精品試卷·第2頁（共2頁）2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《重難突破》同步測試題-附答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________重難一規(guī)律探究問題1．[2023云南]按一定規(guī)律排列的單項式：a,2a2,3a3,4a4,A．n B．n?1an?12．[2024江蘇揚州]1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1,1,2,3,5,?,這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（）A．676 B．674 C．1348 D．13503．[2024長沙三模]我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了(a+b例如：(a(a(a(a(a……請你猜想(aA．2018 B．512 C．128 D．2564．[2023常德]觀察數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)202023排在第a行b列，則aA．2003 B．2004 C．2022 D．20235．[2024山東濟寧]如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形，??按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（）A．90 B．91 C．92 D．936．[2024郴州桂陽一模]如圖，∠MON=30°，在OM上截取OA1=3.過點A1作A1B1⊥OM，交ON于點B1，以點B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點A2；過點AA．22021 B．22020 C．220237．[2024湖北武漢]如圖，小好同學(xué)用計算機軟件繪制函數(shù)y=x3?3x2+3x?1的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(1,0)中心對稱.若點AA．?1 B．?0.729 C．08．[2024岳陽平江模擬]正偶數(shù)2,4,6,8,10,?,按如下規(guī)律排列，2468101214161820則第27行的第21個數(shù)是____.9．[2023山西]如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成.第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，??，依此規(guī)律，第n個圖案中有____________個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）.10．[2024岳陽華容一模]在中國歷法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，它們經(jīng)常和其他漢字來搭配命名，如化學(xué)中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下圖為有機物甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)圖，請你依照規(guī)律，推測出壬烷中“H”的個數(shù)為__.11．[2023衡陽蒸湘一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A1(2,2)在直線y=x上，過點A1作A1B1//y軸，交直線y=12x于點B1，以A1為直角頂點，A1B1為直角邊，在A1B1的右側(cè)作等腰直角三角形12．[2023江蘇宿遷]如圖，△ABC是正三角形，點A在第一象限，點B(0,0)、C(1,0).將線段CA繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至CP1；將線段BP1繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至BP2；將線段A13．[2023張家界]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標(biāo)為(1,1)，AA1?是以點B為圓心，BA為半徑的圓??；A1A2?是以點O為圓心，OA1為半徑的圓??；A2A3?是以點C為圓心，CA214．[2023懷化]在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為(1,0).把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A115．[2024江蘇鹽城]發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢?圖1分析問題．某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(n,k均為正整數(shù)，n>小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案. 圖2 圖3 圖4方案1:圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為____________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________________；方案2:圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________________;方案3:圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.解決問題．在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短?請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.重難二新定義問題1．[2023山東菏澤]若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A(1,3)，B(?2,?6A．?14≤C．?14≤2．[2024湖南模擬]定義：如果兩個函數(shù)的圖象上分別存在唯一的一個點，這兩點關(guān)于x軸對稱，則稱這兩個函數(shù)是“有關(guān)系的”.若一次函數(shù)y=x+1與二次函數(shù)3．[2023四川樂山]定義：若x，y滿足x2=4y+t，y2=（1）若P(3,（2）若雙曲線y=kx4．[2024長沙一模]已知四邊形有兩組對角，我們把有一組對角互余的四邊形叫做“對余四邊形”.（1）若四邊形ABCD是“對余四邊形”，則其一組對角∠A（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點D，求證：四邊形圖1（3）如圖2，在“對余四邊形”ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，探究線段圖25．[2024長沙湘江新區(qū)一模]新定義：如果實數(shù)m,n滿足m?n=?2，則稱P(m,（1）求正比例函數(shù)y=（2）若點A是反比例函數(shù)y=kx圖象上唯一的“立足點”,點B,C是反比例函數(shù)y=kx圖象上的“制高點”,點M是反比例函數(shù)y=（3）已知點D(x1,y1),E(x6．[2024婁底婁星一模]定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點P(x,y)的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y?x 圖1 圖2（1）①點A(②拋物線y=?（2）某拋物線y=?x2+bx（3）如圖，二次函數(shù)y=?x2+px+q的圖象的頂點在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點E的坐標(biāo)為(7,3)，點O重難三圓的綜合問題1．[2024益陽沅江一模]（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，點E在AC上，連接DE、DB，

