2025屆新高考數(shù)學(xué)模擬試題(五)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合&={疝＜d＜5},B={-2-1,0,2),則4口3=()

A.{-2,-1,1,2}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{-1,0,1)

2.復(fù)數(shù)目的虛部為()

3+41

2222

A.——B.——iC.-D.-i

5555

3.已知等差數(shù)列{%}的前〃項和為5〃,。9+。8=55,貝JS[6=()

A.880B.440C.110D.220

4.已知向量打=(-1,2)石=(2,-1),則向量苕在向量B方向上的投影向量為()

44-44

A.-B.一一bC.-aD.一一a

5555

5.函數(shù)/(x)=lnx+x2-ex的零點所在的區(qū)間是()

A.B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

6.一條漸近線方程為2x+3y=。，且經(jīng)過點卜6,20)的雙曲線的標(biāo)準方程是()

A.--^=1B.=1C.--^=1D.^-―=1

94494994

7.已知四面體ABC。中，兩兩垂直，BC=3。=0,A3與平面所成角的

正切值為則點8到平面AC￡＞的距離為()

AA/3R2A/3?n26

2355

8.在VA2C中，內(nèi)角A,民C所對的邊分別為a,b,c,則“acosC=ccosA”是

44(a+b'y-2abcosC=ab+bc+ca()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

9.設(shè)占,馬，…，x”的極差為X,平均值為元，中位數(shù)為加，方差為$.%=%+5(1=1,2,…,n),

其中。，6eRJ,%，…,”的極差為y，平均值為了，中位數(shù)為P,方差為上則()

A.Y=aX+bB.y=ax+bC.p=am+bD.t=as+b

10.若(l-2x)s=%+%無+。2尤2+/尤3+%-+。5尤5,則下列結(jié)論中正確的是()

A.%=1

B.q+%+/+%+%=2

C.a[+/+%=—122

D色+&+%+幺+&=i

.2481632

11.已知函數(shù)=々J(%一。)，則()

A.當(dāng)1=1,b=2時，直線y=x—2與曲線＞=〃%)相切

B.當(dāng)時，函數(shù)〃x)的減區(qū)間為a

C.當(dāng)』-1時，若函數(shù)y=有3個零點，則實數(shù)f的取值范圍為

D.當(dāng)a=0,b＞0時，若〃吃)=”可)(其中%＞占＞0),有尤]+%＜Q

填空題

sina-2cos。

12.已知tana=-2,則

cosa+3sin。

13.甲、乙、丙等5位同學(xué)隨機站成一排合影留念，甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)，則

不同的站法共有種.(用數(shù)字作答)

14.已知圓O]：f+y2=1,圓。2：(x+3)2+(y—Q)2=16,如果這兩個圓有公共點，則實數(shù)Q

取值范圍是1

四、解答題

15.已知函數(shù)〃x)=(x-1戶-加+b,曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程為

試卷第2頁，共4頁

⑴求實數(shù)。，b的值;

⑵求的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活.在教育領(lǐng)域，A/的賦

能潛力巨大.為了解教師對A/大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取了200名教師，對使用

A、B、C、。四種4大模型的情況統(tǒng)計如下：

使用4/大模型的種數(shù)性別01234

男427231610

女648272415

在上述樣本所有使用3種A/大模型的40人中，統(tǒng)計使用A、B、C、。的A/大模型人次如

下：

A/大模型種類ABCD

人次32303028

用頻率估計概率.

(1)從該地區(qū)教師中隨機選取一人，估計至少使用兩種A/大模型(A、B、C、。中)的概率；

⑵從該地區(qū)使用3種4/大模型(A、8、C、。中)的教師中，隨機選出3人，記使用B的

有X人，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)從該地區(qū)男，女教師中各隨機選一人，記他們使用A/X模型(A、B、C、。中)的種數(shù)

分別為y,z,比較y,z的數(shù)學(xué)期望E(y),E(z)的大小.(結(jié)論不要求證明)

17.如圖，己知四邊形ABC。是矩形，AB=2BC=2,三角形PC。是正三角形，且平面

ABCD_L平面PCD

U

(1)若。是CD的中點，證明

⑵求二面角3-E4-D的正弦值；

(3)在線段CP上是否存在點。，使得直線A。與平面A8P所成角的正弦值為心，若存在，確

8

定點。的位置，若不存在，請說明理由

18.已知橢圓C：5+[=l(a>b>0)的離心率為，且過點

⑴求橢圓C的方程.

