對點練78概率與統(tǒng)計的綜合問題

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.（2024.西安調(diào)研）某市為了解本市初中生周末運動時間，隨機調(diào)查了3000名學(xué)生,

統(tǒng)計了他們的周末運動時間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）按照分層隨機抽樣，從［40,50）和［80,90）中隨機抽取了9名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取

的9名學(xué)生中隨機推薦3名學(xué)生參加體能測試?記推薦的3名學(xué)生來自［40,50）的

人數(shù)為X,求X的分布列；

（2）由頻率分布直方圖可認為：周末運動時間t服從正態(tài)分布N（〃，/），其中，〃

為周末運動時間的平均數(shù)；，。近似為樣本的標準差s,并已求得s-14.6.可以用

該樣本的頻率估計總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機抽取12名學(xué)生，記周

末運動時間在［43.9,87.7］之外的人數(shù)為匕求P（y=3）（精確到0.001）.

參考數(shù)據(jù)1：當t?N@,『）時，—+。）心0.6827,尸3一〃+

2。戶0.9545,P〃一〃+3。）?0.9973.

參考數(shù)據(jù)2：0.81869=0.1651,0.18143^0.0060.

2.(2024.長沙調(diào)研)隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量越來越大，為了滿

足消費者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地開花.4月份的“湖南沃柑”因果

肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛.某“鬧鬧”水果店對某

品種的“湖南沃柑”進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：

試銷單價式元)

產(chǎn)品銷量y件

(1)經(jīng)計算相關(guān)系數(shù)廠七一0.97,變量x,y線性相關(guān)程度很高，求y關(guān)于x的經(jīng)驗

回歸方程；

(2)用(1)中所求的經(jīng)驗回歸方程來擬合這組成對數(shù)據(jù)，當樣本數(shù)據(jù)的殘差的絕對值

大于1.2時，稱該對數(shù)據(jù)為一個“次數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從這5個成對數(shù)據(jù)中任取3個做

殘差分析，求取到的數(shù)據(jù)中“次數(shù)據(jù)”個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：線性回歸方程中’,二的最小二乘法估計分別為,=

鼻(%-x)(y-y)

,>a=y-bx

N(x；-x)

3.為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用

壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取A型和3型設(shè)備各100臺，得到如下頻率分布直方

圖:

頻率

輛

().00()6--------------------------

0.0005-----------------------------------

0.0004——-I--------

0.00()3--------------------------------------------

0.00()2--------

ol-----------------------------------?

15002000250030003500400()使用壽命/小時

A型

B型

（1）將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過2500小時不超過2500小時合計

A型

B型

合計

根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗,能否認為使用壽命是否超過2500

小時與型號有關(guān)？

（2）用分層隨機抽樣的方法從不超過2500小時A型和B型設(shè)備中抽取8臺，再從

這8臺設(shè)備中隨機抽取3臺，其中A型設(shè)備為X臺，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（3）已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時

才能完成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號設(shè)備（更換設(shè)備時間忽略不計），A

型和B型設(shè)備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)備每臺每小時

耗電分別為2度和6度，電價為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費，你認為應(yīng)

選擇哪種型號的設(shè)備，請說明理由.

H（od-be）2

附：性=（.小（.?。?），n=a+b+c+d.

八（a十。）（c十（a十c）（。十d）

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

【B級能力提升】

4.(2023-日照模擬)第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉

辦.在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍.

wFIFAWORLDCUP

(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、

中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來

2

撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有)的可能性撲不到球.不考慮其他因素，

在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球

的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到

球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去.假設(shè)傳出的球都

能接住.記第九次傳球之前球在甲腳下的概率為處，易知pi=l,以=0.

①證明：］Q—為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較pio與qio的大

對點練78概率與統(tǒng)討的綜合問題答案

1.解(1)運動時間在［40,50)的人數(shù)為3000X0.02X10=600.

運動時間在［80,90)的人數(shù)為3000X0.01X10=300.按照分層隨機抽樣共抽取9

人，則在區(qū)間［40,50)內(nèi)抽取的人數(shù)為6,在區(qū)間［80,90)內(nèi)抽取的人數(shù)為3.