，求證：

.從①DE與（2）在（1）的條件下，若EF=1，DE=2．[2024常德一模]如圖，AB為⊙O的直徑，點P為半徑OA上異于點O和點A的一個點，過點P作與直徑AB垂直的弦CD，連接AD，作BE⊥AB，連接AE、DE，AE交CD于點F，且DE與⊙（1）求證：OE//（2）若⊙O的半徑為5，tan∠PAD=（3）已知PF=x，PD=y，求3．[2024婁底婁星一模]如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，點D是AC上一點，以CD為直徑的⊙O過點B，連接BD,且∠CAB=∠DBA，∠DBC的平分線BE交⊙O（1）求證：AB與⊙O（2）求證：△DEF（3）已知DA=2，求4．[2024郴州二模]如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，OF⊥AC于點F，延長OF交⊙O于點E，過E作⊙O的切線ED，與BC的延長線交于點D，連接EB交（1）求證：四邊形EFCD為矩形；（2）求證：CE（3）若CGGF=2m（m為常數(shù)），求5．[2023長沙瀏陽一模]如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一個動點，延長AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點B，點（1）當(dāng)PC與⊙O相切時，求∠（2）芳芳觀察后發(fā)現(xiàn)，PDCD的值為12，點點說PDCD（3）設(shè)tan∠PCB=x,tan(126．[2024長沙三模]如圖，AB=AD，AB為⊙O的直徑，C在⊙O上且為BD的中點，過點A作AF//BD，連接（1）求證：CF為⊙O（2）記△AEF，△AEC，△CED的面積分別為S1，S2，S（3）若⊙O的半徑為1，設(shè)BC=x，AE?DE?1重難四二次函數(shù)壓軸題1．[2024岳陽一模]如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x備用圖（1）請直接寫出點A，B，C的坐標(biāo).（2）若點P是拋物線BC段上的一點，當(dāng)△PBC的面積最大時求出點P的坐標(biāo)，并求出△（3）點F是拋物線上的動點，作EF//AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點2．[2024懷化一模]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，OB 圖1 圖2 圖3（1）求拋物線的解析式、對稱軸及頂點D的坐標(biāo).（2）如圖2，點Q為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)Q在什么位置時QA+QC的值最??？求出此時Q點的坐標(biāo)，并求出此時（3）如圖3，在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點M，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點N，滿足∠MDN=903．[2023湖北武漢]拋物線C1：y=x2?2x?8交x軸于A， 圖① 圖②（1）直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo).（2）如圖①，作直線x=t(0<t<4),分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，（3）如圖②，將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點，直線y=2x與拋物線C2交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線4．[2024長沙一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A（1）求該拋物線的解析式.（2）連接BC，拋物線上是否存在點M，使∠ABC=∠BCM（3）若點D是拋物線上位于第二象限的一動點，過點D作DF⊥x軸于點F，過點A,B,D的圓與DF交于點E，連接AE,BE，求5．[2024長沙寧鄉(xiāng)模擬]定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于直線x=n（n為常數(shù)）對稱，則稱該函數(shù)為“（1）在下列函數(shù)中，是“X(①y=x；②y=（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=(x??)2+k是“X(0)函數(shù)”，且圖象與直線y=4相交于A（3）若關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx+4(a≠0)6．[2024安徽]已知拋物線y=?x2+bx（1）求b的值.（2）點A(x1,y1)（?。┤?=3t,且x1≥0（ⅱ）若x1=t7．[2024重慶A卷]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)經(jīng)過點(?1,6),與y軸交于點C備用圖（1）求拋物線的表達式.（2）點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E,交AC于點D.點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N,點F為線段BC的中點，連接AM,NF.當(dāng)線段（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D,且與直線AC相交于另一點K.點Q為新拋物線上的一個動點，當(dāng)∠QDK=∠ACB8．[2024江蘇蘇州]如圖①,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象C1與 圖① 圖②（1）求圖象C1（2）若圖象C2過點C(0,6),點P位于第一象限，且在圖象C2上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象C2的另一個交點為Q（Q在P左側(cè)）,直線l與圖象C1的交點為M,N（3）如圖②,D,E分別為二次函數(shù)圖象C1,C2的頂點，連接AD,過點A作AF⊥AD,交圖象C2于點F,連接EF重難五幾何壓軸題1．