第六章微分中值定理及其應(yīng)用7方程的近似解方程求解的方法主要有兩種：解析法和數(shù)值法.解析法又稱為公式法，可以得到精確的解。法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦證明了形如：y=anxn+an-1xn-1+…+a0(an≠0)的代數(shù)方程中，當n≥5時，一般不存在求解公式.數(shù)值解法——牛頓切線法設(shè)f在[a,b]上二階可導(dǎo)，滿足：f’(x)·f”(x)≠0，f(a)·f(b)<0，則存在收斂點列{xn}，使其極限xn=ξ恰好是方程f(x)=0的解.因此，當n充分大時，xn可作為ξ的近似值，即方程的近似解.(1)設(shè)f’(x)<0，f”(x)>0，從而有f(a)>0，f(b)<0，并設(shè)f(ξ)=0.∵f”(x)>0，∴f在[a,b]上嚴格凸，∴f(x)>f(a)+f’(a)(x-a),x∈[a,b]設(shè)x0=a，則f在點a的切線與x軸的交點為x1=a-=x0-∴f(x1)>f(a)+f’(a)(x1-a)=0，如圖(1).以[x1,b]代替[a,b]重復(fù)上述步驟可得y=f(x)在點x1的切線與x軸交點為x2=x1-，則f(x2)>0，a=x0<x1<x2<ξ<b.重復(fù)n次后可確定點列{xn}為xn=xn-1-,n=1,2,….{xn}嚴格遞增且有上界，可設(shè)xn=c.由f和f’連續(xù)，可得：xn=(xn-1-)，即c=c-，∴f(c)=0.由f嚴格單調(diào)，可知f(x)=0有唯一解：c=ξ.又由中值定理有f(xn)=f(xn)-f(ξ)=f’(η)(xn-ξ)，xn<η<ξ，∴xn-ξ=，記m={|f’(x)|}，則|xn-ξ|≤.同理可分析以下三種情形：(2)、(4)應(yīng)取x0=b，得到單調(diào)遞減的{xn}.(2)若f’(x)>0，f”(x)>0，則有f(a)<0，f(b)>0；如圖(2)(3)若f’(x)>0，f”(x)<0，則有f(a)<0，f(b)>0；如圖(3)(4)若f’(x)<0，f”(x)<0，則有f(a)>0，f(b)<0.如圖(4)圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)例：用牛頓切線法求方程x3-2x2-4x-7=0的近似解，使誤差不超過0.01.解：記f(x)=x3-2x2-4x-7，則f’(x)=3x2-4x-4=(3x+2)(x-2)；f”(x)=6x-4.∴f’(-)=f’(2)=0；∵f”(-)=-8<0，f”(2)=8>0；∴f有極大值f(-)<0，極小值f(2)<0.又f(x)=-∞，f(x)=+∞，∴f(x)=0有且只有一個根.∵f(3)=-10<0，f(4)=9>0，∴方程的根ξ∈(3,4).當x∈[3,4]時，f’(x)>0，f”(x)>0.從點B(4,9)作切線與x由相交于x1=4-=4-≈3.68.又m={|f’(x)|}=11，f(x1)=f(3.68)≈1.03，則|x1-ξ|≤=>0.01，不符合要求，再取點B’(x1,f(x1))作切線，得x2=x1-=3.68-≈3.63，f(x2)≈-0.042，則|x2-ξ|≤=<0.01，∴取ξ≈3.63誤差不超過0.01.練習(xí)題1、求方程x3-x2+2=0的實根到三位有效數(shù)字.解：記f(x)=x3-x2+2，則f’(x)=x2-2x=x(x-2)；f”(x)=2x-2.∴f’(0)=f’(2)=0；∵f”(0)=-2<0，f”(2)=2>0；∴f有極大值f(0)=2，極小值f(2)=.又f(x)=-∞，f(x)=+∞，∴f(x)=0有且只有一個根.∵f(-1)=>0，f(-2)=-<0，∴方程的根ξ∈(-2,-1).當x∈[-2,-1]時，f’(x)>0，f”(x)<0.從點A(-2,-)作切線與x由相交于x1=-2-=-2+=-≈-1.417.x2=x1-≈-1.219，x3=x2-≈-1.196，x4=x3-≈-1.195，∴取ξ≈-1.20.2、求方程x=0.538sinx+1的根的近似值，精確到0.001.解：記f(x)=x-0.538sinx-1，則f’(x)=1-0.538cosx>0；∴f(x)在R上嚴格增.又f(0)=-1，f(x)=+∞，∴方程有且只有一個根ξ.∵f(1)=-0.538sin1=-0.415，f(2)=1-0.538sin2=0.51，∴方程的根ξ∈(1,2).當x∈[1,2]時，f”(x)=0.538sinx>0.從點B(2,0.51)作切線與x由相交于x1=2-=2-≈1.583.又m={|f’(x)|}=f’(1)≈0.707，f(x1)=0.583-0.538sin1.583≈0.044，則|x1-ξ|≤==0.062，不符合要求，再取點B’(x1,f(x1))作切線，得x2=x1-=1.583-≈1.538，f(x2)=0.538(1-sin1.538)≈0.000029，則|x2-ξ|≤=≈0.00004<0.001，∴取ξ≈1.538精確到0.001.3、求方程x-2arctanx=0的根的近似值，精確到0.001.解：記f(x)=x-2arctanx，則f’(x)=1-=；∴f(x)在(-∞,-1)上嚴格增，在(-1,1)上嚴格減，在(1,+∞)嚴格增.又f(x)=-∞，f(-1)=-1>0，f(1)=1-<0，f(x)=+∞，∴方程有三個根.又f(0)=0，∴方程有一個根為0.∵f(2)=2-2arctan2=-0.214<0，f(3)=3-2arctan3=0.502>0，∴方程有一個根ξ∈(2,3).當x∈[2,3]時，f”(x)=>0，f’(x)>0.從點B(3,0.502)作切線與x由相交于x1=3-=3-≈2.373.又m={|f’(x)|}=f’(2)=0.6，f(x1)=2.373-2arctan2.373≈0.029，則|x1-ξ|≤==0.048，不符合要求，取點B’(x1,f(x1))作切線，得x2=x1-=2.373-≈2.331，f(x2)=2.331-2arctan2.331≈-0.00008，