2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)

檢測試卷

注意事項

考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,若經(jīng)過"（九2）,'（L2"T）兩點的直線的傾斜角為135。,則冽=（）

4

A.—4B.—2C.—D.2

3

【正確答案】D

2加_1_2

解析：---------=tanl35°=-1,故2加一3=加一1,解得加=2.

1-m

故選：D

2.若直線4：x—2y+l=0與4："+?！?。）＞+1=0平行，貝（I。=（）

12

A.—1B.—C.—D.2

33

【正確答案】A

解析：由題意可得：1一a=—2。，解得a=—1,

若a=—1,則直線4：x—2y+l=0、/2:X-2J-1=0,兩直線平行，

綜上所述.a=-1

故選：A.

3.已知數(shù)列｛4｝滿足%+i=（—且4=1，則。6=（）

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】C

解析：因為a“+i

令〃=2,可得％=。2+1=2；

令〃=3,可得％=-%+1=-1；

令〃=4,可得45=&+1=0；

令〃=5,可得。6=—。5+1=1；

故選：C.

4.已知等差數(shù)列｛為｝的首項為10,公差為-2,則數(shù)列｛4｝的前〃項和的最大值為()

121

A.——B.30C.80D,不存在

4

【正確答案】B

解析：由題意可知：%=10—2(〃—1)=12—2〃，且數(shù)列｛冊｝為遞減數(shù)列，

當(dāng)〃《5時，%>0；當(dāng)〃=6時，%=0；當(dāng)〃27時，%<0；

所以數(shù)列｛冊｝的前〃項和的最大項數(shù)為5或6,最大值為S5=5%=30.

故選：B.

22

5.已知雙曲線C：+—3=l(a>0/>0)的離心率為2,一個焦點在拋物線產(chǎn)=12X的準(zhǔn)線

上，則C的頂點到漸近線的距離為()

AB.-C.-D.3

422

【正確答案】A

解析：由題意可知：拋物線/=12x的準(zhǔn)線為x=-3,

則(—3,0)為雙曲線的焦點，即C=3,

c3

又因為離心率為e=—=2,可得a二—

a2

取漸近線為了=瓜，即瓜—y=0,取頂點為0

V3x--0

所以°的頂點到漸近線的距離為〃=2一空.

A/3+T一丁

故選：A.

6.如圖，是某心形二次曲線C,則。的方程可能為(

B.x2+y2+\x\y=l

C.x2+y2-x|j|=1D.x2+y2+x\y\=l

【正確答案】A

解析：顯然圖象關(guān)于y軸對稱，即把x換成-x方程不變，可知CD錯誤;

對于B：令x=l,可得;/+7=0,解得＞=-1或y=0,不合題意;

故選：A.

22

7.已知橢圓C：工+土=1的一個焦點是尸，過原點的直線與。相交于點A,B,b的

4520

面積是20,則()

A.5B.5A/2C.D.10

3

【正確答案】D

解析：由題意得C?=45—20=25，故c=5,故|。9|=5,

因為AAS廠的面積為20,所以A/。尸面積為10,

設(shè)“乙,乙),則曰明憶|=10,解得周=4,

22

將同=4代入C：/X=l中得叼=3,

故|。4|="2+32=5,則|/目=2|。4|=10.

故選：D

8.已知上W是圓=4的一條弦，ZMON=60°,P是跖V的中點.當(dāng)弦W在圓

。上運動時，直線/：＞=x-4上總存在兩點48,使得N4P8為鈍角，貝的取值范圍

是()

A.(0,4逝-2百)B,(4^/2-273,+oo)

C.(0,472+273)D.(472+273,+^)

【正確答案】B

解析：由題意可知：圓0:x?+V=4的圓心為。(0,0),半徑R=2,

因為/AfON=60°,則=Rcos30°=若，

可知點P的軌跡是以。(0,0)為圓心，半徑r=G的圓C,

設(shè)48的中點為E,

因為N4P8為鈍角，可知以48為直徑的圓E與圓C相交，

且。(0,0)到直線/：x—y—4=0的距離d=±=2也，可知|OE|2d=2j5,

以外切為臨界，可得QE|=G+；|4B|,可得|48|=2|。用—2624拒—26,

若使得存在兩點48,滿足題意，則|48|〉4行-2君，

所以|AB|的取值范圍是卜亞-2+句.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9,下列結(jié)論正確的是（）

A.直線的傾斜角的取值范圍是［0,可

B.斜率之積為-1的兩直線相互垂直

C.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為-1

D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線

【正確答案】BD

解析：對于A：直線的傾斜角的取值范圍是［。,時，故A錯誤；

對于B：斜率之積為-1的兩直線相互垂直，故B正確；

對于C：例如直線＞=2x,此時在兩坐標(biāo)軸上截距均為0,相等，但斜率不為-1,故C錯誤;

對于D：直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線，故D正確；

故選：BD.

