2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考

（上海專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng):

I.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求的）

1.病■的平方根是（）

A.±3B.3C.±9D.9

【答案】A

【詳解】解：病=9,

■.-9的平方根為±3,

??.J的的平方根是±3,

故選：A.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

11

A.（-43）,a=—aB.a3b2-a=a4b2

C.+1）="+1D.(tz—I)2=a2—1

【答案】B

【詳解】解：A、故該選項(xiàng)不符合題意;

B、a3b2-a=a4b2,故該選項(xiàng)符合題意；

C、a（a+l）=a2+a,故該選項(xiàng)不符合題意;

D、（a-iy=a2-2a+l,故該選項(xiàng)不符合題意;

故選：B.

3.對(duì)于二次函數(shù)y=-（x-2y+5的圖象的特征，下列描述正確的是（）

A.開(kāi)口向上B.頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2,5）

C.對(duì)稱軸是直線x=2D.在x>2時(shí)，V隨x的增大而增大

【答案】C

【詳解】解：A、-1<0,拋物線的開(kāi)口向下，則該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；

B、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,5）,則該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故不符合題意；

C、對(duì)稱軸是直線x=2,則該選項(xiàng)正確，故符合題意；

D、當(dāng)x>2時(shí)，V隨x的增大而減小，則該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C

4.如圖，直線加,〃與直線a,b,B,C,點(diǎn)、D,E,F,其中若N2:2C=3:1,則。后：。產(chǎn)=

（）

A.1:2B.3:4C.2:3D.3:5

【答案】B

【詳解】解:■：AB:BC=?>'.\,

.-.AB:AC=3:4,

直線a〃b〃c,

:.DE:DF=AB:AC=3:4,

故選：B.

5.下列說(shuō)法正確的是（）

A.有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

B.平分弦的直徑垂直于這條弦

C.正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

D.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

【答案】C

【詳解】解：A,有兩條邊和其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，原命題是假命題;

2、平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，原命題是假命題;

C、正方形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，是真命題;

。、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題;

故選：C.

6.如圖，在△4BC中，點(diǎn)。、E分別在邊43、4C上，點(diǎn)尸、G在邊2c上，四邊形DEG廠是平行四邊形,

/N〃。尸交5c于點(diǎn)N.甲、乙兩位同學(xué)在研究這個(gè)圖形時(shí)：箓+5=底②器那么下列

說(shuō)法中，正確的是（）

A.①正確②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤②正確

C.①、②皆正確D.①、②皆錯(cuò)誤

【答案】C

【詳解】解：???四邊形DEG尸是平行四邊形,

DE//BC.DF//EG,

??.AN//DF,

??.AN//EG//DFf

BF_BDNGAE

??嬴一行而一就

-DE//BC,

??.△ADE~dABC,

AD_AE

,,布一就’

BFNGBDAEBDADAB

?___?___=____?___=____?___=___=]A

,BNCNABACABABAB'

LADE~AABC,

DEAD

,?加-IF'

??.AN//DF,

Z\BDFsABAN,

..D京F_一B而D‘

DEDFADBD.

"BCANABAB'

故選：C.

第II卷

二、填空題(本大題共12小題，每小題4分，滿分48分)

7.分解因式：3/_12a=.

【答案】3as+2)(0-2)

【詳解】解：3a3-12a

=—4)

=3Q(Q+2)(Q-2),

故答案為：3a(a+2)(a-2).

8.方程：Jx-12=x的解為

【答案】x=4

【詳解】解：Jx+12=x，

兩邊同時(shí)平方可得：x+n=x2,可化為：x2-x-n=o,

可解得：x=4或x=-3；

經(jīng)檢驗(yàn)x=-3不符，

故答案為：x=4.

9.將二次函數(shù)了=5/的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)的解析式是.

【答案】.=5》2+3//=3+5/

【詳解】解：將二次函數(shù)了=5,的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)的解析式是y=5x2+3.

故答案為：—十3

10.點(diǎn)/(T/1),8(4,%)是二次函數(shù)/=^-1)2圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，則必%(填"或

【答案】＜

2

【詳解】解：當(dāng)x=-l時(shí)，71=(-1-1)=4；

2

當(dāng)x=4時(shí)，J；2=（4-1）=9,

v4<9,

???%<%,

故答案為：<.

