3.2.1基本不等式的證明學(xué)習(xí)目標(biāo)：知道基本不等式及其幾何背景；了解綜合法與分析法在證明基本不等式中的作用；會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題；一、新知探究知識(shí)點(diǎn)1算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)與基本不等式(1)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)對(duì)于正數(shù)a，b，我們把________稱(chēng)為a，b的算術(shù)平均數(shù)，________稱(chēng)為a，b的幾何平均數(shù)．(2)基本不等式如果a，b是正數(shù)，那么________(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)，我們把不等式________(a，b≥0)稱(chēng)為基本不等式．知識(shí)點(diǎn)2兩個(gè)重要的不等式若a，b∈R，則(1)________，即________(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)；(2)________(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)．知識(shí)點(diǎn)3應(yīng)用基本不等式求最值在運(yùn)用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值時(shí)，要把握好三個(gè)要點(diǎn)“________、________、________”．一正：a，b是_______．二定：①和a＋b一定時(shí)，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)變形得ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即積ab有最大值_______；②積ab一定時(shí)，由eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)變形得a＋b≥2eq\r(ab)，即和a＋b有最小值_______.三相等：取等號(hào)的條件都是當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立．二、典型例題例1對(duì)基本不等式的理解1.給出下面三個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：①因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2；②因?yàn)閍∈R，a≠0，所以eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4；③因?yàn)閤，y∈R，xy＜0，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2.其中正確的推導(dǎo)為()A．①② B．①③C．②③ D．①②③2.不等式a＋1≥2eq\r(a)(a>0)中等號(hào)成立的條件是()A．a(chǎn)＝0 B．a(chǎn)＝eq\f(1,2)C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝2例2利用基本不等式證明不等式1.設(shè)為正數(shù)，證明下列不等式成立：（2）變式1.已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9.例2利用基本不等式比較大小1.已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝＋5(a，b∈(0，＋∞))，試比較m、n的大小．7.《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要依據(jù)．通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC=a，BC=b，可以直接通過(guò)比較線(xiàn)段OF與線(xiàn)段CF的長(zhǎng)度完成的無(wú)字證明為

(

)A.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) B.a+b2例4利用基本不等式求最值(1)當(dāng)x>0時(shí)，求eq\f(12,x)＋4x的最小值；(2)當(dāng)x<0時(shí)，求eq\f(12,x)＋4x的最大值；(3)當(dāng)x>1時(shí)，求2x＋eq\f(8,x－1)的最小值；(4)已知0<x<eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值；(5)若0<x<eq\f(1,2)，求xeq\r(1－4x2)的最大值．(6)已知4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，求a的值．三、鞏固練習(xí)1．如果0＜a＜b＜1，P＝eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\r(ab)，M＝eq\r(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是()A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．