導數(shù)與不等式恒(能)成立問題(分值：60分)1.(13分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋mx＋n在x＝1時取得極值.(1)求實數(shù)m的值；(2)存在x∈[2，4]，使得f(x)>n2成立，求實數(shù)n的取值范圍.2.(15分)(2024·沈陽二中測試改編)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)－k.(1)若f(x)≤0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)證明：ln2＋ln3＋…＋lnn<eq\f(1,e)(2＋3＋…＋n)(n>1，n∈N*).

3.(15分)(2024·浙江余姚調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)＝lnx－a＋eq\f(1,x)，a∈R.若f(x)≥eq\f(－a,x)在(0，＋∞)內(nèi)恒成立，求整數(shù)a的最大值.4.(17分)(2024·湖南師大附中模擬改編)已知函數(shù)f(x)＝sinx－ax·cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，a∈R，若f(x)＋sin2x>0，求a的取值范圍.導數(shù)與不等式恒(能)成立問題1.解(1)易得f'(x)=x2-4x+m,依題意f'(1)=12-4×1+m=0,解得m=3,此時f'(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3),當x<1或x>3時,f'(x)>0;當1<x<3時,f'(x)<0,即函數(shù)f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,因此函數(shù)f(x)在x=1時取得極大值,所以m=3.(2)由(1)得函數(shù)f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減,在(3,4)上單調(diào)遞增,因為f(2)=23+n,f(4)=43+所以f(x)max=43+n由題意可得43+n>n2解得3?57所以n的取值范圍為3?572.(1)解若f(x)≤0恒成立,則k≥lnxx,x∈(0,+∞)設g(x)=lnxx,x∈(0,g'(x)=1?lnx由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e,故函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.故g(x)max=g(e)=1e,故k≥1綜上,實數(shù)k的取值范圍是1e(2)證明結合(1),令k=1e,則f(x)≤0即lnx則lnx≤1e·x(當且僅當x=e時取等號∵ln2<1e·2,ln3<1e·3,…,lnn<1∴l(xiāng)n2+ln3+…+lnn<1e(2+3+…+n)(n>1,n∈N*)3.解由f(x)≥?ax可得:lnx-a+1+記g(x)=lnx-a+1+ax,g'(=1x(1)若1+a≤0,即a≤-1,g'(x)>0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又0→0+(表示從0的右側趨近于0)時,g(x)→-∞,不合題意;(2)若1+a>0,即a>-1,令g'(x)<0,則0<x<1+a,令g'(x)>0,則x>1+a,則g(x)在(0,1+a)上單調(diào)遞減,在(1+a,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)min=g(1+a)=ln(1+a)+1-a≥0,令h(a)=ln(1+a)+1-a,h'(a)=11+則令h'(a)<0,解得a>0,令h'(a)>0,解得-1<a<0,所以h(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,且h(0)=1>0,h(1)=ln2>0,h(2)=ln3-1=ln3-lne>0,h(3)=2ln2-2=ln4-lne2<0,故整數(shù)a的最大值為2.4.解f(x)+sin2x=sinx-ax·cosx+sin2x>0,即tanx-ax+2sinx>0,x∈0,π設g(x)=2sinx+tanx-ax,x∈0,πg'(x)=2cosx+1cos2x?a=1cos2x又∵g(0)=0,g'(0)=3-a,∴g'(0)=3-a≥0是g(x)>0的一個必要條件,即a≤3.下證a≤3時,滿足g(x)=2sinx+tanx-ax>0,x∈0,π又g'(x)≥1cos2x(2cos3x-3cos令cosx=t,設h(t)=2t3-3t2+1,t∈(0,1),h'(t)=6t2-6t=6t(t-1)<0,h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以h(t)>h(1)=0,又x∈0,π2,cosx∈(0,1),所以g'(x)>0,即g(x)在0,所以x∈0,π2時,g(x)>g(0)下面證明a>3時不滿足g(x)=2sinx+tanx-ax>0,x∈0,πg'(x)=2cosx+1cos2令h(x)=g'(x)=2cosx+1cos2則h'(x)=-2sinx+2sin=2sinx1co∵x∈0,π2,∴sinx>0,1∴h'(x)>0,∴h(x)=g'(x)在0,π2令x0滿足x0∈0,π2,cosx0=則g'(x0)=2cosx0+1cos=2cosx0+a-a>0,又g'(0)=3-a<0,∴?x1∈(0,x0),使得g'(x1)