⑵已知是橢圓內(nèi)一點，過點M任作一條直線與橢圓交于A,B兩點，求以M■為中

點的弦所在的直線方程.

⑶設(shè)點。為橢圓的右頂點，是否存在過點G(-1,O)的直線/交橢圓C于p,Q兩點，使得直

線DP,的斜率之和等于一1?若存在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

19.已知數(shù)列｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，且q+%=%，數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，且

bx-b2=b3,a4=4Z?j-b2.

⑴求也,｝和也｝的通項公式；

2

1"〃+3T，〃為奇數(shù)

⑵設(shè)g=儼儼+2色)(neN*),求數(shù)列｛%｝的前2〃項和應(yīng)：

an-ab：,“為偶數(shù)

(3)在4與6用之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為力的等差數(shù)列，若根%對

V/zwN*恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆新高考數(shù)學(xué)模擬試題（五）》參考答案

題號12345678910

答案BABBCADABCAC

題號11

答案ACD

1.B

【分析】解出集合A,再根據(jù)交集的定義即可得出答案.

【詳解】由A=—或,則Ac5={-2,2}.

故選：B

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則即可求出結(jié)果.

l-2i_（l-2i）（3-4i）_-5-10i12.2

【詳解】因為—i所以虛部為

3+4i-（3+4i）（3-4i）-2555

故選：A

3.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)。3+4=4+%6,根據(jù)等差數(shù)列｛%｝前〃項和公式即可求解.

【詳解】因為。9+。8=55,所以q+%6=55,故16+〃i6）=8x55=44。，

故選：B.

4.B

a-b

【分析】根據(jù)投影向量公式，即向量A在向量5方向上的投影向量為可巧r即可得到結(jié)果.

忖

【詳解】向量苕在向量5方向上的投影向量為不力=----5------1

故選：B

5.C

【分析】求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，計算端點處的函數(shù)值，結(jié)合零點存在性定理即可求解.

【詳解】由于:⑺,+2x-e=2-,久＞0,且2好-6+1=0中A=e2-8＜0,

XX

故/'（x）＞0,f（x）在（0,y）單調(diào)遞增，

因此了（無）至多一個零點,

答案第1頁，共13頁

/(2)=ln2+4-2e<0,/(e)=lne+e2-e2>0,/(3)=ln3+32-3e>0,

因此〃x）=lnx+x2-ex的零點所在的區(qū)間是（2,e）,

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)題意雙曲線的方程為4/一9y2=幾，將點（3石,2忘）代入計算可得.

【詳解】由題意設(shè)雙曲線的方程為4/-99=加

將點（3后,2夜）代入雙曲線方程得2=4x（3/『-9x（20『=36,

22

所以雙曲線的方程為4/—9y2=36,即土—工=1.

94

故選：A.

7.D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出平面AC。的法向量，利用向量法求出點到平

面的距離.

【詳解】如圖，以3為原點，血所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)f>0,則見o,o,o),c(0,o,o),o(o,0,o),A(o,oj),

所以荏=(0,0,T),CA=(-A/2,0,Z),CD=(-72,5/2,0).

n-CA=—y[2x+tz=0

設(shè)平面ACD的法向量為元=O，y,z）,

n-CD=-A/2X+=0

令X=l,得y=l,z=^^,故為=1」,

因為直線AB與平面AC。所成角的正切值為1,

所以直線A3與平面AC。所成角的正弦值為好,

5

答案第2頁，共13頁

[B臼0_非

即刖=/二+丁工‘解得"2'

(

所以平面AC。的一個法向量為為=1,1,^-,

、2，

“|相同722下

故B到平面ACD的距離為d=間=廠1=丁

故選：D.

8.A

【分析】由正弦定理邊化角和余弦定理計算即可；

【詳解】由acosC=ccosA可得sinAcosC二sinCbosA,進而可得tanA二tanC?AC,可得

a=c,

2

又(Q+by-2abeosC=ab+be+ca,有"+b+2ab-(片+/-。2)_曲+bc+ca,

BPc2+ab-be-ca=0,因式分解可得(〃-c)(a-c)=?？傻肸?=c或〃=c,

故"acosC=ccosA"是“(a+Z?)2-2abeosC=ab+be+ca”的充分不必要條件，

故選：A.

