2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上期末數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）直線—y—3=0的傾斜角為（）

7Tn7T2n

A.-B.-C.-D.—

4633

已知數(shù)列｛即｝的首項ai=l,即+1=:+1,則這個數(shù)列的第四項是（）

2.（5分）

an

111121

A.—B.—C.—D.6

7511

3.（5分）若的三個頂點坐標(biāo)分別為/（2,0）,B（0,-4）,0（0,0）,則外接圓的圓心坐標(biāo)為

（）

A.（1,-1）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-2,1）

九2

4.（5分）若直線與雙曲線下一/=1有兩個交點，則。的值可以是（）

4

A.4B.2C.1D.-2

〉）））））））

5.（5分）設(shè)勾是兩個不共線的向量，已知/8=2%+卷2，CB=ei+3e2，CD=2e1-e2f若三點4,B,D

共線，則左的值為（）

A.-8B.8C.6D.-6

6.（5分）已知遞減等差數(shù)列｛斯｝,m，Q2024是方程7-2025%+2024=0兩個實根，當(dāng)斯=0時，n=（）

A.2026B.2025C.1012D.2

7.（5分）斐波那契是意大利數(shù)學(xué)家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列｛斯｝

滿足41=42=1，Q九+2=。九+1+ttn（7l6N*）,設(shè)1+43+45+07+09^---^。2023=。左，貝！1k=（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

/y212y2

8.（5分）已知橢圓Cl：—^+”=1（。1〉/?1〉0）與雙曲線。2：三—”=1（。2＞力2＞°）有相同的焦點尸1、/2，橢

妨a2b2

23

圓Cl的離心率為ei，雙曲線C2的離心率為e2,點尸為橢圓Ci與雙曲線C2的交點，且/尸1/＞尸2=條則一+一

3eie2

的最大值為（）

A.V7B.4V3C.4V3D.2^7

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的得

6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分。

（多選）9.（6分）若兩圓，+72=4和（x+2）2+（廠°）2=25相切，則實數(shù)a的值可以為（）

A.-V5B.-1C.V5D.3V5

（多選）10.（6分）已知S”是數(shù)列｛斯｝的前w項和，JL（73=4,an+an+\=3n+\,則下列命題正確的有（）

A.m=lB.qio=3OC.S99=7230D.Sioo=755O

第1頁（共12頁）

（多選）11.（6分）如圖，邊長為1的正方形4BCD所在平面與正方形48跖在平面互相垂直，動點N分別在

正方形對角線/C和8尸上移動，且CM=8N=磯0VaV或）,則下列結(jié)論中正確的有（）

2

B.線段AGV存在最小值，最小值為百

C.直線與平面ABE尸所成的角恒為45°

D.Vae（O,V2）,都存在過兒W且與平面8EC平行的平面

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）若拋物線f=4x上一點尸到其焦點的距離為4.則點P的橫坐標(biāo)為.

13.（5分）若兩個等差數(shù)列｛加｝,｛6成的前〃項和分別為4,且滿足,=-,則7――的值為.

14.（5分）已知直線口=已-2與曲線——1尸=|比|—1有兩個不同的交點,則實數(shù)人的取值范圍

是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.（13分）已知圓C：A^+y2-4x-4j+4=0,直線/：x+my-1-m=Q.

（1）求證：直線/恒過定點；

（2）當(dāng)加=1時，求直線/被圓C截得的弦長.

第2頁（共12頁）

16.(15分)已知橢圓C：第+*l(a>b>0)的左、右焦點分別為為，尸2,且經(jīng)過兩點/(2,0),B(0,1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若橢圓C上的點P滿足尸尸i，Pb2，求點尸的坐標(biāo).

第3頁(共12頁)

17.（15分）如圖1,在直角梯形488中，AD//BC,ABLBC,40=2,AB=1,BC=3,跖垂直平分40,分別

交AD、BC于點E、F,將四邊形■沿所折至四邊形B'FE（如圖2）,使得=

（2）求平面HCD與平面夕C〃夾角的余弦值.

