PAGE1-第1章集合集合的基本概念【例1】已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}的子集個數(shù)是()A．8B．16C．32 D．64[思路探究]先確定集合B中元素個數(shù)，再利用子集個數(shù)的計算公式求解．C[yx－yx01200－1－2110－12210由上表知，B＝{－2，－1,0,1,2}，其子集個數(shù)為25＝32.]1．用列舉法表示集合，其默認(rèn)的條件是集合中的元素各不相同，也就是說集合中的元素肯定要滿意互異性．2．推斷集合中元素個數(shù)時，要留意相同的對象歸入同一個集合時只能算作一個．3．若集合中的元素含有參數(shù)，要抓住集合中元素的互異性，采納分類探討的方法進(jìn)行探討．1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝()A．4B．2C．0 D．0或4A[當(dāng)a＝0時，A＝?，不合題意；當(dāng)a≠0時，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.]2．若2∈{2a－1,1－a2}，則a＝________.eq\f(3,2)[∵1－a2≤1，∴2a－1＝2，解得a＝eq\f(3,2).]集合的基本關(guān)系【例2】已知集合A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B?A，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．[解](1)當(dāng)B＝?時，B?A，由Δ＝(－1)2－4p<0，解得p>eq\f(1,4).(2)當(dāng)B≠?，且B?A時，方程x2－x＋p＝0存在兩個正實(shí)根．由x1＋x2＝1>0，Δ＝(－1)2－4p≥0，且x1x2＝p>0，得0<p≤eq\f(1,4).由(1)(2)可得p的取值范圍為{p|p>0}．1．推斷兩集合關(guān)系的兩種常用方法一是化集合，從表達(dá)式中找尋兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中找尋關(guān)系．2．處理集合間關(guān)系問題的關(guān)鍵點(diǎn)已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿意的關(guān)系．解決這類問題經(jīng)常須要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析．3．已知集合A＝{x∈R|－2<x<4}，B＝{x|x＋3>0}，則A與B之間的關(guān)系為()A．ABB．ABC．A＝B D．ABA[B＝{x|x>－3}，把集合A，B在數(shù)軸上表示出來由上圖知，AB.]4．已知{x|x2－5x＋6＝0}?{a,2,2a－1}，求實(shí)數(shù)a的值．[解]由{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，得3∈{a,2,2a－1}，∴a＝3，或2a－1＝3，解得a＝2或3.當(dāng)a＝2時，集合{a,2,2a－1}中的元素不滿意互異性，舍去．當(dāng)a＝3時，{a,2,2a－1}＝{3,2,5}滿意題意．綜上得，a＝3.集合的基本運(yùn)算設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[思路探究]由A∪B＝A知B?A，需按B＝?與B≠?兩種狀況探討，當(dāng)B≠?時，利用數(shù)軸列出關(guān)于m的不等式組求得m的取值范圍．[解]∵A∪B＝A，∴B?A.當(dāng)m－1>2m＋1，即m<－2時，B＝?，符合題意．當(dāng)m－1≤2m＋1，即m≥－2時，B≠?.由B?A，借助數(shù)軸表示如圖所示．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq\f(5,2).綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<－2或0≤m≤eq\f(5,2).在集合運(yùn)算過程中應(yīng)力求做到“三化”：1意義化：首先分清集合的類型，是表示數(shù)集、點(diǎn)集，還是某類圖形；是表示函數(shù)自變量的取值范圍、因變量的取值范圍，還是表示方程或不等式的解集.2詳細(xì)化：詳細(xì)求出相關(guān)集合中函數(shù)的自變量、因變量的范圍或方程、不等式的解集等；不能詳細(xì)求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡形式.3直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，從而借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題.5．(1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，則a的取值范圍是()A．－1≤a≤1 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)≤－1 D．a(chǎn)≥1或a≤－1(2)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，則A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．?(3)已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}(4)設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a2－1,4}，?UA＝{2，a＋3}，則實(shí)數(shù)a＝________.(1)A(2)C(3)D(4)2[(1)由P∪M＝P，得M?P，所以a∈P，所以a2≤1，解得－1≤a≤1.(2)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以，A∩B＝{x|0≤x≤1}．(3)用Venn圖求解．由上圖知，A＝{3,9}．(4)依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝3，,a＋3＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝5，,a＋3＝3，))解得a＝2.]補(bǔ)集思想的應(yīng)用[探究問題]1．任何一個集合都可以作為全集，對嗎？提示：不對．由全集的定義可知，空集就不能當(dāng)全集，因?yàn)榭占缓魏卧兀?．?UA在U中的補(bǔ)集?U(?UA)與集合A有什么關(guān)系？提示：相等．3．?AC與?BC相等嗎？為什么？提示：不肯定．依據(jù)補(bǔ)集的含義，符號?AC和?BC都表示集合C的補(bǔ)集，但是?AC表示集合C在全集A中的補(bǔ)集，而?BC表示集合C在全集B中的補(bǔ)集，由于集合A和B不肯定相等，所以?AC與?BC不肯定相等．因此，求集合的補(bǔ)集時，首先要明確全集，否則簡單出錯．如集合A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{1,3,4}，則?AC＝{2,5,6,7,8,9}，?BC＝{0,2}，很明顯?AC≠?BC.若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至少有1個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路探究]從已知的反面動身，求出a的取值范圍，再求其補(bǔ)集．[解]由A＝?，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a<0，))解得a>eq\f(9,8)，所以，當(dāng)A至少有一個元素時，a≤eq\f(9,8).補(bǔ)集思想的解題方法,當(dāng)從正面考慮狀況較多，問題較困難的時候，往往考慮運(yùn)用補(bǔ)集思想.其解題步驟為：1否定已知條件，考慮反面問題；2求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍；3取反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍的補(bǔ)集.6．已知集合A＝{y|y>a2＋1，或y<a}，B＝