9.BC

【分析】根據(jù)方差及標(biāo)準差的性質(zhì)判斷A,D,應(yīng)用平均數(shù)及中位數(shù)性質(zhì)判斷B,C.

【詳解】不妨設(shè)玉工工24…

1

則知y=|”|?X,故A不正確，t=as,D不正確；

由平均值、中位數(shù)定義可知歹=加+),2=松+〃，B,C正確.

故選:BC.

10.AC

【分析】利用賦值法即可逐一求解.

【詳解】令%=0,則%=1,故A正確，

令％=1可得(1—2)5=%+q+/+/+&+%，故4+。2+。3+。4+。5=-2,故B錯誤，

令x=—1可得(1+2)5=%%+。2—。3+〃4—〃5=243,故Q]+〃3+。5=—122,故C正確,

答案第3頁，共13頁

令尤=g可得1-21Y11111八%%%1

X—=a+CL—\-a—FCL,—\-aA--Fa—=0，-+~~~+~~?=T,

2)a204816322481632

故D錯誤,

故選：AC

11.ACD

【分析】對于A,由切線斜率為1求出切點，結(jié)合點斜式即可判斷A；求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負

情況即可判斷B；由函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性和極值以及零點即可求解判斷C；由函數(shù)

/(x)=^2(x-b)的零點情況，結(jié)合片(石”戶名(馬-匕)和基本不等式即可求解判斷D.

【詳解】對于A選項，當(dāng)a=l,Z?=2時，/(X)=(X-1)2(X-2),有

,9

若/<%)=2(%-1)(%-2)+(%-1)9=1,解得x=2或x,

由"2)=0,可得y=x-2與曲線y=/(x)相切，故A選項正確；

對于B選項，制%)=2(%-〃)(%-/?)+(%-a)(a+20),

當(dāng)…時，由等La=q0>0,有故函數(shù)〃尤)的減區(qū)間為:|巴薩

故B選項錯誤；

對于C選項，當(dāng)b=a—1時，"竺-a="+?)-1)“二〈0,

333

所以由B可知函數(shù)在：!?,@券，"，？)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又/⑷=0,〃6)=0,極大值f^-匕=-(僅一")3=('

故若函數(shù)y=/(x)-/有3個零點，則實數(shù)/的取值范圍為故c選項正確；

對于D選項，當(dāng)a=0,b>0時,/(x)=f(x-6),

由/(。)=/僅)=。，若/伍)=/(%)(其中三號>°)，

則有0<玉=2<6,有片(％-6)=君(％-6),

可得d+宕+西赴_%玉+引=0，有(無1+々)2-6(占+尤2)=XlX2，

答案第4頁，共13頁

；（%+%2）2,有（玉+引2_-入]+引＜；（%]+々）2,

又由芭尤2＜

4Z?

可得再+尤2＜不，故D選項正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：求證〈9的關(guān)鍵1是先由/（%）=/（%）即才（個人）=后（々-3

結(jié)合立方和公式化簡得到（占+%/-6（不+x2）=xlx2,關(guān)鍵2是利用基本不等式

玉/＜：1（%+引得2至U關(guān)于占+吃力的不等關(guān)系得解.

4

12.-/0.8

【分析】分子、分母同時除以cosa,將tana=-2代入即可求解.

【詳解】因為tana=-2,

sincr-2coscrtana-2-2-24

所以--------------..........=-----------=—

coscr+3sincr1+3tana1+3x(-2)5*

4

故答案為：—.

13.24

【分析】甲乙捆綁作為一個人與其他人排列，其中甲在丙左側(cè)與甲在丙的右側(cè)的排法數(shù)相同,

由此可得排法種數(shù).

【詳解】甲乙捆綁作為一個人與其他人排列，共有段g=2x1x4x3x2x1=48種排法,

因為甲在丙左側(cè)與甲在丙的右側(cè)的排法數(shù)相同，

48

所以甲、乙兩人相鄰且甲站在丙的左側(cè)的不同的站法共有5=24種.

故答案為：24

14.[-4,4]

【分析】根據(jù)圓的方程寫出圓心和半徑，由題意有即可求參數(shù)范圍.

