2024-2025學(xué)年山東省臨沐市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試題

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)與解三角

形，數(shù)列，平面向量，復(fù)數(shù)，立體幾何，解析幾何（不含雙曲線和拋物線）.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

2i,.

2=：―7+1+1||_

1.已知復(fù)數(shù)I—,則z日一（）

A.1B.CC,2D.2近

【正確答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算化簡復(fù)數(shù)z,利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得回.

—+l+i=+l+i=-l+i+l+i=2i.,

【詳解】因為IT（1T）O+1）,因此，目=2.

故選：C.

2.已知集合B={v|log2（x-l）＜l}；則zn”（）

A.1°，可B3）c.S2]DOW

【正確答案】D

【分析】求出集合A、B,利用交集定義可求得集合

【詳解】因為4=即2?0}=呵

B=<^r|log2（x-l）<1}=,0<x-l<2}=（1,3）

因此，一1I，21

故選：D.

3.已知直線4：ax+2y-4=0,4：x-（"3）y-2=0,則“/J4,,是“0=1,,的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)兩直線平行求出。的值，即可得出結(jié)論.

_Q（Q_3）=2

【詳解】若/J4,則1一2°N—4,解得a=l,

所以,“4/〃2”是“a=1”的充要條件.

故選：A.

4.已知函數(shù)/（"）是定義在R上的奇函數(shù)，/（",在包什^^上單調(diào)遞增，且/C）=°,則

不等式（x—2）/（x）<°的解集是（）

（-OO,-3）U（2,3）（T0）U（2,3）

rx.ID.

C（-OO,-3）U（3,+OO）D（-3,0）U（3,+OO）

【正確答案】B

【分析】分析函數(shù)/（“）的單調(diào)性與函數(shù)值符號的變化，分％<2、》〉2兩種情況解不等式

即可.

【詳解】因為函數(shù)/（“）是定義在R上的奇函數(shù)，/（“）在（0'+°°）上單調(diào)遞增，

目/（3）=0/（-3）=-/（3）=0目、方二將五（7,0）口叫.？將/（0）=0

且，V/，則mil‘'/''J,且該函數(shù)在'，上為增函數(shù)，J'）,

當x<-3時，3）=0；當-3<x<0時，/（x）>/（-3）=0；

當0<x<3時，/（x）</（3）=0；當x>3時，/G）〉/（3）=0.

因為（x-2）/（x）<0,

當x-2<0時，即x<2時，/（x）>O,則-3<x<0或x>3,此時，-3<x<0.

當x-2〉0時，即x〉2時，/0）<0,則x<-3或0<x<3,此時，2<x<3.

綜上所述，不等式-2）/（x）<°的解集是（一3,°）U（2,3）,

故選：B.

5,在V/5C中，M、N分別在邊28、NC上，且方=2而，AC=4AN,。在邊

12

___kkk--1---

8c上（不包含端點）.若=+則x>的最小值是（）

A.2B.4C,6D,8

【正確答案】A

—?—,—+——（2x+j）

［分析］設(shè)=其中0〈彳<1,推導(dǎo)出2%+>=4,將代數(shù)式xy與4.相

12

--1---

乘，展開后利用基本不等式可求得X>的最小值.

【詳解】因為。在邊8c上（不包含端點），不妨設(shè)麗=4灰，其中

^AD-AB=A(AC-AB^

Al5=(l-A)AB+XAC=2(1-A)AM+4AAN

所以,

又因為=+貝盧=2-2幾，y=4N,其中X、了均為正數(shù),

且有2x+y=4,

1(4xy)1(.

AA=2

4(jx)4^\yx)

4x=J

yx

<2x+y=4

x>0,j>0fx=l

*<

時，即當〔J=2時,

當且僅當?shù)忍柍闪?

12

--1--

故則X歹的最小值是2.