[2024張家界桑植一模]如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E,AB=10,CD=6,點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連接AP交⊙O于點Q,連接CQ交AB于點 圖1 圖2（1）如圖1,當(dāng)DP=4時，求（2）如圖2,連接AC,DQ.①求證：∠ACQ②在點P運動的過程中，設(shè)DP=x，S△QACS2．[2024常德安鄉(xiāng)一模]問題提出：如圖①，△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，延長BC至點E，使DE=DB，延長ED交AB圖①問題探究：．（1）先將問題特殊化，如圖②，當(dāng)∠BAC=60圖②（2）再探究一般情形，如圖①，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.問題拓展：．如圖③，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，CGBC=1n(n<2)，延長BC至點E，使圖③3．[2023湖北武漢]問題提出如圖①，E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(α≥①問題探究．（1）先將問題特殊化，如圖②，當(dāng)α=90°②（2）再探究一般情形，如圖①，求∠GCF與α問題拓展．將圖①特殊化，如圖③，當(dāng)α=120°時，若DG③4．[2024永州東安一模]在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CDE=90°,AC=BC,CD=DE，點F是AB的中點，連接 圖① 圖② 備用圖（1）如圖①，當(dāng)點E在AC上時，AE和DF的數(shù)量關(guān)系為____________，直線AE和直線DF相交所成的銳角的度數(shù)為________.（2）如圖②，當(dāng)點E不在AC上時，（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，請寫出新的關(guān)系，并說明理由.（3）若CD=5,BC=13，將△CDE繞著點C旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)D，E5．[2024重慶A卷]在△ABC中，AB=AC,點D是BC邊上一點（點D不與端點重合）.點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E,連接AD,DE.在直線AD上取一點F,使∠EFD=∠BAC,直線 圖1 圖2 備用圖（1）如圖1,若∠BAC=60°,BD<CD,（2）如圖1,若∠BAC=60°,BD<（3）如圖2,若∠BAC=90°,點D從點B移動到點C的過程中，連接AE,當(dāng)6．[2024江西]綜合與實踐如圖，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合）,連接CD,以CD為直角邊在CD的右側(cè)構(gòu)造Rt△CDE,∠DCE=90特例感知 圖1 圖2 圖3（1）如圖1,當(dāng)m=1時，BE與類比遷移（2）如圖2，當(dāng)m≠1時,猜想BE與拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于DE對稱，連接DF,EF,BF,如圖3.已知AC=6,設(shè)AD=x,四邊形①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；②當(dāng)BF=2時，請直接寫出參考答案重難突破重難一規(guī)律探究問題1．[2023云南]按一定規(guī)律排列的單項式：a,2a2,3a3,4a4,A.n B.n?1an?1【答案】C【解析】觀察排列的單項式，發(fā)現(xiàn)第n個單項式的系數(shù)為n，字母a的指數(shù)為n，所以第n個單項式為na2．[2024江蘇揚州]1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數(shù)：1,1,2,3,5,?,這一列數(shù)滿足：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它的前兩個數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為（）A.676 B.674 C.1348 D.1350【答案】D【解析】這列數(shù)為1，1，2，3，5，8，13，21，34，?，可以發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)為一組，每一組前2個數(shù)為奇數(shù)，第3個數(shù)為偶數(shù)，∵2024÷3=6743．[2024長沙三模]我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了(a+b例如：(a(a(a(a(a……請你猜想(aA.2018 B.512 C.128 D.256【答案】D【解析】(a+b(a+b(a+b……∴(a+b∴(a+b4．[2023常德]觀察數(shù)表（橫排為行，豎排為列），按數(shù)表中的規(guī)律，分數(shù)202023排在第a行b列，則aA.2003 B.2004 C.2022 D.2023【答案】C【解析】觀察數(shù)表可知，第n行從左到右的每一個分數(shù)的分母依次為n，(n?1)，(n?2)，顯然分數(shù)202023在第a即b=20.觀察數(shù)表發(fā)現(xiàn)行數(shù)=分子+分母∴a∴a5．[2024山東濟寧]如圖，用大小相等的小正方形按照一定規(guī)律拼正方形.第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形，??按照此規(guī)律，第六幅圖中正方形的個數(shù)為（）A.90 B.91 C.92 D.93【答案】B【解析】第一幅圖中正方形的個數(shù)為12第二幅圖中正方形的個數(shù)為12第三幅圖中正方形的個數(shù)為12……第六幅圖中正方形的個數(shù)為126．[2024郴州桂陽一模]如圖，∠MON=30°，在OM上截取OA1=3.過點A1作A1B1⊥OM，交ON于點B1，以點B1為圓心，B1O為半徑畫弧，交OM于點A2；過點AA.22021 B.22020 C.22023【答案】A【解析】∵A1B1⊥OM，∵OB1=B∵A2B2⊥OM，同理△B2A同理△B2021A7．[2024湖北武漢]如圖，小好同學(xué)用計算機軟件繪制函數(shù)y=x3?3x2+3x?1的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(1,0)中心對稱.若點AA.?1 B.?0.729 C.0【答案】D【解析】∵這20個點的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1，∴0.1∵函數(shù)y=x3∴y1+y19=0∴y∴y1+y2將x=2代入得y20∴y8．[2024岳陽平江模擬]正偶數(shù)2,4,6,8,10,?,按如下規(guī)律排列， 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20則第27行的第21個數(shù)是____.【答案】744【解析】由題意知，第n行有n個數(shù)，第n行的最后一個偶數(shù)是n(∴第27行的最后一個數(shù),即第27個數(shù)為27×∵第27行的第21個數(shù)與第27個數(shù)差6個數(shù)，∴756故答案為744.9．