第2章連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

2.1引言

系統(tǒng)分析討論的主要問(wèn)題是，在給定的激勵(lì)（輸入）作用下，系統(tǒng)將產(chǎn)生什么樣的響應(yīng)（輸

出）。為了確定一個(gè)連續(xù)線性時(shí)不變（LinearTimeInvariant,LTD系統(tǒng)對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng)，就要建

立描述該系統(tǒng)的微分方程，并求出其給定初始狀態(tài)的解，即完全響應(yīng)。本章所述的分析方法都是

在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，不涉及任何數(shù)學(xué)變換，通常稱為時(shí)域分析，它是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。本

章討論連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的兩種時(shí)域分析方法，即微分方程法和卷積積分法。

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程。因此，本章首先復(fù)習(xí)微分方程經(jīng)典解

法，即先求齊次解和特解，再由初始條件求待定系數(shù)。為了理解系統(tǒng)的物理特性，通常將系統(tǒng)的

完全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。對(duì)于僅取決于起始狀態(tài)的零輸入響應(yīng)，可通過(guò)求解齊

次微分方程得到。零狀態(tài)響應(yīng)的求解則除了用經(jīng)典方法求解外，還可以用卷積方法。沖激響應(yīng)和

階躍響應(yīng)是兩種很重要的零狀態(tài)響應(yīng),它們?cè)谇蠼庀到y(tǒng)響應(yīng)和進(jìn)行系統(tǒng)特性分析、連續(xù)系統(tǒng)的各

種變換域分析中都起到了很重要的作用，是本章介紹的重要概念。

2.2連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立和求解

2.2.1連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程模型的建立

描述連續(xù)LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程。若以工（力和），（/）分別表示它的輸入（激

勵(lì)）和輸出（響應(yīng)），則X。）和丁。）可表示為一個(gè)〃階常系數(shù)線性微分方程，即

d〃d'id〃'd〃i

凡d7)")+")'(，)+…+%，(，)=""-x(0+bm_xx(Z)+…+b°x(1)(2-2-1)

其中，41T，…，4，%bi…,〃（）山系統(tǒng)參數(shù)決定，并且為常數(shù)。

一般情況下，系統(tǒng)模型的建立要結(jié)合相關(guān)專業(yè)的背景理論與知識(shí)。為了理解更復(fù)雜、更普遍

的系統(tǒng)，我們先從簡(jiǎn)單系統(tǒng)開(kāi)始，這些系統(tǒng)能夠說(shuō)明?般化系統(tǒng)的?些重要性質(zhì)。對(duì)于信息類專

業(yè)的工程師，電路系統(tǒng)是大家常用且非常熟悉的，而且常常通過(guò)電路實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證模型建立的結(jié)果。

因此，本書主要討論電系統(tǒng)。對(duì)于集總參數(shù)電路模型，可根據(jù)元件約束和拓?fù)浼s束這兩類約束來(lái)

建立，列出電路系統(tǒng)的微分方程模型。這種方法在電路分析課程中已有全面完整的介紹，這里不

再贅述。下面介紹一種更簡(jiǎn)便的算子法。

設(shè)P表示微分算子，即令P,，同時(shí)，〃"=］；；5表示積分算子，即

-=［()dr0借助微分算子p,可將電路系統(tǒng)中的基本元件，即電感L、電容。、電阻R的

J)J-

電壓、電流關(guān)系用微分算子p的形式給出運(yùn)算模型，如表2?2-1所示。

表2-2-1電路元件的微分算子運(yùn)算模型

元件名稱電路符號(hào)伏安1系運(yùn)算模型

qj⑺

O----11—?O3=R

電阻〃⑺二Ri⑴

+“⑴一

C

3=_L

〃⑺=

電容i⑴-pC

L/(/)小T出(/)3=pL

電感o---o“⑺=L—-

+“⑺-dri⑺

如果將R、pL、」一分別看成電阻、電感、電容元件的阻抗，則可以利用電阻電路方程的

pc

建立方法來(lái)列寫微分方程，使得電路微分方程的建立過(guò)程如同代數(shù)方程的建立一樣方便。下面用

具體例子加以說(shuō)明。

【例2?2?1］如圖2-2-1所示的電路.試列出電流i⑺和激勵(lì)文⑺之間的微分方程.