故選：A

4

“229ACOS/4PB=-

6.過點P作圓〃：X+>—2x+4〉+l=U的兩條切線，切點為A、B,若5,

則四邊形尸/MS為圓M的圓心）的面積是（）

A.6B,9C.12D.18

【正確答案】C

【分析】求出圓心坐標和半徑，推導(dǎo)出△血超PBM,可得出N4PA/=NB尸設(shè)

ZAPM=ZBPM=0,利用二倍角公式計算出sin9的值，進而可得出忸可的值，再利用

三角形的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】圓M的標準方程為（1）+（"2）=4,圓心”（1,-2）,半徑為「=2,

如下圖所示：

由圓的幾何性質(zhì)可得BMLBP,\AM\=\BM\^H=

所以，△當於/PBM,所以，NAPM=NBPM,

設(shè)ZAPM=ZBPM=0,則NAPB=20,

,4

cosNAPB=cos20=1-2sin20=—

因為5o

.6)_ViO_r_2_

易知。為銳角，則.一記一國一國"尸叫=29

\PA\=^\PMf-\AMf=y/40-22=6

rJ\么，，

因此，SWPAMB=2ss=附.=6X2=12.

故選：C.

7.已知某正四面體玩具可以在棱長為6的正方體玩具盒（不考慮玩具盒的厚度）內(nèi)任意轉(zhuǎn)動

（繞正四面體外接球的球心°轉(zhuǎn)動，且°為正方體的中心），則該正四面體玩具的表面積的

最大值是（）

A.86B.12gC.18eD.24A/3

【正確答案】D

【分析】由題意可知，正四面體的棱長最大時，其外接球為正方體的內(nèi)切球，轉(zhuǎn)化為求正四

面體的外接球的半徑，結(jié)合三角形的面積公式計算即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)四面體4SC。的棱長為a,外接球圓心為°,半徑為r，〃為底面三角形

的外心，

AH=>JAD2-DH2=—a

則3233

V6

由。。2r=----a

,解得4

又該正四面體玩具可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,

則正四面體外接球最大是正方體的內(nèi)切球，

r=V|a=6

此時“彳"5,解得a=2j6,

D_=4'—a2-sin60°=24^3

所以正四面體4一"04的表面積為'2

故選：D

8.已知函數(shù)/（）（）,若/（）恒成立，則a的取值范圍是（

)

[e,+e)D.[4，+°)

A.SB.(一雙包

【正確答案】B

rlnx+1-

Q〈e--------F3

【分析】由參變量分離法可得出X，其中X>°,令

zxxlnx+1,

g(x)=e--------^3/\

x,其中x〉°,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實數(shù)

a的取值范圍.

<xlnx+1

【詳解】由"x)=xe,-lnx+(3-a)x-120可得a-'》；其中x>0,

/、％lnx+1、

g(x)=ex-------+3

令x其中x>0,

Inxx2ex+lnx

+

2x

^h(x)=xe+lnx甘由X〉。+2x)e'+卜0

令'),其中X>U，則X,

所以函數(shù)”(x)在(°，+8)上為增函數(shù)，

因為⑷，〃⑴=e>0,

,n八，L*1*1

e=br=ln=e

g“右」]佃F〃C)"e'+ln/=0B/-；；；叫

所以存在3人使得，即tttt,

且當0<x</時，g'(x)<°,此時，函數(shù)目⑺單調(diào)遞減，

當x>/時，g'(x)>°,此時函數(shù)g3單調(diào)遞增，

,1]1<-<e0<In-<1

因為<eA則/，則t，

構(gòu)造函數(shù)P(x)=*,其中x>0,則P'(x)=(x+l)ej0,

所以函數(shù)PG"*在(°，+8)上為增函數(shù)，

In-P(J)=P\ln-jt-In-ez=-

由于可得卜"，所以?可得t,

In，+1_1—t+1

故心g()「g(?e/--------+3=_-------+3=4

因此實數(shù)口的取值范圍是J"'町.

故選：B.

結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解：

(1)VxeZ),機?/(x)O機?/(》)皿；

⑵X/x&D,m>/(x)om>/(x)max；

(3)3xe￡>,m</(x)??</(x)max；

(4)m>/(x)^m>/(x)mm

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在一個等邊三角形中，連接各邊的中點，得到四個小三角形，然后去掉中間的那個小三角

形，這樣就剩下三個小的三角形，對剩下的小三角形不斷重復(fù)上述步驟，得到如圖所示的一

系列三角形圖案，我們稱這一系列三角形圖案是謝爾賓斯基三角形.記經(jīng)過〃次操作后，剩

余三角形的個數(shù)為4,數(shù)列｛4｝的前〃項和為S1則()

3"-1

s”=

2

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得兩個數(shù)列的遞推關(guān)系可得4=3%T,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式

和前〃項求和公式計算即可求解.