第4頁（共12頁）

18.(17分)設(shè)正項數(shù)列｛斯｝的前〃項之和與=Ql+Q2+-,+斯，數(shù)列｛仇｝的前〃項之積Cn=bl歷…與，且—+Cn=L

(1)求證：｛4｝為等差數(shù)列，并分別求｛加卜｛m｝的通項公式；

cn

(2)設(shè)數(shù)列｛斯?與+1｝的前〃項和為S”不等式%-今對任意正整數(shù)〃恒成立，求正實數(shù)入的取值范圍.

第5頁(共12頁)

19.(17分)已知拋物線G：，=2?(p>0)焦點為尸，R為G上的動點，K(1,2)位于G的上方區(qū)域，且|附+|RF|

的最小值為3.

(1)求G的方程；

(2)過點P(0,2)作兩條互相垂直的直線人和/2，/1交G于4,8兩點，/2交G于C,。兩點，且N分別

為線段43和CD的中點.直線"N是否恒過一個定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，說明理由.

第6頁(共12頁)

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上期末數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.(5分)直線百久一y—3=0的傾斜角為()

7171712兀

A.-B.-C.-D.—

4633

TT

解：根據(jù)題意，直線bx-y-3=0,其斜率左=b，則該直線的傾斜角為3故選：C.

2.(5分)已知數(shù)列｛斯｝的首項的=1,即+i=j+l,則這個數(shù)列的第四項是()

an

111121

A.—B.—C.—D.6

7511

,999q711

解：’?,數(shù)列｛斯｝的首項=L6Z?+1=---F19???。2=j+1=3，。3=W+1=。4=至+1=可~.故選：B.

3.(5分)若△405的三個頂點坐標(biāo)分別為4(2,0),B(0,-4),O(0,0),則△405外接圓的圓心坐標(biāo)為

()

A.(1,-1)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-2,1)

解：-：A(2,0),B(0,-4),O(0,0),AZAOB=90°,?,.45為△405外接圓的直徑，

9?A(2,0),B(0,-4),.,.45的中點C的坐標(biāo)分別為：xc=-y-=1,yc=~2~=—2,

外接圓的圓心坐標(biāo)為(1,-2),故選：C.

4.(5分)若直線』與雙曲線十戶1有兩個交點，則.的值可以是(

D.-2

解：雙曲線二一產(chǎn)=1的實半軸長為2,直線與雙曲線二一/=1有兩個交點，可得。＞2或。V-2.

44

故選：A.

〉)))〉)))

2?12，3?2，

5.(5分)設(shè)G，勾是兩個不共線的向量，已知48=+卷CB=ei+CD=2e1-e2f若三點4,B,D

共線，則左的值為()

A.-8D.-6

解：由已知得CB-CD=？1+33一(2e1-⑦)=-？1+43，???三點45,。共線，，存在實數(shù)入使=

+ke2=+4e^)=—二,二解得左=-8.故選：A.

6.(5分)已知遞減等差數(shù)列｛斯｝,6Z1，Q2024是方程--2025x+2024=0兩個實根，當(dāng)斯=0時，n=()

A.2026B.2025C.1012

解：方程--2025x+2024=0的兩個根是1和2024,又等差數(shù)列｛斯｝遞減，m,及024是方程?-2025x+2024=0

兩個實根，則41=2024,42024=1，

數(shù)列的公差為d=缺差*=一1,所以12025=42024+4=1-1=0,故〃=2025.故選：B.