圖2-2?1例2-2-1電路

解：根據(jù)電路微分算子運(yùn)算模型，列寫回路方程，得

乙⑺=Mf)

V-/1i?r

s

一⑺+(』+￡"&兒⑺二°

這是一個(gè)微分方程組，象解代數(shù)方程組那樣，使用克萊姆法則解此方程，得

X(t)

Cp

f\2R2

0--^-Lp+R2—p~+—^p+

CpRjR、LRJC

引）=T⑺

1P2+(—+^—)p+(1R

t2)

CpLR、CLCRJC

1

------FLp+/?2

CpCp

則微分方程組可表示為

+—?—)〃+(+R,)1^)=(7-〃2+魯〃+^4?7?(力

R.CLCRJC/\|/\|Lz\|LC

代入元件參數(shù)，可得

/)+7料+小”)+6髀)+4必)

可見(jiàn)，利用微分算子法列寫電路微分方程是比較方便的。

2.2.2連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解法

根據(jù)微分方程的經(jīng)典解法，式（2-2-1）微分方程所表示系統(tǒng)的完全解），（/）可表示為

），《）=?（/）+%（/）(2-2-2)

其中，為Q）為齊次解，“⑺為特解。

1.齊次解

齊次解滿足齊次方程，即式（2-2-1）中右端激勵(lì)X”）及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，即

4獷y（r）+4-F7y⑺+…+/y（r）=°(2-2-3)

齊次解是山形式為Ce力的函數(shù)線性組合而成，將Ce"代入式（2-2-3）,得

AtA,(2-2-4)

+Can+…+CaM+Ca（｝e=0

由于CwO,式（2-2-4）可簡(jiǎn)化為

(2-2-5)

式（2-2-5）稱為微分方程式（2-2-1）和（2-2-3）的特征方程，它是〃次代數(shù)方程，對(duì)應(yīng)的〃個(gè)根

4,乙，…，乙稱為微分方程的特征根，在系統(tǒng)分析中常稱之為自然頻率或固有頻率。根據(jù)特征根

的特點(diǎn)，微分方程的齊次解可分為兩種形式：

（1）特征根為單根，即特征根均為互不相同（無(wú)重根）的實(shí)數(shù)根時(shí)，微分方程的齊次解為

=Ge"+C2e^+???+C?e^=NC,e布（2-2-6）

?=i

其中，Cj（i=l,2,…，〃）由初始條件決定。

（2）特征根有重根,設(shè)4是特征方程的攵重根，即4=4=…=4,其余（〃—女）個(gè)根4田,

4+2,…，兒均為單根，則微分方程的齊次解為

"⑺=tCf+JW（2-2-7）

/=1j=k+l

其中，G（i=1,2…，廠）和J（/=廠+Lr+2,…，〃）均由初始條件決定。

如果特征根是共枕復(fù)根，微分方程的齊次解形式可利用歐拉公式進(jìn)行整理。根據(jù)特征根的情

況，齊次解的形式總結(jié)如表2-2-2所示。

表2?2?2微分方程的齊次解形式

特征根齊次解的形式

對(duì)于每一單實(shí)根4給出一項(xiàng)Ce^

對(duì)于攵重實(shí)根4給出k項(xiàng)Cg"+。2忙”+…+

al

對(duì)于一對(duì)單復(fù)根4.2=a±j8給出兩項(xiàng)Ge"cos4+C2esinbt

C.^cosbt+CWcosbl+…+C.tkleatcosbt

對(duì)于一對(duì)k重第根4.2=々土詁給出2k項(xiàng)?z卜

ala,

+D}esinbt+D2tes\nbt+…+

【例2-2-2］求微分方程尸'（1）+7y盟）+16y⑺+12），⑺=X。）的齊次解。

解：微分方程的特征方程為

23+722+162+12=0

特征根為4，=-2,4=—3。因此，微分方程的齊次解為

2i21

yb(t)=Cxte+C2e~+Ge-%

【例2-2-3］求微分方程)"(1)+4/(r)+4y⑴=必)的齊次解。

解：微分方程的特征方程為

萬(wàn)+42+8=0

其特征根為共加復(fù)根4,2=-2±2j。因此，微分方程的齊次解為

2/

為⑺=e(Cjcos2r+C2sin2r)

2.特解

特解的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)。將激勵(lì)函數(shù)代入微分方程的右端，進(jìn)行化簡(jiǎn)后，右

端的函數(shù)式稱為自由項(xiàng)。通常，特解的形式由自由項(xiàng)的形式及特征根來(lái)決定。表223列出了幾種

典型自由項(xiàng)及其所時(shí)應(yīng)的特解＞；,(/)o

表2?24微分方程的特解

自由項(xiàng)特解力”)

常數(shù)E常數(shù)A

多項(xiàng)式/多項(xiàng)式?A/+A)

4)e”當(dāng)。不是特征根

Aje”當(dāng)。是特征單根

eflZ

a,

A2re當(dāng)。是特在二重根

依此類推

e"[Acos(bf)4-4sin(Z?f)]當(dāng)a±j〃不是特征根

ea,cos(bt)或e"sin(〃f)