【詳解】由題設(shè)每次操作，前一個圖形中的每一個黑色三角形均可以得到下一個圖形中的3

個小黑色三角形，

故%=3%,而q=38，

故｛%｝為等比數(shù)列，故氏=3”；

<3(1-3")3用-3

=---------------=------

所以j1-32

故選：BC.

n后〒珈/(x)=asinx+cos22x-acosx.、

10.已知函數(shù),v7，則()

A.對任意的的最小正周期為2兀

B.存在。wR,使得/(X)的圖象關(guān)于某條直線對稱

C.對任意的I4J是偶函數(shù)

D,當。=3時，/(X)的最小值為一3a

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)三角恒等變換的化簡可得

f(x)=3A/2sin(x一:)+cos22x=3A/2sin(x-：)+；cos+；

結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算和

定義法證明奇偶性的應(yīng)用，依次判斷選項即可.

f(x)=?sinx-?cosx+—cos4x+—

【詳解】22.

兀

/(x)=—cos4x+—

A：當。=0時，函數(shù)22的最小正周期均為2,故A錯誤;

/(x)=—cos4x+—x=——(k€Z)

B：當。=0時，22,圖象關(guān)于直線4對稱，故B正確;

/(x)=41asin(x--)+—cos4x+—

C：422,

f(x—)—sp2.cisin(x—)H—cos[4(x—)]H———cosx—cos4xH—

則4224222,

f(-x--)=y/lasin(-x—cos[4(-x--)]+—=-41acosx——cos4x+—

4224222,

/(X-2E)=/(_X_2E)/(x--)

得44,所以4為偶函數(shù)，故c正確；

r/(x)=3A/2sin(x-—)+cos22x

D：當Q=3時，47,

當“一一^時，函數(shù)'=和y=cos22x同時取到最小值，分別為-3血和0,

所以/(x)的最小值為-3夜，故D正確.

故選：BCD.

11.已知/(x)'g(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，/(X)的導(dǎo)數(shù)為

/()',()g(),，()g(),且/(“)的圖象關(guān)于直線x=l對稱,

/(—1)=—1,則下列結(jié)論正確的是()

A./(2024)=1B/(3)=-1

26

c.g(x)=g(x+4)D卒。)=-50

【正確答案】AC

【分析】結(jié)合函數(shù)的對稱性、周期性以及利用導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)，通過已知條件找出了(“)和

g(“)的周期性，再利用賦值對選項逐個判斷即可.

【詳解】由+>g00=3,則〃x+2)-g(x+l)=3①，又

/(x)+g(x+l)=-l②，

①+②得/(x+2)+"x)=2③,則“X+4)+”X+2)=2④，

則④-③可得""A即"x+4)="x),

故/⑺是周期為4的函數(shù)，則/(2024)="0),

由"%)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則/GO="2-x)⑤="0)="2),

由“x+2)+/(x)=2③n42)+/(O)=2,故可得"0)=42)=1,

所以“2024)="0)=1,故人正確；

由/(X)="2T)⑤可得_T(x)=-/，(2-x)n_T(l)=-_r(l),即/'(1)=0,

由/(x+2)+/(x)=2③可得/"+2)+/，(x)=0n/，(3)+/，(l)=0,可得

/'(3)=0,故B錯誤；

由“x)+g(x+l)=-1②可得"x+l)+g(x+2)=-1,又/(x+1)-g(x)=3,

則兩式相減可得g(x)+g(x+2)7,ng(x+2)+g(x+4)Z,

則可得g(x+4Ag(x)=。，即g(x+4)=g。故?正確；

由/G)+g(x+l)=-1,則/(O)+g(l)=-1,又"0)=1,則g(D=-2,

由/G)+g(x+l)=-1,則/(2)+g(3)=-1,又/(2)=1,則g(3)=-2,

由/(x)+g(x+l)=-1,則/(-l)+g(O)=-1,又/(-1)=-1,則g(°)=°,則

g⑷=0

由/(x+4)=/(x),則/(3)=/(—1)=—1,

由/("I)-g(x)=3,則/⑶-g(2)=3,則g(2)=-4,

則g。)+gQ)+gG)+g⑷=-8,

由g(x+4)=g(x),則g(x)是周期為4的函數(shù)，

26

X。=6[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)+g(2)=—48—2—4=—54

故IT,

故選：AC.

