高二年級考試數(shù)學(xué)試題2025.01注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的方程可知，即可直接寫出其漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的方程可知，根據(jù)漸近線方程公式，得到漸近線方程為.故選：D.2.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（）A.49 B.63 C.70 D.126【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的項(xiàng)的“等和性”得到，再運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】因是等差數(shù)列，故，于是故選：B3.若直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.2 C.3 D.2或3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行可得，運(yùn)算求解并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】若直線與平行，則，整理可得，解得或，若，則與平行，符合題意；若，則與重合，不合題意；綜上所述：.故選：B.4.已知在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可得答案.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以,所以，解得，故選：A.5.若平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到的距離為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量點(diǎn)到面的距離公式直接進(jìn)行求解即可；【詳解】由題意,所以點(diǎn)到的距離，故選：B6.已知圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩圓圓心距與半徑和差得關(guān)系即可求解；【詳解】由題意可得：，即：，解得：，且，所以的取值范圍為，故選：C7.已知兩個(gè)等差數(shù)列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)，按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（）A.750 B.800 C.850 D.832【答案】B【解析】【分析】先分別寫出兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)公式，然后找出公共項(xiàng)的規(guī)律，確定新數(shù)列的首項(xiàng)、公差等，最后利用數(shù)列求和公式求出新數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為.設(shè)，即，化簡可得.因?yàn)?、為正整?shù)，所以必須是的倍數(shù)，設(shè)（）.將代入的通項(xiàng)公式，可得，所以新數(shù)列的通項(xiàng)公式為.當(dāng)時(shí)，，所以新數(shù)列首項(xiàng)為.新數(shù)列的公差.令，即，，，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以最大取16，即新數(shù)列有16項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列求和公式，這里，，.則.故選：B.8.已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓定義得出，再結(jié)合余弦定理得出，進(jìn)而得出離心率.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，則，，在中，，所以，所以，所以，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則的可能值為（）A.4 B.5 C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列定義列式求解即得.【詳解】由為等比數(shù)列前三項(xiàng)，得，所以或.故選：AC10.下列結(jié)論正確的是（）A.過、兩點(diǎn)的直線方程為B.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C.若直線過，且在軸上截距是在軸上的截距的倍，則的方程為D.直線的傾斜角為【答案】BD【解析】【分析】利用直線的兩點(diǎn)式方程可判斷A選項(xiàng)；利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性可判斷B選項(xiàng)；利用直線的截距式方程可判斷C選項(xiàng)；利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，過、兩點(diǎn)的直線方程不能用表示，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由題意可知，直線與直線垂直，且線段的中點(diǎn)在直線上，所以，，解得，所以，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，B對；對于C選項(xiàng)，若直線過，且在軸上的截距是在軸上的截距的倍，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，可得，解得，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以，，解得，此時(shí)，直線的方程為，綜上所述，直線的方程為或，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，直線的斜率為，其傾斜角為，D對.故選：BD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離之積為定值，且曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上 B.的取值范圍為C.曲線的方程為 D.的最大值為4【答案】ACD【解析】【分析】利用曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得，利用兩點(diǎn)距離公式及條件化簡整理可判斷C；將點(diǎn)代入曲線方程可判斷A；利用的面積轉(zhuǎn)化得，通過檢驗(yàn)可判定B；根據(jù)已知條件利用平面向量基本定理及余弦定理可判斷D．【詳解】對于C，因?yàn)榍€經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以．因?yàn)辄c(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，所以，所以，整理得，所以曲線的方程為，所以C選項(xiàng)正確；對于A，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，所以A選項(xiàng)正確；對于B，的面積，所以，存在使得，取最大值，，由題意，為原點(diǎn)也符合題意，故，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，則，即①，根據(jù)余弦定理可得，即②，聯(lián)立①②可得，即，當(dāng)P點(diǎn)位于的兩側(cè)且在x軸上時(shí)“=”成立，即的最大值為4，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是抓住曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)得到.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.向量與共線，且方向相同，則__________.【答案】14【解析】【分析】根據(jù)共線得到等式，計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，且方向相同，所以，則，得到，解得，，所以，故答案為：.13.已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由方程表示雙曲線的充要條件可得.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知正方體的棱長為2，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長度為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面角得出的軌跡，結(jié)合邊長得出角進(jìn)而應(yīng)用弧長公式求出側(cè)面內(nèi)的劣??；【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立坐標(biāo)系，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，，所以，則點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球，為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡在側(cè)面內(nèi)是以為圓心，為半徑的劣弧，設(shè)軌跡分別交于點(diǎn)，，可得，則，則，劣弧的長為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再應(yīng)用點(diǎn)到直線距離列式計(jì)算求參；（2）應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離及弦長計(jì)算面積即可.【小問1詳解】圓的方程可化為∴圓心,半徑∵∴∴圓心到直線的距離，即，解得.【小問2詳解】由（1），到的距離，∴，∴的面積為.16.如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為2，且．（1）求的長；（2）求直線與所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先設(shè)，得出，再左右平方應(yīng)用數(shù)量積公式計(jì)算即可求解；（2）空間向量法求出異面直線所成角的余弦值.【小問1詳解】設(shè)，，，∴；【小問2詳解】，∴，又，，∴，∴直線與所成角的余弦值為．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可求得答案；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式，∴∴；【小問2詳解】設(shè)由（1）知∴∴∴.18.如圖，在平面四邊形中，，點(diǎn)滿足，，將沿折起至位置，使得點(diǎn)不在平面內(nèi)．（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】在中，所以，解得，所以，，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，即，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即，取，則，所以，顯然為平面的一個(gè)法向量，所以，平面與平面的余弦值為.19.已知拋物線的頂點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)．（1）若，求線段中點(diǎn)到軸的距離；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值；（3）已知，過點(diǎn)作直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，作直線分別交拋物線于兩點(diǎn)，且，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）16；（3）.【解析】【分析】(1)由拋物線的定義及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得；(2)由題可知和到直線的距離相等．聯(lián)立直線與拋物線方程，用韋達(dá)定理即可；(3)可設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，將其代入中即可得的方程，根據(jù)方程可看出直線恒過定點(diǎn)，同理直線也恒過定點(diǎn)，從而求得坐標(biāo)，即可得斜率.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