。+孫（"〃）=/-6=。,可得用=廬,即悶=忖

可知（4+/?）.（〃—力）=0等價于同=網(wǎng)

若4=0或公）同得同小，即=0河知必要性成立.

若心+孫,一^^抑同二瓦無法得出匕二方或狗二了

綜上所述，十方））=0”是“"6且"-廠的必要不充分條件

故選：A.

6已.知/(x)=sinGx(o>0),/(藥)二一1,/(毛)=1」?一到而二￡，則G=(

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意可知:?為/(%)的最小值點為/CO的最大值點

T萬

則居一/L=5=5,即7=萬

且3>0,所以$@=半=2.

故選：B.

7.記水的質(zhì)量為1=±<并且d越大冰質(zhì)量越好.若S不變，且4=2.LW22則々

\nn

與〃2的關(guān)系為()

A.勺<n2

C.若Svl,則“若S>1,則〃?>%；

D若S<1,則4若S>1,則勺<%;

【答案】C

“2」

4=In勺

【解析】由題意可得

“2.2

d=

2In%

S-1

/?!=e21

解得，

s-\

22

n2=e

若S>1,則=可得高>與，即%>〃2；若5=1,則當(dāng)=二=0,可得

2.12.2c1°2.12.2

=&T；

若Svl,則冷?〈汩?，可得*v制,即馬<%；

2.12.2c

故選：C.

8.已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4,4,2瓶,2&,則該四棱

錐的高為（）

A.—B.且C.2>/3D.x/3

22

【答案】D

【解析】如圖，底面PEF為正方形

當(dāng)相鄰的棱長相等M，不妨設(shè)PA=PB=AB=4,PC=PD=2JI

分別取A&CD的中點E/,連接PE,PF,EF

則PE1EF±AB,且PE^EF=E,/u平面PEF

可知A3_L平面PEF，且A3u平面ABCD

所以平面PE尸上平面ABCD

過尸作七尸的垂線，垂足為。，即PO±EF

由平面PEF「平面ABCD=EF,POu平面PEF

所以20_1_平面網(wǎng)%'

由題意可得：PE=2瓜PF=2,EF=4,/.PE2+PF2=EF2，即PELPF

則goE/尸=衣，可得P0=6

所以四棱錐的高為6

當(dāng)相對的棱長相等時，不妨設(shè)PA=PC=4,PB=PD=2V2

因為BO=4&=P3+PD,此時不能形成三角形P8"與題意不符，這樣情況不存在

故選：D.

9.已知（公）［）,（程外）是函數(shù)y=2、圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）

A.log?號>詈B.log2A121<^i

CJog2七三>內(nèi)+/D.log2<x,+x2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB;舉例判斷

CD即可.【解析】由題意不妨設(shè)王<七,因為函數(shù)y=2'是增函數(shù)，所以0<2』<2J

即0<x<%

2司+2"2I----占+咫+v生寶

對于選項AB:可得->1272%=22，即)vj>22>0

22

根據(jù)函數(shù)y=log?X是增函數(shù)，所以10g22cA>1叫2空='衛(wèi)，故A正確,B錯誤.

對于選項C：例如％=。,々=1,則y=1,%=2

可得log2"以=log21?0,1)，即log?上產(chǎn)<1=%+々，故C錯誤

對于選項D:例如玉=一也=2則x=1y2=l

可得log2=log2|=log23-3e(-2,-l),BP1唱>一3=*+/，故D錯誤

2o2

故選：A.

10.若集合｛(x,y)1y=x+r(x2-x),04fG,1Wx<2｝表示的圖形中，兩點間最大距離為

d,面積為5,則()

A.”=3,S<1B.d=3,S>lC.d=VFo,S<1D.d="7J,S>l

【答案】C

【解析】

y<x2

先以/為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域卜Nx，結(jié)合圖形分

l<x<2

析求解即可

【解析】對任意給定工由1,2]

則x2-x=x(x-l)之0,且fe[0,1]

可知XWX+NV-X)Vx+V-x=f,即),4/

y<x2

再結(jié)合工的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域卜21

l<x<2

如圖陰影部分所示淇中41,1),8(2,2),C(2,4)

可知任意兩點間距離最大值”=|Aq=W

陰影部分面積SvS.c=gxlx2=l.