[2023山西]如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓片組成.第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，??，依此規(guī)律，第n個圖案中有____________個白色圓片（用含n的代數(shù)式表示）.【答案】(2【解析】第1個圖案中有2+第2個圖案中有2+第3個圖案中有2+……∴第n個圖案中有(210．[2024岳陽華容一模]在中國歷法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，它們經(jīng)常和其他漢字來搭配命名，如化學(xué)中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下圖為有機物甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)圖，請你依照規(guī)律，推測出壬烷中“H”的個數(shù)為__.【答案】20【解析】甲烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+乙烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+丙烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+……∴壬烷分子結(jié)構(gòu)圖中“H”的個數(shù)是2+11．[2023衡陽蒸湘一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A1(2,2)在直線y=x上，過點A1作A1B1//y軸，交直線y=12x于點B1，以A1為直角頂點，A1B1為直角邊，在A1B1的右側(cè)作等腰直角三角形【答案】2×【解析】∵點A1(2,2)，∴B1(2,∴點C1的橫坐標(biāo)為3∵過點C1作A2B2//y軸，分別交直線y=∴A2(3,3)∴點C2的橫坐標(biāo)為9以此類推，A3B3∴點C3的橫坐標(biāo)為274=2×∴點C4的橫坐標(biāo)為81……∴點Cn的橫坐標(biāo)為2∴點C2021的橫坐標(biāo)為212．[2023江蘇宿遷]如圖，△ABC是正三角形，點A在第一象限，點B(0,0)、C(1,0).將線段CA繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至CP1；將線段BP1繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°至BP2；將線段A【答案】(?49【解析】如圖，畫出前4次旋轉(zhuǎn)后點P1，P2，P3由圖象可得，點P1，P4在∴旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)，∵99÷3=33，∴點P99在射線∵C(1∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AC=CP1=∴BP2∴C∴BP4同理可得P7(8,0)，∴CP100=101∴如圖，過點P99作P99E∵∠ACB=60∴EC∴EO=EC∴點P99的坐標(biāo)是(?13．[2023張家界]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標(biāo)為(1,1)，AA1?是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧；A1A2?是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧；A2A3?是以點C為圓心，CA2【答案】(?2023【解析】∵點A的坐標(biāo)為(1,1)，且A1為A點繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，又∵A2為A1點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，∴點又∵A3為A2點繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，∴點又∵A4為A3點繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，∴點由此可得出規(guī)律：B、O、C、A四點作為圓心依次循環(huán)，An順時針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、…、∵2023∴A2023為A2022繞點C∴點A2023的坐標(biāo)為(?14．[2023懷化]在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為(1,0).把△AOB按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1【答案】22023；【解析】由題意得OA=1=20，OA1=2∴△A2023O∵360°÷∵2023∴A2023在第四象限，坐標(biāo)為15．[2024江蘇鹽城]發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢?圖1分析問題．某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d(n,k均為正整數(shù)，n>小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案. 圖2 圖3 圖4方案1:圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為____________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________________；方案2:圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________________;方案3:圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.解決問題．在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短?請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.【解析】分析問題方案1：(n?1)d；2k；2(n?1)dk.詳解：根據(jù)每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，∴每行鏟的路徑長為(n?1)d，∵每列有k個籽，呈交錯規(guī)律排列，∴有2k行，即共鏟2k行.∴鏟除全部籽的路徑總長為2(n?1)dk.方案2：2(k?1)dn.詳解：根據(jù)每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，∴每列鏟的路徑長為(k?1)d，∵每行有n個籽，呈交錯規(guī)律排列，∴有2n列，∴縱向鏟除全部籽的路徑總長為2(k?1)dn.方案3：由題圖4得斜著鏟時路徑上每相鄰兩個點之間的距離為d2+d22=2d2.