專題03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型

與三角板模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

模型1.“8”字模型......................................................................2

模型2.“A”字模型.....................................................................5

模型3.三角板拼接模型.................................................................6

習(xí)題練模型.

...........................................................................................................................................9

例題講模型

模型1.“8”字模型

模型解讀

“8”字模型通常是由兩條相交直線和它們所夾的兩條線段（或延長線）組成的，形狀類似于數(shù)字“8”。

模型證明

1）8字模型（基礎(chǔ)型）

條件:如圖1,AD.相交于點。，連接A3、CD；

結(jié)論：①ZA+ZB=NC+ZD；?AB+CD<AD+BCo

證明：在AAB。中，ZA+ZB+ZAOB=180°；在AC。。中，ZC+ZD+ZC（9D=180o；

VZAOB=ZCOD：.ZA+ZB=ZC+ZD；在AA80中，AB<AO+BO；在ACO。中，CDCCO+DO；

：.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC；：.AB+CD<AD+BCo

2）8字模型（加角平分線）

條件：如圖2,線段AP平分N3A。，線段CP平分/BC。；

結(jié)論：2/P=/B+/D

證明：?線段AP平分NBA。，線段CP平分/BCDZBAP=ZPAD,ZBCP=ZPCD

VZBCP+ZP=ZBAP+ZB①ZPAD+ZP=ZPCD+ZD②

①+②得2/P=NB+/D,則NP=g（ZB+N。），2ZP=ZB+ZD

模型運用

例1.（2023?重慶?八年級期中）如圖，A2和C。相交于點。，NA=NC,則下列結(jié)論中不能完全確定正確

的是()

A./B=NDB.Zl^ZA+ZDC.Z2>ZDD.NC=ND

例2.（2023春?山西臨汾?七年級統(tǒng)考期末）如圖，求NA+ZB+NC+/D+/E+/F+/G的度數(shù).

例3.（2023?山東德州?八年級校考階段練習(xí)）如圖1,已知線段AB,CD相交于點O,連接AC,8。，則我們

把形如這樣的圖形稱為“8字型（1）求證：ZA+ZC=ZB+ZD；（2）如圖2,若，。和NBDC的平分線AP

和OP相交于點P,且與CRAB分別相交于點”、N.①若ZB=10（r,NC=120。，求/尸的度數(shù)；②若角

平分線中角的關(guān)系改為“NCAP=|ZCAB,NCDP=；NCDB”,試探究/P與/B,ZC之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

例4.(2023春?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末)定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

⑴如圖1,線段AD,BC交于點E,連接AB,CD,判斷AD+5C與A5+CD的大小關(guān)系，并說明理由;

⑵如圖2,OC平分/AO3,尸為0c上任意一點，在0L上截取QE=O尸，連接PE,尸。求證：PE=PF；

(3)如圖3,在“WC中，AB>AC,尸為角平分線AD上異于端點的一動點，求證：PB-PC>BD-CD.

例5.(2023春?廣東深圳?七年級部校考期中)探究題

(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則/A,NB,/C,一。四個角的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,若ZBC。，4DE的角平分線CP,。尸交于點尸，則一尸與ZA,的數(shù)量關(guān)系為NP=；

(3)如圖3,CM,分別平分N3C。，/ADE,當(dāng)NA+N3=70。時，試求/M+/N的度數(shù)(提醒：解

決此問題可以直接利用上述結(jié)論)；

(4)如圖4,M^MCD=-ZBCD,ZNDE=-ZADE,當(dāng)/A+/3=”。時，則/M+/N的度數(shù)為______.