故選:C

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題,每小題5分，共25分.

11.已知拋物線)，2=16九則焦點坐標(biāo)為.

【答案】(4,0)

【解析】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=16工，所以其焦點坐標(biāo)為(4,0).

JT7T

12.己知ae，且。與夕的終邊關(guān)于原點對稱，則cos/的最大值為_______.

63

【答案】

【解析】由題意B=a+7t+2kn、kGZ，從而co$4=cos(a+;r+2A7r)=-cos2

因為所以cosa的取值范圍是",g|,cos/的取值范圍是[名二

_63J122J]22

當(dāng)且僅當(dāng)即夕=9+2k;rMeZ時,cos/?取得最大值，且最大值為一；

故答案為：-1.

13.已知雙曲線《-)，2=1,則過(3,0)且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為

【答案】

【解析】聯(lián)立x=3與看-)，2=1,解得)，=±且，這表明滿足題意的直線斜率一定存在

4.2

設(shè)所求直線斜率為％,則過點(3,0)且斜率為Z的直線方程為)，=刈工-3),聯(lián)立

2

X_2

,了一)’，化簡并整理得：(1-4/卜2+24/x-36產(chǎn)-4=0,由題意得1-4公=0或

y=k(^x-3)

△二(24廿丫+4(36左2+4)(1-4&2)=0

解得攵=±；或無解，即女二士;，經(jīng)檢驗，符合題意.

故答案為：4-

14.已知三個圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列.笫一個圓柱的直徑為65mm，第二、

三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，求前兩個圓柱的高度分別為

【答案】—mm,23mm

【解析】設(shè)第一個圓柱的高為4,第二個圓柱的高為〃2,則

f65V,f325Y,

4心

故"二23mm,%=U*mm,故答案為：〃2mm,23mm.

——22

15.已知加=伊q=4｝,應(yīng)，/不為常數(shù)列且各項均不相同，下列正確的是

①耳，年均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；②凡也均為等比數(shù)列，則M中最多三

個元素；③勺為等差數(shù)列也為等比數(shù)列，則M中最多三個元素.

④凡單調(diào)遞增也單調(diào)遞減，則M中最多一個元素

【答案】①③④

【解析】對于①?.?｛%｝，｛〃”｝均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上而兩條直線

至多有一個公共點，故M中至多一個元素，故①正確

對于②，取4=r~\bn=-（-2f'，則｛4｝,也｝均為等比數(shù)列，但當(dāng)〃為偶數(shù)時，有

%=2"T="二一（一2廣）此時〃中有無窮多個元素，放②錯誤.

對于③設(shè)2=W（A”O(jiān),gH±l）4=kn+b（kwO）

若M中至少四個元素，貝J關(guān)于〃的方程A/=也+人至少有4個不同的正數(shù)解

若4則由y=和3=5+方的散點圖可得關(guān)于〃的方程Ag”=加+b至多

有兩個不同的解,矛盾.

若,/<0均工±1,考慮關(guān)于〃的方程加+8奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)

當(dāng)Ac/n=kn+b有偶數(shù)解，此方程即為A同"=k〃+b

方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時Akin|夕|>0

否則Ak\n\q|v0,因y=A\qy=而+力單調(diào)性相反

方程川嫉:包+/?至多一個偶數(shù)解

當(dāng)Aq”=5+匕有奇數(shù)解，此方程即為-A|*=kn+b

方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時-AAIn|g|>0即4In①|(zhì)<。

否則從1討4|>0,因），二一|夕|",），=如+〃單調(diào)性相反

方程川引"=切+〃至多一個奇數(shù)解

因為Akln|q|>0,AMn|01Vo不可能同時成立

故4夕”=而+8不可能有4個不同的正數(shù)解，故③正確

對于（4）,因為伍〃｝為單調(diào)遞增,｛a｝為遞減數(shù)歹（前者散點圖呈上升趨勢

后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.

故答案為：①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

反

16.在A/WC中，〃=7,4為鈍角，$吊28二組加053.

