2025年高中數(shù)學(xué)一本通必修二第9第4節(jié)總體百分位數(shù)的估計(jì)、總體集中趨勢(shì)的估計(jì)、總體離散程度的估計(jì)（1）9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)9.2.4總體離散程度的估計(jì)習(xí)題：P1-----------------------▌知識(shí)梳理▌-----------------------知識(shí)點(diǎn)1：總體百分位數(shù)的估計(jì)1．概念：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．加底色加底色2．計(jì)算第p百分位數(shù)的一般步驟（設(shè)數(shù)據(jù)有n個(gè)）第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步，計(jì)算；第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．常用百分位數(shù)及其別稱①第25百分位數(shù)：第一四分位數(shù)、下四分位數(shù)；②第50百分位數(shù)：中位數(shù)；③第75百分位數(shù)：第三四分位數(shù)、上四分位數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2：總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1．刻畫(huà)集中趨勢(shì)的數(shù)字特征數(shù)字特征特點(diǎn)平均數(shù)①平均數(shù)是最常用來(lái)反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量；②平均數(shù)對(duì)樣本中的極端值比較敏感，因此在評(píng)分類比賽或游戲中，常去掉最高分和最低分后計(jì)算新的平均值，并以此平均值作為選手的得分，這是規(guī)避極端數(shù)據(jù)對(duì)平均值造成較大影響的一種方法.中位數(shù)①在一組數(shù)據(jù)中，有一半數(shù)據(jù)不大于中位數(shù)，另一半數(shù)據(jù)則不小于中位數(shù)；②與平均數(shù)不同，中位數(shù)不受極端值影響.眾數(shù)眾數(shù)反映的是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的數(shù)據(jù)，很多時(shí)候不能反映一組數(shù)據(jù)的中心值.注：①當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)樣本數(shù)據(jù)改變時(shí)，平均數(shù)都會(huì)改變，而中位數(shù)和眾數(shù)可能變化，也可能不變．②一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的，但眾數(shù)不一定唯一，可能有一個(gè)，可能有多個(gè)，也可能沒(méi)有．③一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都可能不是樣本數(shù)據(jù)中的數(shù)，而眾數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的數(shù)．2．適用情況①對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等）集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)．②對(duì)分類型數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等）集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù)．知識(shí)點(diǎn)3：總體離散程度的估計(jì)1．極差一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差叫做極差.極差在一定程度上刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度，但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小的兩個(gè)值的信息，對(duì)其它數(shù)據(jù)的取值情況沒(méi)有涉及，所以極差所含的信息量很少.加底色加底色2．方差和標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，…，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為．有時(shí)為了計(jì)算方便，也可按求方差，推導(dǎo)過(guò)程如下：.由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致，為了使二者單位一致，我們對(duì)方差開(kāi)平方，取它的算術(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．加底色加底色3．總體（樣本）方差和總體（樣本）標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為，，…，，總體平均數(shù)為，則稱為總體方差，為總體標(biāo)準(zhǔn)差．與總體均值類似，總體方差也能寫(xiě)成加權(quán)的形式．若總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有個(gè)，不妨記為，，…，，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為，則總體方差為．如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為，，…，，樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．加底色加底色注：在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性．4．方差和標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計(jì)意義①標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．若標(biāo)準(zhǔn)差（方差）為0，則所有數(shù)據(jù)的值都相同，相反，若所有數(shù)據(jù)的值都相同，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差（方差）為0．②在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的作用是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．5．具有線性關(guān)系的數(shù)據(jù)的方差若一組數(shù)據(jù)，，…，的方差為，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，其中a，b為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)1【例1】數(shù)據(jù)3，5，6，7，8，9，10，12，14的第60百分位數(shù)是（）A．14B．9.5C．8D．9解析：求百分位數(shù)，先求i，再結(jié)合i是否為整數(shù)來(lái)取所求百分位數(shù)，由題意，數(shù)據(jù)共9個(gè)，所求為第60百分位數(shù)，所以，因?yàn)閕不是整數(shù)，且比i大的比鄰整數(shù)是6，所以取第6個(gè)數(shù)據(jù)9為這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù).答案：D【例2】數(shù)據(jù)3，1，4，5，1，6，7，5的第25百分位數(shù)是（）A．1B．2C．3D．6解析：數(shù)據(jù)沒(méi)有按從小到大排列，先排序，將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列依次為：1，1，3，4，5，5，6，7，共8個(gè)數(shù)據(jù)，且所求為第25百分位數(shù)，所以，因?yàn)閕是整數(shù)，所以取第i個(gè)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)，這里第2個(gè)和第3個(gè)數(shù)據(jù)分別為1，3，所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為.答案：B知識(shí)點(diǎn)2【例3】（多選）某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有10人，其年齡（單位：歲）分布如下表，則這10人年齡的（）年齡454036322928人數(shù)121321A．