Acos(〃r)+A2sin(Z?r)]當(dāng)。土j〃是特征單共規(guī)復(fù)根

按照表2-2-3設(shè)出微分方程的特解形式，直接將特解代入微分方程式(2-2-1),求出待定系數(shù),

即可求得特解。

【例2?2?4】已知激勵(lì)xQ)=e-'，試求【例2-2-2】中微分方程的特解。

解：已知激勵(lì)函數(shù)x(1)=eT,且-1不為微分方程的特征根，則方程的特解形式為

%Q)=AeT。代入系統(tǒng)微分方程，有

(I3d2(J

[(Ae-)+7、(Ae-')+16—(^)+12(Ae-z)=e-z

dr3d廠dr

整理后比較方程兩端，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，從而確定待定系數(shù)4=,。因此，特解為

2

y〃⑺=9'

3.完全解

式(2-2-1)的常系數(shù)線性微分方程的完全解是齊次解以。)與特解.)，〃?)之和。若微分方程的

特征根均為單根，則微分方程的完全解形式為

)，(/)="⑺+%⑺=fGe%'+yp(t)(228)

?=i

若特征根4為左重根、而其余(〃-6個(gè)根均為單根時(shí)，則微分方程的完全解形式為

阿=必⑺+%⑺=為。廣此++yp(t)(2-2-9)

;=|j=k+\

其中，待定系數(shù)G、g由初始條件確定。

設(shè)激勵(lì)信號(hào)X。)在，=0時(shí)刻加入，則微分方程的解適合于區(qū)間0</<8。對(duì)于〃階微分方

程，將給定的初始條件y(O),y(o),)J〃7(o)分別代入完全解中，就可確定待定系數(shù)c、

C,。下面舉例說(shuō)明。

【例2-2-5]某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為y'?)+3y'(f)+2)0=X,“)+2x(。，試求當(dāng)

=e~f,y(0)=0,y'(0)=3時(shí)的完全解。

解：微分方程的特征方程為

22+34+2=0

得特征根為4=-1，4=一2。因此，微分方程的齊次解為

%("Ce-'+Ge-"

當(dāng)激勵(lì)為xQ)=e—'時(shí)，其指數(shù)。二一1,是微分方程的一個(gè)特征根。因此，該方程的特解形式可表

示為

y=Ate-r

代入系統(tǒng)微分方程，有

雪(4e~)+3g(4葭)+2(4e~)=色化-')+2e-/

drdrdr

整理后比較方程兩端，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，確定待定系數(shù)A=1。因此，特解為

t

yp(t)=te

因此，完全解可表示為

j(0=?Q)十yp(t)=Gc-十G&-入十心一

其一階導(dǎo)數(shù)為

-/2t-/z

y(r)=-C1e-2C2e~-/e+e-

將初始條件y(0)=0,,'(0)=3代入)*)和y(，)，得

y(0)=G+。2=0

y(O)=-C,-2C2+1=3

聯(lián)立求解，得G=2,C2=-2O因此，完全解為

y(t)=2e-/-2e~2r+te~,(r>0)

或?qū)憺?/p>

y")=(2e-'一2e<，+/-)〃⑺

山以上分析可知，連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，其完全解山齊次

解和特解組成。齊次解的函數(shù)形式僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，而與激勵(lì)信號(hào)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)。因

此，齊次解也稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)。特解的函數(shù)形式由激勵(lì)信號(hào)的形式?jīng)Q定，稱為系

統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。

2.2.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的完全響應(yīng)）*）還可以分為零輸入響應(yīng)（ZeroInpulResponse,ZIR）和

零狀態(tài)響應(yīng)（ZeroStaleResponse,ZSR）。零輸入響應(yīng)是指激勵(lì)為零時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)，它是系統(tǒng)內(nèi)部

條件（如能量存儲(chǔ)、初始條件）單獨(dú)作用的結(jié)果，用”,??）表示。零狀態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)系統(tǒng)的初始

狀態(tài)為零（即系統(tǒng)內(nèi)部能量存儲(chǔ)為零）時(shí)，僅由輸入信號(hào)xQ）所引起的響應(yīng)，用兒/。表示。線

性時(shí)不變系統(tǒng)的完全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即

)?)=>&+%(，)(2-2-10)

用經(jīng)典法求解微分方程完全解的待定系數(shù)G時(shí)，作為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，所需要的初始條件常常

為一組已知的數(shù)據(jù)，利用這組數(shù)據(jù)可求得方程完全解中的各項(xiàng)系數(shù)G。而作為工程技術(shù)問(wèn)題，比

如具體電路系統(tǒng)，一般激勵(lì)都是從，=0時(shí)刻加入，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間范圍是則系統(tǒng)的

初始條件要根據(jù)系統(tǒng)的原始內(nèi)部?jī)?chǔ)能和激勵(lì)接入瞬時(shí)的情況來(lái)確定。即在/=（）的瞬間，若電容電

流為有限值，則電容電壓氣⑺在f=0處連續(xù)。若電感電壓為有限值，則電感電流樞/）在￡=0處

連續(xù)，它們不發(fā)生跳變。即

w(0)=w(0.)

c+c(2-2-11)

樞。+)=柩0.)

