熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題09直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01兩條直線的平行與垂直關(guān)系..............................................................1

題型02點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用...................................................................2

題型03圓的方程................................................................................3

題型04圓上點(diǎn)到定點(diǎn)（定直線）距離最值問題....................................................4

題型05直線與圓的位置關(guān)系.....................................................................5

題型06圓的切線................................................................................6

題型07圓的弦長...............................................................................7

題型08相交圓的公共弦長.......................................................................7

題型09兩圓的公共弦方程.......................................................................8

題型10圓的公切線問題.........................................................................8

?>-----------題型探析,明規(guī)律-----------O

題型01兩條直線的平行與垂直關(guān)系

【解題規(guī)律?提分快招】

直線方程

4:A{x+B1y+G=0與4：A2X+B2y+C2=0

A_BG

------------聲------

A2B2C2

k1/2AXA2+B]B?=0

【典例1-1】（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知直線4：X+即+1=0與直線4：X+（1—-3=0,貝V機(jī)e{1,-2］"

是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2］（23-24高二上?江蘇南京?開學(xué)考試）已知直線4：如+>+3=0和直線"：

3mx+（m-2）y+m-0,則“加=5"是"《〃4"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【變式1-1］（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知直線《：2x+ay+\=0,l2：bx+y-2=0（a,beR,ab^0）,

若"“=仍"是的充要條件，貝（）

A.-1B.-2C.1D.2

【變式1-2］（23-24高二上嚀夏銀川?期中）".=2"是"直線入2ax+4j，+3=0與直線4：x-（a-l）j.-5=0

垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型02點(diǎn)到直線距離公式應(yīng)用

【解題規(guī)律?提分快招】

一看到直線的局部式-一一一

、7IAx.+By.+CI

平面上任意一點(diǎn)片（為,Jo）到直線/：Ax+By+C=o的距離d=J~

7A-+B

【典例1-1］（2024?北京門頭溝?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)尸（cos&sin。）到直線

kx-y-3k+4=Q的距離，則當(dāng)0,左變化時(shí)，d的最大值與最小值之差為（）

A.2B.3C.4D.6

【典例1-2］（23-24高三下?北京?開學(xué)考試）已知點(diǎn)。（0,0）,點(diǎn)尸滿足1尸。1=1,則點(diǎn)尸到直線少-2=0的

距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1-1］（23-24高二上?福建三明?期末）已知，（TO）,5（1,0）,若直線y=-3）上存在點(diǎn)尸使得

乙4PB=90°,則實(shí)數(shù)左的取值范圍為（）

[6]

D.—00.-----------U——,+00

414J

77

【變式1-2](24-25高二上?北京?階段練習(xí))設(shè)直線/：3x-4y+加=0,圓C:(x-2)?+/=8,若在直線/上

存在一點(diǎn)使得過M的圓C的切線〃尸,(尸,。為切點(diǎn))滿足/尸〃。=90。，則加的取值范圍是

()

A.[-18,6]B.[-16,4]C.[-26,14]D.[-6,14]

【變式1-3](23-24高二上?北京平谷?期末)圓心為(-1,3),且與直線x-y+2=0相切的圓的半徑為()

A.42B.2C.8D.25/2

題型03圓的方程

【解題規(guī)律?提分快招】

i「囪的底箭相|

我們把方程(x-。)2+3-6)2=r2稱為圓心為Z(a,b)半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2、圓的一般式方程1

對于方程/+/+以+砂+b=0(D,E,F為常數(shù)),當(dāng)。2+￡2-4尸〉o時(shí)，方程/+/+瓜+為+

叫做圓的一般方程.：

①當(dāng)02+￡2—4尸〉0時(shí)，方程表示以1^廠!)為圓心，以;&>?+爐-41為半徑的圓;[

2

②當(dāng)￡)2+￡2—4/7=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)]一5,-111

③當(dāng)。2+￡2-4/<0時(shí)，方程不表示任何圖形

說明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①/和產(chǎn)前系數(shù)相等(注意相等，不一定要是1)且不為0；②沒有9項(xiàng)；|

③。2+￡2_4尸〉(J.