中位數(shù)是34B．眾數(shù)是32C．第25百分位數(shù)是29D．平均數(shù)是34.3解析：將10個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為：28，29，29，32，32，32，36，40，40，45，A項(xiàng)，第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)據(jù)都是32，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)中，32出現(xiàn)3次，比其余數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)都多，所以眾數(shù)為32，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，，所以第3個(gè)數(shù)據(jù)29是這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，平均數(shù)為，故D項(xiàng)正確.答案：BCD【例4】某校舉行演講比賽，邀請(qǐng)7位評(píng)委分別給選手打分，得到7個(gè)原始評(píng)分，在評(píng)定選手成績(jī)時(shí)，從這7個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分，1個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分，這5個(gè)有效評(píng)分與7個(gè)原始評(píng)分相比，數(shù)字特征一定保持不變的是（）A．眾數(shù)B．中位數(shù)C．平均數(shù)D．以上都不對(duì)解析：可以想象，將分?jǐn)?shù)按從低到高的順序排列，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，原來(lái)在中間的數(shù)據(jù)仍在中間，所以中位數(shù)不變，故選B，下面我們舉個(gè)例子，假設(shè)7位評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)依次為1，1，2，2，3，4，5，其中位數(shù)為2，去掉最高分5分和最低分1分后，數(shù)據(jù)變成1，2，2，3，4，中位數(shù)仍為2，但平均數(shù)和眾數(shù)都發(fā)生了變化.答案：B知識(shí)點(diǎn)3【例5】某中學(xué)舉行了一次英語(yǔ)知識(shí)競(jìng)賽，高三2班有5人參賽，他們的成績(jī)分別為：99，85，93，98，80，則這些成績(jī)的極差是_____，方差是_____.解析：這組數(shù)據(jù)的最大值為99，最小值為80，所以極差為，平均數(shù)為，方差.答案：19，【例6】若數(shù)據(jù)，，…，的方差是，新數(shù)據(jù)，，…，的方差是，證明：.證明：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，由題意，原數(shù)據(jù)的方差①，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，結(jié)合式①可得新數(shù)據(jù)的方差.---------------------▌本節(jié)核心題型▌---------------------本節(jié)的核心內(nèi)容是百分位數(shù)、集中趨勢(shì)參數(shù)（眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)）、離散程度參數(shù)（極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）的計(jì)算及其統(tǒng)計(jì)意義的分析.對(duì)于百分位數(shù)，?？嫉氖瞧溆?jì)算，所以我們?cè)O(shè)計(jì)了類型Ⅰ來(lái)歸納各種情況下該如何計(jì)算百分位數(shù)；對(duì)于眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，在類型Ⅱ中會(huì)詳細(xì)分析其計(jì)算方法，以及它們?cè)诮y(tǒng)計(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用；類型Ⅲ則針對(duì)極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算與統(tǒng)計(jì)分析.除此之外，本節(jié)有時(shí)還會(huì)遇到數(shù)據(jù)變換后的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算問(wèn)題，所以我們還設(shè)計(jì)了一個(gè)類型Ⅳ來(lái)歸納這類題.類型Ⅰ：百分位數(shù)的計(jì)算【例7】2020年11月1日零時(shí)廣西14個(gè)地區(qū)人口的男、女性別比如下表所示：地區(qū)南寧市柳州市桂林市梧州市玉林市防城港市欽州市男、女性別比/%106.71107.74103.33106.77107.81119.01110.66地區(qū)貴港市北海市百色市賀州市河池市來(lái)賓市崇左市男、女性別比/%108.29108.48104.69105.66104.18107.52108.90根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，這14個(gè)數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)對(duì)應(yīng)的地區(qū)是（）A．柳州市 B．玉林市 C．北海市 D．南寧市解析：要求第60百分位數(shù)，先求i，共14個(gè)數(shù)據(jù)，所以，因?yàn)閕不是整數(shù)，所以取第9個(gè)數(shù)據(jù)作為這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)，將數(shù)據(jù)按從小到大排列依次為：103.33，104.18，104.69，105.66，106.71，106.77，107.52，107.74，107.81，108.29，108.48，108.90，110.66，119.01，其中的第9個(gè)數(shù)據(jù)為107.81，對(duì)應(yīng)玉林市，故選B.答案：B【反思】給出一組從小到大排列的數(shù)據(jù)（共n個(gè)），讓求第p百分位數(shù)，先按求i，若i不是整數(shù)，則取j為比i大的臨近整數(shù)，第j個(gè)數(shù)據(jù)即為原數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)；若i是整數(shù)，則取第i個(gè)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為原數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).本題的i不是整數(shù)，有時(shí)也會(huì)遇到i是整數(shù)的情況，比如下面的變式1.【變式1】幸福指數(shù)是衡量人們對(duì)自身生存和發(fā)展?fàn)顩r的感受和體驗(yàn)，即人們的幸福感的一種指數(shù).某機(jī)構(gòu)從某社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了12人，得到他們的幸福指數(shù)分別是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是_____.解析：下四分位數(shù)即第25百分位數(shù)，求百分位數(shù)，先算i，由題意，，由于i為整數(shù)，所以取第i和個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為第25百分位數(shù)，先將數(shù)據(jù)按從小到大排列，原始數(shù)據(jù)從小到大排列為：6.9，7.6，7.8，7.9，8.1，8.3，8.5，8.8，9，9.2，9.4，9.5，所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為.答案：7.85【變式2】某學(xué)校舉辦了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有500名學(xué)生參加了此次活動(dòng)，為了解本次競(jìng)賽活動(dòng)的得分情況，從中抽取了50名學(xué)生的得分（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這50名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組，第二組，第三組，第四組，得到如下的頻率分布直方圖，則_____，估計(jì)此次競(jìng)賽活動(dòng)中學(xué)生得分的第75百分位數(shù)為_(kāi)____分.