2024-2025學(xué)年江西省南昌市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合”={小2-3》-4<0}5={x||x|>l,xeZ}；則/口8=（）

A.{T23}B.23}C.{-3,-2}￡）{-3,-2,0}

2.若z=l+i,則歸+3z|=（）

A.4石B.4上C.2石D.2亞

3.已知向量"在滿(mǎn)足'=（3"）,“=（2，T）,則向量B在向量&方向上的投影向量為

4.是“（。_1）（"2）<0,,

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件.

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.?,夕是兩個(gè)不同的平面，加，〃是兩條不同的直線，則下列命題中真命題個(gè)數(shù)為

）

①若機(jī)〃〃，a〃0,則機(jī)與。所成的角等于〃與4所成的角；

②若加ua,〃ca=N,Aim,則比與〃是異面直線；

③若加ua,nu/3,a〃°,貝|加〃〃；

④若a_L〃，a[\[3=m；n±m(xù),貝|〃_La.

A.1B.2C.3D.4

71

f（x）=8cosx-0+—cosx-0--+20<0<—X二一

6.已知函數(shù)I3JI3JV2J的一條對(duì)稱(chēng)軸為6,

且在區(qū)間1°用上值域?yàn)椤?,4],則實(shí)數(shù)/的最大值為（

71

生27r女

A.6B.5C.12D.1

/力=:

7.在銳角V/8C中，內(nèi)角48C的對(duì)邊分別為a,b,c,3,。為其外心.若

COSBCOSC-―^1~77\

-----AB+------AC=----mAO

V/2C外接圓半徑為尺，且cb2R則加的值為（）

V3

A.1B.GC.2D.4

f(x)=x——(x豐0)

8.函數(shù)x'"的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱(chēng)為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)

fc\c_i^-=/(?)(?eN,?>2)(3

美的雙曲線.在數(shù)列好/中，0「I,0”，記數(shù)列沁)的前”項(xiàng)積為十,

數(shù)列的前〃項(xiàng)和為邑，則()

二、多選題(本大題共3小題)

9.設(shè)數(shù)列｛%｝,3"｝的前"項(xiàng)和分別為S",T”,則下列命題正確的是()

A.若―=24*),則數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

B.若b,"2b”(ncN*),則數(shù)列也｝為等比數(shù)列

C.若數(shù)列值｝是等差數(shù)列，則%邑“-5“，S3n-S2n……(weN*)成等差數(shù)列

D.若數(shù)列也｝是等比數(shù)列，則％,工一月,凡一汽……(”eN*)成等比數(shù)列

8

10.在直三棱柱N'C-4c中，ZBAC=9Q°,AB=AC=AA[=2^瓦廠分別是

8C,4G的中點(diǎn)，。在線段及G上，則下面說(shuō)法中正確的有()

A.即〃平面初取

B.若。是與G上的中點(diǎn)，則8。，斯

275

C.直線即與平面NBC所成角的正弦值為甘

372

D.直線2。與直線即所成角最小時(shí)，線段BD長(zhǎng)為丁

11.已知函數(shù)/（x）=Q-"）2（'一"）（"<0）,2為/（X）的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有

（）

A.。=2

B.若4為函數(shù)一（X）的極小值點(diǎn)，則6=4

（攻J[-+°°]

C.若/（X）在匕’1內(nèi)有最小值，則b的取值范圍是S'0°J

D.若/6開(kāi),=。有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則b的取值范圍是6,+°0）

三、填空題（本大題共3小題）

>1

12.已知數(shù)列"J滿(mǎn)足%=3a

n，則出024=

2z?Gcos70°+isin70°)

13.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足cos140°+isin140°一\則復(fù)數(shù)z的輻角的主值是

b-1

14.已知函數(shù)/（x）=xe-x-加,+”>0）,若/（x）20對(duì)xeR恒成立，則丁最大值

為.

四、解答題（本大題共5小題）

__9

15.已知數(shù)列｛"J的前"項(xiàng)和為‘"，"'-4,且4S"+I=3S“-9.