10.下列四個命題中，正確的是（）

A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點

B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點和準(zhǔn)線

C.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點

D.要唯一確定以坐標(biāo)原點為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個焦點

【正確答案】ABD

解析：對于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；

對于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點和準(zhǔn)線即可確定拋物線，故B正確；

對于C：給出兩點不能確定橢圓，例如給定長軸頂點，此時橢圓有無數(shù)個，故C錯誤；

對于D：因為中心為坐標(biāo)原點，若給出一條漸近線和一個焦點，

可以求出a,b,c,且可以確定焦點位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；

故選：ABD.

11.設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為則數(shù)列｛4｝為常數(shù)列（各項均為同一個常數(shù)的數(shù)列）的一

個充分條件是（）

A.Sn=nB.S“+i=Sn+l

C.Sn=nanD.S.+1=2S“—aA=a2

【正確答案】ACD

解析：A選項，當(dāng)〃=1時，?1=1,當(dāng)“22時，an=Sn-5n_!=n-n+l=l,

故｛%｝的通項公式為%=1,為常數(shù)列，故A正確；

B選項，an+1=Sn+1-Sn=1,n>l,不妨設(shè)%=0,則此時｛冊｝不為常數(shù)列，B錯誤；

C選項，Rm=("+1)為+],Sn=nan,兩者相減得%+i=(〃+l)a“+i—,

故"%+i=nc1n,即an+l=an,故｛an｝為常數(shù)列，故C正確；

D選項,“22時，Sn+l=2Sn—S"_]=>Sn+l-Sn—Sn—5n_1,即an+l-an,

又見=4，故%+i=%,在1上恒成立，｛an｝為常數(shù)列,故D正確；

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知圓。：&-1丫+(y-2)2=4,試寫出一個半徑為1,且與X軸和圓C都相切的圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程：.

【正確答案】(X-+(了-1)2=1(答案不唯一，符合題意即可)

解析：因為圓。：&-1丫+(v-2)2=4的圓心為C。,2),半徑八=2,

設(shè)所求圓的圓心為M(a,則網(wǎng)=1,

且|MC卜JQ-I/+。-2)2=]或JQ-I/+。-2)2=3.

若6=1，\MC\=荷-I：+。-2)2=1，解得a=l,

可得圓心為(1,1),所求圓的方程為(X-1)2+(y-l)2=1;

若6=-1,JQ-球+。-2丫=1，無解，不合題意；

若6=1,阿牛JQ-1)2+2)2=3,解得0=1+2&或°=1-2虛，

可得圓心為(1+2后,1)或(1—2行,1),

所求圓的方程為(x—1—2行了+(7—1)2=1或(％—1+2亞丁+(y—=1；

若方=—1，|〃C|=JQ-1)2+6-2)2=3,解得0=1，

可得圓心為(1,T),所求圓的方程為(x—以+(y+1)2=1；

^(x-l)2+(j-l)2=1(答案不唯一，符合題意即可).

13.定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個

常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛%｝是等和數(shù)

列，a5=-l,/o=8,則公和為.

【正確答案】7

解析：由題意可知：an+an+l=A(公和)，則%+1+/+2=4

可得%=%+2，可知數(shù)列｛%｝是以2為周期的周期數(shù)列，

可得牝=。1=-1，%()=。2=8,所以公和4=%+g=7.

故7.

14.已知拋物線C:》2=4y的焦點為R，。為圓—5)2=4上的動點，點40,4),

QA....1..

則\加\=;若P為。上的動點，則|尸丹+|「。|+:。制的最小值為.

