高考中的圓錐曲線問題高考專題突破五考點(diǎn)自測(cè)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點(diǎn)自測(cè)12345解析答案√12345可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.1245解析3答案√12453解析由題意知，以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，12453解析3.(2017·全國(guó)Ⅰ)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為A.16B.14C.12D.10答案√12453解析因?yàn)镕為y2＝4x的焦點(diǎn)，所以F(1,0).1245312453解析答案124532解析12453答案5.(2017·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線

＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________.12453解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然，方程必有兩個(gè)不等實(shí)根.12453題型分類深度剖析題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程√解析答案求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程.思維升華√解析答案則a2＋b2＝4，

①題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)√解析答案解析答案圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線是?？碱}型，解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力.思維升華√解析答案圓的圓心為(2,0)，半徑為2，題型三最值、范圍問題解答(1)求直線AP斜率的取值范圍；解

由P(x，y)，即P(x，x2).所以直線AP斜率的取值范圍為(－1,1).解答(2)求|PA|·|PQ|的最大值.所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3，令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因?yàn)閒′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，圓錐曲線中的最值、范圍問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線的幾何意義求最值與范圍.思維升華解答(1)求橢圓C的方程；證明(2)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D.直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.①求證：點(diǎn)M在定直線上；解答題型四定點(diǎn)、定值問題例4

(2017·益陽(yáng)、湘潭調(diào)研)已知?jiǎng)訄AP經(jīng)過點(diǎn)N(1,0)，并且與圓M：(x＋1)2＋y2＝16相切.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；解答解

由題設(shè)得|PM|＋|PN|＝4>|MN|＝2，∴點(diǎn)P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，(2)設(shè)G(m,0)為軌跡C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G且斜率為k的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，ω＝|GA|2＋|GB|2是與m無關(guān)的定值，并求出該定值.解答解

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(m,0)(－2<m<2)，直線l：y＝k(x－m)，得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0，∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)y1·y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2求定點(diǎn)及定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.思維升華跟蹤訓(xùn)練4已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；證明證明

設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).將y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，

①解答解

四邊形OAPB能為平行四邊形.得k2>k2－6k，所以k>0.所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k＞0，k≠3.四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM.題型五探索性問題(1)求橢圓E的方程；解答所以橢圓E的方程為

＝1.解答即|QC|＝|QD|，所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y0).解得y0＝1或y0＝2，所以若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為(0,2).當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，易知點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－x2，y2)，(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.思維升華(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；解答解

設(shè)拋物線C2：y2＝2px(p≠0)，易得，拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為C2：y2＝4x；解答解

由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)C2的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝1.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，并設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，解得k＝±2.經(jīng)檢驗(yàn)，k＝±2都符合題意.所以存在直線l滿足條件，且l的方程為2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.課時(shí)作業(yè)基礎(chǔ)保分練123456解答(1)求橢圓C的方程；又a2＝b2＋c2，

③聯(lián)立①②③可得a2＝2，b2＝1，123456解答123456∴直線l的斜率不能為0.設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線的方程代入橢圓方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，顯然方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解.由根與系數(shù)的關(guān)系可得123456123456|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]123456解答2.(2018·新余聯(lián)考)如圖所示，已知點(diǎn)E(m,0)為拋物線y2＝4x內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，過E作斜率分別為k1，k2的兩條直線，分別交拋物線于點(diǎn)A，B，C，D，且M，N分別是AB，CD的中點(diǎn).(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面積的最小值；123456解

當(dāng)m＝1時(shí)，E為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD，直線AB的方程為y＝k1(x－1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，得k1y2－4y－4k1＝0，123456123456證明(2)若k1＋k2＝1，求證：直線MN過定點(diǎn).123456證明

直線AB的方程為y＝k1(x－m)，得k1y2－4y－4k1m＝0，顯然方程有兩不等實(shí)根.123456即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直線MN恒過定點(diǎn)(m,2).123456證明3.(2017·衡水聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)C(2,0)的直線與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)求證：y1y2為定值；123456證明

方法一

當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，因此y1y2＝－8(定值).當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，∴y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8，為定值.123456方法二

顯然直線AB的斜率不為0.設(shè)直線AB的方程為my＝x－2，∴y1y2＝－8，為定值.123456解答(2)是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.123456解

設(shè)存在直線l：x＝a滿足條件，123456故所截弦長(zhǎng)為當(dāng)1－a＝0，即a＝1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2，這時(shí)直線方程為x＝1.123456解答4.已知橢圓C：x2＋2y2＝4.(1)求橢圓C的離心率；123456所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2.123456解答(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y＝2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.123456解

直線AB與圓x2＋y2＝2相切.證明如下：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.123456即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.圓心O到直線AB的距離123456此時(shí)直線AB與圓x2＋y2＝2相切．