然后，由/=。+時(shí)刻等效電路求得系統(tǒng)的初始條件。至于其它變量以及它們的各階導(dǎo)數(shù)都不受連

續(xù)性的約束。

【例2-2?6］如圖2-2-2所示的電路，1=0以前開(kāi)關(guān)位于“1”，己進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，1=0時(shí)刻，與

同時(shí)自“1”轉(zhuǎn)至“2”，求輸出電壓〃（。的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。

IL52IF+

CH0V

圖2.2.2例2-2-6電路

解：當(dāng)開(kāi)關(guān)位于“1”系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，容易求得電容兩端的電壓”c（（）_）=10V,流過(guò)電感電

流乙（0_）=5A。因電容電壓和電感電流在1=0時(shí)不發(fā)生跳變，可得〃c（°+）=〃c（°.）=l°V,

iJ0+）="Q）=5A。

零輸入響應(yīng)：根據(jù)元件的伏安特性，當(dāng)1>0時(shí)，電容可等效為一個(gè)〃c（0,）=10V的電壓源

與起始電壓為零的電容的串聯(lián)電路，電感可等效為一個(gè)iJ0+）=5A的電流源與起始電流為零的電

感的并聯(lián)電路，而此時(shí)令外加激勵(lì)為零，系統(tǒng)在［20+時(shí)刻的等效電路，即零輸入等效電路如圖

2-2-3所示。

iJ0+)=5A

零輸入等效電路的微分方程為

2

+%⑺+2^%（，）+〃二，（'）=。

零輸入響應(yīng)形式為

（。）=。二,2一'+。艱忙一'（r>0）

其中，待定系數(shù)C川和Cm得根據(jù)初始條件%（0+）和（0+）確定。畫出，=。+時(shí)刻的零輸入

初始值等效電路如圖2-2-4所示，此時(shí)不考慮外加電源，整個(gè)電路是在電容儲(chǔ)能〃c（0_）和電感儲(chǔ)

能乙（0_）的作用下工作。因此，電容相當(dāng)于短路，電感相當(dāng)于開(kāi)路。由圖2-2-4得

^.（0J=10V

又因

%,（°J=乙（°+次，且〃J0+）=乙2樞0+）=0

dr

所以

；%(0+)=；i/.Q)R=°V/s

drdr

將初始條件代入零輸入響應(yīng)的形式求出待定系數(shù)=10、C.i2=10o

因此，零輸入響應(yīng)為

-/-z

w；.(r)=10e+l0re(z>0)

零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮系統(tǒng)起始儲(chǔ)能，零狀態(tài)響應(yīng)等效電路如圖2-2-5所示。容易列出零狀態(tài)等

效電路的微分方程為

2

[〃式，)+2^~%⑺+心⑺=24(/)

atat

其中，((0.)=0,2%v(0-)=(),⑺=3〃(/)。

dr~

根據(jù)微分方程經(jīng)典解法易求得零狀態(tài)響應(yīng)中的特解為常數(shù)6。于是，零狀態(tài)響應(yīng)可表示為

-/

〃、(1)=C.vle+C^te"+6(/>())

其中，待定系數(shù)CR和c2s2得根據(jù)初始條件外(0+)和9l(°+)確定。畫出，二。，時(shí)刻的零狀態(tài)

dr"

初始值等效電路，如圖2-2-6所示。此時(shí)，不考慮系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能。因此，電容電壓的初始值

wc(0J=Mc(0_)=0,相當(dāng)于短路；電感電流的初始值iJ0+)=iJ0一)=0,相當(dāng)于開(kāi)路。由

圖2-2-6得

(Q)=0V

又因

%(0.)=人(0+/，且勺(0+)=￡^-/￡(0J=0

at

所以

(°+)=白7(°+/=°V/s

drdr

、

將初始條件代入零狀態(tài)響應(yīng)形式，求出待定系數(shù)CT=-6C2y2=-6°

因此，零狀態(tài)響應(yīng)為

r

〃二s(')=-6e‘一6re-+6(r>0)

完全響應(yīng)為

u(t)=〃力⑺+〃二,(，)=4e'+4左一'+6(/>())