ZUZ41—1

第7頁(共12頁)

7.（5分）斐波那契是意大利數(shù)學(xué)家，他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列｛斯｝

滿足41=42=1，。九+2=an+l+斯（九EN*）,設(shè)1+03+05+47+09^---^。2023=四，貝（1k=（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

解：斐波那契數(shù)列｛斯｝滿足。1=〃2=1，Cln+2=an+l+?n（nG?*），

可得1+43+05+47+49+…+。2023=02+43+45+47+49+…+。2023=a4+as+aj+a^---HQ2023

=。6+矽+〃9+…+。2023=?=。2024=四，即左=2024.故選：C.

/y2%22

8.（5分）已知橢圓C1：三+S=IQ］〉/〉。）與雙曲線。2：三一71=有相同的焦點尸1、尸2，橢

23

圓C1的離心率為ei,雙曲線C2的離心率為e2,點尸為橢圓。與雙曲線C2的交點，且則一+一

3ei62

的最大值為（）

A.V7B.473C.4V3D.2近

解：設(shè)P為第一象限的交點，|尸乃|=加、|尸尸2尸小貝！|m+"=2ai、m-”=2a2,

解得加=。1+°2、n=ai-a2,在△尸尸1尸2中，由余弦定理得：cosNFiPF2=貯嘉義=熱

232

m2+n2,-mn=4c2,+的下+（%一做＞一（的+—a2）=4c2,底+3ag=4c2,1-+-=4,

1。*1O1r-"*"i

+—=4,由柯西不等式可得（--+—7）［22+（V3）2］三（-x2+—xV3）2=（一+一）2,

e

Ie2e/2切

+—＜2V7,當(dāng)且僅當(dāng)=展時等號成立,故選：D.

〃e?7受2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求。全部選對的得

6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

2

（多選）9.（6分）若兩圓/+產(chǎn)=4和（x+2）+（y-a）2=25相切，則實數(shù)0的值可以為（）

A.-V5B.-1C.V5D.3V5

解：圓（x+2）2+（y-a）2=25的圓心坐標(biāo)為（-2,a）,半徑長為5,圓/+）2=4的圓心坐標(biāo)為（0,o）,半徑

長為2,若兩圓相切，分兩種情況討論：當(dāng)兩圓內(nèi)切時，有，22+=5-2,解得a=士店，

當(dāng)兩圓外切時，有＞22+a2=2+5,解得a=±3*,綜上所述，實數(shù)。的值為士逐或±3*.故選：ACD.

（多選）10.（6分）已知S,是數(shù)列｛斯｝的前"項和，且。3=4,即+即+1=3〃+1,則下列命題正確的有（）

A.ai=lB.aio=3OC.S99=7230D.Sioo=755O

解：已知S〃是數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且的=4,劭+即+i=3〃+l,由斯+斯+1=3〃+1,得斯+1+斯+2=3〃+4,兩式相

減得即+2-即=3,故數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為公差為3的等差數(shù)列，

由〃2+。3=7,。3-。1=3,解得Q2=3,"1=1,4正確；410=42+4X3=15,5錯誤；

098=02+48X3=147,。99=。1+49義3=148,S99=5。（旬產(chǎn)9）+49@嚴(yán)8）=7400,C錯誤；

0100=^2+49X3=150,SIOO=S99+15O=755O,。正確.故選：AD.

（多選）11.（6分）如圖，邊長為1的正方形4BCD所在平面與正方形AB跖在平面互相垂直，動點跖N分別在

第8頁（共12頁）

正方形對角線/C和2尸上移動，且CM=BN=a(0VaV、反)，則下列結(jié)論中正確的有()

