2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第二十講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積閱卷人一、選擇題得分1．若圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A．2π B．3π C．23π 2．底面相同的圓柱和圓錐有相等的側(cè)面積，且圓柱的高恰好是其底面的直徑，則圓柱與圓錐的體積之比為（）A．2 B．32 C．155 3．坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，還有兩個(gè)面是全等的等腰三角形，若AB=15m，BC=6m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面ABCD的夾角均為45°，則該五面體的體積為（）A．126m3 B．117m3 C．4．已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，Q是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)．若PA⊥平面ABC，PA=2，且PQ與面ABC所成角的正弦值的最大值為63，則三棱錐A．4π B．6π C．8π D．9π5．已知三棱錐P?ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為283π的球的球面上，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，則直線PC與A．26 B．24 C．366．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.∠ABC=45A．2+2 B．23 C．2+7．三棱錐P?ABC，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1A．3π B．2π C．3π D．8．如圖，在三棱錐V?ABC中，VA=VB=VC=8，∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，過點(diǎn)A作截面AEF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值為（）A．62 B．63 C．82閱卷人二、多項(xiàng)選擇題得分9．如圖，三棱臺(tái)ABC?A1B1CA．AB1B．平面BMC1C．三棱臺(tái)ABC?A1D．若點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A110．已知正方體ABCD?AA．直線B1C與直線BB．直線B1C與平面ACC．四面體D1?AD．點(diǎn)A到平面D1B11．如圖，若正方體ABCD?EFGH的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是正方體的側(cè)面ADHE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），P是棱CG上靠近G點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短路程為34B．若PM⊥BH，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段C．若PM=133，則點(diǎn)M在側(cè)面D．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí)，三棱錐B?MEP的體積最大12．已知圓錐的頂點(diǎn)為P,AB為底面圓O的直徑，∠APB=120°,PA=2，點(diǎn)C在圓O上，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，PGA．該圓錐的側(cè)面積為3B．該圓錐的休積為πC．AC=D．該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為12閱卷人三、填空題得分13．在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，則四棱錐P?ABCD的體積為．14．已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為5，高為1，P、Q為底面圓周上任意兩點(diǎn).有以下三個(gè)結(jié)論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐O?SPQ體積的最大值為2③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為9π.以上正確的結(jié)論是.15．與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點(diǎn)到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為閱卷人四、解答題得分16．在幾何體ABCDEFGH中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.P是線段GF上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)P=λ（1）若λ=13，求三棱錐（2）若平面AEH⊥平面BEP，求λ的值.17．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，E、F分別為PD，BC（1）求直線EF到平面PAB的距離；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是13？若存在，求出DM（3）在平面PBC內(nèi)是否存在點(diǎn)H，滿足HD?18．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）若圓錐的側(cè)面積為8π，求圓錐的體積；（2）設(shè)PO=4,OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°,M是線段AB的中點(diǎn)，如圖．求直線PM與平面POB所成的角的大?。?9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O：x2+y2=1，直線l：y=x+m（0≤m<1），如圖，直線l與圓O相交于A（A在x軸的上方），B兩點(diǎn)，圓O與x軸交于M,N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面AMN）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面BMN）互相垂直，再以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸正半軸，原y軸正半軸所在直線分別為x（1）若m=0．（ⅰ）求三棱錐A?BMN的體積；（ⅱ）求二面角A?BN?M的余弦值．（2）是否存在m，使得AB折疊后的長(zhǎng)度與折疊前的長(zhǎng)度之比為306？若存在，求m