44

模型2."A”字模型

模型解讀

如圖，B、C分別是/DAE兩邊上的點，連結(jié)8C,形狀類似于英文字母A,故我們把它稱為“A”字模型。

模型證明

條件:如圖，在AABC中，ZK/2分別為N3、N4的外角;

結(jié)論:@Z1+Z2=ZA+18O°；@Z3+Z4=ZZ)+ZE

證明:@VZ1=ZA+ZACB.\Z1=ZA+18O°-Z2AZl+Z2=ZA+180°o

②在AABC中，ZA+Z3+Z4=180°；在AAZJE中，ZA+ZD+Z￡=180o.\Z3+Z4=ZD+Z￡o

模型運用

例1.（2023?廣西北海?八年級統(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，N1的度數(shù)是（）

C.75°D.118°

例2.（23-24七年級下?福建泉州?期末）如圖，在AABC中，ZA=55°,若剪去NA得到四邊形3CD石，則

Nl+N2=

A

BC

例3.(23-24七年級下?河北石家莊?期末)如圖1,直線/與AABC的邊AC,A3分別相交于點￡),E(都

不與點A重合).

圖4

(1)若NA=64。，①求N1+N2的度數(shù)；②如圖2,直線機與邊AB,AC相交得至ljN3和N4,直接寫出N3+/4

的度數(shù).(2)如圖3,E0,分別平分/3ED和NCDE,寫出/EOD和/A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖4,在四邊形3CDE中，點N分別是線段。C、線段BE上的點，NG,MG分別平分/BMW和

Z.CMN,直接寫出NNGM與，。的關(guān)系.

模型3.三角板拼接模型

模型解讀

由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?/p>

模型證明

當(dāng)題中含三角板時，先根據(jù)度數(shù)或隱含條件判斷三角形的形狀，標(biāo)注其中的特殊角度（90。、30。、45。、60°）,

再根據(jù)題干解題。一副三角板可以拼接出的角度為三角板所含角度的和差，且均為15。的整數(shù)倍。

常見角度拼接（證明特別簡單，故略過）：

模型運用

例1.（2023春?貴州遵義?八年級校聯(lián)考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中Z￡=90°,

ZC=90°,ZA=45°,"=30°,貝!|N1+N2=.

例2.（23-24七年級下?四川成都?期末）將一副直角三角板如圖擺放，點A落在?！赀吷希珹B//DF,則N1

例3.（2023春?江蘇無錫?七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板ABC、DEF,其中NACB=ND所=90。，

ZA=30°,ZD=45°.如圖，將三角板DEF的頂點E放在AB上，移動三角板。EF,當(dāng)點E從點A沿AB

向點8移動的過程中，點E、C、。始終保持在一條直線上.下列結(jié)論：①當(dāng)DE2時，ZACE=60°；

②ZBEF逐漸變小;③若直線DF與直線A3交于點M,則NACE+NLW柜為定值;④若AABC的一邊與ADEF

的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個.正確的有.（填序號）

例4.（23-24七年級下?貴州黔南?期末）如圖1,將一副三角板放在直線MN上，兩個直角頂點重合在一起,

交直線于點C,其中NA=30。，Z￡DC=45°.

CC

圖2圖3

（1）如圖2,將圖1中的三角板CDE繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，/ECB與—ACD的數(shù)量關(guān)

系是；（2）將圖1中的三角板CDE繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3所示的位置，此時CE在NACB

的內(nèi)部，ED與A3相交于點尸，當(dāng)NECB=30。時，求/DP3的度數(shù)；（3）將圖1中的三角板CDE繞點C按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，/DCB的度數(shù)為.（直接寫出結(jié)果即可）

習(xí)題練模型

1.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，ZC=90°,若沿圖中虛線剪去/C,則N1+N2

的度數(shù)是（）.

