第6節(jié)半角模型

前言：如果說(shuō)手拉手側(cè)重在旋轉(zhuǎn)本身，三垂直側(cè)重在模型構(gòu)造，半角模型則更多地體現(xiàn)在題型變化.半角模型

一般條件如下：(1)角含半角；(2)鄰邊相等；(3)對(duì)角互補(bǔ).其中鄰邊相等與對(duì)角互補(bǔ)，以正方形為背景即可，至于

角含半角，是明面上的半角模型，可替換為其他條件，模型條件的等價(jià)條件，亦是模型的重點(diǎn).

知識(shí)導(dǎo)航

模型認(rèn)識(shí)

如圖，在四邊形ABCD中,/BAD+NBCD=18(F,AB=AD,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且^EAF=^BAD.

求證：EF=BE+DF.

證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G使得DG=BE,

ZBAD+ZBCD=180°,/./B+/ADC=180°,又/ADC+NADG=180°,ZB=ZADG,I￡AABE和^ADG中,

AB=AD

ZABE=ZADG,.*.△XEE&ZUDG(SAS')

BE=DG

：.ZBAE=ZDAG,

???Z.EAF=-ABAD,

2

???^BAE+ADAF^BAE+^DAF=^BAD=NEAF,即NGAF=NEAF,又AE=AD,

/.AEAF^AGAF(SAS)

EF=GF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF.

正方形中的半角

如圖.在正方形ABCD中.E、F分別在BC、CD上，且/EAF=45。，連接EF.

結(jié)論1：EF=BE+DF.

若E、F分別在CB、DC延長(zhǎng)線上時(shí),則EF=DF-BE.

總結(jié)反思

作輔助線時(shí)，時(shí)而截長(zhǎng)，時(shí)而補(bǔ)短，截長(zhǎng)、補(bǔ)短只是形式，關(guān)鍵點(diǎn)在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的

另一個(gè)半角，此處通過(guò)旋轉(zhuǎn)即可得另一半角.

若想要將一個(gè)三角形恰好地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ).正方形可滿(mǎn)足要求.

結(jié)論2:連接AD,與AE、AF分別交于M、N.則MN2=BM2+DN2.

模型進(jìn)階

結(jié)論3：若BE=則點(diǎn)F是CD邊中點(diǎn).反之亦然.

引例1：如圖1,已知四邊形ABCD是正方形將△DAE,△DCF分別沿DE、DF向內(nèi)折疊得到圖2,此時(shí)DA與D

C重合A、C都落在G點(diǎn)）若GF=4,EG=6,則DG的長(zhǎng)為.

圖1圖2

解析：從/EDF=45?？紤]到半角模型，從4和6之間的關(guān)系考慮結(jié)果：4=12X36=12X/顯然正方形邊長(zhǎng)為

12,.\DG=12.

引例2:如圖，在△ABC中,tan/BAC=l,ADLBC于點(diǎn)D若BD=6,CD=4,則△ABC的面積是______.

解析：AD=12,SABC=|x10X12=60,4BC面積為60.

結(jié)論4:AE平分/BEF,AF平分/DFE.

引例3:如圖，在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0)、A(0,4)、B(3,0)為頂點(diǎn)的RtAAOB,其兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)

的外角角平分線相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P恰好在反比例函數(shù)y=:的圖像上，則k的值為()

C.49D.64

解析：過(guò)點(diǎn)P分別作PM、PN、PQ垂直于y軸、x軸、AB,則△PMA絲Z\PQA,△PNB注△PQB,；.NAPB=45。,

AB=AM+BN,又OM=ON,，AM=2,BN=3,OM=ON=6,，k=36..?.選A.

模型總結(jié)

在正方形ABCD中，條件/EAF=45。等價(jià)于:

(1)EF=BE+DF;

-|-1

(2)BE=泗且DF=：DC;

(3)EA平分/BEF或FA平分/DFE.

以上在正方形中有其一則可推其他結(jié)論.