.?.隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

P(X-0)-eg-84'P(X—1)—eg—14'

P(X=2)=警點,小=3)=普=東

所以隨機變量X的分布列為

X0123

13155

P

84142821

(2)//=r=35X0.1+45X0.2+55X0.3+65X0.15+75X0.15+85X0.1=58.5,L

5^14.6.

43.9=58.5—14.6=〃-a,

87.7=58.5+14.6X2=〃+2a

)),0.6827+0.9545

???P(43.9WW87.7)=尸〃一aWW〃+2。)勺------?----------=0.8186,

/.P(t<jn—<7或t>〃+2o)=l—0.8186=0.1814,

0.1814).

39

.*.P(y=3)=d2X0,1814X0.8186

^220X0.0060X0.1651^0.218.

4,,‘口-3+4+5+6+7

2.解(1)由已知，付x==5

20+16+15+12+6

y==13.8,

5

石孫=313,135,

55

A邑(xi—x)Cy,-y)Y^xiyi—5xy

則,='=5一5―

石(X/-x)2石君一5/

313—5X5X13.832

-135-5X52-103.2,

所以a=y—6x=13.8—(—32)X5=29.8,

所以丁=-3.2%+29.8.

(2)當尤=3時,y=20.2；當％=4時,y=17；

AA

當x=5時，y=13.8；當龍=6時，y=10.6；

當x=7時，y=7A.

因此該樣本的殘差絕對值依次為0.2,1,1.2,1.4,1.4,

所以“次數(shù)據(jù)”有2個.

“次數(shù)據(jù)”個數(shù)X可取0,1,2.

◎1CgC」3

p(x-o)-crio,P(X—D—eg―5,

p(X=2)=野=旦

力egW

所以X的分布列為

X012

133

P

10510

則數(shù)學(xué)期望E(X)=0X1X|+2X^=1.

3.解⑴由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時的有100X(0.0006+0.000

5+0.0003)X500=70臺，則A型不超過2500小時的有30臺，同理，3型超過

2500小時的有100X(0.0006+0,0003+0.0001)X500=50則3型不超過

2500小時的有50臺.列聯(lián)表如下：

超過2500小時不超過2500小時合計

A型7030100

B型5050100

合計12080200

零假設(shè)為Ho：使用壽命是否超過2500小時與型號無關(guān),

2,200X(70X50—30X50)2

因為100X100X120X80^8,333>6,63?=xo.oio,

所以依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立，

即認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān).

(2)由(1)和分層隨機抽樣的定義可知A型設(shè)備有3臺，3型設(shè)備有5臺,

所以X的取值可能為0,1,2,3,

__cl_A__clci_i5

Pp(rXY―0m)一翼一28,尸p(rXy—1n)—以—28'

”_2L兇一些__Cl_X

P(X―2)—以—56'尸p(rXy—3)1—以―56'

所以X的分布列為

X0123

515151

P

28285656

5,15,15,19

E1(X)=0X—+1X—+2X—+3X—=-

zo2.6JOJOo

⑶由頻率分布直方圖中的頻率估計概率知，A型設(shè)備每臺更換的概率為0.3,所

以10臺A型設(shè)備估計更要換3臺；3型設(shè)備每臺更換的概率為0.5,所以10臺5

型設(shè)備估計要更換5臺，選擇A型設(shè)備的總費用71=(10+3)X1+10X2X0.75X2

500X10-4=16.75(萬元)，選擇B型設(shè)備的總費用y2=(10+5)X0.6+

10X6X0.75X2500X10-4=20.25(萬元)，

所以選擇A型設(shè)備.

4.解(1)依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為

門將在前三次撲到點球的個數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,易知X?3，

所以P(X=幻=&*&"乂［1)3卜,k=0,1,2,3,

故X的分布列為

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E(X)=3X^=3.

⑵①證明第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,

則當時，第冏一1次傳球之前球在甲腳下的概率為外.1,第〃一1次傳球之前

不在甲腳下的概率為

則pn=pn-lX0+(l—pn-l)X^

1.1

=一中"-1十，，

1

即Pn"=-3Pn-l—2

又pi—g=l,所以卜j}是以|為首項，T為公比的等比數(shù)歹工

1

+-

②由①可知=3

所以小—Ld+鏟手

112

所以qio=］（l一210）=］與一

C1）」3，

故pio<qw.