沿著斜著鏟籽的路徑展開菠蘿側(cè)面，由每行有n個籽可知，斜著鏟除全部籽所需路徑為n解決問題2(n?1)dk?2(k?1)dn=2ndk?2dk?2ndk+2dn=2d(n?k)>0，∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長;2(k?1)dn?22×(2k?1)dn=[(2?2)k?2+22]dn，∵n>k≥3，重難二新定義問題1．[2023山東菏澤]若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A(1,3)，B(?2,?6A.?14≤C.?14≤【答案】D【解析】由題意得，“三倍點”所在的直線為y=∵在?3<x∴在?3<x<1令3x=?x2?x+c把x=?3代入y=?x2?x∴?9>?6把x=1代入y=?x2?x∴3>?2綜上，c的取值范圍為?42．[2024湖南模擬]定義：如果兩個函數(shù)的圖象上分別存在唯一的一個點，這兩點關(guān)于x軸對稱，則稱這兩個函數(shù)是“有關(guān)系的”.若一次函數(shù)y=x+1與二次函數(shù)【答案】5【解析】由題意，設(shè)一次函數(shù)y=x+1圖象上存在唯一的一個點(m∴m整理得m2根據(jù)題意可知，Δ=16?43．[2023四川樂山]定義：若x，y滿足x2=4y+t，y2=（1）若P(3,（2）若雙曲線y=kx【答案】（1）?（2）3【解析】（1）∵P(3,m)是“和諧點”，∴4m+t=9,12+t=m2,整理得m2+4m?21=0，解得m=?7（2）∵雙曲線y=kx(?3<x<?1)存在“和諧點”，∴x2=4kx+t①,k2x2=4x+t②,①?②得4．[2024長沙一模]已知四邊形有兩組對角，我們把有一組對角互余的四邊形叫做“對余四邊形”.（1）若四邊形ABCD是“對余四邊形”，則其一組對角∠A（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點D，求證：四邊形圖1（3）如圖2，在“對余四邊形”ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，探究線段圖2【解析】（1）90°或270°∵MN是⊙O的直徑，∴∠BNM+∠BMN=90°.∵在⊙O中，∠BNM=∠BAD，∠BMN=∠BCD，∴∠BAD+∠BCD=90°，（3）AD2+CD2=BD2.理由：如圖，將△BCD繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，∴△BCD≌△BAF，∠FBD=∠ABC=60°，∴△BFD是等邊三角形，∴BF=BD=DF.∵在“對余四邊形”ABCD中，∠ABC+∠ADC=905．[2024長沙湘江新區(qū)一模]新定義：如果實數(shù)m,n滿足m?n=?2，則稱P(m,（1）求正比例函數(shù)y=（2）若點A是反比例函數(shù)y=kx圖象上唯一的“立足點”,點B,C是反比例函數(shù)y=kx圖象上的“制高點”,點M是反比例函數(shù)y=（3）已知點D(x1,y1),E(x【解析】（1）設(shè)正比例函數(shù)y=x圖象上“制高點”的坐標(biāo)為(m?1,5?n)，根據(jù)題意得m?n=?2,m?1=5?n,解得n=4,m=2,∴正比例函數(shù)y=x（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為(m,n)，根據(jù)題意，得m?n=?2,n=km,整理，得m2+2m?k=0.∵點A是反比例函數(shù)y=kx圖象上唯一的“立足點”，∴Δ=22+4k=0，解得k=?1.∴反比例函數(shù)的解析式為y=?1x，點A的坐標(biāo)為(?1,1).設(shè)點B(m?1,5?n)是反比例函數(shù)y=?1x圖象上的一個“制高點”，根據(jù)題意，得m?n=?2,5?n=?1m?1,整理，得m2?4m+2=0，解得m1=2+2，m2=2?2，∴n1=4+2，n2=4?2，∴B(1+2,1?2)，C(1?2,1+2)，∴直線BC的解析式為y=?x+2.∵△MBC的面積等于△ABC的面積，∴MA//BC，設(shè)直線MA的解析式為y=?x+t，將A(?1,1)代入，得t=0，∴直線MA的解析式為y=?x，聯(lián)立得y=?1x,y=?x,解得x=1或x=?1，∴M(1,?1).在y=?x+2中，令x=0，得（3）∵a+b+c=0，且a>2b>3c,∴a>0，c<0，b=?(a+c),由題意得ax2+(2b?1)x+3c+2=?x+2,∴ax2+2bx+3c=0，∴x1+x2=?2ba,x1x2=3ca,∴|x1?x2|=(x1?x6．[2024婁底婁星一模]定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點P(x,y)的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y?x 圖1 圖2（1）①點A(②拋物線y=?（2）某拋物線y=?x2+bx（3）如圖，二次函數(shù)y=?x2+px+q的圖象的頂點在“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的圖象上，四邊形DEFO是矩形，點E的坐標(biāo)為(7,3)，點O【解析】（1）①3②7（2）∵b+c=1,∴b=1?c，∴y=?x2+(1?c)x+c，∵拋物線y=?x2+(1?c)x+c的“特征值”為?1，y?x=?x2+(1?c)x+c?x=?x2（3）“坐標(biāo)差”為2的一次函數(shù)的解析式為y=x+2，∵二次函數(shù)y=?x2+px+q的圖象的頂點在直線y=x+2上，∴設(shè)二次函數(shù)y=?(x?m)2+m+2，二次函數(shù)的圖象與矩形的邊只有三個公共點，分兩種情況：如題圖1，拋物線頂點在直線y=x+2與FE的交點處時，令y=3，則x=1，∴拋物線頂點為(1,3)，∴m=1,∴二次函數(shù)的解析式為y=?(x?1)2+3，∴y?x=?(x?1)2+3?x=?x2+x+2=?(x?12)2+94，“特征值”是94；如題圖2，拋物線右側(cè)部分經(jīng)過點E時，把重難三圓的綜合問題1．[2024益陽沅江一模]（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，點E在AC上，連接DE、DB，

，求證：

.從①DE與（2）在（1）的條件下，若EF=1，DE=【解析】若②作為條件，①作為結(jié)論.證明：連接OD，如圖，∵弦AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠ODA=∠EAD，∴AC//OD.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切.若①作為條件，②作為結(jié)論.證明：連接OD，如圖，∵弦AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠ODA=∠EAD，∴AC//OD.∴DE與⊙O相切，OD為⊙O的半徑，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC.（2）連接DF，∵弦AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，∴DF?=BD?，∴DF=BD.∵DE⊥AC，∴∠FED=90°，又EF=1，DE=2，∴DF=DE2+EF2=22+12=52．