高階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法分析綜述定義4.1形如，且的微分方程稱為高階非齊次線性微分方程，其中及在上都是連續(xù)函數(shù)，并且對(duì)任意，．上式稱為高階非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．高階非齊次線性微分方程的一般形式：，在中及在上都是連續(xù)函數(shù)，并且對(duì)任意，．方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，設(shè)方程的一個(gè)基本解組為，那么方程的通解可表達(dá)為．在中，將任意常數(shù)用關(guān)于的未知函數(shù)進(jìn)行替換則變?yōu)?，為了使得式滿足方程，就需要求出相對(duì)應(yīng)的待定函數(shù)，現(xiàn)在采用如下方法來求．同時(shí)對(duì)兩邊求導(dǎo)可得，在上式中令，由上可得關(guān)于的微分方程變?yōu)椋?，?duì)式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)可得 ，在上式中令．則的表達(dá)式可變?yōu)?，重復(fù)上述過程，我們得到第個(gè)方程，以及的表達(dá)式．最后對(duì)式兩邊關(guān)于求導(dǎo)可得現(xiàn)在把，，，這個(gè)式子代入方程，并且注意到，是方程的解，于是可得．由上，我們得到含有個(gè)未知數(shù)的個(gè)微分方程，，，將其構(gòu)成一個(gè)線性方程組由于是微分方程的一個(gè)基本解組，所以方程組的系數(shù)行列式．由高等代數(shù)有關(guān)知識(shí)，我們可以得知方程組有唯一解，并且此解可以表示為：，，其中，是把中的第列換成后所得到的行列式．對(duì)式積分可求得，其中是任意常數(shù)．把所求代入可得，則式即為微分方程的通解，并且式被稱為方程的常數(shù)變易法公式．注1已知齊次線性微分方程的基本解組的條件下，非齊次線性微分方程的任一解都可由積分法得到．那么求解線性微分方程的關(guān)鍵，就是求出相對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的基本解組．例4.1已知微分方程對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的一個(gè)基本解組為，，求該方程的解．解由題知，，是原方程基本解組，所以，注意到，所以，，進(jìn)一步有，，故，，由公式可得原方程的通解為，其中是任意常數(shù)．例4.2已知的基本解組為，，求的解．解令，代入方程，得，，解得，，，，故通解為，其中是任意常數(shù)．例4.3求解方程，．解對(duì)應(yīng)齊次方程為，得到基本解組為．令，代入原方程及，于是，，故通解為，其中是任意常數(shù)．例4.4已知基本解組為，，求解．解設(shè)是方程的一個(gè)特解，，，將其代入非齊次微分方程得，，．即特解為．且非齊次線性微分方程的通解為，其中是任意常數(shù)．例4.5已知對(duì)應(yīng)的基本解組為，，求的解．解由題意，解方程組，得，積分得．則求得通解為，其中是任意常數(shù)．例4.6已知對(duì)應(yīng)的基本解組為，．求方程的解．解令，解方程組得，．積分得，．故通解為，其中是任意常數(shù)．例4.7已知對(duì)應(yīng)的基本解組為，，求方程的解．解令，聯(lián)合求解有解，．積分得，，其通解為，其中為任意常數(shù)．例4.8求方程的解．解上述方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為．令，則，滿足方程組用克萊姆法則可得，，進(jìn)而，，故通解為，其中是任意常數(shù)．注2對(duì)于線性方程，我