A.270°B.240°C.180°D.90°

2.（2024?河南商丘?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中NA=90。，ZB=45。,

A.80°B.75°C.70°D.65°

3.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含45。角的直角三角板的直角頂點在另一個

三角板的斜邊上，若4=18。，則N2的度數(shù)是（）

A.18°B.23°C.28°D.33°

4.（2023?廣東江門?八年級?？计谥校┤缦聢D，/1+/2+/3+N4+/5+/6的度數(shù)為（）

6

3

A.540°B.500°C.460°D.420°

5.（2023?廣東清遠?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，/A+N2+/C+NO+/E的結(jié)果為（）

A.90°B.360°C.180°D.無法確定

6.（2024.安徽?八年級?？计谥校┤鐖D，若/CGE=125。,則NA+N3+/C+/D+NE+/F=

7.（2023?四川綿陽?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知Nl=60。，ZC+ZD+ZE+ZF+ZA+ZB=

8.（2023?上海七年級課時練習(xí)）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊

放在一起，當(dāng)NACE<180。，且點E在直線AC的上方時，他發(fā)現(xiàn)若NACE=,則三角板3CE有一

條邊與斜邊AD平行.

D

9.（2023?廣東?八年級假期作業(yè)）如圖，若/EOC=115°,貝U=

10.（2023?廣東揭陽?八年級校考期末）探索歸納:

（1）如圖1,已知AA8C為直角三角形，乙4=90。，若沿圖中虛線剪去/A,貝|/1+/2=1

（2）如圖2,已知AABC中，ZA=40°,剪去NA后成四邊形，貝1]/1+/2=°,

（3）如圖2,根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想N1+N2與NA的關(guān)系是.

A

圖1圖2

11.（2024?重慶?八年級校考期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90SZA=65,。是A3邊上一點，連接CO,

將AACD沿CO翻折，使A點落在3c邊上的E點處，則N3DE的度數(shù)為度.

12.（2024?湖北武漢?八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，AB,。相交于點O,ZA=48°,ZD=46°.

（1）若BE平分NABD交CO于RCE平分NACO交AB于G,求NBEC的度數(shù)；

（2）若直線平分/ABD交C。于凡CM平分NQCH交直線8尸于求NBMC的度數(shù).

13.（2023?廣東湛江?八年級統(tǒng)考期中）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板加V放置在"WC上（尸點

在AABC內(nèi)），二角板PMV的兩條直角邊尸”、PN恰好分別經(jīng)過點8和點C.探究NABP與ZACP是否存

在某種確定的數(shù)量關(guān)系.（1）特殊探究：若NA=50。，貝U/ABC+NACB=____度，NPBC+NPCB=

度，ZABP+ZACP=度；（2）類比探索：請?zhí)骄?ABP+NACP與NA的關(guān)系；（3）類比延伸：如圖②,

改變直角三角板加V的位置，使尸點在AABC外，三角板PMV的兩條直角邊RW、PN仍然分別經(jīng)過點8和

點C,（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結(jié)論，并說明理由.

14.（2023春?河南洛陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，/C4D與/C3O的角平分線交于點P.

（1）若NC=35。，ZD=29°,求/尸的度數(shù)；（2）直接寫出ZC,一尸的數(shù)量關(guān)系；（3）若NC4。與NCBD

的大小發(fā)生變化，（2）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子.

C

B

A

15.（2023春?重慶黔江?七年級統(tǒng)考期末）如圖1,將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2,其中

ZACB=30°,ZDAE=45°,ABAC=ZD=90°.固定三角板ABC,將三角板ADE繞點A按順時針方向旋

轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角NC4E=c（0°<a<180。）.

D

C

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)&為_度時，AD//BC；當(dāng)&為_度時，AD1BC.

（2）當(dāng)0。<￡<45。時，連接80,利用圖3探究值的大小變化情況，并說明理由.

16.（2023?河南駐馬店?八年級統(tǒng)考期中）將三角尺（△MW,NMPN=90。）放置在AABC上（點尸在AABC

內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過點8和點C,我們來研究NAB尸與ZACP是否存在某

種數(shù)量關(guān)系.（1）特例探究：若NA=50。，則/尸3C+/PCB=_______度，ZABP+ZACP=度.

