2024-2025學(xué)年廣西玉林市高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

圓2的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

1.x+V-4x=°

A.(。,2),2B,(一2，°),4C.（2，°）,2D.（2，°）,4

3

X——

2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

A.2B.-2

Qy2=3xD,「=-3x

22

—y——=1（6Z>0）r

3.雙曲線。4的離心率為6，則。=)

行D.直

A.1B.C.g

4.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,反=己，點(diǎn)M在刀上，且

(W=2MZ,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則〃N=()

-a--b+-c--a+-b+-c

A.232B.322

1一11一

—a+—br——c-a+b--c

C.222D.32

5.若兩異面直線4與4的方向向量分別是4=（1，O，T）,?2=（0,-1,1）；則直線4與4的

夾角為（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

x2y2

6.已知橢圓E:?2+b2=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B

兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—1）,則E的方程為（)

x2y2x2y2

A.45+36=iB.36+27=i

x2y2.y2

c.藥+森=1D.18+9=i

7.若直線依一廣2=0與曲線&T）2=XT有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范

圍是（）

B.

+co

D.r

8.己知直線個(gè)辦一了+5=°與直線4：x+即-a+4=0（aeR）的交點(diǎn)為p,則點(diǎn)P到直線

/：＞=x-3距離的取值范圍是（）

A,[3A/2,75/2]B.G旦7夜]

C.[2A/2,6A/2]D.（2a,6夜]

二、多選題（本大題共3小題）

9.直線4：x+3y+9=0,/2：（“-2）x+ay+7_a=0,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。＞°時(shí)，,2的傾斜角的范圍是L4J

B.若〃〃2,則。=3

C.若，，2,則“2

VTo

D.當(dāng)。=3時(shí)，4到,2的距離為2

10.如圖，在長(zhǎng)方體/8CZ）-481Goi中，/8=/。=2,/4=1,點(diǎn)M為線段瑪3上動(dòng)點(diǎn)

（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)M為片〃中點(diǎn)時(shí)，G“，平面叫DQ

V2

B.當(dāng)點(diǎn)M為3Q中點(diǎn)時(shí)，直線。M與直線3c所成角的余弦值為行

C.當(dāng)點(diǎn)M在線段BQ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐G-2DM的體積是定值

D.點(diǎn)M到直線8。距離的最小值為3

11.如圖，曲線0是一條“雙紐線”，其C上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)片（一2，0）與到點(diǎn)

月僅°）的距離之積為4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)"（2"°）在曲線C上

B.點(diǎn)"（”,）。＞°）在。上，則I"耳1=2血

C.點(diǎn)。在橢圓62上，若耳。，尸20,則QeC

D.過用作x軸的垂線交C于42兩點(diǎn)，則?同＜2

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知直線I的方向向量為（2刈」），平面a的法向量為「2'\且l\\at

則優(yōu)=.

13.己知拋物線U/=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在C上，且點(diǎn)M到直線x=-2的距離為

6,則叼=.

22

c：仁=1（"0,6＞0）pP

14.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線?6的左、右焦點(diǎn)分別為小g，點(diǎn)

M在以月為圓心、1°巴1為半徑的圓上，且直線孫與圓月相切，若直線.與。的一

條漸近線交于點(diǎn)N,且則C的離心率為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知直線/經(jīng)過兩條直線》+27-5=0和3x_y7=0的交點(diǎn).

（1）若直線/與直線》一2了一3=°垂直，求直線/的方程；

(2)若直線/與直線工-2了-3=°平行，求直線/的方程及此時(shí)直線/與直線

x-2y-3=0的距離.

16.己知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是片(T,0),g(4,0),點(diǎn)尸是雙曲線上的一點(diǎn)，

|附H尸川=4

⑴求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)寫出該雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.

17.已知圓C的方程為：(x-3)2+(y+l)2=4.

⑴若直線/"7+a=°與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且|/@=2也，求實(shí)數(shù)a的值;

(2)過點(diǎn)作圓c的切線，求切線方程.