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，令圓錐的高為d，底面圓的半徑為r，則圓柱的高h(yuǎn)=2r，所以，根據(jù)側(cè)面積相等有2πrh=πrd2+綜上所述，圓柱體積V1=πr所以V1故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件和圓柱、圓錐的側(cè)面積公式，從而列方程求出圓錐的高與半徑的關(guān)系，再利用圓錐的體積公式、圓柱的體積公式，從而得出圓柱與圓錐的體積比.3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、令BC1∩B1C=O，連接MO，由B1C1//BC，而MO?平面BC1M，AB1?平面B、由CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，得CCC1∩BC=C,CC1,BC?平面BCC1B使得BN=12NC，則AMMC=BNNC即點(diǎn)M在平面BCC1B1上的投影為線段BC上靠近點(diǎn)B較近的3等分點(diǎn)N，又點(diǎn)則過點(diǎn)M與平面BCC1B1垂直的直線不在平面BMC1內(nèi)，因此平面C、依題意，∠A1B三棱臺(tái)ABC?A1BD、由選項(xiàng)B知，AB⊥平面BCC1B1，而AB?平面ABB過C作CH⊥BB1于H，平面ABB1A1∩在直角梯形BCC1B1中，sin∠CBB1=CC1BB1=25因此P點(diǎn)軌跡是以H為圓心，55為半徑的圓在側(cè)面ABB1A1內(nèi)圓弧，故答案為：ACD.【分析】令BC1∩B1C=O，利用線面平行的判定推理即可判斷A；求出點(diǎn)10．【答案】A,C【解析】【解答】解：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則D0,0,0，A1,0,0，C0,1,0，DA、易知B1C=因?yàn)锽1C?即B1C⊥AD1，直線B1B、在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥B1D?平面BB1DAC∩AD1=A，所以B1D⊥平面AC因?yàn)锽1C=即直線B1C與平面ACD則直線B1C與平面ACDC、圖形為正方體去掉四個(gè)全等的直棱錐，所以四面體D1?ABD、因?yàn)锳D1=?1,0,1，平面D1B1故n?D1B1=x+y=0n?D所以點(diǎn)A到平面D1B1故答案為：AC.【分析】以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求B1C與直線AD1所成的角即可判斷A；證明出B1D⊥平面ACD1，所以平面ACD11．【答案】A,B,D12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由已知可得，∠DPO1=60°，PA=2，

易得等腰三角形PAB對(duì)于A，因?yàn)樵搱A錐的側(cè)面積為π×3對(duì)于B，因?yàn)樵搱A錐的體積為V=1對(duì)于C，如圖，取AC中點(diǎn)為G，連接GO,PG，

則∠PGO為PG與底面所成角為60°，故GO=3對(duì)于D，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，設(shè)球心為O1，球的半徑為r，過O1向PB作垂線，垂足為D，則OD=r，

又因?yàn)椤螪PO1=60°所以球的表面積為4π[故答案為：BCD.【分析】利用已知條件和等腰三角形的結(jié)構(gòu)特征以及圓錐的側(cè)面積公式，則判斷出選項(xiàng)A；利用圓錐的側(cè)面積公式，則判斷出選項(xiàng)B；取AC中點(diǎn)為G，連接GO,PG，從而得出∠PGO為PG與底面所成角，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式得出AC的長(zhǎng)，則判斷出選項(xiàng)C；利用∠DPO1=13．【答案】32【解析】【解答】解：由題意，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，連接EF，AO，

過點(diǎn)P作PO⊥EF，垂足為O，點(diǎn)O在EF上，如圖所示：

因?yàn)镻C=PD=3，所以PF⊥CD，底面ABCD為正方形，

所以EF//AB，AB⊥CD，所以EF⊥CD，PF∩EF=F,PF,EF?平面PEF，CD⊥平面PEF，PO?平面PEF，CD⊥PO,PO⊥EF,EF∩CD=F,EF,CD?平面ABCD，PO⊥平面ABCD，設(shè)OF=x，因?yàn)锳B=4，PC=PD=3，所以PF=PPO2=PF2在△PAC中，由余弦定理可得：AP2=AC2+PC2?2AC?PCcos∠PCA=17，

即?8x+25=17，解得x=1故答案為：323【分析】設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，連接EF，AO，過點(diǎn)P作PO⊥EF，構(gòu)造三角形結(jié)合余弦定理得出PO=2，再根據(jù)四棱錐體積公式計(jì)算即可．14．【答案】②15．【答案】3π16．【答案】（1）解：將幾何體ABCDEFGH補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，由題意可得EH=A'E則四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為32S△EFP三棱錐B?EFP的體積V=1（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD'的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A6,0,0，B6,6,0，E6,3,33，F(xiàn)EA→=0,?3,?33，EH→由FP=λFG=(?3λ,?3λ,0)，λ∈0,1，知設(shè)平面AEH的一個(gè)法向量為m=x1,y1,z1，

設(shè)平面BEP的一個(gè)法向量為n=x2,y2,z2，

因?yàn)槠矫鍭EH⊥平面BEP，所以m?n=0，則?【解析】【分析】(1)由題意，根據(jù)錐體體積公式直接求解即可；(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量運(yùn)算，根據(jù)面面垂直則法向量數(shù)量積為零的求解即可.（1）將幾何體ABCDEFGH補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體.由題意可得EH=A'E則四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為32S△EFP三棱錐B?EFP的體積V=1（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD'的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.A6,0,0，B6,6,