解析：由圖可知，，解得：，給的是數(shù)據(jù)整理后的頻率分布直方圖，沒(méi)有原始數(shù)據(jù)，如何求第75百分位數(shù)？可以想象，在圖中從左至右，頻率和為0.75的位置，應(yīng)該就是第75百分位數(shù)了，于是按此尋找，由圖可知，從左至右前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，所以第75百分位數(shù)在上，設(shè)為x，如圖，應(yīng)有，解得：，所以此次競(jìng)賽活動(dòng)學(xué)生得分的第75百分位數(shù)為88.75分.答案：0.03，88.75【反思】由頻率分布直方圖估計(jì)第p百分位數(shù)，就是尋找從左至右頻率和為p%的位置，具體計(jì)算時(shí)，可通過(guò)估算確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間，再按從左至右頻率和為p%列方程求解第p百分位數(shù).類型Ⅱ：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算及統(tǒng)計(jì)分析【例8】某高校兩個(gè)班級(jí)在一門(mén)選修課程的某次考試中的成績(jī)（總分：100分）如下：甲班8475789567498677668873785345749184995384675768559073726757乙班745892100743783976684617594707384814882668310090669344分別計(jì)算兩個(gè)班級(jí)成績(jī)的平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)，并說(shuō)明在這次考試中哪個(gè)班的成績(jī)更好.解：由所給數(shù)據(jù)，甲班成績(jī)的平均數(shù)，乙班成績(jī)的平均數(shù)，將甲、乙兩班的成績(jī)數(shù)據(jù)按從小到大排列分別為：甲班：45，49，53，53，55，57，57，66，67，67，67，68，72，73，73，74，75，77，78，78，84，84，84，86，88，90，91，95，99，共29個(gè)數(shù)據(jù)，第15個(gè)數(shù)據(jù)是73，所以甲班成績(jī)的中位數(shù)，乙班：37，44，48，58，61，66，66，66，70，73，74，74，75，81，82，83，83，84，84，90，92，93，94，97，100，100，共26個(gè)數(shù)據(jù)，第13個(gè)和第14個(gè)數(shù)據(jù)分別為75，81，所以乙班成績(jī)的中位數(shù)，甲班的成績(jī)中，67和84這兩個(gè)分?jǐn)?shù)各有3個(gè)，比其余分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)都多，所以甲班成績(jī)的眾數(shù)是67和84，乙班的成績(jī)中，66這個(gè)分?jǐn)?shù)有3個(gè)，比其余分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)都多，所以乙班成績(jī)的眾數(shù)是66，因?yàn)?，，所以乙班成?jī)更好.【反思】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都能一定程度反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，為什么比較甲、乙兩班成績(jī)時(shí)只用平均數(shù)和中位數(shù)，不用眾數(shù)？這是因?yàn)楸姅?shù)只利用了出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，它能傳遞的數(shù)據(jù)信息較少，對(duì)極端值也不敏感，往往用在描述一些分類型的數(shù)據(jù)（如校服規(guī)格、產(chǎn)品等級(jí)等）的集中趨勢(shì)，所以對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)（本題就是如此）集中趨勢(shì)的描述，一般用平均數(shù)和中位數(shù)，那平均數(shù)和中位數(shù)又有何差異？我們來(lái)看一個(gè)變式.【變式】某公司銷售部有銷售人員15人，銷售部為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計(jì)了這15人某月的銷售量如下：銷售量（件）1800510250210150120人數(shù)113532（1）求這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)；（2）假設(shè)銷售部負(fù)責(zé)人把每位銷售人員的月銷售定額定為320件，你認(rèn)為是否合理，為什么？如不合理，請(qǐng)你制定一個(gè)較為合理的銷售定額.解：（1）15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)為件，將銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列，第8個(gè)數(shù)據(jù)是210，所以15位銷售人員該月銷售量的中位數(shù)為210件，由表中數(shù)據(jù)可知，銷售量為210件的人數(shù)最多，為5人，所以15位銷售人員該月銷售量的眾數(shù)是210件.（2）不合理，因?yàn)?5人中有13人的銷售量低于320件，所以320雖然是平均數(shù)，但有一個(gè)1800明顯高于其余數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響較大，所以平均數(shù)不能很好地反映銷售人員的平均銷售水平，可以將月銷售定額定為210件，因?yàn)?10件是中位數(shù)，也是眾數(shù)，是大部分銷售人員能達(dá)到的銷售量.【反思】平均數(shù)容易受個(gè)別極端數(shù)據(jù)（例如本題的1800這個(gè)數(shù)據(jù)）的影響，有時(shí)不能很好地體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，而中位數(shù)不受個(gè)別極端值的影響，故此時(shí)中位數(shù)能更好的反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).【例9】為激發(fā)戶外運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者健身熱情，增進(jìn)群眾健身獲得感、幸福感，某市體育部門(mén)隨機(jī)抽取200名群眾進(jìn)行每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的調(diào)查，按照時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）分成6組：，，，，，，處理后繪制了如下圖的頻率分布直方圖：（1）求圖中a的值；（2）求運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在的樣本群眾人數(shù)；（3）估計(jì)該市群眾每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù).（保留1位小數(shù)）解：（1）由圖可知，，解得：.（2）由圖知的頻率為，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)在的樣本群眾人數(shù)為.（3）（怎樣由頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)？由于圖中最高的矩形內(nèi)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)最多，所以常用最高矩形的區(qū)間中點(diǎn)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)）由圖可估計(jì)該市群眾每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)為分鐘，（怎樣由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)？由于只知道每組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不知道數(shù)據(jù)的具體值，故只能估計(jì)，常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值來(lái)代表該組的各個(gè)值（例如第1組有20個(gè)數(shù)據(jù)，那么我們認(rèn)為這20個(gè)數(shù)據(jù)都是35），由此可估計(jì)樣本平均數(shù)）圖中從左至右各組的頻數(shù)分別為，，，，，，所以該市群眾每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分鐘，（怎樣由頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)？