（2）類比探究：NABP、ZACP,NA的關(guān)系是.

（3）變式探究：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點P在AABC外，三角尺的兩邊加、PN仍恰好經(jīng)過點

3和點C,探究-4BP、ZACP,—A的關(guān)系（只要求直接寫出結(jié)論）：.

17.（2023春?江蘇揚州?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”.例

如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角NCOD互為對頂角，則“103與△（%?為“對頂

三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：ZA+AB=AC+AD.

A

p

圖1圖2圖3

⑴如圖1,在“對頂三角形”“OB與中，若ZAOB=70。，則NC+/D=；

（2）如圖2,在AABC中，AD、BE分別平分ZBAC和—ABC,若NC=60。，/ADE比ZBED大6。，求ZBED

的度數(shù).（3）如圖3,BE、CO是的角平分線，且/3DC和/3EC的平分線DP和￡P(guān)相交于點尸，設(shè)

ZA=a,直接寫出/尸的度數(shù)（用含。的式子表示一尸）.

18.（23-24七年級下?河南南陽?期末）在學(xué)習(xí)完三角形的內(nèi)角、外角相關(guān)知識后，利用三角形的內(nèi)角和同學(xué)

們很容易證明三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角的關(guān)系.于是，愛思考的小紅在想，三角形的一個

內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

圖1圖2

①嘗試探究：如圖1,N1與N2分別為AABC的兩個外角，試探究NA與N1+N2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

為什么？

解：數(shù)量關(guān)系：Zl+Z2=180°+ZA.

理由：與N2分別為AABC的兩個外角,

，/=180°—二3,12=180°—14.—1+—2=360°-（/3+—4）.

?.?三角形的內(nèi)角和為180。，/.Z3+Z4=180°-ZA.

Nl+N2=360°-（180°-/⑷=180°+NA.

小紅順利地完成了探究過程，并想考一考同學(xué)們，請同學(xué)們利用上述結(jié)論完成下面的問題.

②初步應(yīng)用：（1）如圖2,在紙片中剪去△€■￡￡）,得到四邊形ABDE,4=130。，則/2-/C=_；

（2）如圖3,在中，BP、CP分別平分外角NDBC、ZECB,則/尸與—A有何數(shù)量關(guān)系？；

（直接填答案）；③拓展提升：（3）如圖4,在四邊形ABC。中，BP、CP分別平分外角NEBC、ZFCB,則

NP與Zl、N2有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由）。

19.（2022春?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)

文化在幾何中可以得到新的解讀.已知在AABC中，ZA=80°,請根據(jù)題意，探索不同情境中/1+N2（或

Z1-Z2）與NA的數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖①，若沿圖中虛線?！杲厝?A,則/1+/2=

（2）如圖②，若沿圖中虛線。E將乙4翻折，使點A落在8c上的點々處，則Nl+N2=.

（3）如圖③，翻折后，點A落在點々處，若/1+/2=80。，求NB+NC的度數(shù)

（4）如圖④，AABC紙片沿。E折疊，使點A落在點4處，若/1=80。，Z2=24°,求NA的度數(shù).

20.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）【問題背景】

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明/A+/B=/C+/D；

【簡單應(yīng)用】（2）如圖2,AP、CP分別平分/BAD.ZBCD,若/ABC=46。，ZADC=26°,求NP的度

數(shù)；

【問題探究】（3）如圖3,直線AP平分/BAD的外角NFAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若NABC=36。，

ZADC=16°,請猜想/P的度數(shù)，并說明理由.

【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)NC=a,ZB=p,/CAP=；/CAB,ZCDP=|zCDB,試問/P與/

C、/B之間的數(shù)量關(guān)系為：_（用a、P表示/P）；②在圖5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角

圖4圖5

專題03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型

與三角板模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當(dāng)然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

....................................18

模型1.“8”字模型.....................................................................18

模型2.“A”字模型....................................................................23

模型3.三角板拼接模型................................................................26

習(xí)題練模型.