18.如圖，在四棱錐P-4BC。中，尸/，平面N8CD,ABLAD,ADHBC,

兀

AP=AB=AD=\,且直線必與CD所成角的大小為

P

(1)求8c的長(zhǎng)；

(2)求點(diǎn)C到平面尸8。的距離.

19.已知點(diǎn)尸GJ)在橢圓C：,+a=l(a>b>0)上,橢圓的離心率e=E.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若不過點(diǎn)P的直線+加交橢圓于A,B兩點(diǎn),直線尸4,總的斜率分別為無

上2且勺+右=1,

①求證：直線AB經(jīng)過定點(diǎn)；

②求△048面積的取值范圍(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

答案

1.【正確答案】C

【詳解】圓的方程可化為：（x-2）2+/=4一..圓心坐標(biāo)為（2,0）,半徑-2.

故選：C.

2.【正確答案】D

【詳解】由題意可知，拋物線的開口向左，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為r=-2"（0>0）,

P_33

則24,所以2,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為了=7x.

故選：D.

3.【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系求解即可.

\la2+4_G

【詳解】由題意，?,即1+4=3/,解得a=0.

故選：B

4.【正確答案】B

【詳解】因?yàn)?M=2吊4,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，

MA=-OABN=-~BC

所以3,2,

MN=MA+AB+BN=-OA+OB-OA+-BC

故32

^-a+b-a+-（oc-OB}=--a+b+-（c-b'）=-la+-b+-c

32、732V7322.

故選：B.

5.【正確答案】B

【分析】

./7八COS^=COS（Hn）

設(shè)異面直線4與4所成的角為e,根據(jù)I159即可求解.

【詳解】

由題意，兩異面直線4與4的方向向量分別是4=。，0，-1）,%=（o，T，i）,

設(shè)異面直線4與4所成的角為e,則

又因?yàn)?e（°°，90°）,所以6=60。，

即直線乙與4的夾角為60°.

故選：B.

6.【正確答案】D

江+區(qū)=1

區(qū)+區(qū)=1

【詳解】設(shè)"(斗必)、8(X2，為),所以墟b2,運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線43的斜率為

,b2b2”、

k=不y=—z(x-3)

〃，設(shè)直線方程為。,聯(lián)立直線與橢圓的方程

二6一

222224

(a+b)x-6bx+%-tz=0；所以再W/十/；又因?yàn)楱D一/二九解得

/=9,/=電

【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.

7.【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)曲線為(xTy+(yT)2=l(xZl),再由直線恒過定點(diǎn)尸(。,-2),

結(jié)合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.

［詳解］由曲線J1一3-1)2="-1,可得(x-l)2+(y-1尸=1(x21),

又由直線依一y-2=0,可化為了二.一2,直線恒過定點(diǎn)~0,-2),

作出半圓與直線的圖象，如圖所示，

k=0-(-2)=2

結(jié)合圖象，可得幾°),所以…1-0",

Izl-i.4

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，可得7k+1，解得3,

.(-,2］

所以實(shí)數(shù)無的取值范圍為3.

故選：A.

8.【正確答案】D

【分析】求出兩直線所過定點(diǎn)，確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點(diǎn)到定直線的距

離的最值，即可求得答案.

【詳解】直線4,4分別過定點(diǎn)40,5）,2（-4,1）,且互相垂直，所以點(diǎn)P的軌跡是以

為直徑的圓（不含點(diǎn)（°』）），這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為（一2萬(wàn)），半徑為2行，圓心到直

dJ一2一3一3|二4痣

線1距離為行，因此圓上的點(diǎn)到直線1距離最大值為6也，最小為

2歷,取得最小值時(shí)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是（°，1），因此取值范圍是（272,672].

故選D.