此時(shí)可看成估計(jì)第50百分位數(shù)，故處理方法和前面例7的變式2這里有引用一樣，根據(jù)從左至右頻率和為0.5列方程求中位數(shù)即可）這里有引用由圖可知，從左至右前2組的頻率和，前3組的頻率和，所以中位數(shù)在上，設(shè)為x，如圖，應(yīng)有，解得：，即該市群眾每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)約為56.7分鐘.【反思】在頻率分布直方圖中：①眾數(shù)的估計(jì)值是最高小矩形的區(qū)間中點(diǎn)；②設(shè)各組的區(qū)間中點(diǎn)值分別為，，…，，頻率分別為，，…，，則平均數(shù)的估計(jì)值為；③中位數(shù)即為將頻率分布直方圖分成左、右兩邊頻率各占0.5的位置.類型Ⅲ：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算及統(tǒng)計(jì)分析【例10】（多選）為了弘揚(yáng)奧運(yùn)會(huì)中我國(guó)射擊隊(duì)員頑強(qiáng)拼搏的奮斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)射擊比賽，得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)如下：9，8，6，10，9，7，6，9（單位：環(huán)），則這組樣本數(shù)據(jù)的（）A．極差為4 B．平均數(shù)是8C．下四分位數(shù)是9 D．方差為16解析：A項(xiàng)，8個(gè)數(shù)據(jù)中，最大的是10，最小的是6，所以極差為，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，，i為整數(shù)，所以取第i個(gè)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為下四分位數(shù)，將數(shù)據(jù)按從小到大排列依次為6，6，7，8，9，9，9，10，所以第2個(gè)和第3個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，即這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為6.5，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)的方差為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.答案：AB【反思】方差的計(jì)算公式是或，這兩個(gè)公式如何選擇？要看用哪個(gè)更好算.一般情況下，給出一組具體數(shù)據(jù)時(shí)，常選擇前者計(jì)算方差，而后者多用于數(shù)據(jù)組是字母表示的未知量時(shí)的情況，我們來(lái)看下面的變式1這里有引用.這里有引用【變式1】將某班50人隨機(jī)分成兩個(gè)小組，這兩組同學(xué)在期中考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤恚簞t該班同學(xué)在期中考試中的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______分.組別人數(shù)平均分方差第1組20909第2組308014解析：要算標(biāo)準(zhǔn)差，可先求方差，這里沒(méi)有原始數(shù)據(jù)，只有分組后各組的平均數(shù)和方差，怎么求總方差？若無(wú)思路，不妨先把有關(guān)數(shù)據(jù)設(shè)出來(lái)，翻譯已知和所求，再觀察二者聯(lián)系，設(shè)第1組的20個(gè)數(shù)據(jù)分別為，，…，，第2組數(shù)據(jù)分別為，，…，，則第1組的平均數(shù)，第2組的平均數(shù)，所以該班的平均數(shù)①，再看方差，用還是？可以想象，后者更容易看出各組方差與總方差之間的關(guān)系，故選擇后者，第1組的方差，所以②，第2組的方差，所以③，該班的總方差④，觀察發(fā)現(xiàn)將①②③代入④，就能求出，將①②③代入④得，所以該班成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為6.答案：6【反思】由上面式④可知，，故也可代此分層方差公式直接計(jì)算.一般地，設(shè)各層的平均數(shù)分別為，，…，，總體平均數(shù)為，各層的方差分別為，，…，，各層個(gè)體數(shù)占總個(gè)體數(shù)的比例分別為，，…，，則總方差.【變式2】某學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生有1200人，其中男生800人，女生400人，為了了解高一年級(jí)學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，測(cè)量身高所得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下頻率分布直方圖和頻率分布表：男生樣本的頻率分布直方圖女生樣本的頻率分布表組別頻數(shù)頻率40.108nmp120.3020.05（1）求a和p的值；（2）計(jì)算男生樣本的平均數(shù)和方差；（3）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)總樣本方差.解：（1）由圖可知，，解得：，在女生樣本的頻率分布表中，的頻數(shù)為4，頻率為0.1，的頻數(shù)為8，所以其頻率，又因?yàn)?，所?（2）男生樣本的平均數(shù)，（怎樣由頻率分布直方圖估計(jì)方差？我們把每組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代表，按此計(jì)算方差即可）由所給女生樣本的頻率分布表可知，女生的樣本量為，所以，因?yàn)槭前幢壤謱映槿〉臉颖荆夷猩?、女生的人?shù)之比為2:1，所以男生的樣本量為80，從而男生樣本中，，，的頻數(shù)分別為，，，，故男生樣本的方差.（3）由女生樣本的頻率分布表可得女生的樣本平均數(shù)為，方差，所以總樣本平均數(shù)為，總樣本方差為.【反思】由頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均數(shù)，常用各區(qū)間中點(diǎn)值代表該區(qū)間的所有值，一般來(lái)說(shuō)，設(shè)各區(qū)間中點(diǎn)值分別為，，…，，對(duì)應(yīng)的頻率分別為，，…，，樣本平均數(shù)為，則樣本方差.類型Ⅳ：數(shù)據(jù)變換、增刪后各統(tǒng)計(jì)量的分析【例11】已知，，，的平均數(shù)為m，方差為n，則，，，的平均數(shù)為_(kāi)____，方差為_(kāi)____.解析：由新數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到知識(shí)點(diǎn)3第5點(diǎn)這里有引用的結(jié)論，由此可直接求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，這里有引用由平均數(shù)、方差的性質(zhì)可知新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.答案：，4n【反思】對(duì)一組數(shù)據(jù)做統(tǒng)一的線性變換時(shí)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差可直接代結(jié)論計(jì)算.例如，將數(shù)據(jù)變換成后，其平均數(shù)由原來(lái)的變成，方差由原來(lái)的變成.若不是做統(tǒng)一線性變換（例如有數(shù)據(jù)的增刪），就只能代平均數(shù)、方差公式來(lái)分析了，我們來(lái)看下面的變式1.這里有引用這里有引用【變式1】已知樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)是4，方差為2，現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)3，4，5，則加入數(shù)據(jù)后新樣本的方差是_____.解析：無(wú)法直接看出加入3，4，5后新數(shù)據(jù)的方差，只能代公式計(jì)算，我們先翻譯已知條件，由題意，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以①，原數(shù)據(jù)的方差，所以②，故新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，將式①代入得③，新數(shù)據(jù)的方差，將②③代入得.