⑴求數(shù)列｛“J的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列也｝滿(mǎn)足沌+（〃-4）4=0,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為4.

r,八百?D

,「「a,b,c,bcosC------csinn=a

16.在V/8C中，角4民°的對(duì)邊分別為3

⑴求3;

（2）已知6=6,2D為//2C的平分線，交AC于點(diǎn)、D,且即=百，"為線段上一點(diǎn),

AM=-MC

且2,求ABDW的周長(zhǎng).

2,2?7Z

C:j+4=l(a>6>0)P1萬(wàn)

17.橢圓ab2經(jīng)過(guò)點(diǎn)I且兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)

成一個(gè)正方形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)14九過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)尸作直線/交C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：兒必是否

為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.己知函數(shù)〃X)=X2-M+21nx(”R).

(1)若〃x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若4<機(jī)<5,且“X)有兩個(gè)極值點(diǎn)*居，其中王<X2,求/(再)-/(%)的取值范圍.

19.對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列令，=%+°用，則數(shù)列也｝稱(chēng)為數(shù)列｛""｝的一階和數(shù)

列，再令￡，="+6用，則數(shù)列｛'”｝是數(shù)列｛""｝的二階和數(shù)列，以此類(lèi)推，可得數(shù)列

｛"J的p階和數(shù)列.

⑴若｛""｝的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且％=°,"2=1,。3=°,%=3,求％;

(2)若%=",求｛"/的二階和數(shù)列的前n項(xiàng)和；

(3)若包｝是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，也｝是"J的一階和數(shù)列，且3al<2%，

%+4+…+%=1000,求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)｛""｝的公差.

答案

1.【正確答案】B

【詳解】由/-3x-4<0可得T<x<4,所以，={RT<X<4},

由國(guó)>1可得X>1或X<-1,且xeZ,

所以4cB={2,3},

故選：B.

2.【正確答案】C

【詳解】因?yàn)閦=l+i,則匕+3z=i（l+i）+3（l+i）=-l+i+3+3i=2+4i

因此|iz+3z|=@+42=2指.

故選：C.

3.【正確答案】A

［詳解］由@=（3M）,3=（2,-1）得展B=3x2+4x（-l）=2,同=5,

a-ba__2（3,4）

則向量B在向量1方向上的投影向量為同同55

故選：A.

4.【正確答案】B

【詳解】由（"1）（"2）<0得

由。<2不能得至IJ如。=0；

反之，1<"2一定有。<2；

“a<2?是“（。一1）（。-2）<0?的必要而不充分條件.

故選：B.

5.【正確答案】B

【詳解】對(duì)①，結(jié)合異面直線所成角的定義，因?yàn)閙//n,所以加與。所成的角等于

”與。所成的角，而&〃夕，于是加與々所成的角等于〃與力所成的角，故①正確；

對(duì)②，根據(jù)題意m"既不平行也不相交，故m〃異面，所以②正確;

如圖，在正方體力2c°-44G2中，若。為平面/BCD,分為平面44cl4,取比為

ABCD,〃為4G,顯然異面，所以③錯(cuò)誤；

若。為平面/8C。，4為平面片4,則機(jī)為取力為BC,則，zua,所以④錯(cuò)誤.

故選：B.

6.【正確答案】D

icos(x-0)-^-sin(x-0)；cos(x-(9)+gsin(x-e)+2

/(x)=8

i3

/(x)=8—cos2(x-6))--sin2(x-6))+2=cos[2(x-8)]+1-3+3cos[2(x-6)]+2

/(x)=4cos(2x-20)；因?yàn)楹瘮?shù)〃x)的一條對(duì)稱(chēng)軸為了一%,

2x2-2。=而，左eZO=---,keZ

所以6，即62,

0＜。＜四°」"X)=4COS(2X-M

又因?yàn)?,所以6,所以I3九

2x--e

當(dāng)xw[0,<|時(shí),3一行芍

因?yàn)楹瘮?shù)“X)在區(qū)間[°用上值域?yàn)榭?],

0<2t--<--<t<-

所以33,解得63,

所以實(shí)數(shù)才的最大值為3.

