PAGEPAGE1例2.命題:“從圓上一點(diǎn)E作EP垂直于自己直徑AB,P為垂足，圓在E處的切線與在A,B處切線分別交于C,D，則AD,BC,EP共點(diǎn)，且EP被交點(diǎn)平分，’(見圖3)。此命題顯然為真，令A(yù)D,BC交于T，因?yàn)椤鰾DT∽△ACT，于是DT/TA=CA/DB，又CE=CA,BD=DE，所以DT/TA=DE/EC，從而ET//BD//CA。又EP土AB,EP//BD//CA即共點(diǎn)得證明。EP被交點(diǎn)平分亦易證。作一仿射對(duì)應(yīng)，若經(jīng)仿射對(duì)應(yīng)后的記號(hào)不變，于是可得另一命題“從橢圓上一點(diǎn)E作直徑AB的共扼弦EP與AB交于P，圓在E處的切線分別與在A,B處的切線分別交于C,D，則AD,BC,EP共點(diǎn)，且EP被交點(diǎn)平分。，’(見圖4)，根據(jù)仿射性質(zhì)，此命題亦為真。2．2利用射影變換例3命題:“平行三直線分別交兩平行的直線得三平行四邊形，這三平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)共線且所在直線平行于一組對(duì)邊”(見圖5)。此命題顯然為真。在圖6中，設(shè)過(guò)點(diǎn)S的三直線分別交過(guò)點(diǎn)T的二直線兩與于Al,B1,C1;A2,B2,C2。作一中心射影，使直線ST成為無(wú)窮遠(yuǎn)直線，若各點(diǎn)在中心射影后的記號(hào)不變經(jīng)過(guò)中心射后AlCl//A2C2;AIA2//BlB2//CIC2;這樣O,P,Q成為三平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)，故有O,P,Q共線且所在直線與AlC1,A2C2平行，即O,P,Q與AIC1,A2C2的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)共線，(見圖5)。由于射影對(duì)應(yīng)保持結(jié)合不變，所以中心射影前的四點(diǎn)T,O,P,Q也共線。于是可得另一命題共點(diǎn)三直線分別交共點(diǎn)兩直線得三四邊形這三四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)與相交兩直線交點(diǎn)共線(見圖6),例4命題:“已知BE//CF,BC交BE,CF分別于B,C，圓與BE,BC,CF分別相切于E,D,F,BF交EC于T，DT//BE//CF,"(見圖7)。此命題顯然為真，因?yàn)椤鰾ET≌△FCT，于是CT/TE=CF/BE，CD=CF,BD=BCT/TE=CD/DB,從而DT//BE//CF。即得證明。將圖8所示，△ABC的旁切圓切邊BC于D,切邊AB和AC的延長(zhǎng)線于E和F,BF交EC于T，作一射影變換，若各點(diǎn)在射影變換后的記號(hào)不變，使射影變換后，△ABC的旁切圓為一圓，EF變?yōu)閳A的直徑，A為垂直于直徑EF的直線相對(duì)應(yīng)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。(見圖7)。于是可得另一命題“△ABC的旁切圓切邊BC于D，切邊AB和AC的延長(zhǎng)線于E和F，設(shè)T是直線BF與CE的交點(diǎn)，則點(diǎn)A,D,T共線?！庇稍}得此命題亦為真。2．3利用交比例5.命題:“一個(gè)角的兩邊與這個(gè)角的內(nèi)外角平分線調(diào)和共扼”。在圖9中，c,d順次為∠(a,b)的內(nèi)外角平分線，作直線1與d平行，則1⊥c。，若1交a,b,c。于A,B,T，于是△OAB為等腰三角形，因此AT=TB令1與d的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為P∞故(AB,TP∞)=一1所以(ab,cd)=一1。圖10所示，c,d順次為∠(a,b)的內(nèi)外角平分線，直線1與a,b,c,d分別交于A,B,T,P.由于(ab,cd)=(AB,TP)，而BP=-PB，所以AT·PB=BT·AP，即AT/BT=AP/PB。于是可得初等幾何中的角平分線性質(zhì)定理。