答案：【變式2】若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，的平均數(shù)為22，則樣本數(shù)據(jù)，，…，，9的方差為_(kāi)____.解析：無(wú)結(jié)論可用，仍然考慮代公式翻譯已知和所求，再觀察二者聯(lián)系，由題意，，所以①，，所以②，樣本數(shù)據(jù)，，…，，9的平均數(shù)，結(jié)合式①可得，故所求方差，結(jié)合①②可得.答案：20【反思】從上面兩道題可以看到，求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差時(shí)，若沒(méi)有結(jié)論可用，那就直接代公式翻譯已知和所求，再觀察所求式與已知式的共同結(jié)構(gòu)，整體代入計(jì)算得出結(jié)果.【變式3】（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其樣本平均數(shù)為，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)，組成新的樣本數(shù)據(jù)，，…，，，與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的樣本數(shù)據(jù)可能（）A．平均數(shù)不變 B．眾數(shù)不變 C．極差變小 D．第20百分位數(shù)變大解析：A項(xiàng)，直觀感覺(jué)可知加入小于平均值的數(shù)據(jù)，會(huì)拉低平均數(shù)，下面給出嚴(yán)格論證，因?yàn)?，所以新樣本?shù)據(jù)的平均數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，無(wú)論新加入一個(gè)什么數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)都可能不變，所以眾數(shù)可能不變，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，由于，所以加入后，樣本中最大的數(shù)據(jù)必定不變，當(dāng)不小于原來(lái)的最小數(shù)據(jù)時(shí)，極差不變，當(dāng)小于原最小數(shù)據(jù)時(shí)，極差會(huì)變大，從而極差不可能變小，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，直觀感覺(jué)可知只要加入的比原來(lái)的第20百分位數(shù)大，那么加入后由于數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)變多了，第20百分位數(shù)可能后移，從而變大，下面舉個(gè)例子，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)是1，2，3，…，100，共100個(gè)，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)為，現(xiàn)在新加入數(shù)據(jù)，則此時(shí)，從而新樣本數(shù)據(jù)的第20百分位數(shù)為第21個(gè)數(shù)據(jù)，也即21，比原來(lái)大，故D項(xiàng)正確.答案：BD強(qiáng)化訓(xùn)練A組夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2025·江西景德鎮(zhèn)期末）若一組數(shù)，，，的平均數(shù)是，方差，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為（）A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，22．（2024·福建福州一模）（多選）某市抽查一周空氣質(zhì)量指數(shù)變化情況，得到一組數(shù)據(jù)：80，76，73，82，86，75，81，以下關(guān)于這組數(shù)據(jù)判斷正確的有（）A．極差為13 B．中位數(shù)為82C．平均數(shù)為79 D．方差為1243．（2025·北京西城期末）甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫（單位：℃）如下：1日2日3日4日5日6日7日甲地191784649乙地201711109911記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差為，根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）A．，B．，C．，D．，4．（2024·廣東南粵名校聯(lián)考）（多選）某學(xué)校隨機(jī)抽取200名學(xué)生數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)此估計(jì)該校本次數(shù)學(xué)周測(cè)的總體情況（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），下列說(shuō)法正確的是（）A．眾數(shù)為60或70B．25%分位數(shù)為65C．平均數(shù)為73D．中位數(shù)為75B組強(qiáng)化能力5．（2024·廣東七校聯(lián)合體第一次聯(lián)考）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)和中位數(shù)相同B．?dāng)?shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，1的眾數(shù)為3C．有甲、乙、丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30D．甲組數(shù)據(jù)的方差為4，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙組6．（2022·全國(guó)甲卷）某社區(qū)通過(guò)公益講座來(lái)普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖，則（）A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差7．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差8．（2023·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一模）（多選）某校1000名學(xué)生在高三一模測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則（）A．B．C．70分以下的人數(shù)約為6人D．本次考試的平均分約為93.69．（2023·江蘇蘇北七市二調(diào)）（多選）已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：）數(shù)據(jù)為：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：）數(shù)據(jù)為：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，則（）A．甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B．甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C．甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差D．甲種的樣本第60百分位數(shù)小于乙種的樣本第60百分位數(shù)10．（2023·山東濟(jì)南二模）某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.211．（2024·湖北模擬）（多選）若甲組樣本數(shù)據(jù)，，…，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3，乙組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為5，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)的值不確定B．乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍C．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相同12．