高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)3.2.2第1課時(shí)函數(shù)的奇偶性(一)含答案3.2.2奇偶性第1課時(shí)函數(shù)的奇偶性(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解奇偶性的概念,掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法.2.了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征.3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)或參數(shù)的值.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,?x∈D,都有-x∈D條件f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)結(jié)論f(x)叫做偶函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)版本交融(蘇教P118探究)具有奇偶性的函數(shù),其定義域具有怎樣的特點(diǎn)?提示:奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.版本交融(人BP109,P110嘗試與發(fā)現(xiàn))偶函數(shù)與奇函數(shù)的圖象具有什么特征?提示:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,反之也成立.【教材深化】1.若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),如函數(shù)f(x)=0,x∈R.2.若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),則f(x)是非奇非偶函數(shù).【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)的定義域是R,且f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),則f(x)是偶函數(shù). (×)提示:所給關(guān)系式f(-1)=f(1),f(-2)=f(2)不滿足任意性.(2)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(5)=-3,則f(-5)=3. (√)提示:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-5)=-f(5)=3.(3)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(0)=0. (×)提示:若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0.類型一函數(shù)奇偶性的判斷(邏輯推理)【典例1】(1)函數(shù)f(x)=1x-x3A.y軸對(duì)稱 B.x軸對(duì)稱C.原點(diǎn)對(duì)稱 D.直線y=x對(duì)稱【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=-1x-(-x)3=-1x+x3=-(1x-x3)=-f所以f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(2)(多選)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A.f(x)=2x2+3x4,x∈[-1,2]B.f(x)=-3C.f(x)=xD.f(x)=x2【解析】選BCD.對(duì)于A,函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,2],不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不是偶函數(shù);對(duì)于B,函數(shù)的定義域?yàn)閤x≠0,f(-x)=-3(-x)4=-因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以函數(shù)是偶函數(shù).對(duì)于D,由x2-1≥0,1-x2≥0,得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x【總結(jié)升華】判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法:(2)圖象法:【即學(xué)即練】1.(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A.f(x)=-2x3+1B.f(x)=1C.f(x)=1D.f(x)=-【解析】選CD.對(duì)于A,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=-2(-x)3+1=2x3+1≠-f(x),不是奇函數(shù);對(duì)于B,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)不是奇函數(shù);對(duì)于C,f(x)的定義域?yàn)閇-1,0)∪(0,1],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=1-x2-x=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù);對(duì)于D,畫(huà)出圖象如圖所示,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此函數(shù)2.下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是()【解析】選B.選項(xiàng)A中的圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸均不對(duì)稱,故排除;選項(xiàng)C,D中的圖象表示的函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不具有奇偶性,故排除;選項(xiàng)B中的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,其表示的函數(shù)是偶函數(shù).類型二奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用(直觀想象)【典例2】(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(1)如圖①,給出奇函數(shù)y=f(x)的局部圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值;【解析】(1)奇函數(shù)y=f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(-x,f(-x))關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x,-f(-x)),圖③為題圖①補(bǔ)充后的圖象,易知f(3)=-2.(2)如圖②,給出偶函數(shù)y=f(x)的局部圖象,試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大小.【解析】(2)偶函數(shù)y=f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(-x,f(-x))關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x,f(-x)),圖④為題圖②補(bǔ)充后的圖象,易知f(1)>f(3).【總結(jié)升華】巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問(wèn)題(1)依據(jù):奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決諸如求值、比較大小及解不等式問(wèn)題.【即學(xué)即練】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.(1)請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)y=f(x)的圖象;【解析】(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖所示.(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;【解析】(2)由圖可知,單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1).(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合.【解析】(3)由圖可知,使f(x)<0的x的取值集合為{x|-2<x<0或x>2}.類型三利用函數(shù)的奇偶性求值(邏輯推理)角度1利用奇偶性求函數(shù)值【典例3】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-12x,則f(-1)=【解析】(1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-12答案:(1)-12(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)=x2+x,x【解析】(2)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.答案:(2)6(3)已知函數(shù)f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,則f(3)=.

【解析】(3)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,則g(x)是奇函數(shù),所以f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,又f(-3)=-3,所以g(3)=5.又f(3)=g(3)+2,所以f(3)=5+2=7.答案:(3)7【總結(jié)升華】利用奇偶性求值的解題策略若自變量的取值不在已知的范圍內(nèi),可利用奇偶性將未知的值(區(qū)間)轉(zhuǎn)化為已知的值(區(qū)間),必要時(shí)需構(gòu)造奇函數(shù)或偶函數(shù)便于求值.【即學(xué)即練】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+1,則f(-2)+f(0)=.