11.如圖，某小區(qū)計(jì)劃用總長(zhǎng)為20m的鐵柵欄圍成一個(gè)兩邊靠墻的矩形車(chē)棚45CQ（墻足夠長(zhǎng)），為了方便

存車(chē)，在5c（5C〉2m）邊上開(kāi)了一個(gè)2m寬的門(mén)所（門(mén)不是用鐵柵欄做成的），設(shè)邊的長(zhǎng)為仙，車(chē)棚

面積為四？，則歹與》之間的函數(shù)關(guān)系式是.

【答案1jv=-X2+22x

【詳解】解：???Z5=xm,

AD=（20+2）-x=（22-x）m

y=AB-AD=x（22-x）=-x2+22x,

故答案為：y=--+22X.

12.定義：在△ZBC中，NC=30。，我們把N/的對(duì)邊與/C的對(duì)邊的比，叫做乙4的鄰弦，記作

thU=—.解決問(wèn)題：在A48C中，ZC=30°,thL4=V3,BC=12,則/C=________.

AB

【答案】8也或4出

【詳解】解：：thM=W=JL8c=12,

■-AB=4百

如圖所示，過(guò)點(diǎn)八作4018。于點(diǎn)。，設(shè)NC=x,則4D=1x

2

.S=/CxcosC=旦，DB=\CD-BC\=^-x-U

2/

在RtLADB中，AD2=AB2-DB2

2

-Xx-12

解得：x=8G或4G

故答案為：8g或4g.

13.如圖，△4BC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin//C3的值為

連接力。,也9,

???AC=ylAD2+CD2=5

AF)4

/.sin/ACB=sinZACD=——=-

AC5

4

故答案為：—

14.如圖，標(biāo)明了甲地、乙地與丙地的大致位置，請(qǐng)用規(guī)范的數(shù)學(xué)用語(yǔ)指明:丙地在甲地的

方向上.

【答案】南偏東30°

【詳解】解：由題意可知，丙地在甲地的南偏東30。方向上，

故答案為：南偏東30。.

15.如圖，已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為30,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，DHLCE于H,BD交CE于G,則

【答案】4布

【詳解】解：???正方形的邊長(zhǎng)為30,

...AB=BC=CD=30,/ABC=/BCD=90°,AB//CD,

???點(diǎn)E是4g的中點(diǎn),

；.BE二L4B=15,

2

??CE=^BE2+BC2=1575，

?/AB//CD,

???ABEGsADCG,

CGDCc

-----=-------=2,

EGBE

：.CG=-CE=10y/5f

3

?:DHICE,

??.ZDHC=ZDCB=ZCBE=90°,

ZHCD+ZHDC=90°=ZHCD+/BCE,

/.ZHDC=/BCE,

:?AHDCsABCE,

CHCDCH_30

"~BE^~CE'n'n015_1575，

CH=6yf5,

■■HG=CG-CH=4yf5,

故答案為：4石.

16.如圖，在中，點(diǎn)G是重心，過(guò)點(diǎn)G作GD〃BC,交邊/C于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)3G,如果%欣=36,

那么S四邊形BGDC=

【答案】16

【詳解】解：連接/G,延長(zhǎng)/G交于點(diǎn)并延長(zhǎng)至尸，使得=延長(zhǎng)BG交/C于點(diǎn)E,連

接CG,8G

點(diǎn)G是重心，

分別為3C,4C的中點(diǎn)，

BH=CH,

???四邊形CGBF是平行四邊形,

：.CF//BE

AGAE1

--------=---------=1

FGEC

AG=GF=2GH

■:S叢ABC=36，

*''S&ABH=^^ACH—^^ABC=18,

S"BG=12,S.BGH=6,

???GD//BC,

:,八AGDs小AHC,

S&AGD+S四邊形GHCD=54AHe=18

SAAGD=8,S四邊形G”。=10,

???S四邊形BGDC=S&BGH+S四邊形Gac。=6+10=16

故答案為：16.