A.3aG(0,/)，使MN=*EB.線段MV存在最小值，最小值為二

C.直線九W與平面48EF所成的角恒為45°D.VaG(0,a),都存在過且與平面BEC平行的平面

解：因為四邊形48co正方形，故CBUB,而平面48cz>_L平面48￡尸，平面4880平面4BE尸=48,CBu平

—>—>____q

面ABCD,故C8_L平面ABEF,而3￡u平面ABEF,故CBLBE,設(shè)MC=A.AC,貝!]BN=ABF,其中4=負”。，1)，

由題設(shè)可得MN=MC+CB+BN=AAC+CB+ABF=A(BC-BA)+CB++BE)=(A-1)BC+ABE,

對于/,當(dāng)4=4即61=時，MN=—^BC+iBE=iCE,故4正確；

乙乙乙乙乙

—>11

對于B,MN?=(A-1)2+萬=2萬—2A+1=2(4—+2，

故|疝VI2孝，當(dāng)且僅當(dāng)4=去即a=孝時等號成立，故I疝Vkn=?，故3錯誤；

->—?->-?—>—>—>

對于C,由8的分析可得MN=(4-1)BC+4BE,而平面A8E9的法向量為BC,且MN-BC=(2-1)BC2=2-1,

故cos麗，盛=/"一七十此值不是常數(shù)，故直線VN與平面尸所成的角不恒為定值，故C錯誤；

V2A2-2A+1

->—>—>—>—>—>

對于。，由8的分析可得MN=(久一1)BC+4BE,故MN,BC,BE為共面向量，而MVC平面BCE,

故兒W〃平面3CE,故。正確.故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)若拋物線f=4x上一點尸到其焦點的距離為4.則點尸的橫坐標(biāo)為3

解：‘拋物線產(chǎn)=4x=2px,'.p—2,

由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，n=3=x+￥=4,，x=3

13.(5分)若兩個等差數(shù)列｛即｝,｛仇｝的前〃項和分別為4”B?,且滿足察=空斗，則??！的值為9.

Bn九+5b2+bQ

名刀kR?19(力1+69)22?4九3?1+1499Ag928

解：b2+b8=b1+b9=^^x^=^,----則'=5.?=5XR=9.

14.(5分)已知直線.=依-2與曲線J1—(y-=因—1有兩個不同的交點,則實數(shù)左的取值范圍是「2,

44

U2].

33

解：當(dāng)時,曲線Ji—(y—1)2=|%|—1即J1一(y-=x-L兩邊平方，整理得(x-1)2+(y-1)2

=1,表示以Ci(1,1)為圓心，半徑尸1=1的圓的右半圓；當(dāng)％<0時，曲線J1一(y—=|%]—1

第9頁(共12頁)

即Jl_（y_l）2=_X_1,兩邊平方，整理得（X+1）2+（廠1）2=1,表示以C2（-1，l）為圓心，

半徑廠2=1的圓的左半圓.直線fcc-y-2=0即7=履-2,表示經(jīng)過定點/（0,-2）、斜率為后的直線.

因此，直線--.-2=0與曲線Jl—（y—l）2=|x|-1有兩個不同的交點,就是直線fcc-y-2=0與兩個半圓組

成的圖形有兩個交點，當(dāng)直線fcr-y-2=0與右半圓。有兩個交點時，記點3（1,0）,

可得直線到圓心的距離小于半徑，且直線的斜率小于或等于的斜率，，羋具VI且左W趨B=［簪=2,解

Vfc2+10-1

4._4

得當(dāng)直線質(zhì)-廠2=0與左半圓C2有兩個交點時，同理解得-2W后V-全

3J

4A/.4

綜上所述，實數(shù)后的取值范圍是「VE2或-2W左〈一生即任［-2,-J）U2］.

3JJ3

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。

15.（13分）已知圓C：/+/-4x-4歹+4=0,直線/：x+my-1-m=0.

（1）求證：直線/恒過定點；（2）當(dāng)加=1時，求直線/被圓C截得的弦長.

解：（1）,直線/：x+my-1-m=0,可化為1-1+冽（廠1）=0,

由［;二］二;可得｛;二:，.??直線/恒過定點（1,1）.

(2)當(dāng)機=1時，直線/：x+y-2=0.圓C：/+產(chǎn)-4x-4y+4=0化為(%-2)2+(y-2)2=4,

|2+2-2|

半徑r=2,圓心C（2,2）.圓心。到直線/的距離

V1+1

直線/被圓C截得的弦長為23一=274^2=2V2.