【正確答案】①.-##0.5②.5

2

解析：由題意可知：拋物線C：/=4y的焦點為F(l,0),準(zhǔn)線為y=-1,

設(shè)Q(x,y),圓—5)2=4,即為/+.，=1()了一21,

因為|Q4|=^QF\，則「司+\PQ\+1|2F|=|PF|+\PQ\+\QA\>\PF\+\AP\,

當(dāng)且僅當(dāng)4Q,P三點共線時，等號成立，

設(shè)點P到準(zhǔn)線y=-l的距離為d,

則盧丹+[/日=4+|/日》5,當(dāng)且僅當(dāng)P為坐標(biāo)原點。時，等號成立，

綜上所述：|產(chǎn)盟+|「。|+。|。升25,

當(dāng)且僅當(dāng)P為坐標(biāo)原點。，。為(0,3)時，等號成立，

所以|PF|+|PQ|+T°F|的最小值為5.

41

故一；5.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，過點7(3,0)的直線/與拋物線C：「=3x相交于點A,B.

(1)若直線/的斜率為1,求|明;

(2)求證.CULQB

【正確答案】(1)3V10

(2)證明過程見解析

【小問1解析】

直線/的方程為V=x-3,

聯(lián)立C:/=3x得9x+9=0，

=

設(shè)A(xi，yi),B(X2，y2)>則xl+x2-9,XjX29，

貝平卻=Vl+FXJa+J-4再％=V2xV81-36=3A/10；

_匕____L_____［小問2解析］

當(dāng)直線/的斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，

設(shè)直線/的方程為x=3+（y,

與C:/=3x聯(lián)立得3夕-9=0,

設(shè)4（孫月）,8（＞2/2），則M+y2==-9,

則再%=（3+加1）（3+勿2）=9+3/（必+%）+/％歹2=9+9/2_%2=9,

故OAOB=xtx2+必為=9-9=0,

故。4LQB.

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,，叼=4，風(fēng)=30.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

C

（2）記％=—,〃eN*，若4，"，打成等差數(shù)列，求c并證明｛"｝為等差數(shù)列.

n+c

【正確答案】（1）%=2〃

（2）c=0,證明見解析

【小問1解析】

已知出=4,根據(jù)等差數(shù)列通項公式an=%+（〃-l）d可得出=%+d=4.

又因為S5=30,根據(jù)等差數(shù)列前〃項和公式S,。=〃％+以，

5x4

可得S5=5%=5q+10（7=30,即％+2d=6.

e+d=4

聯(lián)立方程組〈C7,，可得（為+2d）—（/+d）=6—4,即d=2.

q+2d=6

將d=2代入％+d=4,可得q=2.

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=2+（〃-1）x2=2〃.

【小問2解析】

由q=2,d=2,

可得S,=2n+^—~—x2=+〃.

2

所以〃=上」=或±1

n+cn+c

因為4,b2,4成等差數(shù)列,則29=4+4.

_耳_%_2

1-1+。-1+。-1+。.

b二S2二22+2二6.

22+。2+c2+c

S32+312

"7二一3—=-----=-----.

3+c3+c3+。

.c6212“口

故.2x----=------1-----解得c=0.

2+c1+c3+c

2

當(dāng)c=0時，b=-----=〃+1.

nn

-d=5+1+1）-5+1）=1，為常數(shù).故｛?。秊榈炔顢?shù)列.

17.己知尸為圓M:（X+1）2+/=16上任意一點，點N。,0）,線段PN的垂直平分線與PM

交于點。，記點。的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）過點N作直線/（與x軸不重合）與C相交于點。，E,直線/與歹軸交于點8,

BD^EN＜求/的方程.

22

【正確答案】（1）土+匕=1

43

（2）V3x±2j-V3=0

【小問1解析】

由題意可知：M:（X+1）2+J?=16的圓心為"（-1,0）,半徑為4,S.\QP\=\QN\,

則|。叫+\QN\=\QM\+\QP\=\PM\=4>2=\MN\,

可知點Q的軌跡是以",N為焦點的橢圓，則°=2,c=1,b=yJa2-c2=G，

22

所以C的方程為二+匕=1.