引例4:如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF

折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合)，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P,設(shè)

BE=x.

⑴當(dāng)AM=1時(shí)，求x的值；

(2)隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如變化,請(qǐng)說(shuō)明理由；如不變，請(qǐng)求出

該定值；

備用圖

解析:⑴BE=x,則AE=l-x,在RtAAEM中，AE2+AM2=引0,代入得：(1一%)2+Q)2=久2解得：久=*

故x的值為I

⑵不變.

連接BM、BP,過(guò)點(diǎn)B作BHLMP交MP于點(diǎn)H,

ZBME+ZBMH=90°,ZEBM+ZBMA=90°,XZBME=ZEBM,ZBMH=ZBMA,

ABAM^ABHM,

；.AM=HM,BA=BH,連接BP,貝（］△BHP0ZXBCP,

，HP=CP,，MP=MH+HP=AM+CP,

/.CAPDM=DM+DP+MP=DA+DC=2.

???APDM的周長(zhǎng)不變，周長(zhǎng)始終是2.

模型拓展

結(jié)論5:A、B、E、N四點(diǎn)共圓，A、D、F、M四點(diǎn)共圓.

結(jié)論6:M、N、F、E四點(diǎn)共圓.

證明：?.?/MEF=NMFN,；.M、N、F、E四點(diǎn)共圓.

結(jié)論7:AMAN^AMDA,ANAM^>ANBA.

S^AND.且落=與=篇煞=有=企.

結(jié)論9:AAFE^AAMN.且篇=9=篇=由結(jié)論6可得/ANM=NAEF,ZAMN=ZAFE.

-,.△AFE^AAMN.

由結(jié)論8可得：某=VI

1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD±,若NEBF=45。，則△EDF的周長(zhǎng)等于.

2.如圖，在正方形ABCD內(nèi)作/EAF=45）AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接ER過(guò)點(diǎn)A作AH±EF,垂足

為H,將4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG,若BE=2,DF=3,則AH的長(zhǎng)為.

3.如圖,正方形ABCD中.AB=6,G是BC的中點(diǎn).將小ABG沿AG對(duì)折至△AFG,延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E,則D

E的長(zhǎng)是（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

4.如圖.在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，BE=4,EC=8將正方形邊AB沿AE折疊到AF延長(zhǎng)EF交DC

于G,連接AG、FC,現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論:①NEAG=45。；②FG=FC;③FC〃AG;④SAGFC=14.其中正確結(jié)論的個(gè)

數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將4ADE沿AE對(duì)折至△AFE,

延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.

給出下列判斷：①NEAG=45。；②若.DE=*則AG〃CF;③若E為CD的中點(diǎn)，則△GFC的面積為2④若

CF=FG,則OF=（V2-l）a;⑤BG-DE+AF-GE=a2.

其中正確的是.（寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)）

6.如圖，在正方形ABCD中.E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且/EAF=45。，AE、AF分別交BD于M、N,連

按EN、EF、有以下結(jié)論：

①AN=EN;②當(dāng)AAF時(shí)，黑=2-四③BE+DF=EF;④存在點(diǎn)E、F,使得NF>DF.其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，在矩形ABC中，AB=2.BC=4,點(diǎn)E、F分另U在BC、CD上，若AE=V5,NEAF=45。,貝?。軦F的長(zhǎng)為

8.如圖,四邊開(kāi)鄉(xiāng)ABCD中,AD〃BC,/BCD=90°,AB=BC+AD,NDAC=45°,E為CD上一點(diǎn)，且/BAE=45°,若C

D=4,則4ABE的面積為（）

B,

_________________

~'D

A.-B.-C.-D.-

7777

9.已知如圖.在正方形中，AD=4,E、F分別是CD、BC上的一點(diǎn)，且/EAF=45。，EC=1,將△ADE繞點(diǎn)A

沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后與AABG重合，連接EF,過(guò)點(diǎn)B作BM〃AG,交AF于點(diǎn)M,則以下結(jié)論:①DE+BF=EF,

@BF=^.(3)AF=y.④SABF=羨正確的是()

10.如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作NEAF=45*AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,過(guò)點(diǎn)A作AH±EF.垂

足為H.

