小學(xué)奧數(shù)奇偶性分析專題講義一、知識(shí)點(diǎn)講解.1.奇偶性基本性質(zhì).奇數(shù)：形如（為整數(shù)）

偶數(shù)：形如（為整數(shù)）

重要結(jié)論：

奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)

奇數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù)

偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)

奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)

奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)

偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù).2.高階應(yīng)用技巧.反證法：假設(shè)某種情況存在，導(dǎo)出奇偶矛盾

狀態(tài)守恒：操作前后奇偶性不變

染色法：用黑白交替染色揭示奇偶規(guī)律.二、例題精講.例題1：的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？解答：

總和包含50個(gè)奇數(shù)和49個(gè)偶數(shù)：

奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加結(jié)果為偶數(shù)，偶數(shù)總和的奇偶性由奇數(shù)的個(gè)數(shù)決定

奇數(shù)

例題2：證明不存在三個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積為奇數(shù).解答：

三個(gè)連續(xù)數(shù)中必有一個(gè)偶數(shù)，乘積必為偶數(shù)

不存在

例題3：數(shù)列，，求奇偶性.解答：

為偶，為偶，為奇，為奇……，以4為周期.2023÷4=505……3，所以為偶數(shù).例題4：若和都是質(zhì)數(shù)，且.求.解答：

若都為奇質(zhì)數(shù)，則為偶數(shù)，不成立。所以，其中必有一個(gè)為2，另一個(gè)為89.或.例題5：黑板有數(shù)1－2023，每次擦去兩數(shù)寫(xiě)其差，最終剩下的數(shù)奇偶性？解答：

操作不改變?nèi)w數(shù)之和的奇偶性。初始和為偶數(shù)

偶數(shù).例題6：7個(gè)倒置杯子，每次翻轉(zhuǎn)4個(gè)，能否全朝上？解答：

每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次改變奇偶性，需奇數(shù)次操作使7奇→偶，矛盾

不能.例題7：能否將1-15排成環(huán)形，使相鄰兩數(shù)和均為質(zhì)數(shù)？解答：

奇偶交替排列時(shí)，奇+偶=奇（可能為質(zhì)數(shù)），但15個(gè)數(shù)中8奇7偶，無(wú)法完全交替

不能.例題8：方程是否有整數(shù)解？解答：

平方數(shù)模4余0或1。，而

無(wú)解.例題9：【策略游戲】?jī)啥咽臃謩e有2022和2023顆，每次從一堆取1-3顆，先取完者勝。先手有必勝策略嗎？解答：

將兩堆差調(diào)整為4的倍數(shù)：先手從2023取1顆，使兩堆均為2022，后續(xù)鏡像操作

先手取1顆.三、習(xí)題訓(xùn)練.習(xí)題1：判斷的奇偶性.答案：奇數(shù)（偶+奇=奇）.習(xí)題2：能否找到5個(gè)奇數(shù)之和等于100？答案：不能（5奇之和必奇）.習(xí)題3：方程是否有都為奇數(shù)的解？答案：無(wú)（奇+奇+奇=奇≠偶）.習(xí)題4：15人握手，每人握奇數(shù)次，可能嗎？答案：不能（總握手次數(shù)必為偶數(shù)）.習(xí)題5：證明：不存在整數(shù)使.答案：模4分析，平方數(shù)模4余0或1，當(dāng)n≥2時(shí)模4余3.習(xí)題6：判斷的奇偶性.解答：

連乘式中含因數(shù)2，乘積為偶數(shù)

偶數(shù)+1=奇數(shù)

答案：奇數(shù).習(xí)題7：能否用11個(gè)奇數(shù)的和得到2024？解答：

11個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，而2024是偶數(shù)

答案：不能.習(xí)題8：證明：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積一定是偶數(shù).解答：

設(shè)數(shù)為和，必有一偶一奇

乘積=偶數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)

答案：成立.習(xí)題9：方程是否存在全奇數(shù)的解？解答：

奇數(shù)平方

（2025）

答案：無(wú)解.習(xí)題10：15盞燈排成環(huán)形，每次翻轉(zhuǎn)相鄰3盞，能否全亮？解答：

每次翻轉(zhuǎn)改變3盞狀態(tài)→總改變次數(shù)為奇數(shù)次

初始狀態(tài)全滅（偶次改變）

無(wú)法達(dá)到全亮（奇次改變）

答案：不能.習(xí)題11：數(shù)列定義：，，求的奇偶性.解答：

遞推觀察奇偶性：

（奇）→（奇）→所有項(xiàng)均為奇

答案：奇數(shù).習(xí)題12：證明：不存在整數(shù)使（）.解答：

當(dāng)時(shí)，

右邊

平方數(shù)模8余0,1,4→矛盾

答案：無(wú)解.習(xí)題13：兩堆石子，每次從一堆取1-3顆，先取完勝。若初始為（9,10），先手有必勝策略嗎？解答：

將兩堆差調(diào)整為4的倍數(shù)：先手從10取1→（9,9），后續(xù)鏡像操作

答案：先手取1顆。.習(xí)題14：數(shù)列，前40項(xiàng)是否全為質(zhì)數(shù)？解答：

當(dāng)時(shí)，

答案：否（第40項(xiàng)為合數(shù)）.習(xí)題15：能否找到5個(gè)不同奇數(shù)，平均數(shù)為偶數(shù)？解答：

5個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，平均數(shù)必為奇數(shù)

答案：不能.習(xí)題16：證明：不是整數(shù).解答：

考慮分母中2的最高冪次為.通分后分子為奇數(shù)，分