17.RtA45C中，已知NC=90。，4B=50。,點(diǎn)。在邊5C上，2cz)(如圖).把ZU5C繞著點(diǎn)。逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)機(jī)(0<m<180)度后，如果點(diǎn)5恰好落在初始RtA45C的邊上，那么加=.

【答案】80?；?20°

【詳解】解：如圖，在線段AB取一點(diǎn)引，使DB二DB，，在線段AC取一點(diǎn)B〃，使DB二DB〃,

②在Rt^B〃CD中，vDB/z=DB=2CD,

.?.NCDB”=60",

旋轉(zhuǎn)角NBDB”=180°-NCDB"=120°.

故答案為80?；?20°.

18.半徑為2的正六邊形最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為.

【答案】4

【詳解】解：如圖，六邊形/5CDE尸為正六邊形，點(diǎn)。是正六邊形外接圓的圓心，半徑為2

??,正六邊形ABCDEF為中心對(duì)稱圖形，

它的一條最長(zhǎng)對(duì)角線過(guò)點(diǎn)O,

■-AD=20A=2x2=4,

二半徑為2的正六邊形最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為4.

故答案為：4.

三、解答題（本題共8小題，共72分。其中：17-21每題8分，22-23題每題10分，24題12分。解答應(yīng)寫(xiě)

出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

-1

19.計(jì)算：y/n-----------------（3-7）°+

1+tan60017

【答案】3

【詳解】解：原式=26^-1+2

=26-（26-2）-1+2

=3.

—

49

20.解方程組：

f=*+3）

x=2、x=-2、x=0

【答案】y=0或y=0或

尸一3

"2+4必=36①

【詳解】解：方程組整理得

9x2=12y+36(2)

②代入①得：12尸36+4/=36,即，=-3人

解得：y=0或了=-3,

將》=。代入②得：9/=36,

解得：x=2或x=-2,

[x=2[x=-2

即n或n；

b=ob=o

將V=-3代入②得：9X2=0,

解得：x=0,

\x=0

即V

卜=-3

[x=2(x=—2fx=0

綜上，方程組的解為：c或n或J

[y=ob=o。=-3

21.如圖，半徑為5的。。經(jīng)過(guò)ZUBC的頂點(diǎn)48,與邊2c相交于點(diǎn)。，BD=8,AB=AD.

⑴求AB的長(zhǎng)；

4

(2)如果tanC=1,判斷直線與以點(diǎn)C為圓心、9為半徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴4君;

(2)直線N3與0c相交，理由見(jiàn)解析.

【詳解】(1)解：連接工。并延長(zhǎng)交3c于點(diǎn)E,連接OB,

AB=AD,

??.AELBD,

：.ZAEB=ZAEC=90°,BE=-BD=4,

2

OE=OB2-BE2=552-42=3，

AE=AO+OE=5+3=8,

AB=YIAE2+BE2=A/82+42=4A/5；

(2)解：直線與。。相交，理由如下:

過(guò)點(diǎn)。作CHLZB于H,

A

4

-ZAEC=90°tanC=-,

f3

.AE_4

?*,一，

CE3

8_4

一，

CE3

：.CE=6,

BC=BE+CE=4+6=Wf

???SA/AIDRC=—2BCAE2=—ABCH,

—xl0x8=—x4A/5xCH,

22

???CH=4y[5<9,

二直線與。C相交.

22.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的長(zhǎng)度的比值叫做頂角的正對(duì).如圖，在△/BC中，AB=AC,頂

底訪BC

角N的正對(duì)記作preN,這時(shí)pre/=隼>=F.仔細(xì)閱讀上述關(guān)于頂角的正對(duì)的定義，解決下列問(wèn)題(第

(1)(2)不必寫(xiě)出過(guò)程)

A

A.vB.1C.—D.2

22

⑵對(duì)于0。<4<180。，NA的正對(duì)值pre/的取值范圍是.

Q

⑶如果=sinA=—,其中//為銳角，試求pre/的值.