故選：D

7.【正確答案】B

AB-AO=-\AB^=-c2AC-AO^Uc^=-b2

【詳解】由題意可知21?2,21?2

COSB---zCOSC1-T7：2

--------ABAO+---------AC-AO------mAO

cb2R

cos512cosC1,1八2

----------c+-----------b2=-----mR

c2b22R

sin4

sinCcosB+sinBcosC=sinA=m--------

ccosB+bcosC=mR,2sin4

sin4=一加

2/.m=2sin60°=百

故選：B.

8.【正確答案】A

n_n

[詳解]由題意可得：C""2-1("+1)(〃-1),(〃N2),

[23.n-1n

lx-----x------xLx-------------x-----------------

3x14x2+

則

n2n2〃+1-121】

3x4x5xLx(九+1)(幾+1)!(〃+l)!n\(〃+l)!

1會(huì)一品?<2

S-T1+T2+\_+T=21------1-----------FLH------.、

〃12〃[2!2!3!n\(〃+l)!

可得

又因?yàn)樽瑁秊檫f增數(shù)列，且邑一3,

-<S<2

所以當(dāng)n>2,可得3

故選：A.

9.【正確答案】AC

【分析】對(duì)于A,C,利用等差數(shù)列的定義判斷即可，對(duì)于B,D,通過(guò)舉反例判斷

【詳解】解：對(duì)于A,由等差數(shù)列的定義可知當(dāng)時(shí)，數(shù)列｛%,｝為等

差數(shù)列，所以A正確；

對(duì)于B,當(dāng)4=°時(shí)，滿(mǎn)足"+|=26”（〃€抹），但數(shù)列也｝不是等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，數(shù)列自力的前〃項(xiàng)和為s“，

2

S2n-Sn-Slt=2na,+2"（2"Dd-2[nat+""Dd]=nd

則一22

53?-52?-（S2?-Sn）=S3?-252n+S?

2w212

=3叫+3*T）、_2[2?a1+（?~）+叫+”（<=nd

所以53._52“_（邑._5,）=（邑"_5.）_5",所以S",S[K-S",*S3?-S2n...（〃eN）成等差

數(shù)列，所以C正確；

對(duì)于D,當(dāng)?shù)缺葦?shù)列也｝的公比4=T,〃為偶數(shù)時(shí)，T,,m,

T

&一&……M'*）均為零,所以Ju-Tn,&一&……（〃eN*）不成等比數(shù)列，所以

D錯(cuò)誤，

故選：AC

10.【正確答案】ACD

【分析】由題意寫(xiě)出空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用而與平面法向量的數(shù)量積等于零

可判斷A；根據(jù)麗?麗可判斷B；求出平面/8C的一個(gè)法向量，利用空間向量數(shù)量積

求線面角可判斷C；利用異面直線所成角的空間向量求法可判斷D.

【詳解】由題意可得/（°，°”3（2，。，。）,。（。，2,。）,BQ,0,2）,

G（0,2,2）,￡（1,1,0）；尸（0,1,2）,設(shè)。（x,2-x,2）,

=（-1,0,2）麗=（x-2,2-x,2）

直三棱柱ABC'48c中，ABAC=90°,

可得就為平面44H田的一個(gè)法向量，

為平畫(huà)/8C的一個(gè)法向量，

對(duì)于A,就=（020）,EF.AC=0,

即跖工/C,又平面所以跖//平面//田田，故A正確；

對(duì)于B,若D是用G上的中點(diǎn)，則（TL2）,

所以而?前=1+4=5,所以即與臺(tái)。不垂直，故B不正確；

對(duì)于C,由"4為平面N8C的一個(gè)法向量，/4=（0，。，2）,

設(shè)直線即與平面NBC所成角為0,

對(duì)于D,設(shè)麗=彳祐=（一24240）,（0<2<1）

則麗=函+麗=（_2九2彳,2）

:麗衣=22+4

BD-EF2+彳_____1

阿同一/x也分+i一右1上_勺+2

VU+23J9

341__

.??當(dāng)二5一§時(shí)，即時(shí)，c°s（3。，即）取最大值,

即直線與直線環(huán)所成角最小，此時(shí)

，忸斗|麗卜孚

故D正確.