關(guān)鍵點睛：本題主要是研究抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)的運算，本題的關(guān)鍵是以題中條件等

式為橋梁，尋找九久)，9(乃的性質(zhì).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

C：二+片=1?

12.已知《、鳥是橢圓,169的兩個焦點，尸在橢圓C上，且下甲=3,則

唱|=

【正確答案】5

【分析】利用橢圓的定義可求得忸閭.

22

C:上+匕=1

【詳解】在橢圓169中，0=4,

因為片、鳥是橢圓°的兩個焦點，尸在橢圓°上，

由橢圓的定義可得附四尸閶=2”8,故呼2|=8-附|=8—3=5.

故答案為.5

13,已知且4sin￡cosc-sinacos尸=°,則tan("⑶的最大值是

3

【正確答案】4##0.75

tan—tana

【分析】由題意可得4,結(jié)合兩角差的正切公式和基本不等式計算即可求解.

［詳解］由4$淪￡(：050-5出1854=0得ta閭？=4比ma＞。

3,

,,n—tanCL

tan(f)=tana-tan.=----------3tana__?<2

4+tan2a4~4

l-tanatan/卜一/。tana-\——

所以4tana

4

tana=-----

當且僅當tan。即tana=2時，等號成立,

3

所以tan(a-￡)的最大值為

3

故z

14.如圖，”、"°是某水域的兩直線型岸邊，NP/Q=120°,幺。是NPZQ的角平分線,

且/。=2.某養(yǎng)殖戶準備經(jīng)過。點安裝一直線型隔離網(wǎng)BC(3、C分別在/p、NQ上),

圍成△Z5C養(yǎng)殖區(qū).若AB、ZC都不超過8,則隔離網(wǎng)5c長度的取值范圍是

一4道%

【正確答案】-

［分析］設(shè)N8=c,AC=b,BC=a,利用S“BC=S/B0+結(jié)合三角形的面積公式

可得出，c=2（b+c）,由0<648,0<c<8,求出。的取值范圍，可求出防的取值范圍,

利用余弦定理結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得口的取值范圍，即為所求.

［詳解］設(shè)N8=c,AC=b,BC=a,由題意可得N84D=NC4D=60°,且40=2,

—besin120°=AD+—6-TIDsin60°

因為S&ABC~S“BD+S,"D,即222

可得6c=2°+c),由題意可知，0<fe<8,0<c<8,

0<c<8

b=-o<&=—<8-<C<8

所以，。一2,由1c—2,解得3,

人2c22c2-8+8c/8”八8

bc=------=-------------=2c+4+------=2(c-2)+------

所以，c-2c-2c-2c-2

c-2e|>6v=2r+-+8j-,2j/n6^

令L3」，因為函數(shù)t在13J上單調(diào)遞減，在I'J上單調(diào)遞增,

2,c8?！?464

tE—,6y=2tF8G16,—\6<bc<—

所以，當［3」時，tL3則3

2222

a=b+c-26ccos120。=/+c+bc=(b+c)2-be=—(bc^f-be

由余弦定理可得4

=-(&c-2)2-le48,—4aaW

八'I9」，故3

4區(qū)巫

因此，8c的長的取值范圍是L

14五匹

故答案為,_

方法點睛：求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類:

(1)找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解;

(2)利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(小/+加+樂+5,曲線y=/GO在點0，/(1))處的切線方程為

，9

y=-ox+—

"2.

(1)求。、'的值；

(2)求/(X)在卜2,4］上的值域.

3

d-----

【正確答案】(1)2,b=-6

⑵IM

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可出關(guān)于4、6的方程組，即可解得a、b的值；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，并求出端點函數(shù)值，即可得出函數(shù)/(“)在

卜2用上的值域

【小問1詳解】

/(x)=x3+ax2+bx+5,fr(x}=3x2+2ax+b

因為，則n、,

=6X+9

因為曲線在點0,/(i))處的切線方程為，“2

33

f(l)=a+b+6=--U——

2

y(l)=-6+-=--。+"解得

則22,所以,/'(1)=23=-6,b=-6

【小問2詳解】

由⑴可得+則/")=3/-3X-6=3(X+1)(X-2),

列表如下:

X[-2,-1)-1（T2）2(2,4]

/'（X）+0—0+

/（X）增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/（X）的極大值為2,極小值為/（2）=一5,

又因為/（）,，（）,

所以，當2"］時，"x）max=21,/（x）min=-5,

因此,/（x）在F，4］上的值域為［—5,21］.