(1)如圖2,將小ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABG.

①求證：△AGE^AAFE;

②若BE=2,DF=3,求AH的長(zhǎng).

⑵如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪?:線段BM、MN、ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?

并說(shuō)明理由.

劃二

BE°QBEC

圖1圖2

：B:

圖3

1L在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E,WABCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處

(1)如圖1,若BC=2BA,求/CBE的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)AB=5,且AFFD=10時(shí),求BC的長(zhǎng)；

⑶如圖3,延長(zhǎng)EF,與NABF的角平分線交于點(diǎn)M,BM交AD于點(diǎn)N,當(dāng)NF=AN+FD時(shí)，求雪的值.

圖3

12.如圖.正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別是邊BC,CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C,D重合)，AM,

AN分別交BD于點(diǎn)E,F,且NMAN始終保持45。不變.

/［、一PTT尸

(1)求-證'：4一=V—2

AM2

(2)求證：AFXFM;

(3)請(qǐng)?zhí)剿鳎涸?MAN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NBAM等于多少度時(shí)，ZFMN=ZBAM?寫(xiě)出你的探索結(jié)論，并加以

證明.

13.問(wèn)題背景：如圖1,在四邊形ABCD中，ZBAD=90°,ZBCD=90°.BA=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,Z

MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.探究圖中線段AE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系.小李同學(xué)探

究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FC到G，使CG=AE,連接BG,先證明△BCG^ABAE,再證明△BFG以Z^BFE,可得出

結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,ZABC=2ZMBN,/MBN繞B

點(diǎn)旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交AD、DC于E、F,上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（直接寫(xiě)出“成立”或者“不成

立“）,不要說(shuō)明理由；

探究延伸2:如圖3,在四邊形ABCD中，BA=BC,ZBAD+ZBCD=180°,ZABC=2ZMBN,/MBN繞B點(diǎn)旋

轉(zhuǎn).它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立?并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處.艦艇乙在指揮中心南偏東

70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，

同時(shí)艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)

E、F處.且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為70。.試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

圖3圖3

第6節(jié)半角模型

1.解析：根據(jù)半角模型結(jié)論可知EF=AE+CF,.?.△EDF的周長(zhǎng)等于DA+DC=4,故△EDF的周長(zhǎng)為4.6.

2.解析：EF=BE+DF=5,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,則CE=x-2,CF=x-3,勾股定理得：(x-2)2+(x-3)2=5?,解得x=6

或-1(舍)，故AH=AB=6,AH的長(zhǎng)為6.C.

3.解析：：AG平分/BGE,S.BG=^BC,：.DE=”C=2,故選C.

4.B.

解析：①③正確，選B.

5.①②④⑤

解析：結(jié)論①正確，易證△ADE^AAFE,AAFG^AABG,/.EAG-^DAB=45

結(jié)論②正確若DE=，廁G是BC中點(diǎn)GC=GF,.\ZGCF=ZGFC,XZCFG+ZGFC=ZFGB,.\ZGFC=ZF

GA,；.AG〃CF.

結(jié)論③錯(cuò)誤，ZFGB=2ZFGA,/./FGC=NFGA,；.AG〃CF.若E為CD中點(diǎn)，則BG=^BC,SGCE=

222

aGF_2c_2a_a

6'自EF-3'_0FC-5.6-151

結(jié)論④正確，若GF=FC,貝1JDE=BG,不妨設(shè)DE=BG=x,貝!JGE=2x,EC=GC=a-x,由△ECG是等腰直角三角形，

可得：2x=V2(a—久，解得：x=(V2—l)a.

