11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素第十一章1.借助長(zhǎng)方體模型，直觀認(rèn)識(shí)空間幾何體的基本元素，并能用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體之間的生成關(guān)系.2.理解平面的概念及其表示.3.借助長(zhǎng)方體模型，理解點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.4.會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示點(diǎn)、線、面以及它們之間的位置關(guān)系.5.會(huì)求點(diǎn)到面的距離以及兩平行平面之間的距離.學(xué)習(xí)目標(biāo)

看作構(gòu)成空間幾何體的基本元素.一、空間中的點(diǎn)、線、面如圖所示的長(zhǎng)方體中，8個(gè)頂點(diǎn)可表示為A，B，C，D，A1，B1，C1，D1；12條棱可以表示為AB，BC，CD，DA，AA1，BB1，CC1，DD1，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1；點(diǎn)、線、面新知學(xué)習(xí)6個(gè)面可以表示為ABCD，ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1，DAA1D1，A1B1C1D1；而長(zhǎng)方體可以表示為ABCD-A1B1C1D1.

二、空間中點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系

3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系如圖所示的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方形ABCD所在的平面可記作面ABC，也可以記作面ABD或面ABCD.習(xí)慣上，用小寫(xiě)希臘字母α，β，γ，…表示平面.因此，面ABCD可以記為α.此時(shí)，A是平面α內(nèi)的點(diǎn)，A1不是平面α內(nèi)的點(diǎn)，這可用符號(hào)簡(jiǎn)寫(xiě)為A

α，A1

α.∈

m∩α＝Bα∩β＝k

l∥α一般地，如果直線l與平面α相交于一點(diǎn)A，且對(duì)平面α內(nèi)任意一條過(guò)點(diǎn)A的直線m，都有l(wèi)⊥m，則稱(chēng)直線l與平面α垂直（或l是平面α的一條垂線，α是直線l的一個(gè)垂面），記作

，其中點(diǎn)A稱(chēng)為垂足.α∥βl⊥α給定空間中一個(gè)平面α及一個(gè)點(diǎn)A，過(guò)A可以作而且只可以作平面α的一條垂線.如果記垂足為B，則稱(chēng)B為A在平面α內(nèi)的射影（也稱(chēng)為投影），線段AB為平面α的

，AB的長(zhǎng)為點(diǎn)A到平面α的

.特別地，當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱(chēng)為這條直線到這個(gè)平面的距離；當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱(chēng)為這兩平行平面之間的距離.垂線段距離例一平面的概念下列判斷正確的是

.①平面是無(wú)限延展的；②一個(gè)平面長(zhǎng)3cm，寬4cm；③兩個(gè)平面重疊在一起，比一個(gè)平面厚；④通過(guò)改變直線的位置，可以把直線放在某個(gè)平面內(nèi).【解析】①正確.平面是無(wú)限延展的.②不正確.平面沒(méi)有大小.③不正確.平面沒(méi)有厚薄.④正確.平面可以看成是直線平行移動(dòng)形成的，所以直線通過(guò)改變其位置，可以放在某個(gè)平面內(nèi).【答案】①④解題歸納對(duì)平面概念的深度理解（1）平面是無(wú)限延展的、無(wú)厚薄、無(wú)大小的圖形，但平面圖形，如三角形、平行四邊形、圓等是有大小的.（2）可以用三角形、平行四邊形、圓等平面圖形表示平面，但不能說(shuō)它們是平面.例二從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)幾何體如圖所示，請(qǐng)畫(huà)出①②③中線段AB繞著直線l旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何圖形.①②③【解】如圖所示：①②③解題歸納點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)形成的幾何體形狀的判斷方法（1）點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)形成怎樣的幾何圖形與其運(yùn)動(dòng)的形式和方向有關(guān)，如果線段與旋轉(zhuǎn)軸平行，那么形成圓柱面，如果與旋轉(zhuǎn)軸斜交，那么形成圓錐面.（2）在判斷點(diǎn)、線、面按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的幾何體形狀時(shí)，可以借助身邊的實(shí)物來(lái)模擬.變式訓(xùn)練本例若改為線段AB與直線l有如圖所示的關(guān)系，請(qǐng)畫(huà)出線段AB繞直線l旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何圖形.【解】如圖所示.解題歸納【點(diǎn)評(píng)】線的運(yùn)動(dòng)可以形成平面或曲面，觀察線段AB和直線l的位置關(guān)系及旋轉(zhuǎn)的方式和方向，可以嘗試畫(huà)出形成的幾何圖形.變式訓(xùn)練如圖所示，畫(huà)出①②中L圍繞l旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體.①②【解】（1）L繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是由兩個(gè)底面重合的圓錐拼接而成的，如圖①.（2）L繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是由圓臺(tái)挖去一個(gè)與其上底面同底的圓錐，再拼接一個(gè)與其下底面同底的圓錐而成的，如圖②.①②解題歸納與軸平行的線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱；與軸斜交的線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐；與軸斜但不相交的線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓臺(tái).用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形.（1）三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；（2）平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.【解】（1）符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示如圖.（2）符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.圖形表示如圖.三

點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示例四長(zhǎng)方體中基本元素之間的關(guān)系例在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，把它的12條棱延伸為直線，6個(gè)面延展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中，（1）與直線B′C′平行的平面有哪幾個(gè)？（2）與平面BC′平行的平面有哪幾個(gè)？【解題提示】觀察圖形，結(jié)合定義，利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)分析圖形中的線面位置關(guān)系.【解】（1）與直線B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.（2）與平面BC′平行的平面有平面AD′.解題歸納平行關(guān)系與垂直關(guān)系的判定方法1.平行關(guān)系的判定（1）直線與直線的平行關(guān)系：如圖所示，在長(zhǎng)方體的12條棱中，分成“長(zhǎng)”“寬”“高”三組，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“長(zhǎng)”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“寬”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行.（2）直線與平面的平行關(guān)系：在長(zhǎng)方體的12條棱及6個(gè)面中，若棱所在的直線與某一平面不相交，則平行.（3）平面與平面的平行關(guān)系：長(zhǎng)方體的對(duì)面互相平行.2.垂直關(guān)系的判定（1）直線與平面的垂直關(guān)系：在長(zhǎng)方體的棱所在直線與各面中，若直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二者垂直.（2）平面與平面的垂直關(guān)系：在長(zhǎng)方體的各表面中，若兩平面有公共點(diǎn)，則二者垂直.變式訓(xùn)練本例中：（1）與直線B′C′垂直的平面有哪幾個(gè)？（2）