【解析】因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=x2+1,所以f(-2)=-f(2)=-(4+1)=-5.又f(0)=0,所以f(-2)+f(0)=-5+0=-5.答案:-5角度2利用奇偶性求參數(shù)【典例4】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+(A.-1 B.1 C.0 D.-2【解析】選A.方法一:根據(jù)題意,知函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+ax為奇函數(shù),則有f(x)+f(-x)=0,即方法二:因?yàn)閒(x)=x2+(a+1)x+ax是奇函數(shù),且y=x是奇函數(shù),所以y=x2+(a【總結(jié)升華】利用奇偶性求參數(shù)的常見(jiàn)類型及策略(1)定義域含參數(shù):奇、偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,利用a+b=0求參數(shù).(2)解析式含參數(shù):根據(jù)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比較系數(shù)即可求解.【即學(xué)即練】(2024·連云港高一檢測(cè))若函數(shù)f(x)=x2+ax+1是定義在(-b,2b-2)上的偶函數(shù),則f(b2)=(A.14 B.54 C.74 【解析】選D.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x2+ax+1是定義在(-b,2b-2)上的偶函數(shù),所以-b+2b所以f(x)=x2+1,則f(b2)=f(1)=12+1=2第2課時(shí)函數(shù)的奇偶性(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)的解析式.2.能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.3.會(huì)判斷簡(jiǎn)單的抽象函數(shù)的奇偶性.【素養(yǎng)達(dá)成】邏輯推理邏輯推理邏輯推理類型一利用函數(shù)的奇偶性求解析式(邏輯推理)【典例1】(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=;

【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是奇函數(shù),故f(x)=-f(-x),所以f(x)=-x2-2x-3.即當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2-2x-3.答案:(1)-x2-2x-3(2)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x+3,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=.

【解析】(2)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,由于f(x)是偶函數(shù),故f(x)=f(-x),所以f(x)=x2+2x+3.即當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x+3.答案:(2)x2+2x+3【總結(jié)升華】利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”,即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式,x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).(4)定義在R上的奇函數(shù)f(x)一定有f(0)=0.【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+3x-4.求函數(shù)f(x)在R上的解析式【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.設(shè)x<0,則-x>0,由x>0時(shí),f(x)=x+3x-4可知,f(-x)=-x-3又f(x)為奇函數(shù),故f(x)=-f(-x)=x+3x+4(x所以函數(shù)f(x)在R上的解析式為f(x)=x+類型二函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性(邏輯推理)角度1比較大小【典例2】設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x∈(-∞,0]時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則f(52),f(-6),fA.f(π)>f(-6)>f(52B.f(-6)>f(π)>f(52C.f(-6)>f(52)>fD.f(π)>f(52)>f(-6【解析】選C.根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知,f(-6)=f(6),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞減,因?yàn)?<52<π,所以f(6)>f(52)>所以f(-6)>f(52)>f(π)【總結(jié)升華】比較大小的求解策略看自變量是否在同一單調(diào)區(qū)間上(1)在同一單調(diào)區(qū)間上,直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(2)不在同一單調(diào)區(qū)間上,需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,然后利用單調(diào)性比較大小.【即學(xué)即練】已知f(x)是奇函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(-0.5),f(-1),f(0)的大小關(guān)系是()A.f(-0.5)<f(0)<f(-1)B.f(-1)<f(-0.5)<f(0)C.f(0)<f(-0.5)<f(-1)D.f(-1)<f(0)<f(-0.5)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),且f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(-1)<f(-0.5)<f(0).角度2解不等式【典例3】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增,若f(a)>f(3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;

【解析】(1)由題意,函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),所以a>3.答案:(1)(3,+∞)(2)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增,若f(a)>f(3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;

【解析】(2)由題意可知f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增,在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以|a|<3,解得-3<a<3.答案:(2)(-3,3)(3)已知定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,若f(1-m)<f(m),則m的取值范圍是.

【解析】(3)因?yàn)閒(x)在[-2,2]上是偶函數(shù),且f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,因此f(1-m)<f(m)等價(jià)于f(|1-m|)<f(|m|)等價(jià)于-2≤1-m≤2,-2≤m答案:(3)[-1,12【總結(jié)升華】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式(1)奇函數(shù)在連續(xù)的區(qū)間上,由fa,fb的關(guān)系,利用單調(diào)性可直接得到a,b的大小的不等式;(2)偶函數(shù)在連續(xù)的區(qū)間上,由fa,fb的關(guān)系,應(yīng)考慮a,b的大小的不等式.提醒:解不等式不能忽視定義域,解出的范圍要與定義域求交集.【即學(xué)即練】1.奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,不等式f(2x+1)+f(2-x)<0的解集是.

【解析】因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),在R上為增函數(shù),f(2x+1)+f(2-x)<0,f(2x+1)<f(x-2),所以2x+1<x-2,解得x<-3.即不等式的解集為(-∞,-3).答案:(-∞,-3)2.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(1)=1,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則不等式f(2-x)>1的解集為.

【解析】當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),f(1)=1,由f(2-x)>1,得f(|x-2|)>f(1),故|x-2|>1,解得x<1或x>3.答案:(-∞,1)∪(3,+∞)類型三抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題(邏輯推理)【典例4】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明.【解析】f(x)是奇函數(shù).理由如下:取x=y=0,則f(0)=2f(0),所以f(0)=0.對(duì)任意x∈R,取y=-x,則f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是R上的奇函數(shù).【總結(jié)升華】判斷抽象函數(shù)的奇偶性的方法(1)找準(zhǔn)方向,巧妙賦值,合理、靈活地變形配湊,找出f(-x)與f(x)的關(guān)系.(2)賦值代換,至于如何賦值,要根據(jù)解題目標(biāo)來(lái)確定,一般可通過(guò)賦值-1或0或1來(lái)達(dá)到解題目的.【即學(xué)即練】定義在非零實(shí)