[2024常德一模]如圖，AB為⊙O的直徑，點P為半徑OA上異于點O和點A的一個點，過點P作與直徑AB垂直的弦CD，連接AD，作BE⊥AB，連接AE、DE，AE交CD于點F，且DE與⊙（1）求證：OE//（2）若⊙O的半徑為5，tan∠PAD=（3）已知PF=x，PD=y，求【解析】證明：如圖，連接OD，∴OA=OB=OD，∵DE與⊙O相切于點D，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，∵BE⊥AB，∴∠OBE=90°=∠ODE，在Rt△OBE和Rt△ODE中，OE=OE,OB=OD,∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)，∴∠BOE=∠DOE，（2）∵AB⊥CD，tan∠PAD=3，∴PDPA=3，CD=2PD，設(shè)PA=a，則PD=3a，∴PO=OA?PA=5?a，在Rt△OPD中，PO2+PD2=OD2（3）∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD//BE，∴∠APD=∠OBE=90°，∴△APF～△ABE，∴PFBE=APAB，∴PF=AP?BEAB，∵∠OAD=∠BOE,∠APD=∠OBE=90°，∴△APD～△OBE3．[2024婁底婁星一模]如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，點D是AC上一點，以CD為直徑的⊙O過點B，連接BD,且∠CAB=∠DBA，∠DBC的平分線BE交⊙O（1）求證：AB與⊙O（2）求證：△DEF（3）已知DA=2，求【解析】（1）證明：連接OB.∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA.∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵∠CAB=∠DBA，∴∠DBA=∠OBC.∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC=90°.∵∠DBC=∠DBO+∠OBC，∴∠DBO+∠DBA=90°.∴OB⊥AB，∵OB是⊙O的半徑，∴AB（2）證明：易知∠EDC=∠EBC.∵BE平分∠DBC，∴∠EBD=∠EBC.∴∠EDC=∠EBD.又∠DEF=∠BED,∴△DEF～△BED.（3）∵∠CAB=∠DBA，∴DB=DA=2.∵∠CAB=∠DBA=∠BCA，∠CDB=∠CAB+∠DBA，∠CDB+∠BCA=90°，∴3∠BCA=90°，∴∠BCA=30°.∴在Rt△BCD中，CD=2DB=4.連接EC，∵∠EBD=∠EBC，∴DE?=CE?,∴DE=CE.在Rt△CDE4．[2024郴州二模]如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，OF⊥AC于點F，延長OF交⊙O于點E，過E作⊙O的切線ED，與BC的延長線交于點D，連接EB交（1）求證：四邊形EFCD為矩形；（2）求證：CE（3）若CGGF=2m（m為常數(shù)），求【解析】（1）證明：∵OF⊥AC，∴∠EFC=90°.∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠DCF=90°.∵ED為⊙O的切線，OE為⊙O的半徑，（2）證明：由題意知AE?=CE?，∴∠ACE=∠EBC.又∠CEG=∠BEC，∴△GCE～△CBE，（3）∵四邊形EFCD為矩形，∴OE//BD，∴△GCB～△GFE，∴CGGF=BCEF=2m.設(shè)BC=2a，則EF=ma，∵AC⊥OE，∴AF=FC，又AO=BO，∴FO是△ABC的中位線，∴FO=15．[2023長沙瀏陽一模]如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一個動點，延長AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點B，點（1）當(dāng)PC與⊙O相切時，求∠（2）芳芳觀察后發(fā)現(xiàn)，PDCD的值為12，點點說PDCD（3）設(shè)tan∠PCB=x,tan(12【解析】（1）當(dāng)PC是⊙O的切線時，OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵BP=OB，∴BC=BP，OP=2OB=2OC，∴∠P=∠PCB.∵sinP=OC（2）芳芳的結(jié)論正確，證明：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵BD⊥BC，∴AC//BD，∴△PDB～△PCA，∴PDPC=PBPA，又∵BP=OB，∴PA=3BP，即（3）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴tanA=BCAC，∵∠A=12∠POC，∴y=tan(12∠POC)=BCAC，∵BD⊥BC，∴∠CBD=906．[2024長沙三模]如圖，AB=AD，AB為⊙O的直徑，C在⊙O上且為BD的中點，過點A作AF//BD，連接（1）求證：CF為⊙O（2）記△AEF，△AEC，△CED的面積分別為S1，S2，S（3）若⊙O的半徑為1，設(shè)BC=x，AE?DE?1【解析】（1）證明：連接OC，∵OA=OB，C為BD的中點，∴OC//AD，∵CF⊥AD，∴OC⊥CF，∵C在⊙O上，∴CF為⊙O的切線.（2）∵AF//BD，∴△AEF～△DEC，∴S1S3=(AEDE)2，∵S2S3=AEDE，S1+S2S3=3，∴(AEDE)2+AEDE=3，∴（3）∵⊙O的半徑為1，∴AD=AB=2，∵BC=CD=x，∴AC=4?x2，∵S△ACD=12AC?CD=12AD?CE，∴x4?x2=2CE，∴CE=x4?x22，由（2）知AE?DE=CE2=x2(4?x2)4，∵∠ACB=90°重難四二次函數(shù)壓軸題1．[2024岳陽一模]如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x備用圖（1）請直接寫出點A，B，C的坐標(biāo).（2）若點P是拋物線BC段上的一點，當(dāng)△PBC的面積最大時求出點P的坐標(biāo)，并求出△（3）點F是拋物線上的動點，作EF//AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點【解析】（1）A(?2,0)，B(6,0)，C(0,?6).（2）如圖1，作PQ⊥AB于Q，交BC于點D，圖1易知直線BC的解析式為y=x?6，設(shè)P(m,12m2?2m?6)，則D(m,m?6)，∴PD=(m?6)?(12m2?2m?6)=?12m存在.如圖2，圖2當(dāng)四邊形ACFE為平行四邊形時，AE//CF，∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C(0,?6)，∴點F的坐標(biāo)為(4,?6).如圖3，當(dāng)四邊形ACEF為平行四邊形時，作FG⊥AE于G，圖3易知FG=OC=6，當(dāng)y=6時，12x2?2x?6=6，解得x1=2+27，x2=2?27，∴F(2+272．[2024懷化一模]如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，OB 圖1 圖2 圖3（1）求拋物線的解析式、對稱軸及頂點D的坐標(biāo).（2）如圖2，點Q為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)Q在什么位置時QA+QC的值最??？