7

⑴求N4；

⑵從條件①，條件②和條件③中選擇一個作為已知，求AABC的面積.

1aq

①。=7,②cosB=—;@csinA=—\f3.

注：如果選擇條件①，條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）4=看27r

⑵選擇①無解：選擇②和③AA8C面積均為

4

【小問1解析】

由題意得2sin8cos8=巫/?cos8,因為A為鈍角

7

b2a7

77

貝IJcosB工0,則2sinB=—b，貝Usin8x/3sinAsinA,舟車得sinA縣

72

7

因為A為鈍角，則A=笄

由題意得2sinBcosB=-^-/?cos3,因為A為鈍角

7

R-b-2々二7

貝ljcosBw0,則2sinB=—/?JiJsinB指sinAsinA，解得sin4=

72

7

因為A為鈍角，則—

?'

【小問2解析】

由題意得2sinBcosB=^-bcosB，因為A為鈍角

7

b27

貝IJCOSBHO,貝Ij2sin3=^

b，則sinB75sinAsinA，解得sinA=

72

~T

24

因為A為鈍角，則A=?

選擇①〃=7,則而八電力二走x7二正，因為A二■，則8為銳角，則8=(

14142

此時A+8=〃，不合題意，舍棄.

1336

選擇②8S*正因為B為三角形內(nèi)角，則sin”

貝I」代入2sinB=@b得2、也=立b,解得b=3

7147

2萬、?2乃,、2兀.

sinC=sin(/\+/?)=sin+Br=sin——coso+cos——sinB

33

3G5G

國”+x-----=------

2141414

則SM〃C=；^inC=lx7x3x^=l^

乙2144

選擇③csinA=:6,則有ex立=?百，解得c=5

222

7_5.5x/3

則由正弦定理得’4=白，即京=碇'=M3可

sinAsine—

2

II

因為C為三角形內(nèi)角，則cosC=

M

rt?7、?/a\?J九I?j7CJ兀C

貝Ijsinn=sin(A+C)=sin——+C=sin——cosC+cos——s?inC

則心…Lcsin8」7x5x述二座

"22144

17.已知四棱錐P-人8。,人力//3。，八3=3。=1,4)=3,。七=尸￡：=2,后$是力。上

一點、PE人AD.

⑴若尸是正中點,證明：平面PCD.

(2)若八8_L平面PED,求平面Q4B與平面PCD夾角的余弦值.

【答案】(1)見解析

【小問1解析］

取。。的中點為S,連接SRSC,則SfV/￡O,"=；ED=l

而EO//3C,a=28C,故"http://8C,S/=8C,故四邊形SFBC為平行四邊形

故BF//SC,而即U平面PCD,SCu平面PCD

所以引^7/平面PC。

【小問2解析】

因為瓦)=2,故AE=1,故AE//3C,AE=8C

故四邊形ED=2$AECB$為平行四邊形，故CE//A3,所以CEJL平面尸AO

而PE,EDu平面PAD,故CEJ.PE,CE上ED,而PE上ED

則4(0,—1,0),8(1,—1,0),。(1,0,0),。(0,2,0),。(0,0,2)

.?.E4=(O,-l,-2),PB=(l,-l,-2),PC=(l,O,-2),PD=(O,2,-2),

設(shè)平面PAB的法向量為m=(x,y,z)

m-PA=0-y-2z=0

則由■'=>in=(O,-2』),取而=(O,—2,l)

x-v-2z=0

in?PB=0*

設(shè)平面PC。的法向量為〃=W，》,c)

n-PC=Oa—2b=0

則由，可得4，取〃=(2J1)

n-PD-02/7-2c=0

__—1V30

cos——f=-

V5xV6~30

故平面B仍與平面尸。夾角的余弦值為叵

30

18.已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付0.8萬元，第4次賠付0.6萬元

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：

(1)求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率.

⑵⑴毛利潤是保費與賠償金額之差.設(shè)毛利潤為X，估計X的數(shù)學(xué)期望.