16.設(shè)數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為凡，q=L且當〃之2時，（〃T）S“=〃S"_i+〃2—〃

（1）求｛4｝的通項公式；

%+i，〃為奇數(shù)，

h—<1

”—為偶數(shù)，

（2）若求數(shù)列也》的前2"項和耳.

【正確答案】（1）2〃—1

c211

-1

2n+〃--T-------------T--

4(4〃+3)12

(2)

^21____S〃T—］｛S〃］

【分析】（1）由題意可得幾一，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得了是以1為公差，1為

首項的等差數(shù)列，則S〃="［結(jié)合4與S"的關(guān)系計算即可求解；

（2）由（1）得當“為奇數(shù)"=2"+1,當〃為偶數(shù)，”一"一―五后,結(jié)合等差數(shù)列

前〃項和公式和裂項相消法計算即可求解.

【小問1詳解】

品—逛L=1

當,22時，("T)S"一"Si=〃2_〃，得““一1①.

當〃=2時，S]-2S]=2,得S?=2s1+2=2q+2=4

邑_'=?

得21",符合①式，

昌

所以數(shù)列〃是以1為公差，I為首項的等差數(shù)列，

—=1+(?-1)-1=?C_?2

故〃，所以》“一〃.

當〃22時，a”=S”-S“T="2-(〃-1)2=2"-1,

又％=1符合上式，

所以%=2〃T

【小問2詳解】

由⑴得，當〃為奇數(shù)，4=。用=2〃+1,

當"為偶數(shù)，"a"a”+2(2〃-1)(2〃+3)42〃-12〃+3

所以&=(4+&+???+*)+(4+4+???+&〃)

八、

=(/3…+7+…+4/7—1)H—1(/-----1--1---1-----1-F???H------1----------1---)

4377114〃-14〃+3

n.八1/1,.211

二-(3+4〃-1)-I—(-----------)=2n+n--------------1

2434/2+34(4〃+3)12

17.如圖，在四棱錐P—/5C。中，底面ZBCD為平行四邊形，APAD,△尸均為等邊

1

P

(1)證明：平面正48,平面尸/O.

4小

（2）若點。到平面P5C的距離為5，求四棱錐P-48c。的體積.

【正確答案】（1）證明見解析（2）16

【分析】（1）如圖，設(shè)4B=AD=AP=DP=BP=2a,則BE,4P,根據(jù)余弦定理的應(yīng)用和

勾股定理的逆定理計算可得,結(jié)合線面垂直的判定定理與面面垂直的判定定理即

可證明；

（2）建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求解點面距建立關(guān)于。的方程，再次利用空

間向量法求出點尸到平面NBC。的距離，結(jié)合錐體的體積公式計算即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)AB=AD=AP=DP=BP=2a,取4P的中點E,連接BE,DE,BD,如圖,

則DEJ_AP,3E_LZP,且DE=BE=#>a,

BD=y)AB1+AD2-2AB-ADcosZBAD=,8a2-8a2--=V6a

在△N8Q中，V4,

在V8￡>￡中，BD2=DE-+BE-,所以

又APRDE=E,AP、。后（^平面尸避。，

所以平面尸40,又8￡u平面尸48,

所以平面PAB1平面PAD.

【小問2詳解】

由（1）知，EP,DE,DB兩兩垂直,建立如圖空間直角坐標系￡一孫z,

則P(a,0,0),A(-a,0,0),B(0,0,百a),D(0,Ga,0)

由刀二。，得（一Q,一風(fēng),0）=（-Xc,Ga—Z°）,

-Q——XQxc=a

—\/3ci=~yQyc=J3a

0=?-Zc,解得Zc=Ma,即C(a,Jia,Qa)