【詳解】由。1：/+如，1,則q(o,o)1=1,

由Q:(x+3)2+(y-a)2=16,則<92(-3,a),^=4,

3222

則10021=7(--°)+(?-°)=Va+9,

因為圓。1與圓。2有公共點，所以(口勾44+4,

答案第5頁，共13頁

即34J/+945,解得一4Wa44，

所以實數(shù)〃取值范圍是[T,4].

故答案為：[T,4].

15.(1)?=1,6=2

(2)答案見解析

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得尸(l)=e-2,結(jié)合/⑴=1,即可求實

數(shù)的值；

(2)由(1)知/(元)=xe,-2x=x(e*-2),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，可求的單調(diào)區(qū)間和

極值.

【詳解】(1)f(x)=ex+(x—1)ex—2a)c=xex—2ax,

由題意知，/'(l)=e—2a=e—2,所以a=l

又因為〃l)=-L+b=(e—2)xl+3—e=l,所以b=2；

(2)由(1)知/'(%)=屁"-2%二%(1一2),

當(dāng)尤￡(-oo,0)時/z(x)>0；當(dāng)x?0,ln2)時，/,(x)<0；

當(dāng)x￡(ln2,+oo)時f\x)>0,

所以〃%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-”,0),(ln2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(O,ln2).

當(dāng)％=0時，/(力取得極大值"0)=1；

當(dāng)x=ln2時，/(x)取得極小值f(ln2)=21n2-(ln2)\

23

16.(1)—

40

9

⑵分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為彳

(3)磯y)>E(z)

【分析】(1)用樣本頻率估計總體概率即可求解；

(2)用樣本頻率估計概率，求出“從該地區(qū)使用3種A/大模型的40名教師中隨機選1人,

答案第6頁，共13頁

該人使用模型歹的概率為（,則被抽取的人數(shù)x-，由二項分布概率公式即可求解;

（3）求出隨機變量對應(yīng)的概率，利用期望公式分別求出y,z的數(shù)學(xué)期望，再比較大小即可.

【詳解】（1）記事件M為“從該地區(qū)教師中隨機選取一人，至少使用兩種4大模型”,

50+40+2523

則估計尸（M）=

20040

（2）記事件N為“從該地區(qū)使用3種A/大模型的40名教師中隨機選1人,該人使用模型3”,

303

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，唳）=于“

X的可能取值為0,1,2,3,

p(X=0)=C!I=W

3

尸(X=l)=CI=w

（3）由題意可得該地區(qū)男，女教師人數(shù)分別為：80和120,

皿曰4廠八7、八4127c23。16410161

貝！J易石（丫）—OxF1x----F2x----F3xF4x——,

''808080808080

八6148c27c24.15234,,廣人八廠/八

E（Z^—Ox----------FIx---F2x---F3x------F4x---------------,E（Y）>E（Z].

'7120120120120120120v7v7

17.（I）答案見解析

⑵姮

4

⑶存在點。，點。為PC的中點

【分析】（I）根據(jù)面面垂直可證OP，平面ABC。，BC_L平面PCD,建系，利用空間向量證

答案第7頁，共13頁

明線線垂直；

(2)分別求平面A2P與平面PAD的法向量，利用空間向量求二面角;

(3)設(shè)而=彳定=(尢-后,0),彳?0』，利用空間向量結(jié)合線面夾角運算求解即可.

【詳解】(1)連接。尸，

因為三角形PCD是正三角形，且。是。的中點，則OPLCD,

且平面ABCD人平面PCD,平面A3C￡(ri平面PCD=CD,OPu平面尸CD,

所以O(shè)PJ_平面ABCD,

又因為四邊形ABC。是矩形，則3CLCD,

且平面ABCD4平面尸CD,平面48。?？谄矫媸?=8，BCu平面ABCD,

所以BC_L平面PCD,

以。為坐標(biāo)原點，OCOP分別為無,y軸，過。平行于BC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則4(—1,0,1),80,0,1),C(l,0,0),￡>(-1,0,0),0(0,0,0),P(0,石⑼,