彳質(zhì)憫工1172412一5一高三工五直施艾麗市了氤61鏟；6二記匾買手看甌:iW款而面的藥建良一

A.(x+l)2+y2=1B.(x-3)2+(y-l)2=1

C.Y+(y-l)2=1D.(x+l)2+(y-3)2=1

2

【典例1-2](2024?北京海淀?二模)已知雙曲線C:3-/=1,則。的離心率為；以C的一個(gè)焦

點(diǎn)為圓心，且與雙曲線C的漸近線相切的圓的方程為.(寫出一個(gè)即可)

【變式1-1](2024?北京西城?二模)已知圓C經(jīng)過點(diǎn)(-1,0)和(3,0),且與直線丁=2相切，則圓C的方程

為.

【變式1-2](23-24高二上?北京?期末)己知點(diǎn)8(2,0)和點(diǎn)C(2,4),直角ZUBC以2c為斜邊，求直角頂點(diǎn)

A的軌跡方程.

【變式聞⑵3高二上?北京東城?期中）設(shè)P為橢圓C：1+/l上一動(dòng)點(diǎn)，片，耳分別為左、右焦

點(diǎn)，延長耳尸至點(diǎn)。，使得叫|,則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為.

題型04圓上點(diǎn)到定點(diǎn)（定直線）距離最值問題

【解題規(guī)律?提分快招】

工一面王的點(diǎn)函應(yīng)點(diǎn)的最天「最不函高…-一

設(shè)。Z的方程（x—。）2+3-5）2=/,圓心Z（a,A）,點(diǎn)M是。N上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)；記

d=\PA\；

①若點(diǎn)尸在ON外，則|PM|max=d+r-\PM|min=d-r

②若點(diǎn)尸在ON上，貝小夫初鼠=2r-,\PMk=0

③若點(diǎn)尸在。Z內(nèi)，則IPM|max=d+r-\PM|min=r-t7

2、圓上點(diǎn)到直線的最大（?。┚嚯x

設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為外；

①當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：d-r；：

②當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：2廠，最小距離為：0；:

③當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為：d+r,最小距離為：0；：

mi1-11（2023.北京第山.一罐）五△4BC市，ZC=9Q°,AC=BC=42,尸名△N8C所無平面曲的動(dòng)后,

且尸C=l,則國+網(wǎng)的最大值為（）

A.16B.10C.8D.4

【典例1-2]（23-24高二上?北京西城?期末）已知直線/：X=叼-2,P為圓C:/+y2-4x=0上一動(dòng)點(diǎn)，

則點(diǎn)P到直線/的距離的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

【變式1-1]（2024?北京平谷?模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)”（1,0）,動(dòng)直線/：x+ay+2a-l=0,作/M_L/于點(diǎn)則

點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)。距離的最小值為（）

A.1B.72+1c.V2-1D.V3

【變式1-2］（2023?北京昌平?二模）已知點(diǎn)尸在直線底-k10=0上，點(diǎn)。（2cos6,2sine）?eR）,則|尸0|

的最小值為（）

A.1B.3C.5D.7

【變式1-3］（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知5（1,0）,若點(diǎn)尸滿足尸必，則點(diǎn)尸到直線

/:〃z（x-A/5）+“（y-1）=0的距禺的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

題型05直線與圓的位置關(guān)系

【解題規(guī)律?提分快招】

圖

象

位相交相切/相離

置

關(guān)

系

判C:(x-(z)2+(j-Z))2=r2；C:(x-a)2+(j-Z))2=r2；C:(x-aY+(y-bY=r2；

定/:+為+C=0。I:AxBy-\-C=QoI:Ax+By-\-C=0o

方圓心。伍力）到直線/的距圓心C伍力）到直線/的距圓心CQA）到直線/的距

法、.a\Aa+Bb+C\、.a\Aa+Bb+C\、.A\Aa+Bb+C\

i0i[T+B-

d<Y=圓與直線相交。d=rn圓與直線相切。d〉rn圓與直線相離。

【典例1-1】（2024?北京海淀?三模）已知直線/：h-了+1-左=0和圓。。:/+/=產(chǎn)&>0）,則”=行”是

"存在唯一人使得直線/與。。相切”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2】（2024?北京朝陽?二模）若直線>=左（》+2）-1與曲線了=忘?有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上

的一個(gè)取值為.