(U)若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%,已賠償過的增加20%.估計保單下

一保險期毛利潤的數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴A

⑵⑴0.122萬元(ii)0.1252萬元

【小問1解析】

設(shè)A為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”

60+30+101

由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得P（4）=

800+100+60+30+1010

【小問2解析】

⑴設(shè)4為賠付金額，則占可取008』.6,243

由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得產(chǎn)（€=。）=照=：尸?=。8）=倦=]

1IAJUD1UUU1U

^=1.6)=—=AP((A=2.4)=—=—

1000501000100

10_1

P(J=3)=

io6o-lo6

4i33i

.?.E(/)=0X-+0.8X—+1.6x—+2.4x—+3x——0.278

'/51050100100

故E(X)=0.4-0.278=0.122(萬元)

41

(ii)由題設(shè)保費的變化為0.4x-x96%+0.4x-x1.2=0.4032

55

故石(丫)=0.122+0.4032—0.4=0.1252(萬元)

22

19.已知橢圓方程C:?+今=1(6/>/?>0)，焦點和短軸端點構(gòu)成邊長為2的正方形,

過（0"*＞夜）的直線/與橢圓交于ARC（O,1）,連接4c交橢圓于Q.

（1）求橢圓的離心率和方程.

（2）若直線8。的斜率為0,求t.

【答案】⑴%》但日

⑵，=2

【小問1解析］

由題意』=爰="從而〃=際/=2,所以橢圓方程為白白1，離心率為

【小問2解析】

顯然直線AB斜率存在，否則8。重合，直線斜率不存在與題意不符.

同樣直線A8斜率不為0,否則直線A8與橢圓無交點，矛盾.

從而設(shè)A8:y=履+八.＞應(yīng)）,A（x,乂）,雙孫力）

土+匕=1

聯(lián)立《42,=>(l+2^2)x2+4to+2/2-4=0

v=kx+t

由題意A=16公產(chǎn)一8（2公+1）（/一2）=8（4爐+2-/）＞0,即2"應(yīng)滿足4k2+2—『＞0

-4kt2/2-4

所以％+

x21+2/'再"=2/+1

若直線BD斜率為0,由橢圓的對稱性可設(shè)。（-七,%）

所以A?)，="2：X")+M,在直線方程A。中令x=0,得

X\十工3

X%+電MJ("+?)+/(3+/)_23々+f(內(nèi)+4)_4A(尸-2)2

=----------------------------------=------------------=-----------+/=-=1

Xi+工2內(nèi)+12司+工2-4klt

所以，=2

此時A應(yīng)滿足［:"：2-廠=奴“-2＞0,即々應(yīng)滿足《＜_也或人也

攵￥022

綜上所述"=2滿足題意，此時k一旦或k＞立.

22

20.已知f(x)=x+Zhi(1+x)在(f,/⑺)。＞0)處切線為/.

⑴若/的斜率欠=7,求f。)單調(diào)區(qū)間.

(2)證明：切線/不經(jīng)過。(0,0).

⑶已知％=1,A(?J⑺),C(0,/(0),0(0,0),其中，>0,切線/與N軸交于點8時.當(dāng)

2sgM=15S符合條件的A的個數(shù)為？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<In3<1.10,1.60<In5<1.61,1.94<ln7<1.95)

【答案】(I)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(。，內(nèi))

(2)證明見解析(3)2

【小間1解析】

IY

/(x)=x-ln(l+x)，r(x)=l.—=—(x>-l)

當(dāng)X￡(-1,0)時,/(幻<0；當(dāng)X￡(0,+8),f(x)>0

???/5)在(-1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+CO)上單調(diào)遞增

則/5)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,轉(zhuǎn)).

【小問2解析】

/。)=1+丁匕,切線/的斜率為1+：

\+x1+f

則切線方程為f⑺>0)

I1+/J

將(0,0)代入則-/⑺=1+齊］,/(/)=/1+

I1+”I1+〃

即f+Zln(l+r)=f+f—貝ijln(l+/)=—^―,ln(l+z)———=0

1+/1+/1+/

令W)-J-

假設(shè)/過(0,0),則”)在/w(0,+oo)存在零點.

產(chǎn)")=士一〉°，二?F(t)在(0,侄)上單調(diào)遞增，EQ)>F(0)=0

???F⑴在(0,+a))無零點,???與假設(shè)矛盾，故直線I不過(0,0)

【小問3解析】

?+2

&二1時，/(x)=x+ln(l+x),ft(x)=1+------=------->0.