由上例可以看出，用經(jīng)典法求解微分方程時(shí)，所用的初始條件都是指，=0+時(shí)刻的值，也稱

為初始狀態(tài)。通常把已知的與系統(tǒng)原始儲(chǔ)能有關(guān)的條件稱為起始條件或起始狀態(tài)，即電路在"=0_

時(shí)刻的起始值。用經(jīng)典法從起始條件求出，=0+時(shí)刻的初始條件的過(guò)程往往比較復(fù)雜，有興趣的

讀者可以參考相關(guān)書籍。在系統(tǒng)的時(shí)域分析中，引入沖激響應(yīng)后，利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)

響應(yīng)比較方便，它繞過(guò)了求，=0,時(shí)刻的初始條件的步驟。第5章還將介紹系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法,

利用復(fù)頻域分析法求解系統(tǒng)響應(yīng)，可以自動(dòng)代入『=0一時(shí)刻的起始條件，從而更方便地求得零輸

入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。

如果將LTI系統(tǒng)的響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，則可以對(duì)LTI系統(tǒng)的線性性進(jìn)一步

有如下理解：

(1)響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；

(2)零輸入線性性：當(dāng)外加激勵(lì)信號(hào)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系,

稱為零輸入線性；

(3)零狀態(tài)線性性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于各個(gè)外加激勵(lì)信號(hào)呈線性關(guān)

系，稱為零狀態(tài)線性。

2.3沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

在時(shí)域分析中，沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)是系統(tǒng)特性的描述；是卷積積分法求零狀態(tài)響應(yīng)很重要

的概念。

2.3.1沖激響應(yīng)

對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為聿位沖激信號(hào)5(/)所引起的響應(yīng)稱為單

位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，即沖激響應(yīng)是激勵(lì)為b(f)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用〃(Z)表示，如

圖2-3-1所示。

▲W)

連續(xù)系統(tǒng)

M)6⑺LTI

起始狀態(tài)為零

0

圖2-3?1沖激響應(yīng)示意空

下面研究沖激響應(yīng)的時(shí)域求解方法。

一般地，若描述一個(gè)連續(xù)LT1系統(tǒng)的微分方程式為

(,,,)

?！▏?yán)⑺+%產(chǎn))“)+???+aoy(t)=bmx(0+⑴+…+%必)(2-3-1)

根據(jù)定義,為了求沖激響應(yīng)，令x?)=b(f),則義力=%(1)=力⑺，代入式(2-3-1),得

冊(cè)心⑺+*心f⑺+…+a°h⑴=b湎⑺⑺+-f⑺+…+嫡⑴(2-3-2)

從式(2-3-2)中可知，等式右端出現(xiàn)了沖激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)，最高階導(dǎo)數(shù)為人””。)。顯然,

為了保證式(2-3-2)等號(hào)兩端各奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡，等式左端也應(yīng)該包含力初?),即川⑺，…,

3Q)項(xiàng)。由于等式左端的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為川〃)“)，因此，至少最高階項(xiàng)//〃)?)中應(yīng)該包含

可見(jiàn)，沖激響應(yīng)的形式與方程兩端的最高階次數(shù)n和m有關(guān)。

根據(jù)定義，沖激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)僅在f=0處作用，而在，＞0的區(qū)間函數(shù)恒為零。也就是

說(shuō)，在，＞0時(shí)微分方程的右端等于零。因此，沖激響應(yīng)加")應(yīng)與方程的齊次解形式相同。

因此，根據(jù)方程兩端的最高階次數(shù)〃和〃2大小，假設(shè)方程的特征根%〃)均為

單根，可將"(/)的形式總結(jié)如下：

當(dāng)〃〉機(jī)時(shí)，例如，〃=歷+1,為了使力⑸Q)="m+D?)中包含人*?),只要”(1)中包含

b(。就夠了。因此，/??)中不包含沖激函數(shù)項(xiàng)5。)，即

(〃)

〃(/)=ZCe""u{t)(2-3-3)

當(dāng)〃=加時(shí)，為了使"〃)(/)=/〃”(1)中包含人〃”(/),力什)必須包含沖激函數(shù)項(xiàng)60)。即

h(t)=ZCe，'〃?)+45⑺(2-3-4)

V=i)

當(dāng)〃＜加時(shí)，〃(，)中除了含有bQ)以外，還將包含沖激信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)，即

/?(/)=ZGe型〃⑺+(2-3-5)

M=i/4=o

其中，待定系數(shù)G(i=L2,…，〃)和。上(％=0,1,-一〃?一〃)可利用力程式等號(hào)兩端奇異

函數(shù)項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的方法求得。

【例2-3-1］某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為/*(/)+3/(r)+2j(0=3x()+4x(/),試求其