【答案】⑴B

(2)0vpre/<2

⑶pre/=^^

【詳解】(1)解：在△/8C中，AB=ACN4=60°,

△4BC為等邊三角形,

AB=BC,

pre60°==1

AB

故選:B；

(2)在中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：BC<AC+AB,

???AB=AC,

BC<2AB,

pre/上2

AB

,/preA>0,

0<pre<2,

故答案為：0<pre/<2；

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)B作8O14C于點(diǎn)。，則4408=90。，

,“BD8

?/sinA=----=——,

AB17

...設(shè)45=17左，BD=8k,

在RtAABD中，AD=JAB2-BD2=J(17左『-(8后7=15后，

???△45。是等腰三角形,

AB=AC=17k,

CD=AC-AD=ilk-i5k=2k,

在RtzX5CZ）中，BC7BD?+CD2=，（8左丁+（2左）2=2后k,

BC2后k2M

preA

AB-17k-17

23.如圖所示，在平行四邊形48czi中，點(diǎn)E是邊8上一點(diǎn)，點(diǎn)下是邊4。的中點(diǎn)，BEDE+AB

(1)求證：EF1BF；

(2)如果BE平分NCAF,求證：DFAD=CDCE.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【詳解】(1)證明：如圖，延長(zhǎng)E尸交切的延長(zhǎng)線于M,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

CD//AB,

：.ND=NMAF,

,?,點(diǎn)尸是邊4D的中點(diǎn)，

???AF=DF,

???ZMFA=ZDFE,

.?.AMFA%EDF(ASA),

：.EF=MF,DE=AM,

BE=DE+AB,

BE=AB+AM=BM,

??EF1BF；

(2)證明：???班平分NC8尸，

AEBC=NEBF,

vBM=BE,EF=MF,

???ZMBF=ZEBF,

/.ZMBF=ZEBF=ZEBC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

ZC=ZBAF,AD=BC,AB=CD,

ABCES^BAF,

BCCE

,?而一萬(wàn)’

,??點(diǎn)尸是邊40的中點(diǎn)，

???AF=DF,

ADCE

"~CD~^F"

；,DFAD=CDCE.

24.在平面直角坐標(biāo)系MV中，已知拋物線》=-X2+笈+0經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,0)和點(diǎn)5(0,3),其頂點(diǎn)為C

1-

??????????.

01x

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求N/C3的正切值；

⑶點(diǎn)尸在第一象限的拋物線上，且/尸=求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴>=*+2x+3,C（l,4）

（2）3

【詳解】（1）解：將點(diǎn)“（3,0）和點(diǎn)8（0,3）代入了=—-+/+0中，得

j9+36+c=0[b=2

a，解得a，

[c=3[c=3

???拋物線的解析式為y=?2+2x+3,

X"y=-x2+2x+3=-（x-l）~+4,

???頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,4）；

（2）解：???/（3,0）、8（0,3）、C（l,4）,

AB—V32+32=3y[2，

AC=^（3-1）2+（0-4）2=275，

BC=^（l-0）2+（4-3）2=>/2,

■-AB2+BC2=AC2,

.?.△4BC是直角三角形，且/48C=90。，

/.tmZACB=—=3；

BC

（3）解：由題意，設(shè)點(diǎn)尸（加，一加2+2加+3）,m>0,

過(guò)夕作尸〃_L%軸于凡貝！JPT/=—冽2+2冽+3,OH=m,ZOHP=90°,

VAPOA=NACB，

/.tanZPOA=tanZACB=3,

PH-m2+2m+3.

-----=------------------=3,

OHm

解得"士巫，色=土姮（舍去）,

22

"-1+V13-3

.??滿足條件的點(diǎn)尸坐標(biāo)為

-2L

25.如圖1,梯形48cD中，AD//BC,N/=90。，AD=2,AB=4,BC=5,M在邊CO上，連接期，

BMLCD.

圖1圖2薔用圖

⑴求CD的長(zhǎng)；

⑵如圖2,作NEA"=90。,ME交AB于點(diǎn)、E,MF交BC于點(diǎn)、F,若4E=x,BF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)

解析式，并寫(xiě)出定義域;

⑶在(2)的條件下，若△MC廠是等腰三角形，求NE的值.

【答案】⑴8=5

3

(2)y=~x+2(0<x<4)

2

⑶/E=0或］或8

【詳解】(1)解：過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)尸，

???AD〃BC,44=90。，

/ABC=90°,

DPVBC,

ZDPB=90°,

???四邊形/鰭。為矩形，

BP=AD=2,DP=AB=