1+x\+x

Sge=；*⑺,設(shè)/與>'軸交點3為(0國)

t>0時，若4<0，則此時/與fM必有交點，與切線定義矛盾

由(2)知。工0.所以。>0

則切線/的方程為)—Tn(f+l)=(l+±)(x-r)

令x=0,$則$)，=g=y=ln(l+，)―-

r+1

1

V2sMe0=5SABO，則2叭t)=15/ln(l+/)-^-j-

.,.13卜(1+。一2/—15，=0八己〃")=13111(1+1)—2/-空(/>0)

1+/1+/

」?滿足條件的A有幾個即例。有幾個零點.

方,一1315_13r+13-2(r+2r+l)-15_2r2+9r-4_(-2r+l)(r-4)

7"二帝一一(.+1)2-(771/(r+i)2(771/-

當(dāng)te(o,；卜寸，"⑺<0、此時何)單調(diào)遞減

當(dāng)/￡6,4)吐h(r)>0,此時人⑺單調(diào)遞增；

當(dāng)，?4,+OO)時,/?’(0<0，此時h(t)單調(diào)遞減；

因為〃(0)=0,//(^)(0,/z(4)=13In5-20)13x1.6-20=0.8>0

15'<247272

/z(24)=131n25-48-——=261n5-48——<26x1.61-48——=-20.54<0,

2555

所以由零點存在性定理及W)的單調(diào)性〃⑺在仁,4)上必有一個零點，在(4,24)上必

有一個零點.

綜上所述,力⑺有兩個零點,即滿足2s八C。=15s八8。的A有兩個.

21.設(shè)集合M={(iJs")|ie{L2},/e{3,4},se{5,6},fw{7,8},2|(i+/+s+f)}.對于給

定有窮數(shù)列4：{?！▆(1。<8),及序列。9,%...”%，4=&,兒與山)￡知,定義變換

T：將數(shù)列4的第項加1,得到數(shù)列工(4);將數(shù)列工(⑷的第％/汽/列加1,

得到數(shù)列勺;⑷…;重復(fù)上述操作，得到數(shù)列(.工工⑷,記為Q(A),若％+4+《+%

為偶數(shù)，證明：“存在序列Q,使得Q(A)為常數(shù)列”的充要條件為

"%+a2=a3+/=%+4=%+%”.

【解析1我們設(shè)序列小刀工缶)為{%”}(1。48)，特別規(guī)定=a?(l<n<8).

若存在序列。：例,g,…使得Q(A)為常數(shù)列.

則4」=4.2=4,3=4.4=4,5=4.6=q,7=4.8

所以4』+4.2=4.3+4.4=4.5+4.6=4.7+見.8?

根據(jù)，…篤工(A)的定義，顯然有%,2J-I十4,2)=%-12『十生1,2j

這里/=1,2,3,4次=1,2,....

所以不斷使用該式就得到,q+生=+4=05+。6=%+%，必要性得證.

若4+出=%+6|=%+〃6=%+%

由已知,4+%+%+%為偶數(shù)，而4+。2=。3+。4=%+。6=%+4,所以

%+4+4+4=4（4+4）-（4+a3+6+火）也是偶數(shù)

我們設(shè)小工次㈤是通過合法的序列。的變換能得到的所有可能的數(shù)列。（A）中，使

得"—kl+ko+鼠5-&6|+|4,7-4/最小的一個.

上面己經(jīng)證明ak.2J-\+ak.2j=ak-\,2j-\+4-1.2八這里/=1,2,3,4,2=1,2,....

從而由q+q=%+〃4H=%+

可得41+4,2=4.3+4.4=4,5+4.6=5,1+4,8?

同時,由于”jk+4+〃總是偶數(shù)，所以41+%+4.5+4.7和4，2+44+4.6+4.8的

奇偶性保持不變

從而4j+4.3+4,S+4.7和%+4/+4.6+凡￡都是偶數(shù).

下面證明不存在/=1，2,3,4使得1^^.-as2j\>2.

假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)j=l,4.2H-4,222,即?,1