43

【小問2解析】

因為點N（l,0）在橢圓內(nèi)部，可知直線/與橢圓必相交,

設(shè)直線/:x=my+l（加w0）,。（國，%）,￡（%2,%），則80,

m

x=my

聯(lián)立方程（x2，消去*可得（3??+4）/+6w一9=0,

143

e6m9

則%+%=一,2「，必為=、2>'

3m+43m+4

又因為3Z>=卜1/1+\；加=（1一/，一%），

若BD=EN，則乂■1—--%，即%+%=---，

mm

可得67=—工,解得加=±漢1,

3m+4m3

所以/的方程為x=±j+1，即J§x±2y-G=0.

18.己知等軸雙曲線「：--￡=1(?！?北〉0)的左、右焦點分別片，與，且焦距為2行，

48分別是「在第二象限和第一象限上的一點，且4F；〃8片.

(1)求:T的方程；

(2)若直線的斜率為:，求直線2片的斜率；

(3)若四邊形2片￡8的面積為2指，求直線/片的方程.

【正確答案】(1)X2-/=1

(2)3(3)V3x±v+V6=0

【小問1解析】

a=b

/—a=b=1

由題意可知：12c=2j2,解得<,

c2=a2+.b72iC-\2

所以雙曲線r的方程為/=i.

【小問2解析】

設(shè)直線AB-.x=3y+m（m<0）,4（久1）1）,8（久2，丫2），

x=3y+m‘,

聯(lián)立方程<22,，消去工可得8y2+6加y+掰2—i=o,

x-v=1

2

則△=36掰2_32（加2_1）=4m+32>0,可得%+%=--m,yiy2=

因為片4=（%1+亞,％）,以8=12-五，%），

若網(wǎng)〃BF2,則（X]+行｝2=12-五）必,

+m-41\y,整理可得及~牛,

即（3%+〃?+后）%=卜%x

'必加+J2

又因為（M+%）=△+&+2,

必必為必

m+V2m-V2,冷力/曰rr

可得，-----尸+----尸+2，解得加二—J10

m2-1m-y]2m+V2

8

此時8「+67町+加2—1=0即為8y2—6加了+9=0,解得9=3而—3j|或

此時x』-而=而；號即彳回芳，獨了1、

3710-372

所以直線/片的斜率七耳-------------=3

一+血

【小問3解析】

設(shè)力（久1，月）鳳久2，%），

貝！Jx；-了；=1,即y；=X；—1,

可得|2周=,+可+才=Jx：+2瓜1+2+X；_1="+2而+1=—缶―1，

設(shè)直線幺片的傾斜角為6e[0,兀），則X]=[4F]|cos6—收，

]

可得以制=_形(,用cose—間—1,解得|/月|=

1+V2COS0

同理可得忸聞=V---

172cos”

此時梯形/片瑪5的高為|大乙同11。=2后5由。，

可知梯形4片g5的面積

SB=LX2后sin6X(-金---+—』-----1=2叼m'=2a,

AF1F2211+亞cos，l-V2cos0J2sin20-l

n同

整理可得2月sin20-sm0-yfi-0解得sin8=——或sin。=----(舍去),

23

可知，=m或，=g,則直線4F；的斜率左期=土百，

所以直線/片的方程y=±百(x—C),即島土y+&=0.

19.記等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為a，公差為4(4/0).

(1)證明：S"是關(guān)于"的不含常數(shù)項的二次函數(shù);

(2)等差數(shù)列｛4｝的公差為％，且S"=anbn.

①求｛a｝的通項公式；

Q〃為奇數(shù)

②記%=〈，"品/田m'數(shù)列｛與｝的前〃項和為北,是否存在4eZ，AeN*,使得

〃為偶數(shù)，

169

(=《-?若存在，求4，k；若不存在，請說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

VI〃+1

(2)①或"='；②存在，4=83,4=2

【小問1解析】

因為等差數(shù)列｛an｝的公差為4(%w0)

由題意可得：5“="4+”(；1)4=+,,

則二次項系數(shù)4/0,且常數(shù)項為0,

2

所以S.是關(guān)于〃的不含常數(shù)項的二次函數(shù).

【小問2解析】

①由題意可知：Sn=anbn,

即+1%―4〃二[4+4(n-1)][4+4-1)]

~2

=d[d2n2+區(qū)(%-4)+4(4一"2)]〃+(%-4)(4一義)，

-=4d2

2127

可得《%——d?(%—4)+49]—&)，解得<=1，或，4=1

%二4

(%-4)(4一/)二ob,=-

12

11