沖激響應(yīng)力(。。

解：屬于，〉用的情況，〃(,)的形式不包含沖激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)。首先，求方程的特征根

為

4=—1,4=—2

沖激響應(yīng)形式為

〃⑺二(。E+。2?一⑺

求力(/)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)5(。的抽樣特性，得

Z2/2z

h\t)=(C,e-+C2e-)^(r)+(-C,e^-2C2e-)w(r)

-2z

=(C,+C2w)+(-*-2C2e)w(r)

z2z2r

h'\t)=(C,+。2逐⑺+(-C,e--2C2e-W)+(Qe^+4C2e-)?(r)

二(G+GW。)+(-G-2c2?Q)+(CgT+4Ge~)u⑺

將x?)=5(f),力(1)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入系統(tǒng)微分方程兩端并整理，得

(G+C2)^(r)+(2C,+C2W)=3^(r)+W)

依據(jù)等式兩端奇異函數(shù)5?)、5(1)系數(shù)平衡，得

G+C?=3

2C,+。2=4

則G=1,C2=2o因此，沖激響應(yīng)為

h(t)=(e-/+2e_2/)?(0

2.3,2階躍響應(yīng)

對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍信號(hào)〃?)所引起的晌應(yīng)稱為單

位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，即階躍響應(yīng)是激勵(lì)為〃(/)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用g")表示，如

圖2-3-2所示。

()

圖2?3?2階躍響應(yīng)示意型

系統(tǒng)階躍響應(yīng)的時(shí)域求解法與沖激響應(yīng)的求解法類似，一方面，要考慮方程兩端的奇異函數(shù)

項(xiàng)系數(shù)平衡；另一方面，與沖激響應(yīng)不同的是，由于輸入的階躍信號(hào)在，>0時(shí)不為零，使得系統(tǒng)

的階躍響應(yīng)包括了齊次解和特解兩部分。

對(duì)于描述一個(gè)連續(xù)LTI系統(tǒng)的微分方程式(2-3-1),將匯⑺=u(t),y(t)=ya(t)=g⑺代入,

得

W(r)+%g,f0+…+%ga)=WQ)+W"f⑴+…+%〃⑺(2-3-6)

特解為

>>(/)=—?(/)

對(duì)于式(2-3-6),方程式右端最高階導(dǎo)數(shù)為〃w(/)=b"'TQ)。因此，當(dāng)〃之“時(shí)，階躍響

應(yīng)中不包含沖激函數(shù)項(xiàng)。假設(shè)方程的特征根乙(1=1,2均為單根的情況，階躍響應(yīng)形式

為

g(f)="⑺(2-3-7)

如果〃〈根，則階躍響應(yīng)中將包含沖激信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。其中，待定系數(shù)G

(Z=L2,---,?)同樣可根據(jù)奇異函數(shù)項(xiàng)相平衡法求得。

【例2-3-2］某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為)，''Q)+3)，'?)+2)C)=3尤'")+4x(。，試求其

階躍響應(yīng)g⑺。

解：方程的特征根為

4=-1rA-)=-2

特解為

yp(t)=2u(t)

由于〃之〃2,因此，階躍響應(yīng)為

/2"

^(r)=(CIe-+C2e-+2W)

求g(r)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，并利用5(。的抽樣特性，得

2/

g\t)=(G+G+2肪⑺+-2C2e->(z)

2z

g=(C,+G+2)5'。)+(-C,-2G2(。+(CgT+4C2e-)〃⑺

將x(f)="Q),g(f)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入系統(tǒng)微分方程兩端并整理，得

(G+。2+2)5'⑺+(2C,+G+6煩。+4〃。)=36(。+4〃⑺

依據(jù)等式兩端奇異函數(shù)5?)、b(f)系數(shù)平衡，得

G+C,+2=0

2G+G+6=3

則G=-1，c2=-io

因此，階躍響應(yīng)為

g(f)=(2-e3)〃⑺

沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)完全由系統(tǒng)本身決定。這兩種響應(yīng)之間有一定的關(guān)系，當(dāng)求得其中之一

時(shí)，另一響應(yīng)即可確定。根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分性質(zhì)可知，若系統(tǒng)的激勵(lì)由原激勵(lì)函數(shù)改為其導(dǎo)數(shù),

則系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)也由原響應(yīng)函數(shù)改變?yōu)槠鋵?dǎo)數(shù)。由于系統(tǒng)激勵(lì)的沖激信號(hào)與階躍信號(hào)存在以下

關(guān)系

=⑺

dr

〃(1)=「

J-00

所以，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)之間關(guān)系為

做')=*刎(238)

g?)=,〃⑺dr(2-3-9)