結(jié)論⑤正確，正方形面積是a?,AF.GE是五邊形ABGED的面積，故證明△GEC面積為BGQE即可設(shè)BG=m,

DE=n廁EG=m+n,CG=a-m,CE=a-n,根據(jù)勾股定理可得：

(a-m)2+(a—n)2=(m+n產(chǎn)化簡(jiǎn)得：mn=a2—am—an,

2

SOEC=I(a——n)=|(a—am—an+mn)=mn.

綜上所述，正確的是①②④⑤.

6.B.

解析：根據(jù)/EAN=45o=NEBN,:.A、B、E、N四點(diǎn)共圓,；.NANE+/ABE=180。，又/ABE=90。，

.?.NANE=90。，...△ANE是等腰直角三角形，；.AN=EN,故結(jié)論①正確；

不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,設(shè)CE=x,貝?。軨F=x,BE=DF=l-x,由半角模型可得EF=BE+DF,；.EF=2-2x,在RtACEF

中,EF2=CE2+CF2,

代入得：d+*2=（2—2x）2,解得：x=2-V2.

C￡=2-V2,BE=1-（2-V2）=V2-1,

?趣=息=今故結(jié)論②錯(cuò)誤；

CE2—V22

由半角模型可得：BE+DF=EF,故結(jié)論③正確；

易證△DNFs/\BNA,；.NEA=DFBA,即箓=翳，

在小ABN中，顯然AN<AB,

.?.在△DNF中，NF<DF,

故結(jié)論④錯(cuò)誤.

綜上，正確的①③，故本題選B.

n4V10

/.-------.

3

解析：如圖，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M使得BM=2,延長(zhǎng)DC至點(diǎn)N使得CN=2,連接MN,則四邊形AMND是正方形,

VBE=1,

：.MG=2,即點(diǎn)G是MN中點(diǎn)，DF=1DN=1，

：.AF=-V10.

3

------------ic

8.D.

解析：過(guò)點(diǎn)B作BH±AD交AD于點(diǎn)H,貝DH=BC,設(shè)BC=x,貝UAB=x+4,AH=4-x,

在RtAAHB中，AH2+BH2=代入解得：x=l,

即BC=1,考慮/BAE=45。，過(guò)點(diǎn)A作AFLAD交CB延長(zhǎng)線

于點(diǎn)F,則四邊形ADCF是正方形，由半角模型可得：

BE=BF+DE=3+DE,設(shè)DE=y,貝!]CE=4-y,在RtABCE中，

22222

BC+EC=BE?代入得:I+(4-y)=(3+y),

解得：y=T,SABE=&BF+SADB=[X3x4+|x,X4=弓.

故選D.

解析：結(jié)論①顯然正確；

設(shè)BF=x,則EF=3+x,CF=4-x,勾股定理得:

(4-%)2+I2=(%+3產(chǎn)解得：%=提故結(jié)論②正確；

AF=肥+針=竿,故結(jié)論③錯(cuò)誤；

VBM/7AG,.?.△FBM^AFGA,且至=二

FG25

C=工乂變乂4=里-。=型乂=21

FGA211'"FBM7\257175'

故結(jié)論④正確；綜上所述，選D.

10.解析：⑴?VZEAF=45°,AZBAE+ZDAF=45°,VAADF^AABG,AZDAF=ZBAG,

ZBAE+ZBAG=45°,即/￡人6=45。,在4AGE和^AFE中，

AG=AF

■ZEAG=ZEAF>:.AAGE@2FE(.SAS').

AE=AE

@AH=6.

⑵=BM2+ON?,證明略.

11.解析:(1)BF=BC=2BA,/.ZAFB=30°,；.NCBF=30。,又BE平分NCBF,AZCBE=15°.

(2)由題意得:△EDFS/^FAB,ABDE=AFFD=10,；.DE=2,CE=3,DF=4S,AF=2V5,???AD

FABA

—3y/5,：.BC—3

(3)過(guò)點(diǎn)M作MP_LBA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)