可得歷=(1,0,1),府5=(1,百，-1),

則。小4尸=1+0-1=0，所以

(2)由(1)可得：AB=(2,0,0),AP=(l,^,-l),a4=(0,0,l),

設(shè)平面E43的法向量力=(%,%,zj,貝葉—.廠，

n-AP=xl+^/3yl-zl=Q

令％=1,則％,=(),Z]=J5,可得力=(0,1,6),

萬^.DA—z—0

設(shè)平面PAD的法向量玩=(X2，%，Z2)，貝匹一廠

m-AP=%+/3乂—22=0

令X?=6，貝I%=-Lz2=。，可得沆=(1,0),

答案第8頁，共13頁

設(shè)二面角5—B4—。為日￡（。,兀），

貝“cos0\=|cosm,n|=—,可得sin6二A/1-COS20=

|m|-|n|2x244

所以二面角B-E4-O的正弦值為巫

（3）由（1）可得定=（1,-石,0）,

設(shè)苑=2斤=（尢一&,0）"式0』，可得而=?+網(wǎng)=（彳+1,6-扇，一1）,

由（2）可知：平面的法向量萬=（0,L君），

為.AQ

2X^(Z+1)2+(V3-^/32)2+1

整理可得12萬+奴-5=0,解得彳=?或九=-2（舍去）,

uiini1uun

即尸。=耳尸。，可知存在點。，點。為尸C的中點.

X2V2

18.⑴土+匕=1

43

（2）6x+16y-19=0

（3）存在，x—y+1=0

【分析】（1）利用待定系數(shù)法，求橢圓方程；

（2）利用點差法求解中點弦所在直線方程；

（3）首先設(shè)直線尸。方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示如P+&2=T,即可求解.

【詳解】（1）由題意得上=；,

a2

將代入橢圓方程得3+1=1,又02=/一廿，解得/=4,k=3,

22

故橢圓c的方程為L+二=1.

（2）根據(jù)題意得中點弦A3所在直線的斜率存在，且加在橢圓內(nèi)，設(shè)AQ，X）,

X?尤2丫2

所以9+&=1,2+生=1,

4343

（再+天）（占一%）?(必+%)(%-%)：0

兩式作差，得

答案第9頁，共13頁

由Af是48的中點，得土產(chǎn)=3，七匹=1,

123

所以了+餐/=。，所以配=-『

4Jo

所以，以M為中點的弦AB所在的直線方程為=-[J,

即6x+16y-19=0.

(3)當(dāng)直線/的斜率為。時，此時。和尸重合或。和。重合，顯然不滿足條件%加+=T.

當(dāng)直線/的斜率不為0時，如圖，設(shè)直線/的方程為尤=根，-1,p(公%),。(無2，%)?

由二1's消去X,化簡得(3加+4卜2_6陽一9=0,

[3x+4y=12,、)

22

A=36m-4x(3m+4)x(-9)=144,川+144>0,

EI6m9

則%+%=3/+4'23//

_2礙%-35+%)

由題意，0(2,0),貝UM3P+如°=—^+上；=一^+-^

x1-2x2-2myx-3my2-32yM-3加(％+%)+9

-96m

2mx——-------3ax——------

________34+43療+4—n

_-96m_9

m2x———3mx---+9

3m"+43m"+4

由kDP+kDQ=-1,得〃?=1,

故存在滿足條件的直線/,直線/的方程為x-y+i=o.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵1是點差法解決中點弦問題,關(guān)鍵2是利用直線與圓錐曲

線方程聯(lián)立，利用韋達定理，解決坐標(biāo)問題.

19.⑴4=〃，bn=2"

答案第10頁，共13頁

_17（3n-l）2^_1_

⑷2"-99（2n+l）-42"

3

（3）m>-

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量求解首項、公比即可得｛4｝和｛2｝的通項公

式；

（2）根據(jù)數(shù)列的通項，奇數(shù)項部分通項進行裂項，偶數(shù)項部分錯位相減法求和，然后分奇

偶項求和即可得數(shù)列｛g｝的前2〃項和J,；

（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得4=空當(dāng)，利用含參不等式分離參數(shù)可得相>當(dāng)?對

恒成立，令力="?,判斷其單調(diào)性得最值即可得實數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【詳解】（1）由題可知數(shù)列｛4｝是公差為1的等差數(shù)列，

且《+%二%,貝I]q+q+1=4+2,解得％=1,

所以%=l+n-l=n,

設(shè)等比數(shù)列出｝的公比為4,且偽也=%，%=4女一仇,

4也]=如2

則解得4=4=2,

4=44-bxq

所以么=2X2"T=2",

所以｛%｝和色｝的通項公式為an=n,bn=T.

(2)由(1)得為%=",2=2",

15n+3215n+32小/條.

-------------=-----------,〃為奇數(shù)

所