所以

所以PC=(0,VStz),PB=(—a,0,DC=(a,0,

設(shè)平面PBC的一個法向量為"=（匹》*）,

萬?PC=Cay+6az=0

<

則1萬?P8=—ax+Gaz=0,令x=G,貝"=-l,z=l,即〃=（百，一1,1）

,I。。?萬|2島2岳a4V15

dx=㈠=—j=-=------=------

所以點0到平面P3C的距離為網(wǎng)55,

解得。=2,所以方=（-2,-2后0）,AB=（2,0,2揚，麗=（一2,0,26）

設(shè)平面ABCD的一個法向量為加=（不，％，4）,

m-DA=-2玉一2百弘=0

<

則〔而?N8=2西+2由4=0,令西=6,得M=一1,馬=一1,

所以加=（6,—LT）,

冬」麗詞_4而

所以點P到平面々CD的距離為H5,

2

A力「「S=2S*ABD=2'—AD-ABsinZBAD=16\/l-cosABAD=4A/T?

又平行四邊形ABCD的面積為2

p'REV=-Sd2=--^-^-

所以四棱錐P-/BCD的體積為335

18.已知橢圓erb~的離心率是3,且點I在橢圓C上.

（1）求橢圓°的標準方程；

0,-|

（2）已知點V2人月、耳分別是橢圓C的左、右焦點，P是橢圓°上的動點，Q是

△Pg的內(nèi)心，求\MQ\的最大值.

22

上+2=1

【正確答案】（1）98

a

(2)2

【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于a、'、°的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓

C的方程；

yo_

（2）設(shè)點0（/'%）、0（%，〃），根據(jù)等面積法可得出“=4,利用切線長定理結(jié)合橢圓的

焦半徑公式可求得“3,然后利用兩點間的距離公式可求得的最大值.

【小問1詳解】

2l（a＞Z）＞0）—11國

c：—+

因為橢圓片b2的離心率是3,且點I在橢圓C上,

”11

故橢圓C的方程為98

【小問2詳解】

設(shè)點尸&/。）、0的〃），則小。HX2XW=W

s△尸耳外——（尸制+|產(chǎn)馬+閨閭）?|〃|=：（2。+2。＞|〃|=4同

乂因為NN

。［加丹］

nn=—

由圖可知，"%",所以4,即點I4人

22

打2"0＞（0,2何卷+*=1

由橢圓的范圍可知，"L」，又98,

口/尸耳|=Jy；+(/+1)2+2x0+1+8--1%0=，寸+2/+9=3+,

|明=6-附1=6-(3+?

所以

設(shè)圓。分別切尸勺PF]、片用于點E、F、G,則QG軸，

由切線長定理可得?II

因為戶用+E用H尸段=（尸固+閨冏）+低1+內(nèi)附一（母1+后尸|）=2歸網(wǎng),

戶用+閨閭―盧聞=b++[+2—13-+[=2+g=2閨G|

又因為I3JI3J3,

|T\G|=l+—=m+lm=—

所以,13，可得3,即點

221

X。Jov1_i_2￡2i_Al

\QM\=%0++

因此，49164481644

一(%+2)2+24<^-

_2￡_A+2=

1644

V6

當且僅當先=一2時，等號成立，故的最大值為2

方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值;

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基

本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

19.若存在一個數(shù)加，使得函數(shù)/G）定義域內(nèi)的任意x,都有了（X）*'",則稱/（“）有下界,

機是/（x）的一個下界.

（1）求函數(shù)/（x）=xEx的下界〃?的取值范圍;

（2）判斷/（"）=砂+/+”—3是否是下界為—4的函數(shù)，并說明理由；

（3）若函數(shù)丁-3x（x〉0）,以是/⑺的一個整數(shù)下界，求"的最大

值.（參考數(shù)據(jù)：M56609,In2a0.693）

1

一CO,------

e

【正確答案】（1）

（2）是，理由見解析（3）-2

【分析】（1）由題意可得“"/（'）mm,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/GO的最小值，即可得出加的

取值范圍；

（2）令g（x）="x）+4,利用導(dǎo)數(shù)證明出g（x）＞°,即可得出結(jié)論；

（3）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（“）的單調(diào)性與最小值，求出了（“）最小值的范圍，即可得出整數(shù)

m的最大值.

【小問1詳解】

因為函數(shù)"x）=xlnx的定義域為（0,+"）,對任意的x〉0,則以

因為/'(x)=lnx+l,令/'（x）=°,X

可得e,列表如下：