9.【正確答案】BCD

k,——2-a———2—

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。>0時(shí)，直線4的斜率~a~a

<371）

Ja€二■，兀

當(dāng)一1〈后<0時(shí)，4的傾斜角14人

aG0,->1

當(dāng)上2°時(shí)，4的傾斜角L2）,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由〃“2,得。3,解得。=3,故B正確；

對(duì)于C,由4U,得（"2）+3°=。，解得”5,C正確;

對(duì)于D,當(dāng)0=3時(shí)，〃〃2,直線,2：龍+3丁+4=0,

4到A的距離為6+3?2,口正確.

故選：BCD

10.【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；

利用空間向量求出向量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量

求出點(diǎn)到直線的距離最小值判斷D.

【詳解】在長(zhǎng)方體/BCD-44GA中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

ZA

4Bi

->

y

X

則￡>(0,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0)C(0,2,1),〃(0,0,1),片(2,2,1),設(shè)j,1),0v/v2,

對(duì)于A,t=\,〃(W),西=(7,1,0),西=(0,0,1),麗=(2,2,0),

MClDDi=0,MCl-DB=0gpMCXYDDX,MC{VDB

而0℃02=0,。2，。23平面342°,因此平面班QD,人正確；

__cos(兩，阮)=里旦===-皂

對(duì)于B,DM=(l,l,l),5C=(-2,0,0)；\DM\\BC\73x23,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由選項(xiàng)A知，點(diǎn)G到平面83。。的距離為萬(wàn)，而的面積

-BDDD.=V2

2,

2

因此三棱錐G-8D”的體積3是定值，c正確；

對(duì)于D,2G=(-2,0,l)，GM=C"2,0),則點(diǎn)M到直線8G的距離

d=\g2-

V16cli

=Jt2+(t-2)2--=l-t2-4t+4=>—t=-

V5V5,5333,當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)取等號(hào)，D正

確.

故選ACD.

11.【正確答案】ACD

【分析】對(duì)選項(xiàng)A,根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B,根據(jù)“雙紐線

定義得到“即'1）,再計(jì)算1及個(gè)即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C,根據(jù)“雙紐線”定義和

/（2y）與=16+產(chǎn)

橢圓定義即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)“卜/人根據(jù)勾股定理得到了，再

解方程即可判斷D正確.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)榱簟?G亞+2）（2亞-2）=4,由定義知DeC,故A正

確；

對(duì)選項(xiàng)B,點(diǎn)M(x/)(x>°)在C上，

J孫兇=J[U+2)2+l][(x-2)2+l]=4

所以x=石，M周4（用2）+172行

化簡(jiǎn)得--6/+9=0，故B錯(cuò)誤;

片+匕1

對(duì)選項(xiàng)C,橢圓62上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為百（一2,0）與乙（2,0）,

則國(guó)。|+內(nèi)。卜2街,又居。，/。,所以陽(yáng)?！?同of：-.

2

徐。|+月。|）2-。。『+|月。|）［

故閘地=

2，所以QeC,故c正確;

對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)“（2/）,貝山同=2加，

M川=2,12,

因?yàn)?eC,則可，又|盟|=l6+y-

16.,2

—=16+/

所以了，化簡(jiǎn)得V+1616=0,故必=40-8,所以產(chǎn)-1=4石-9<0,故

帆<1,所以\AB\<2_p工省

11，故D正確,

故選ACD.

12.【正確答案】-8

【詳解】

因?yàn)橹本€1的方向向量沅=（2遮」），平面a的法向量""'萬(wàn)'"，IHa,所以

一一m-n=2+—m+2=0

mln,即2,解得〃?=-8,故答案為-8.

13.【正確答案】5

【分析】由條件求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)論.

【詳解】拋物線『=4x的準(zhǔn)線方程為x=-l,

設(shè)點(diǎn)河的坐標(biāo)為（斗乂）,則x'-°.

因?yàn)辄c(diǎn)M到直線無=-2的距離為6,

所以點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-l的距離為5,

由拋物線定義可得\MF\=5.