.......................................................................................................................................................30

例題講模型|]

模型1.“8”字模型

模型解讀

“8”字模型通常是由兩條相交直線和它們所夾的兩條線段（或延長線）組成的，形狀類似于數(shù)字“8”。

模型證明

1)8字模型(基礎(chǔ)型)

條件：如圖1,AD,相交于點0,連接AB、CD；結(jié)論：①ZA+NB=NC+ND；@AB+CD<AD+BC.

證明：在AA8。中，ZA+ZB+ZAOB=180°；

在ACW中，ZC+ZD+ZCO￡)=180°；

VZAOB=ZCOD：.ZA+ZB=ZC+ZD；

在AABO中，AB<AO+BO；在ACOD中，CD<CO+DO；

：.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC；：.AB+CD<AD+BCo

2)8字模型(加角平分線)

條件：如圖2,線段AP平分/3A。，線段CP平分N2C￡>；結(jié)論：2NP=NB+ND

證明：?.?線段4尸平分NBA。，線段CP平分/BCD/.ZBAP=ZPAD,/BCP=/PCD

VZBCP+ZP=ZBAP+ZB①ZPAD+ZP=ZPCD+ZD②

①+②得2/P=/B+ND,則=+/￡>),即2/尸=/8+/。

模型運用

例1.（2023?重慶?八年級期中）如圖，A8和C。相交于點。，ZA=ZC,則下列結(jié)論中不能完全確定正確

的是（）

D

*--------------

A./B=/DB.Z1=ZA+ZDC.Z2>ZDD.ZC=ZD

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可.

【詳解】VZA+ZAOD+ZD=180°,ZC+ZCOB+ZB^180°,ZA=ZC,ZAOD=ZBOC,

：.ZB=ZD,'：Z1=Z2=ZA+ZD,：.Z2>ZD,故選項A,B,C正確，故選。.

【點睛】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?山西臨汾?七年級統(tǒng)考期末）如圖，求NA+ZB+NC+/D+/E+/F+/G的度數(shù).

【分析】連結(jié)令M與AG交于點M,由三角形內(nèi)角和得N/+NG=NG4B+NER4,從而所求角的和

轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和問題解決.

【詳解】連結(jié)如圖，設(shè)M與AG交于點

又,：NFMG=ZAMB,：.ZF+ZG=ZGAB+ZFBA,

：.ZGAE+ZFBC+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=ZGAE+ZFBC+ZC+ZD+ZE+ZGAB+ZFBA

=(ZGAE+ZGAB)+(ZFBC+ZFBA)+ZC+ZD+ZE

=ZE4B+ZABC+ZC+ZD+ZE=180ox(5-2)=540°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和定理，通過轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?山東德州?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖1,已知線段鉆,。相交于點O,連接AC,3。，則我們

把形如這樣的圖形稱為“8字型”.（1）求證：ZA+ZC=ZB+ZD；（2）如圖2,若—C鉆和NBDC的平分線AP

和DP相交于點P,且與CO,A3分別相交于點V、N.①若4=100°,/C=120。，求二尸的度數(shù)；②若角

平分線中角的關(guān)系改為“NC4尸=1ZCAB,NCDP=1/CDB”，試探究ZP與NB,ZC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴見解析(2)①110。；@ZP=1(ZS+2ZC)

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等即可證明；

(2)①根據(jù)角平分線的定義得到NEP=ZS4P,NBDP=NCDP,再根據(jù)“8字形”得到

/CAP+NC=NCDP+NP,NBAP+NP=NBDP+NB,兩等式相減得到NC-/P=,即

1119

ZP=-(ZB+ZC),即可求解.ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,可得N2AP=§/BAC,

NBDP'NBDC,再由三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，可得2(/C-/P)=NP-/B,即可求解.