高等幾何的點(diǎn)線接合命題對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用眾所周知，無(wú)論是在教學(xué)實(shí)踐中，還是在測(cè)繪、筑路、架橋、通訊等工程實(shí)踐中，不可回避地常遇到不可及點(diǎn)等實(shí)際問題。要解決此類問題就牽涉到幾何學(xué)中共線點(diǎn)和共點(diǎn)線問題，這類問題的證明，對(duì)于初等幾何乃至平面或空間解析幾何來(lái)說(shuō)是比較難的，有時(shí)甚至是不可能的。但是如果用高等幾何的方法證明這類命題，就要方便得多，簡(jiǎn)單得多，下面通過(guò)實(shí)例加以印證。例1如圖1所示，設(shè)三直線A1A2，B1B2，C1C2共點(diǎn)于S，A1A2，B1B2，C1C2分別交兩直線OX，OY于A1，B1，C1與A2，B2C2。設(shè)B1C2×B2C1=L，C1A2×C2A1=M，A1B2×A2B1=N.求證：L，M，N，O四點(diǎn)共線。證明：將直線OS投影到無(wú)窮遠(yuǎn)直線，并作出圖11的對(duì)應(yīng)圖形，用帶“'”的字母示原字母的象?！逜1A2，B1B2，C1C2交于S，OX，OY共點(diǎn)O∴A1'A2'∥B1'B2'∥C1'C2'，O∞'X'∥O∞'Y'且A1'，B1'，C1'在O∞'X'上A2'，B2'，C2'在O∞'Y'上。由平面幾何易知L'，M'，N'三點(diǎn)共線，且所在直線平行于A1'，B1'，C1'所在直線，所以O(shè)'∞是L'，M'，N'所在直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。又由于中心射影保同素性和接合性，所以L，M，N，O四點(diǎn)共線。圖11圖此例實(shí)際上也是巴卜斯定理的特例，這里不再贅證。例2試證三角形的三條中線共點(diǎn)。證明：此題若用初等幾何的方法來(lái)證是相當(dāng)費(fèi)力的，現(xiàn)在用高等幾何的方法來(lái)證明，同時(shí)為例3做一個(gè)鋪墊。如圖12所示，AD，BE，CF分別為ΔABC的三邊BC，CA，AB上的中線，所以EF∥BC，DE∥AB，DF∥AC設(shè)EF×BC=P∞，DE×AB=Q∞，DF×AC=R∞在ΔABC與ΔDEF中，對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)P∞，Q∞，R∞共線于無(wú)窮遠(yuǎn)直線，則由代沙格定理的逆定理可知，對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的聯(lián)線AD，BE，CF共點(diǎn)。圖12圖13例3如圖13所示，直線τ交ΔABC的三邊或其延長(zhǎng)線于L，M，N，若直線AM，BN，CL交成一個(gè)三角形PQR，求證：AQ，BR，CP三直線共點(diǎn)。證明：利用中心射影將L，M，N所在的直線τ投射到無(wú)窮遠(yuǎn)直線并作圖3的對(duì)應(yīng)圖形?！週'∞，M'∞，N'∞是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，∴A'B'∥Q'R'，B'C'∥P'R'，C'A'∥P'Q'∴四邊形A'B'C'R'與B'C'A'P'都是平行四邊形∴P'A'=B'C'=A'R'∴A'是P'R'的中點(diǎn)同理，B'是P'Q'的中點(diǎn)，C'是Q'R'的中點(diǎn)，即A'Q'，B'R'，C'P'是ΔP'Q'R'三邊上的中線。由例2可知，它們必交于一點(diǎn)S'。由于中心射影保同素性和接合性，故AQ，BR，CP交于一點(diǎn)S。圖參考文獻(xiàn)［1］羅崇善.高等幾何［M］.北京:高等教育出版社1999.［2］梅向明.高等幾何［M］.高等教育出版社，1983.［3］趙宏量.幾何教學(xué)探索［M］.西南師范大學(xué)出版社，1987.［4］姜樹民等.高等幾何學(xué)［M］.陜西人民教育出版社，2000.［5］黃良文，曾五一.統(tǒng)計(jì)學(xué)原理［M］.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，