【例2-3-3］若一連續(xù)LTI系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)為x,⑺=〃⑺時(shí)的完全響應(yīng)為y(/)=2e-z?(0；對(duì)激勵(lì)

為々⑺=5。)時(shí)的完全響應(yīng)為為⑺=5。)。試分別求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)gQ)、沖激響應(yīng)〃⑺、零

輸入響應(yīng)外⑺。

解：利用LTI系統(tǒng)的零輸入和零狀態(tài)線性。設(shè)為?)=〃(7)引起的零狀態(tài)響應(yīng)即系統(tǒng)階躍響應(yīng)

為g(r),=引起的零狀態(tài)響應(yīng)即系統(tǒng)沖激響應(yīng)為/?(r)=ggQ)。依題意，有

dt

)Ji(0=2e%⑺=為⑺+g?)(2-3-10)

%⑺=b(f)=%Q)+gg(0(2-3-11)

dr

將式(2-3-10)與式(2-3-11)相減，并整理得

gg⑺一g(0=加)-2e~Q)(2-3-12)

d/

齊次解為求特解時(shí)，由于只考慮1>0的情況“所以，等式右端的沖激信號(hào)不用考慮，

故設(shè)特解為Be-'。將其代入式(2-3-12),得8=1,且易知階躍響應(yīng)不包含沖激函數(shù)項(xiàng)，所以，

完全解為

g?)=(Ae'+eT)〃。)(2-3-13)

將式(2-3-13)代入式(2-3-12),得

(A+1)5⑺+(Ae'一e',)〃⑺一(Ae'+e-r)w(z)=5(，)-2e-/w(r)

可得A=0,有

g?)=eT〃⑺(2-3-14)

則沖激響應(yīng)為

〃⑺=/(。=8⑺〃⑺

dr

將式(2-3-14)代入式(2-3-10),系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

在系統(tǒng)理論中，還常利用沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)表征LT【系統(tǒng)的某些基本性能。例如，LTI系統(tǒng)

因果性的充要條件可表示為

當(dāng)7Vo時(shí)，//(/)=0(2-3-15)

或

當(dāng)，＜0時(shí)，g(，)=0(2-3-16)

此外，沖激響應(yīng)還可以說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將在第5章中討論。

2.4卷積積分及其應(yīng)用

卷積積分在信號(hào)與系統(tǒng)理論中占有重要地位。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，卷積法廣泛應(yīng)用在信號(hào)

分析與處理的各個(gè)領(lǐng)域。本節(jié)將介紹卷積積分的定義、求解及其性質(zhì)，并利用沖激響應(yīng)和卷積方

法求解LTI系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。

2.4.1卷積積分的定義

設(shè)定義在(-8，8)區(qū)間上的兩個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)分別為力⑺和人(力，則將積分

/(0=r/,(r)/2(r-r)dT

定義為力⑺與力⑺的卷積積分，并記為工⑺*人⑴,即

/.(/)*/2(0=匚￡(r)/2(r-r)dr(2-4-1)

2.4.2卷積求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

山第1章信號(hào)的脈沖分量分解可知，任一連續(xù)信號(hào)X。)可以分解成一系列沖激信號(hào)的線性組

合，即

x(0=[-r)dr(2-4-2)

J-co

對(duì)于一連續(xù)LTI系統(tǒng)，山激勵(lì)3⑺產(chǎn)生的沖激響應(yīng)為力⑺,則經(jīng)過(guò)時(shí)移和反折的信號(hào)5。-不)

產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為〃(，-7)。由系統(tǒng)零狀態(tài)線性可知，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為

A(rW-r)o同理，x{T)8(t-r)的積分即「—z)dr產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為

J—00

fx(r)h(t-T)dT,即x(f)與〃(f)的卷積。因此，有

J-00

y_v(/)=jx(T)h(t-r)dr=x(Z)*h(t)(2-4-3)

可見(jiàn)，連續(xù)LTI系統(tǒng)對(duì)于任意信號(hào)x(f)的零狀態(tài)響應(yīng)，可以山信號(hào)X。)與該系統(tǒng)的單位沖激

響應(yīng)的卷積積分得到。這意味著，單位沖激響應(yīng)〃?)不僅是系統(tǒng)特性的描述和表征，還可計(jì)算系

統(tǒng)對(duì)給定的輸入產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。由于沖激響應(yīng)〃⑺只反映了LTI系統(tǒng)零狀態(tài)的特征，所以式

(2-4-3)的卷積也只能求得LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

【例2?4?1】某線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=e-atu(t)