（2025·山西運(yùn)城期末）在對(duì)某校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的調(diào)查中，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生30人，其每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為80分鐘，方差為10；抽取了女生20人，其每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為60分鐘，方差為20，結(jié)合上述數(shù)據(jù)，估計(jì)全校學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方差為（）A．78 B．112C．110 D．9613．（2024·江蘇模擬）某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資（百元）22025222010297人數(shù)16510123合計(jì)22015011020010690（1）指出該工廠人員月工資數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；（2）這個(gè)表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？14．（2024·河南模擬）已知第10~19屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)如下圖所示.（1）求第10~19屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的極差；（2）剔除第12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)數(shù)據(jù)，求剩余9屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的平均數(shù)；（3）設(shè)第10~12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的方差為，第13~15屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的方差為，不通過(guò)計(jì)算，試比較與的大小，并說(shuō)明理由.15．（2025·江西景德鎮(zhèn)期末）課外閱讀有很多好處，可以幫助提高閱讀能力、拓展知識(shí)面、提高思維能力、提高情感素養(yǎng)和提高人際交往能力.某校為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了n名學(xué)生的一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），所得數(shù)據(jù)都在內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成4組：，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)知道課外閱讀時(shí)間在[125,150]內(nèi)的有80人.（1）求n和a的值；（2）估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（3）求所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).16．（2025·貴州期末）王老師從所教兩個(gè)班的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，記錄他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分），根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按，，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)這40名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和方差（各組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）已知剩余60名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為82，方差為101，結(jié)合（1）中求得的結(jié)果，估計(jì)王老師所教兩個(gè)班的學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和方差.C組拓展提升17．（2025·四川成都期末）在某次活動(dòng)中，登記的8個(gè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為8，方差為16，其中，后來(lái)發(fā)現(xiàn)應(yīng)該為10，并且漏登記了一個(gè)數(shù)據(jù)14，則修正后的9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)____，方差為_(kāi)____.18．（2025·四川綿陽(yáng)期末）哈希表（HashTable）是一種利用鍵值的映射關(guān)系，將數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在特定位置的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu).常用的方法之一是“除留余數(shù)法”.例如，當(dāng)除數(shù)為3時(shí)，鍵值為13的數(shù)據(jù)因余1，應(yīng)存放于位置1中，從而可直接依據(jù)鍵值快速定位數(shù)據(jù)位置，多個(gè)數(shù)據(jù)可映射到同一位置（如鍵值10和13均映射到同一位置），現(xiàn)有一個(gè)容量為7個(gè)位置（編號(hào)0~6）的哈希表，以除留余數(shù)法（除數(shù)為7）進(jìn)行映射，需要存儲(chǔ)22個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)這7個(gè)位置存放的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別為，，，，，，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．至少有1個(gè)位置存放了不少于5個(gè)數(shù)據(jù)B．若這22個(gè)數(shù)據(jù)的鍵值恰好是0~44間的所有奇數(shù)，則的中位數(shù)為2C．若的方差為，則的最小值為0，最大值為D．若的極差為5，則最多有2個(gè)位置沒(méi)有存放數(shù)據(jù)強(qiáng)化訓(xùn)練A組夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2025·江西景德鎮(zhèn)期末）若一組數(shù)，，，的平均數(shù)是，方差，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為（）A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，21．C解析：新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.2．（2024·福建福州一模）（多選）某市抽查一周空氣質(zhì)量指數(shù)變化情況，得到一組數(shù)據(jù)：80，76，73，82，86，75，81，以下關(guān)于這組數(shù)據(jù)判斷正確的有（）A．極差為13 B．中位數(shù)為82C．平均數(shù)為79 D．方差為1242．AC解析：A項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)中最大的為86，最小的為73，所以極差為，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為73，75，76，80，81，82，86，最中間的數(shù)據(jù)為80，所以中位數(shù)為80，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，平均數(shù)，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，方差，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.3．（2025·北京西城期末）甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫（單位：℃）如下：1日2日3日4日5日6日7日甲地191784649乙地201711109911記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差為，根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）A．，B．，C．，D．，3．B解析：由表中數(shù)據(jù)可知，1日到7日，甲地每天的最低氣溫都低于乙地（或相等），且甲地的最低氣溫?cái)?shù)據(jù)波動(dòng)程度高于乙地，所以，.4．