故選：ACD

11.【正確答案】AD

［詳解］對(duì)于A,/9)=2(x—a)(x—b)+(x-a)2=(x—a)(2x-2b+x-a).

a+2ba+2b

=(x-a)(3x-a-2b')f(x)=O貝ijx=q或3,而。<6,貝(J“<3

a+2ba+2b

令『(x)>。，得x<a或x<3；令/'(x)<。，得"<x<3；

(a+2b\(a+2b

/(x)在(一°0，。)單調(diào)遞增，31單調(diào)遞減，［3'單調(diào)遞增，

'/(x)的極大值點(diǎn)為。，，"=2,A對(duì).

2+26,

--------=4

對(duì)于B,若4為極小值點(diǎn)，則3,則6=5,B錯(cuò).

2+26.2+26

對(duì)于C，（x）在匕’1內(nèi)有最小值，則〃無(wú)）在一二處取得最小值I3

"x)=(x一2)2(1)/用

即*"皿,引彳力

8

0-3力心2）「\,故,錯(cuò)誤.

對(duì)于DFGA"4有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，/（2）=0,

則I3J,故6>5,故D正確;

故選：AD

12.【正確答案】V2-1/-1+V2

a“T，%>l

ani

+一,0<%<K)

【詳解】因?yàn)?=血

an

%=V2,a2=V2—1,6Z3=—J—=V2+1,6Z4=V2,a5=V2—1,6Z6=V2+1,???

所以J2—1

所以4+3=%,數(shù)列的周期為3,所以電024=%(674+2=%=夜-1.

故答案為.也T

13.【正確答案】75°

2z-(-cos70°+isin70°)

【詳解】由cos140°+isin140°,

2z-(-cos70°+isin70°)「,o。、

———%------------^=V2(cos45+isin45)

可得：cos140+isin140'7

(cos140°+isin140°)(cos45°+isin45°)

即-cos70+isin70

行(cos140°+isin140°)(cos45°+isin45°)

cosllO°+isinll0°

_cos185°4-isin185°

cos110°+isinll0°,

z=(cos75°+isin750)

復(fù)數(shù)z的輻角的主值是75°.

故75

1

14.【正確答案】e2

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，a)=(e'-a)(x-b),

若/(x)=(e、-a)(x-b)20,當(dāng)xNlna時(shí),恒成立，所以bNlna,

當(dāng)x<lna時(shí)，xWb恒成立，所以641na,所以6=lna；

lnx-11-(Inx-1)_2-lnx

設(shè)g(x)=g'(x)==0

xX2X2x=e2

當(dāng)0<xve?時(shí),g'G)>o,gG)是增函數(shù)

當(dāng)X>/時(shí)，g'(x)<0,g(x)是減函數(shù)

Ine2-11

則g(x)a

e2e2

1

故e"

3

°”=-3?nNl,nsN*)

15.【正確答案】(1)

〃+1

3

Tn=-4?-

(2)

【詳解】(1)解：由4si=3S〃-9

得4s“=3S,T_9(〃N2)

%+i_3

兩式相減得4〃向=3%,即%4

9

a]44(〃]+&)=3%-9

因?yàn)?/p>

27

%

所以16,

a2_3

所以.14,

93

所以數(shù)列｛"J是以一W為首項(xiàng)，以兄為公差的等比數(shù)列,

3

a=5一4>

（2）由（1）知：

33

北=—372?I+…4)

所以4

0+1

3I-2.3I-1-3I+…+(〃-4)3

-Tn=-3.