系統(tǒng)的輸入為〃(1)，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)V

解：根據(jù)式(2-4-3),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

y2ss=〃a)*h(t)=r)dr

觀察被積函數(shù)可以確定被積函數(shù)在「＜0和時(shí)均為零。因此，積分限

可改為(0,r),即

%⑺=1e-BF八=)〃⑺

Jua

一?般而言，在連續(xù)LTI系統(tǒng)時(shí)域分析中，利用卷積積分求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng))a。)，并與

零輸入響應(yīng)相加，即得到完全響應(yīng)y")。

卷積積分提供了求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的另一途徑。它有很多優(yōu)點(diǎn)，例如，卷積積分很方便利用

計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算；是聯(lián)系時(shí)域分析和頻域分析的橋梁，它建立了信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域和頻域之間的關(guān)

系；卷積的概念將系統(tǒng)分析的時(shí)域法、傅里葉分析法和拉普拉斯分析法統(tǒng)一起來(lái)。

2.4.3卷積運(yùn)算的圖解法

卷積積分是一種重要的數(shù)學(xué)方法，卷積積分圖解法能夠直觀地理解卷積積分的計(jì)算過(guò)程，并

加深對(duì)其物理意義的理解。在確定卷積積分區(qū)間和積分上下限時(shí)，卷積積分圖解法將是一個(gè)極有

用的輔助手段。卷積積分⑺*人⑺的圖解法步驟如下:

（1）變量替換：將函數(shù)力（，）、人⑺的自變量由，變換成r；

（2）反折：將函數(shù)人工）以縱軸為軸線反折，得到對(duì)于縱軸的鏡象人（-7）

（3）平移：將函數(shù)力（一7）沿正向二軸平移時(shí)間得到函數(shù)力"-7）；

（4）相乘求積分：將反折并平移后的函數(shù)/2（/-7）乘以/?），并求積分值

J—8

（5）重復(fù)步驟（3）、（4）,直到平移時(shí)間/覆蓋了整個(gè)時(shí)間軸一oovfvoo。

LW2-4-2］求圖2-4-1所示函數(shù)工⑺與力⑺的卷積積分/⑺。

解：將力⑺和力⑺中的自變量f換成7時(shí)，得到函數(shù)為

Qr<0

0,匯v-2

1

fi⑺=,2,-2<r<2/?（工）=”—r,()<?<2

2

0,r>2

0,r>2

力⑴和力⑺的波形分別如圖2-4-2（a）、（b）所示。

將《（切反折，得6（-7），即

0,r>0

/(-)=--l

2rr>-2<r<0

0,r<-2

其波形如圖2-4-2（c）所示。

將了2（一下）平移乙得八”一萬(wàn)）。當(dāng)，從-8逐漸增大時(shí)，辦“一不）沿7軸從左向右平移直至

8。對(duì)應(yīng)于不同的［值，將力《）與A”-7）相乘并積分，得力⑺和力⑺的卷積積分為

/（0=/i（0*f2s=「/i（r）/2（/-r）dr（2-4-4）

w—00

其計(jì)算結(jié)果如下：

（1）當(dāng)一8〈，〈一2時(shí)，力?）與/2。一?。](méi)有重疊部分，波形如圖2-4-2（d）所示。因此,

式（2-4.4）中的被積函數(shù)工（了）6Q—7）為零，故/（，）=0。

（2）當(dāng)—24/V0時(shí)，人。一7）部分進(jìn)入力（匯）的范圍，波形如圖2-4-2（e）所示。在

—2V，的范圍內(nèi)，力?）與^（/一丁）有重疊部分。因此，式（244）中的被積函數(shù)/（7）力（/一匯）

僅在一2〈，區(qū)間不為零。故式（2-4-4）中的積分限由（一8,8）改為（一2,/）,即

2

fit）=匚/（r）/2（r-r）dr=￡21x1（/-r）dr=-^r+r+1

（3）當(dāng)OWE<2時(shí)，力?-彳）完仝處于力?）的范圍內(nèi)，波形如圖242（f）所示。在

/一2〈丁</的范圍內(nèi)，￡?）與/2（/-7）有重疊部分，同以上分析，式（2-4-4）積分限可改為

（1-2,r）,即

/?）=Llxg?-T）dr=1

（4）當(dāng)241<4時(shí)，/2（/一7）部分離開(kāi)力?）的范圍，波形如圖2-4-2（g）所示。在

，一2V/V2的范圍內(nèi)，/?）與AC—r）有重疊部分，同以上分析，式（2-4-4）積分限可改為

（r-2,2）,即

/⑴二1JXJ（，一r）dr=

4,1

（5）當(dāng)后4時(shí)，/⑹與一匯）沒(méi)有重疊部分，波形如圖242（h）所示。因此，/（/）=0o

歸納上述計(jì)算結(jié)果，得