（2024·廣東南粵名校聯(lián)考）（多選）某學(xué)校隨機(jī)抽取200名學(xué)生數(shù)學(xué)周測(cè)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)此估計(jì)該校本次數(shù)學(xué)周測(cè)的總體情況（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），下列說(shuō)法正確的是（）A．眾數(shù)為60或70B．25%分位數(shù)為65C．平均數(shù)為73D．中位數(shù)為754．BC解析：A項(xiàng)，用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)，取最高矩形的區(qū)間中點(diǎn)即可，由圖可知，眾數(shù)的估計(jì)值為65，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，頻率分布直方圖中的25%分位數(shù)為從左至右，頻率和為0.25的位置，先確定25%分位數(shù)在哪個(gè)區(qū)間，從左到右，第一組的頻率為，前兩組的頻率和為，所以25%分位數(shù)在上，設(shè)為x，則，解得：，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，平均數(shù)，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，所以中位數(shù)在上，設(shè)為，則，解得：，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.B組強(qiáng)化能力5．（2024·廣東七校聯(lián)合體第一次聯(lián)考）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的平均數(shù)和中位數(shù)相同B．?dāng)?shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，1的眾數(shù)為3C．有甲、乙、丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30D．甲組數(shù)據(jù)的方差為4，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙組5．AB解析：A項(xiàng)，平均數(shù)，中位數(shù)，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)3次，比其余數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)多，所以眾數(shù)為3，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，由題意，可設(shè)甲、乙、丙三層抽取的個(gè)體數(shù)分別為3m，m，2m，則，所以，從而樣本容量為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，方差能刻畫(huà)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，故計(jì)算乙組的方差，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，所以甲組數(shù)據(jù)的方差較小，甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.6．（2022·全國(guó)甲卷）某社區(qū)通過(guò)公益講座來(lái)普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖，則（）A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差6．B解析：A項(xiàng)，由圖可知講座前10位居民問(wèn)卷答題的正確率按從小到大排列，第5，6位分別70%，75%，所以中位數(shù)為72.5%，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由圖可知講座后問(wèn)卷答題正確率的平均數(shù)為，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差較復(fù)雜，故考慮直接看圖，觀察波動(dòng)情況，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差的統(tǒng)計(jì)意義來(lái)分析，由圖知講座前問(wèn)卷答題正確率的數(shù)據(jù)比講座后更分散，波動(dòng)更大，所以講座前標(biāo)準(zhǔn)差更大，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由圖可知講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，講座前為，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差更大，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.7．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷）（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差7．BD解析：A項(xiàng)，可以想象，和偏離平均數(shù)的程度不一定相同，去掉它們后，平均數(shù)可能發(fā)生變化，下面舉個(gè)例子，不妨設(shè)這組數(shù)據(jù)為0，2，3，4，5，6，則原平均數(shù)，去掉0和6之后的平均數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，不妨假設(shè)，則和的中位數(shù)都是，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，和偏離平均數(shù)較大，去掉它們后，標(biāo)準(zhǔn)差可能減小，故通過(guò)直觀想象能得出C項(xiàng)錯(cuò)誤，下面舉個(gè)例子，不妨設(shè)這組數(shù)據(jù)為0，1，1，1，1，2，則原數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差不為0（大于0），去掉最小的0和最大的2后，數(shù)據(jù)為1，1，1，1，標(biāo)準(zhǔn)差為0，所以，從而，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，沿用B項(xiàng)的假設(shè)，則的極差為，的極差為，要比較兩個(gè)極差的大小，可再將它們作差判斷正負(fù)，因?yàn)椋?，故D項(xiàng)正確.8．（2023·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一模）（多選）某校1000名學(xué)生在高三一模測(cè)試中數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，則（）A．B．C．70分以下的人數(shù)約為6人D．本次考試的平均分約為93.68．AD解析：A項(xiàng)，由題意，，解得：，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，優(yōu)秀的學(xué)生有80人優(yōu)秀的頻率為，于是要求X，只需找到從右至左頻率和為0.08的位置，由圖可知，這組的頻率為，這組的頻率為，所以X在內(nèi)，且，解得：，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由圖可知70分以下的頻率為，所以頻數(shù)為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，本次考試的平均分的估計(jì)值為，故D項(xiàng)正確.9．（2023·江蘇蘇北七市二調(diào)）（多選）已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：）數(shù)據(jù)為：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：）數(shù)據(jù)為：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，則（）A．甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B．甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C．甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差D．甲種的樣本第60百分位數(shù)小于乙種的樣本第60百分位數(shù)9．