【詳解】(1)證明：在AAOC中，ZA+ZC=\80°-ZAOC,

在ABOZ)中，ZB+ZD=1800-ZBOD,VZAOC=ZBOD,：.ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)解：①和NBOC的平分線AP和DP相交于點P,NCA尸=NBAP,N3OP=NCDP,

VZCAP+ZC=ZCDP+ZP?,ZBAP+NP=ZBDP+ZB②,

由①一②，得：ZC-ZP=ZP-ZB,gpZP=1(ZC+ZB),

,/ZB=100°,ZC=120°,/.ZP=1(100°+120°)=110°；

11?2

②,/ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,NBAP=-ABAC,NBDP=-NBDC,

3333

VZCAP+ZC=ZCDP+ZP,ZBAP+ZP=ZBDP+ZB,

iii222

ZC-ZP=-NBDC--ABAC=-(NBDC-ABAC),ZP-ZB=-NBDC--NBAC=-(NBDC-ABAC),

A2(ZC-ZP)=ZP-ZB,AZP=1(ZB+2ZC)),故答案為：ZP=1(ZB+2ZC).

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、有關(guān)角平分線的計算，解題的關(guān)鍵是靈活運用“8字形”求解.

例4.(2023春?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末)定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

(2)如圖2,0c平分/AO3,尸為0c上任意一點，在。4,上截取。石=。尸，連接尸E,PR.求證：PE=P尸；

(3)如圖3,在AABC中，AB>AC,尸為角平分線AD上異于端點的一動點，求證：PB-POBD-CD.

【答案】⑴43+8043+8;理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解

【分析】(1)根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，AE+BE>AB,CE+ED>CD,兩式相加即可得出結(jié)

論；(2)根據(jù)5As證△OERZkOEP即可得出結(jié)論；

(3)在48上取一點E,使AE=AC,連接OE交于點尸，證“PE峪AAPC,即PC=PE,同理證8=￡>E,

然后同理(1)得PB+CD>PC+BD,變形不等式即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：AD+BC>AB+CD,理由如下：

AE+BE>AB,CE+ED>CD,:.AE+BE+CE+ED>AB+CD,BPAD+BOAB+CD-

(2)證明：:OC平分，AO3,:.ZEOP=ZFOP,

OE=OF

在AOEP和中，<NEOP=NFOP,:.^OEP^OFP(SAS),.-.PE=PF；

OP=OP

(3)證明：在AB上取一點E,使AE=AC,連接OE交BP于點尸，

?.?AO是NBAC的角平分線，二/E4P=出,

AE=AC

在VAPE和△APC中，＜NEAP=NCAP,.1△APE絲AAPCISAS),，尸石二尸。，同理可證DE=DC,

AP=AP

■.EF+PF>EP,BF+FD>BD,:.EF+PF+BF+FD>EP+BD,BPPB+DE>EP+BD,

:.PB+CD>PC+BD,:.PB-PC>BD-CD.

【點睛】本題考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題

的關(guān)鍵.

例5.（2023春?廣東深圳?七年級部?？计谥校┨骄款}

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，A,NB,ZC,一。四個角的數(shù)量關(guān)系是；

⑵如圖2,若ZBC。，ZADE的角平分線CP,。尸交于點尸，則/P與NA,的數(shù)量關(guān)系為NP=；

⑶如圖3,CM,DN分別平分NBCD,NADE,當(dāng)NA+N3=7O。時，試求NM+/N的度數(shù)（提醒：解

決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；

（4）如圖4,MZMCD=-ZBCD,ZNDE=-ZADE,當(dāng)+=〃。時，則/M+/7V的度數(shù)為______.

44

【答案】（1）ZA+=/C+（2）NP=90°-g（ZA+/2）（3）235°⑷225°-；n°

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）如圖2,設(shè)NPC￡>=x,ZADP^y,根據(jù)外角的性質(zhì)

得：ZP=y-x,ZCOD=2y-2x,所以，C8=2，P,最后由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）如圖3,

延長CM、LW交于點P,根據(jù)（2）的結(jié)論，并將NA+NB=70。，代入可得

結(jié)論；（4）如圖4,同理計算可得結(jié)論.