【變式1-1］（2024?北京大興三模）已知直線/h=辰+1與圓C:（x+1）2+必=/6>0）,則"VAwR,直線

/與圓。有公共點(diǎn)"是"廠>行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-2］（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）若圓（x-『+y2=ig>0）與直線y=只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則。的值為（）

A.1B.6C.2D.2A/3

【變式1-3］（24-25高二上?北京,期中）直線瓜-y+4=0與圓/+（y_了=1的位置關(guān)系是.

題型06圓的切線

【解題規(guī)律?提分快招】

11汪向壬二石柞揚(yáng)磋廠莉雨向不后切旅的連場朝茯1直薪除「司柞二豕而函

2、過圓外一點(diǎn)作切線：利用圓心到直線的距離等于半徑，可作兩條切線

3、切線長問題：飛PC2T2

【典例1-1】（2023,北京通州三模）過直線產(chǎn)x上的一點(diǎn)尸作圓（x-5y+（尸仔=2的兩條切線4，切

點(diǎn)分別為48,當(dāng)直線乙，4關(guān)于了=》對稱時(shí)，線段力的長為（）

A.4B.2亞C.V6D.2

【典例1-2］（2023?北京?模擬預(yù)測）經(jīng)過點(diǎn)（1,0）且與圓苫2+/-4》-2了+3=0相切的直線方程為.

【變式1-1］（2023?北京東城?二模）已知點(diǎn)M（1,G）在圓C:x2+/=加上，過加■作圓C的切線/,貝曠的傾

斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【變式1-2］（2023?北京門頭溝?一模）若點(diǎn)〃是圓。:尤2+/-4%=0上的任一點(diǎn)，直線/:x+y+2=0與x

軸、丁軸分別相交于A、8兩點(diǎn)，則/M42的最小值為（）

兀加7171

A.—B.-C.—D.一

12436

【變式1-3］（2022?北京朝陽?二模）過點(diǎn)（1,2）作圓/+V=5的切線，則切線方程為（）

A.x=1B.3x—4y+5=0C.x+2）—5=0D.x=l或x+2>—5=0

題型07圓的弦長

【解題規(guī)律?提分快招】

⑴AB=2^S-d2

（2）代數(shù)法

直線/：Ax+By+C=0；圓Mf+72+9+4+尸=0

Ax+Bv+C=0

聯(lián)立22八消去”得到關(guān)于“X”的一元二次函數(shù)"2+Zzx+C=0

x2+y2+Dx+Ey+F=Q

弦長公式：AB=J1+左2?J（X］+》2）2—4》冊2

【典例1-1］（2024?北京朝陽?一模）已知直線x—岳+6=0和圓一+/=/小>0）相交于4,8兩點(diǎn).若

|/卻=6,則r=（）

A.2B.273C.4D.372

【典例1-2】（2024?北京海淀?一模）已知。C:（X-1）2+J?=3,線段N8是過點(diǎn)（2,1）的弦，則|/回的最小值

為.

【變式1-1］（2023?北京房山?一模）已知直線V+l="（x-2）與圓（x-iy+（y_l）2=9相交于必N兩點(diǎn).則|〃7V|

的最小值為（）

A.V5B.2#>C.4D.6

【變式1-2］（2024?北京?三模）已知雙曲線C:-=i.則C的離心率是；若C的一條漸近線與

4

圓。:（x-l）2+/=l交于A,8兩點(diǎn)，則|四=.

【變式1-3］（2024?北京西城三模）若直線區(qū)7+左=0與OU（x-l）2+y=4交于A,8兩點(diǎn)，貝以48。面

積的最大值為，寫出滿足"△/8C面積最大"的左的一個(gè)值______.

題型08相交圓的公共弦長

【解題規(guī)律?提分快招】

工一面寫面的公莢教

圓與圓相交得到的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的線段就是兩圓的公共弦.

iii1-1］（2023.重慶.三澳）近1理工+尸1=6王彳壬一百尸柞蔽尸/,依營||/+/一2》=0相訪，

A,B為切點(diǎn)、,則H目的最小值為.

【典例1-2］（2024?天津河北?二模）圓G:-2x—6〉一1=0和圓。2：/+/-1Ox-12〉+45=0的公共

弦的長為.

【變式1-1]（2023?湖南邵陽?一模）已知圓/+/+2苫一4>-5=0與圓/+/+2苫-1=0相交于48兩點(diǎn),

則公共弦所在的直線方程為,|/4=.