求出此時Q點的坐標(biāo)，并求出此時（3）如圖3，在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點M，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點N，滿足∠MDN=90【解析】（1）∵OB=OC=5，∴點B的坐標(biāo)為(5,0)，點C的坐標(biāo)為(0,5)，∴?25+5b+c=0,c=5,解得b=4,c=5,∴拋物線的解析式為y=?x2+4x+5，∵y=?x2（2）∵點A與點B(5,0)關(guān)于直線x=2對稱，連接BC交對稱軸于點Q，此時QA+QC的值最小，易得直線BC的解析式為y=?x+5，當(dāng)x=2時，y=?2+5=3，∴Q(2,3)，∵點A(?1,0)，點C(0,5)，∴AC=12+52=26，∵AQ+CQ=CB=證明：如圖，過點D作直線l垂直于y軸，再過點M，N分別作直線l的垂線，垂足分別為H，G，設(shè)點M(m,?m2+4m+5)，點N(n,?n2+4n+5)，∵頂點D的坐標(biāo)為(2,9)，∴MH=9?(?m2+4m+5)=m2?4m+4=(m?2)2，DH=2?m，GN=9?(?n2+4n+5)=n2?4n+4=(n?2)2，DG=n?2，由題意得∠H=∠G=∠MDN=90°，∴∠MDH=90°?∠NDG=∠DNG，∴△MDH～△DNG，∴MHDG=DHNG，即(m?2)2n?2=2?m(n?2)2，∴(m?2)(n?2)=?1，∴mn?2(m+n)+5=0，設(shè)直線MN的解析式為y=kx+t，∴mk+t=?m2+4m+5①,nk+t=?n2+4n+5②,①?②得3．[2023湖北武漢]拋物線C1：y=x2?2x?8交x軸于A， 圖① 圖②（1）直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo).（2）如圖①，作直線x=t(0<t<4),分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，（3）如圖②，將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點，直線y=2x與拋物線C2交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線【解析】（1）A(?2,0),B(4,0),C(0,?8).（2）∵F是直線x=t與拋物線C1的公共點，∴F(t,t2?2t?8).①如圖，當(dāng)△BE1D1～△CE1F1時，∵∠BCF1=∠CBO，∴CF1//OB.∵C(0,?8)，∴t2?2t?8=?8.解得t=0（舍去）或t=2.②如圖，當(dāng)△BE2D2～△F2E2C時，過F2作F2T⊥y軸于點T.（3）點P在一條定直線上.由題意知拋物線C2:y=x2,∵直線OG的解析式為y=2x,∴G(2,4).∵H是OG的中點，∴H(1,2).設(shè)M(m,m2),N(n,n2),∴直線MN的解析式為y=(m+n)x?mn.∵直線MN經(jīng)過點H(1,2)，∴mn=m+n?2.易知直線GN的解析式為y=(n+2)x?2n，直線MO的解析式為y=mx.聯(lián)立得y=(n+2)x?2n,y=mx.∵直線OM與NG相交于點P，∴n+2≠m,即n?m+2≠0.∴x=2nn?m+2,y=2mnn?m+2.∵mn=m+n?2,∴P(2nn?m+2,4．[2024長沙一模]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于A（1）求該拋物線的解析式.（2）連接BC，拋物線上是否存在點M，使∠ABC=∠BCM（3）若點D是拋物線上位于第二象限的一動點，過點D作DF⊥x軸于點F，過點A,B,D的圓與DF交于點E，連接AE,BE，求【解析】（1）易知C(0,c)，∴OC=?c，∵OB=OC=2OA，∴OB=?c,OA=?12c，∴B(?c,0)，A(12c,0)，代入拋物線y=12x（2）存在.∵OB=OC=4，∠BOC=90°，∴∠ABC=∠OCB=45°，∴∠BCM=∠ABC=45°，∴MC⊥y軸，當(dāng)y=?4時，12（3）由（1）知A(?2,0),B(4,0)，∴AB=4?(?2)=6，記過點A，B，D的圓的圓心為點G，∵點G在線段AB、DE的垂直平分線上，∴設(shè)G(1,t)，D(m,n)，則E(m,2t?n)，∴S△ABE=12AB?EF=12×6(2t?n)=3(2t?n)，∵GD2=GA2，∴(1?m)2+(t?n)2=(?2?1)25．[2024長沙寧鄉(xiāng)模擬]定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于直線x=n（n為常數(shù)）對稱，則稱該函數(shù)為“（1）在下列函數(shù)中，是“X(①y=x；②y=（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=(x??)2+k是“X(0)函數(shù)”，且圖象與直線y=4相交于A（3）若關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx+4(a≠0)【解析】（1）④（2）根據(jù)題意，得?=0，則y=x2+k，∴P(0,k)，設(shè)直線y=4與y軸交于點H，如圖，聯(lián)立得y=x2+k,y=4,整理得x2+k?4=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1+x2=0，x1x2=k?4，且k<4，則AB=(x1（3）由題意，得?b2a=1,9a+3b+4=1,解得a=?1,b=2,∴y=?x2+2x+4.①當(dāng)t<1時，y1=?t2+2t+4，y2=?(t?1)2+2(t?1)+4，∴y1?y2=(?t2+2t+4)?[?(t?1)2+2(t?1)+4]=?2t+3=2，解得t=12；②當(dāng)t?1≥1，即t≥2時，y1=?(t?1)26．[2024安徽]已知拋物線y=?x2+bx（1）求b的值.（2）點A(x1,y1)（?。┤?=3t,且x1≥0（ⅱ）若x1=t【解析】（1）因為拋物線y=?x2+bx的頂點橫坐標(biāo)為b2，拋物線y=?x（2）因為點A(x1,y1)在拋物線y=?x2+2x上，所以y1=?（2）（?。┮驗?=3t,所以3t=?t2?2x1t+2x1+4t,整理得t(t+2x1（ⅱ）將x1=t?1代入?=?t2?2x1t+2x1+4t,整理得?=?3t27．[2024重慶A卷]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)經(jīng)過點(?1,6),與y軸交于點C備用圖（1）求拋物線的表達式.（2）點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E,交AC于點D.點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N,點F為線段BC的中點，連接AM,NF.當(dāng)線段（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D,且與直線AC相交于另一點K.點Q為新拋物線上的一個動點，當(dāng)∠QDK=∠ACB【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+4(a≠0)與y軸交于點C，∴點C的坐標(biāo)為(0,4)，即OC=4.在Rt△OBC中，∠COB=90°,tan∠CBA=OCOB=4,∴OB=1.∴點B的坐標(biāo)為(1,0).