V7

14.【正確答案】2

【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)加在第一象限，連接GM,則與Wg,用M=。，

故閨M片=Gc,=30°；

設(shè)因?yàn)槎?=所以M為嶼的中點(diǎn)，

\NF{\=2|7^^|=2A/3C故比=2百。sin300=V3c,x0=2V3c-cos30°-c=2c

/廠、bbV3cIb2V7

將N（2c，&）代入"L中，故廠了,則，丁

V7

15.【正確答案】(1)2》+了-4=0；

6/T

Jx+2y-5=0jx=l

【詳解】(1)由13龍7-1=0,解得1了=2,即直線x+2y_5=0和3X7-1=0的交點(diǎn)

為(L2),

由直線/與直線x-2y-3=°垂直，設(shè)直線/的方程為2x+y+￡=o,

把點(diǎn)工2)代入方程得2+2+G=0,解得￡=-4,

所以直線/的方程為2%+y-4=0

(2)由直線/平行于直線'-2了-3=0,設(shè)直線/的方程為x-2y+C2=0G-3),

把點(diǎn)(L2)代入方程得1-2X2+C2=0,解得C?=3,

所以直線/的方程為》-2了+3=0,直線/與直線x-2y-3=°的距離

,13-(-3)1=6^

?+(-2)25

16.【正確答案】(1)412

(2)答案見解析

【詳解】(1)解：因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是々(-4,0),乙(4,0),所以雙曲線的焦點(diǎn)

在x軸上，

又因?yàn)辄c(diǎn)p是雙曲線上的一點(diǎn)，且忸尸用1=4,

根據(jù)雙曲線的定義，可得2。=4,所以。=2,

又由c=4,所以〃=02-°2=12,

22

二-匕=1

所以雙曲線的方程為412.

《上=1

（2）解：由（1）知，雙曲線的方程為412",可得0=2,6=26"=4,

所以雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為。=2,虛半軸長(zhǎng)為6=26，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±2。），

e=—=2y=+—x=±V3x

離心率為a,漸近線方程為。

17.【正確答案】（1）。=-2或-6；

⑵％=1或5"+12歹-29=0.

【詳解】（1）圓C的方程為：（x-3『+（y+l）2=4,

則圓°的圓心為（3，T）,半徑為2,

直線/:xr+a=0與圓C相交于A、B兩點(diǎn),且|/切=2亞，

13-（-1）+g|_曰（2A/^~

則J12+（T）2V2,解得a=_2或-6；

（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線》=1,與圓。相切，

切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線為y-2=k（x-l））即h-y-A+2=0,

|3后+1-?+2],

----/——二,卜u5

由切線的定義可知，?+（切,解得一12,

故切線方程為5x+12y-29=0,

綜上所述，切線方程為x=l或5x+12y-29=0.

18.【正確答案]（1）2

⑵3

【詳解】（1）因?yàn)槭矫?8C。，且

所以建立如圖分別以為龍//軸的空間直角坐標(biāo)系,

X

則尸(0,0,1),8(1,0,0),0(0,1,0),令BC=t,則C(l，f，0)(f>0)

所以PB=(1,0,-1),CD=(-1,1-/,0)；

___\PBCD

[

cos<PB,CD>=

\PB\-\CDV2xJl+(]._/)

所以

71—,1

—cos<PB,CD>=—

因?yàn)橹本€必與S所成角的大小為3,所以2,

1_1

即行xjl+（l_）2,解得.（舍）或者（=2,

所以8c的長(zhǎng)為2;

(2)由(1)知尸(0,0，1)，3(1,0,0),■D(0,l,0),C(l,2,0),

令平面尸皿的法向量為加=("/),因?yàn)槎?(1,0,-1),麗

m-PB=0(x-z=0

所以1所.也)=0[y-z=0^令x=l,則kl,z=l,所以加=(1,1,1),

_d」可_2_2百

又而=(。，-2,0),所以網(wǎng)百3,

所以點(diǎn)C到平面口。的距離為3

X2/_

---1---=1

19.【正確答案】（1）82

（2）①證明見解析；②（°，2]

a=2V2