16.（15分）已知橢圓C：|+胃=l（a>b>0）的左、右焦點分別為尸1，尸2,且經(jīng)過兩點/（2,0）,B（0,1）.

（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C上的點尸滿足尸乃，「尸2,求點尸的坐標(biāo).

41

解：（1）因為橢圓C經(jīng)過/（2,0）,B（0,1）,則葭=1,正=1，解得片=4,b1=\.

所以橢圓C的方程為丁+/=1.

4

（2）由（1）知%（—遮，0）,F2（V3,0）,假設(shè)橢圓。上存在點P（xo,泗），使得尸歹i_L尸方2,

-?—>_

則p?2=(一遍一％°，—y°),(遮一％°，-yo)=。，即就+%=3,

聯(lián)立?以2'解得說=苧，yl=1-當(dāng)%0=孚時，出=±孚當(dāng)久0=一竽時，%=士乎

3+即=1'

所以橢圓。上存在點尸使得尸尸ILPR,點尸坐標(biāo)為噂）或-孚）或孚）或

第10頁（共12頁）

17.(15分)如圖1,在直角梯形488中，AD//BC,ABLBC,40=2,AB=1,BC=3,跖垂直平分40,分別

交AD、BC于點E、F,將四邊形■沿所折至四邊形B'FE(如圖2),使得=

(1)求證：CDLA'E-,(2)求平面HCD與平面夕CD夾角的余弦值.

解：(1)證明：因為HE=DE=\,AD=五,所以HE2+DE2=A'D2,所以ELDE,

又A'E1EF,且DE,EFu平面CDE凡所以E_L平面CDE廠,

又CDu平面CDEF,所以CDVA'E.

(2)因為HE,EF,ED兩兩垂直，所以以E為坐標(biāo)原點，EF,ED,EA'所在直線分別為x軸、>軸、z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則￡(0,0,0),A'(0,0,1),D(0,1,0),C(1,2,0),B'(1,0,1),

-一-一

所以DA'=(0,-1,1),DC=(L1,0),C8'=(0,-2,1).設(shè)平面HCD的一個法向量m=(x,V，z),

則ml叫^\m-DA=-y+z=0令尸=貝h=7,,茄

!z=11,1,1),

—>TT

'"m1DCym-DC=x+y=0

(TTT

n1DCn?DC=a+b=0

設(shè)平面2,CD的一個法向量為￡=(a,b,c),則—>

T,則T

CB，、n-CB/=-2b+c=0

令6=1,則a=-l,c=2,n=(-1,1,2),所以cos(就，n)=\

|m|-|n|

2A/2

故平面HCD與平面夕CD夾角的余弦值為亍.

18.(17分)設(shè)正項數(shù)列｛即｝的前〃項之和方=Q1+Q2+…+斯，數(shù)列｛a｝的前〃項之積Cn=6仍2…與，且6〃+Cn=l.

(1)求證：｛占｝為等差數(shù)列，并分別求｛斯｝、｛瓦｝的通項公式；

Cn

(2)設(shè)數(shù)歹U｛斯坨〃+1｝的前力項和為不等式%>,+4-今對任意正整數(shù)"恒成立，求正實數(shù)入的取值范圍.

Cn

(1)證明：由Cn=bg2…6”,知當(dāng)〃》2時，bn—,代入6"+Cn=l,得~~+C—1,

Cn

n-1Cn_i

=1.再由41：C1解得6]=C1=J,可得｛^｝是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列，

cnCn-r1^1+Q=1乙Cn

第11頁(共12頁)

.?..=n+l,cn=~^,6n=1-cn=舟，當(dāng)"22時，an=%_*-1=舟_?=^^，

11

當(dāng)〃=1時，求得。1=5也符合上式，故