將點(?1,6)，(1,0)分別代入（2）在拋物線的表達式y(tǒng)=?x2?3x+4中，由?x2?3x+4=0,解得x1=?4,x2=1,∴點A的坐標(biāo)為(?4,0)，∴直線AC的表達式為y=x+4,設(shè)P(m,?m2?3m+4),則D(m,m+4),∴PD=?m2?3m+4?(m+4)=?m2?4m=?(m+2)2+4.∵?1<0,∴當(dāng)m=?2時，線段PD長度取最大值，為4，此時點P的坐標(biāo)為(?2,6)，點E的坐標(biāo)為(?2,0)，點D的坐標(biāo)為(?2,2).∵MN⊥y軸，點M在直線x=?2上，∴MN=EO=2.如圖，連接EF,設(shè)EF交y軸于點N,過點N作NM⊥DE，垂足為M,連接AM.易知MN//AE,MN=AE=2，∴四邊形AENM為平行四邊形.∴AM=EN，由兩點之間線段最短，可知AM+NF的最小值為EF的長.∴AM+MN+NF的最小值為MN+EF.∵點F為線段BC的中點，∴點F（3）滿足條件的點Q的坐標(biāo)是(?1,?2)，(?198．[2024江蘇蘇州]如圖①,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象C1與 圖① 圖②（1）求圖象C1（2）若圖象C2過點C(0,6),點P位于第一象限，且在圖象C2上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象C2的另一個交點為Q（Q在P左側(cè)）,直線l與圖象C1的交點為M,N（3）如圖②,D,E分別為二次函數(shù)圖象C1,C2的頂點，連接AD,過點A作AF⊥AD,交圖象C2于點F,連接EF【解析】（1）將A(?1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c,得1?b+c=0,9+3b+c=0,解得b=?2,c=?3,（2）設(shè)C2對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=a(x+1)(x?3)(a<0)，將C(0,6)代入得，a=?2．∴C2對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=?2(x+1)(x?3)，其對稱軸為直線x=1．易知圖象C1的對稱軸也為直線x=1．作直線x=1，交直線l圖①由二次函數(shù)圖象的對稱性得，QH=PH，PM=NQ，又∵PQ=MP+NQ，∴PH=PM．設(shè)PH=t(0<t<2)，則點P的橫坐標(biāo)為t+1，點M的橫坐標(biāo)為2t+1，將x=t+1代入y=?2(x+1)(x?3)，得yP=?2(t+2)(t?2)，將x=2t+1代入y=(x+1)(x?3)，得yM=(2t+2)(2t?2)，∵yP=yM，∴?2(t+2)(t?2)=(2t+2)(2t?2)，即6t2（3）連接DE，交x軸于點G，過點F作FI⊥ED于點I，過點F作FJ⊥x軸于點J.（如圖②）圖②易知DE⊥x軸，∵FI⊥ED，F(xiàn)J⊥x軸，∴四邊形IGJF為矩形，∴IF=GJ，IG=FJ，設(shè)C2對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=k(x+1)(x?3)(k<0)，∵點D，E分別為二次函數(shù)圖象C1，C2的頂點，∴D(1,?4)，E(1,?4k)．∴DG=4，AG=2，EG=?4k，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG=24=12，∵AF⊥AD，∴∠FAB+∠DAB=90°，又∵∠DAG+∠ADG=90°，∴∠ADG=∠FAB，∴tan∠FAB=tan∠ADG=FJAJ=12，設(shè)GJ=m(0<m<2)，則AJ=2+m，∴FJ=2+m2，∴F(m+1,2+m2)，∵EF//AD，∴∠FEI=∠ADG，∴tan∠FEI=tan∠ADG=FIEI=12，∴EI=2m，又∵EG=EI+IG，∴2m+2+m重難五幾何壓軸題1．[2024張家界桑植一模]如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E,AB=10,CD=6,點P是CD延長線上異于點D的一個動點，連接AP交⊙O于點Q,連接CQ交AB于點 圖1 圖2（1）如圖1,當(dāng)DP=4時，求（2）如圖2,連接AC,DQ.①求證：∠ACQ②在點P運動的過程中，設(shè)DP=x，S△QACS【解析】（1）連接OD，如圖，∵AB⊥CD，∴DE=EC=12CD=3.∵AB=10，∴OA=OB=OD=5.∴OE=OD2?DE2=4.∴AE=OA+OE=9（2）①證明:連接BQ，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AQB=90°.∴∠QAB+∠B=90°.∵PE⊥AE，∴∠QAB+∠P=90°.∴∠P=∠B②∵CE⊥AB，∴AC=AE2+CE2=310.∵四邊形AQDC為圓內(nèi)接四邊形，∴∠PDQ=∠QAC.又∠ACQ=∠CPA，∴△PDQ～△CAQ.∴S△PDQS△QAC=(DPAC)2=2．[2024常德安鄉(xiāng)一模]問題提出：如圖①，△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，延長BC至點E，使DE=DB，延長ED交AB圖①問題探究：．（1）先將問題特殊化，如圖②，當(dāng)∠BAC=60圖②（2）再探究一般情形，如圖①，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.問題拓展：．如圖③，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中點，G是邊BC上一點，CGBC=1n(n<2)，延長BC至點E，使圖③【解析】（1）14.詳解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,∵D是AC的中點，∴AD=12AC=12AB,∠ABD=∠DBE=30°（2）證明：取BC的中點H，連接DH.∵D是AC的中點，∴DH//AB，DH=12AB.∵AB=AC，∴DH=DC.∴∠DHC=∠DCH.∵BD=DE，∴∠DBH=∠DEC.∴∠BDH=∠EDC.∴△DBH≌△DEC.∴BH=EC.∴EBEH=32.∵DH//AB，∴△EFB～△EDH問題拓展：2?n4.詳解：如圖，取BC的中點H，連接DH.∵D是AC的中點，∴DH//AB，DH=12AB.∵AB=AC，∴DH=DC.∴∠DHC=∠DCH.∵DE=DG，∴∠DGH=∠DEC.∴∠GDH=∠EDC.∴△DGH≌△DEC.∴GH=EC.∴HE=CG.∵CGBC=1∵DH//AB，∴△EFB～△EDH.∴FBDH=EBEH3．[2023湖北武漢]問題提出如圖①，E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=α(α≥①問題探究．（1）先將問題特殊化，如圖②，當(dāng)α=90°②（2）再探究一般情形，如圖①，求∠GCF與α問題拓展．將圖①特殊化，如圖③，當(dāng)α=120°時，若DG③【解析】（1）∠GCF=45°.詳解：如圖，在BA上截取BJ，使得BJ=BE.當(dāng)α=90°時，菱形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=90°，BA=BC，∵BJ=BE，∴AJ=EC，∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠BAE+∠B，∠AEF=∠B=90°，∴∠CEF=∠EAJ，又∵EA=EF，∴△EAJ≌△FE