則4

2n+\

J_丁__3.333「（”4）G

+

兩式相減得a”I+

n-\

93

1-n+\

9163

一一+一——(n—4)-

43

n+ln+\

=_"4I-4)3

44

n+1

3

=-n?

“+i

3

所以

2兀

16.【正確答案】（1）3；

（2）3+5

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得；

（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出%c,可知V/2C為等腰三角形，然后

結(jié)合已知即可得解.

V3.y/3..

bcosC------csinB二asinBcosC------sinCsinB=sin/

【詳解】(1)3,3

/.sinBcosC———sinCsinB=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC

sinCsin5=cosBsinC

V3

/.——sinB=cosBr

.「sinCwO,V3,tan8=-j3,

-B=—

又、"《（。，兀），3

s=—NABD=NCBDJ

(2)因?yàn)锽D為-3C的平分線，3,所以3,

又S"8c=S“ABD+S、CAD,BD=#),

1.21/T.K1/T.71

—Qcsm—兀=—osin—+—a3sln一

所以232323,

即ac=VJ(a+c),①

b2=a2+c2-2accos-/嗔么

由余弦定理，得3,即（4+ca）2-ac=36,②

由①②可得。+，=46（舍去負(fù)值），ac=12,

所以a,c是關(guān)于x的方程x2-4?x+12=°的兩個(gè)實(shí)根，解得a=c=2上

又因?yàn)锽D為-NBC的平分線，所以BD1AC,

AM=-MC

又2,AC=6,

所以DW=-=3-2=1,BM=^BD~+DM2=2,

所以ABDM的周長(zhǎng)為3+V3

----1-）2=1

17.【正確答案】（1）2；

iunuun7

MA-MB=——

⑵16.

【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓°的兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形，該正

方形的邊長(zhǎng)為a

2

兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為2b、2c,則6=c,所以，a=^b-+c=^bt

22

x1-T

所以，橢圓C的方程可表示為2/b2,、

1

?2:4

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得2/b2,可得6=1,貝1］々=力，c=l,

X22?

——+V=1

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2

/伊,0）

（2）解：當(dāng)直線,與x軸重合時(shí)，則A、B為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，不妨設(shè)

BRRO）

貝嚴(yán)=如河MB=(-42--,O\MA-MB=-2=-—

I4A此時(shí)⑷16；

易知點(diǎn)當(dāng)直線/不與X軸重合時(shí)，設(shè)直線/的方程為x=，利+1,設(shè)點(diǎn)/（再，弘）、

8區(qū)％),

(x=my+1

聯(lián)立12+2/=2,可得(/+2)西+2〃沙-1=0,A=W+4(?2+2)=8(/?2+l)>0

2m1

,+>2=——7,歹2=——7

由韋達(dá)定理可得^+2,"+2,

加必一；，必X2—：/2加％一;，%

研一;+M%=("『+機(jī)(

MA-MB=孫廿1)%%-1M+%)+￡

-(m2+1)+:m?2m彳"+2）

117

+—=+—=

m2+216m2+21616

uunuun7

MAMB=——

綜上所述，16

0,*41n2

18.【正確答案】（1）加《4；（2）

【詳解】（1）/（、）的定義域?yàn)椋?。?8）,

V“X）在（0，+8）上單調(diào)遞增，

22

/Yx)=2x-m+—>0m<2x+—

X在(。,+8)上恒成立，即X在(0,+8)上恒成立,

2I2

2x+->2J2x—=4

又X、X，當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)等號(hào)成立，

m<4.

22x2-mx+2

f\x)-2x-m+—=

(2)由題意xx

/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)占戶(hù)2,

???匹"2為方程2/T〃X+2=°的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

m

由韋達(dá)定理得一2,尤「尤2=1,

..0<X<x?0<X<1<

?29??14，

m=2(xt+x2)=2(xj+—)e(4,5)-1<X1<1

又否，解得2,

mx2

./(芭)一/(工