多選題加練（十）討教原理、概率、隨機變量及其分布

1.CD［（x+~j的展開式共有7項，A不正確;

其通項Tr+l=C&x6-{|；=C62%6-2r,

令6—2r=0,解得r=3,

所以常數(shù)項為Cg23=160,B不正確；

令x=l,則（1+J6=36=729,C正確；

所有項的二項式系數(shù)的和為26=64,D正確.］

2.BCD［甲得到A卡片與乙得到A卡片不可能同時發(fā)生，但可能同時不發(fā)生,

所以甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對立事件，A不正確，B正確；

甲得到A卡片的概率為看=不C正確；

甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為

C1A?1

7J-=1，D正確.］

3.ABD［由分布列的性質(zhì)，可得焉+。+6=1,

解得a+b=y,①

因為E（X）=1,

所以0Xa+lX6+2xl=l,

o

即。號2，②

12

聯(lián)立①②解得a=7o,b=%3

1211

所以D（X）=（0—1）2X-+（1—l）2X-+（2—l）2Xg=^,

因為y=2X—1,所以E（y）=2E（X）—1=1,

14

D（y）=4D（X）=4X-=-]

4.BC[對于A,因為

所以尸（A3）WP（3）=0.5,A不正確；

對于B,因為AGB,所以事件A,3不可能同時發(fā)生，所以尸（A4）=0,則P（B|A）

P（BA）一?

=p（A）=0<0.5,B正確；

對于C,因為AG3,所以事件A,3不可能同時發(fā)生，所以P（AB）=0<0.25,C

正確；

對于D,因為AGB,所以P（AB）=P（A）.

p（AB）P（A）

若A=0,則P（A|_B）=p（B）—=p=0'D不正確.]

5.BCD[若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為。=｛（男，男），（男，女），（女,

男），（女，女）｝,“=｛（男，女），（女，男）｝,N=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝,

131

MN=｛（男，女），（女，男）｝,則M與N不互斥，P（M）=2，P（N）=a，P（MN）=Q

于是尸（MN）WP（M）P（N），所以M與N不相互獨立，則A錯誤，B正確；

若該家庭中有三個小孩，樣本空間為。=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，

男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝,

〃=｛（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），

（女，女，男）｝,

N=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝,MN='（男,

男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)},則M與N不互斥，

313

p(M=a，^(A0=2>P(MN)=W，

于是P(“V)=P(M)P(N),

所以〃與N相互獨立，則C和D均正確.]

6.BC[對于A,第1封信可以投入3個信箱中的任意一個，有3種投法；

同理，第2,3,4封信各有3種投法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有3X3X3X3=81種投法，故A錯誤；

對于B,先排4本不同的數(shù)學(xué)書有A?種排法，再將2本不同的物理書插空有Ag種

排法，所以共有A3Ag=480種不同的排法，故B正確；

對于C,因為X?N(0,<?),且P(XW2)=0.8,

所以P(0<XW2)=P(XW2)—P(XW0)=0.8—0.5=0.3,故C正確；

對于D,因為X?5(10,0.7),

所以D(X)=10X0.7X(1-0.7)=2.1,

所以。(2X+1)=22XD(X)=4X2.1=8.4,故D錯誤.]

7.AD[X?N(80,36),故〃=80,4=36,(r=6,

對于A,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到P(X>8O)=3，正確；

V一QQ

對于B,二~服從標準正態(tài)分布，錯誤；

對于C,P(X<80)=1,則y?《6,目，

故D(y)=6X；X(l—；)=|,錯誤；

對于D,P(Y>3)=C圖X(1―習(xí)2+

%)晨(1-0+%)6=*正確.]

42

8.AC[從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到紅球的概率為正=予則Xi?

ikE(Xi)=3x|=|,D(Xi)=3x|x|=||,

從中隨機地?zé)o放回摸出3個球，記紅球的個數(shù)為X2,則X2的可能取值是0,1,2,

3；

1

-

則P(X2=0)=

do-6?

P(X2=D=瞽H，

P(Y_9x_cic|_A

P(X2-2)—c%-10

p(Y_刀4」

P(X2—3)—C3-30

所以隨機變量X2的概率分布列為

X20123

1131

p

62To30

數(shù)學(xué)期望E(X2)=0X-1+lX^+2X^+3X^=|；

D(X2)=(o-DM+(1—§2只+(2—§2溫+(3_§2*4=另

故E(X