ABD解析：A項(xiàng)，甲種的樣本極差為，乙種的樣本極差為，，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，由所給數(shù)據(jù)，，，所以，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，顯然甲組數(shù)據(jù)更集中，故結(jié)論正確，下面我們也嚴(yán)格地求一下方差，，，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，求樣本的第p百分位數(shù)，先按求i，并觀察i是否為整數(shù)，因?yàn)?，所以i是整數(shù)，故取第i個(gè)和第個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為第60百分位數(shù)，所以甲種樣本的第60百分位數(shù)為，乙種樣本的第60百分位數(shù)為，故D項(xiàng)正確.10．（2023·山東濟(jì)南二模）某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.210．B解析：設(shè)5次射擊的環(huán)數(shù)按從小到大排列依次為，，，，，因?yàn)橹形粩?shù)為8，所以，又唯一的眾數(shù)為9，所以，且，因?yàn)闃O差為3，所以，故，還差，條件已經(jīng)用完了，怎么求？可以把的范圍寫(xiě)出來(lái)再看，因?yàn)?，所以，結(jié)合為整數(shù)可得，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).11．（2024·湖北模擬）（多選）若甲組樣本數(shù)據(jù)，，…，（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3，乙組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為5，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)的值不確定B．乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍C．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相同11．ABC解析：A項(xiàng)，由平均數(shù)性質(zhì)，，所以，從而，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由方差性質(zhì)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，不妨設(shè)，則，所以甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)各不相同，所以，從而，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，直觀想象可發(fā)現(xiàn)，乙組數(shù)據(jù)是將甲組數(shù)據(jù)先全部2倍后，再減1得到的結(jié)果，這一操作有可能不改變數(shù)值，即，由此得，若這個(gè)1恰為兩組數(shù)據(jù)各自的中位數(shù)，則它們的中位數(shù)相同，下面我們舉個(gè)具體的例子，設(shè)甲組數(shù)據(jù)為，0，1，2，13，則其中位數(shù)為1，相應(yīng)的乙組數(shù)據(jù)為，，1，3，25，中位數(shù)也為1，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相同，故D項(xiàng)正確.12．（2025·山西運(yùn)城期末）在對(duì)某校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的調(diào)查中，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生30人，其每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為80分鐘，方差為10；抽取了女生20人，其每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為60分鐘，方差為20，結(jié)合上述數(shù)據(jù)，估計(jì)全校學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方差為（）A．78 B．112C．110 D．9612．C解析：因?yàn)槭前幢壤峙涞姆謱映槿?，所以可用總樣本方差估?jì)總體方差，如何求總樣本方差？已有各層均值和方差，可直接代本節(jié)例10變式1反思這里有引用中總結(jié)的公式計(jì)算，這里有引用由題意，男生層的平均數(shù)，方差，女生層的平均數(shù)，方差，所以總樣本平均數(shù)，從而總樣本方差，故可估計(jì)全校學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方差為110.13．（2024·江蘇模擬）某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資（百元）22025222010297人數(shù)16510123合計(jì)22015011020010690（1）指出該工廠人員月工資數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；（2）這個(gè)表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？13．解：（1）該工廠人員月工資數(shù)據(jù)中，20出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為20；數(shù)據(jù)共23個(gè)，按從小到大排列，第12個(gè)數(shù)據(jù)是22，所以中位數(shù)為22；平均數(shù)為.（2）不能.因?yàn)殡m然月工資的平均數(shù)為3000元，但只有經(jīng)理的月工資在平均數(shù)以上，其余人員的月工資都在平均數(shù)以下，說(shuō)明平均數(shù)受到了經(jīng)理的月工資這一極端數(shù)據(jù)的影響，不能客觀地反映該工廠的月工資水平.14．（2024·河南模擬）已知第10~19屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)如下圖所示.（1）求第10~19屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的極差；（2）剔除第12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)數(shù)據(jù)，求剩余9屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的平均數(shù)；（3）設(shè)第10~12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的方差為，第13~15屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的方差為，不通過(guò)計(jì)算，試比較與的大小，并說(shuō)明理由.14．解：（1）由所給圖形可知金牌數(shù)最多為201枚，最少為94枚，所以極差為.（2）剔除第12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)數(shù)據(jù)，剩余9屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的平均數(shù)為.（3）由所給圖形可知，第10~12屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的波動(dòng)性明顯比第13~15屆亞運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)獲得的金牌數(shù)的波動(dòng)性大，所以.15．（2025·江西景德鎮(zhèn)期末）課外閱讀有很多好處，可以幫助提高閱讀能力、拓展知識(shí)面、提高思維能力、提高情感素養(yǎng)和提高人際交往能力.某校為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了n名學(xué)生的一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），所得數(shù)據(jù)都在內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成4組：，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)知道課外閱讀時(shí)間在[125,150]內(nèi)的有80人.（1）求n和a的值；（2）估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）