【變式1-2]（23-24高二上?河南?期中）圓G：x2+V+2x-12=0與圓C2：x2+必+4x-4y=0的交點(diǎn)為，，

B,則弦的長為.

【變式1-3]（2024,山東威海?三模）圓工2+/+4無=0與圓龍2+/+4、=0的公共弦長為.

題型09兩圓的公共弦方程

【解題規(guī)律?提分快招】

公共我所在直磅的療程i

設(shè)OG：（X—%）2+（yW）2=q21

OC,2:（X-g）2+（JV_b?）2=y；i

聯(lián)立作差得到：4%+與+。=0即為兩圓共線方程

【典例1-1】（2024?河北?模擬預(yù)測）已知M是圓O:/+/=/缶>o）上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N滿足

而？=3X0（4>0）,記點(diǎn)N的軌跡為C,若圓。與軌跡。的公共弦方程為2x+y-5=0,貝IJ（）

A.Q=4"=lB.a==1

C.=4,zl=—D.a==—

22

【典例1-2】（2023?全國?模擬預(yù)測）若圓￡:/+必一以+2》=0與圓。2：工2+必-8x+10y+16=0交于尸，Q

兩點(diǎn)，則直線P。的方程為.

【變式1-1]（2023,全國?模擬預(yù)測）已知圓C：（x+iy+（j+2）2=2,點(diǎn)N（l,0）,若直線//,/N分別切圓C

于兩點(diǎn)，則直線龍W的方程為（）

A.x+y-4=0B.x+y+2=0C.x-y-4=0D.x-y+2=0

【變式1-2]（23-24高二上?北京西城?期中）已知兩圓G：/+/+2》+3>+1=0和C2：x2+/+4x+3y+2=0

相交，則圓￡與圓G的公共弦所在直線的方程為.

題型10圓的公切線問題

【解題規(guī)律?提分快招】

一兩面，卜高丁“烈而繚：

（2）兩圓外切：3條公切線：

（3）兩圓相交：2條公切線

（4）兩圓內(nèi)切：1條公切線

（5）兩圓內(nèi)含：0條公切線：

【典例1-1】（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）已知圓G:（x+l）2+（y+l）2=2,圓。2：無2+/-以-4尸0,則兩圓的

公切線條數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【典例1-2]（23-24高二上?浙江杭州?期末）已知直線/同時(shí)與圓+/=0和圓/+/+2工=0相切,

請寫出兩條直線1的方程—和—.

【變式1-1]（23-24高二上?北京懷柔?期中）若圓G:一+/-6x+5=0與圓。2：/+/+匕+%=0恰有3條

公切線，則加的值為.

【變式1-2]（23-24高二上?北京昌平?期末）已知圓。:無2+/+6x-8y+9=0,則圓。的半徑為；

與圓。和圓X?+「=1都相切的直線的方程為.（只需寫出一條直線的方程）

【變式1-3]（2024.江西景德鎮(zhèn)?一模）已知0G:/+/一2辦-1+/=o與

222

OC2:（x-l）+（y+l）=r（r>0）,若存在實(shí)數(shù)。的值使得兩圓僅有一條公切線，貝心的最小值為.

O---------------------題型通關(guān)?沖高考----------*>

一、單選題

1.（2024?北京?三模）已知直線/：辦+（。+1萬+2=0,圓。：/+產(chǎn)=16,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.對任意實(shí)數(shù)直線/與圓。有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

B.當(dāng)且僅當(dāng)。=-；時(shí)，直線/被圓。所截弦長為40；

C.對任意實(shí)數(shù)。，圓。不關(guān)于直線/對稱；

D.存在實(shí)數(shù)。，使得直線/與圓O相切.

2.（2024?北京?三模）已知/（-1,0）,5（1,0）,若點(diǎn)尸滿足則點(diǎn)尸到直線/-6）+內(nèi)一1）=0

的距離的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

1T

3.（2024?北京房山?一模）直線/：x+y+2=0截圓M：X2+J?=產(chǎn)&>0）所得劣弧所對的圓心角為則廠

的值為（）

A.46B.巫C.近D.旦

323

4.（2024?北京東城?二模）直線八了=-1與圓氏/+V-4x=0交于A,B兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)C,使得△NBC

為等腰三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以為（）

A.（0,0）B.（4,0）C.（1,V3）D.（2,2）

5.（2024?北京