【詳解】（1）在中，ZA+ZJ?+ZAOB=180°,在△COZ）中，ZC+ZD+ZCOD=180°,

VZAOB=ZCOD,；.ZA+/B=NC+N。故答案為：ZA+ZB=ZC+ZD

（2）設(shè)NPC￡>=x,ZADP=y,

,?CP,。尸分別平分N3CD,/ADE,：.ZBCD=2x,ZADE^2y,

?：ZP=ZPDE-ZPCD=y-x,：./COD=NODE-/BCD=2y—2x,/.NCOD=2NP,

-：ZA+ZB+ZCOD=180°,2^P+^A+^B=180°,

/.ZP=90°-1(ZA+ZB),故答案為：ZP=90°-1(ZA+ZB)

(3)由(2)可知：ZP=90°-1(ZA+ZB),

VZA+ZB=70°,，NP=55°,ZPMN+ZPNM=125°,ZCMN+ZDNM=360°-125°=235°,

(4)如圖4,延長CM、DN交于點、P,設(shè)NPCD=x,NNDE=y,

:.NP=NPDE-NPCD=y-x,NCOO=4y-4x,/.ZCOD=4ZP,：.4ZP+ZA+ZB=180°,

./p180°-(ZA+ZB).180。-〃。

44

ZPMN+ZPNM=180°-ZP,=180°-45°+-M°,=135°+-H°,

44

/.ZCMN+ZDNM=360°-(ZPMN+ZPNM)=360°-(135。+3。)=225°-~n0故答案為：225°--ra°

444

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用方

程的思想思考問題.

模型2."A”字模型

模型解讀

如圖，B、C分別是NZME兩邊上的點，連結(jié)BC,形狀類似于英文字母4故我們把它稱為“A”字模型。

模型證明

條件：如圖，在A48C中，N1、/2分別為/3、N4的外角;

結(jié)論：①Nl+/2=NA+180°；@Z3+Z4=ZD+ZE

證明：?VZ1=ZA+ZACB.*.Z1=ZA+18O°-Z2AZl+Z2=ZA+180°o

②在AABC中，ZA+Z3+Z4=180°；在AAZJE中，ZA+ZD+Z￡=180o.\Z3+Z4=ZD+Z￡o

模型運用

例1.（2023.廣西北海?八年級統(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，N1的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)鄰補角求得N2=25。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解.

VZ2=180°-155°=25°,/.Z1=37°+Z2=370+25°=62°,故選：A.

【點睛】本題考查了求鄰補角，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.（23-24七年級下?福建泉州?期末）如圖，在A/WC中，ZA=55。，若剪去NA得到四邊形3CDE,則

Zl+Z2=.

【答案】235。案35度

【分析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和，先利用三角形內(nèi)角和為180。計算，然后根據(jù)鄰補角的定義計算即可.

【詳解】解：：ZA=55。，AZAED+ZAZ）E=180o-ZA=180°-55o=125°,

Z1+Z2=180°-ZAED+180°-ZADE=360°-（ZAED+ZADE）=360°-125°=235°,故答案為：235°.

例3.（23-24七年級下.河北石家莊.期末）如圖1,直線/與AABC的邊AC,A3分別相交于點O,E（都

不與點A重合）.

圖4

(1)若/4=64。，①求N1+N2的度數(shù)；②如圖2,直線機與邊AB,AC相交得到N3和N4,直接寫出N3+/4

的度數(shù).(2)如圖3,EO,。。分別平分/3ED和NCDE,寫出/EOD和NA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3汝口圖4,在四邊形3CDE中，點M,N分別是線段。C、線段BE上的點，NG,MG分別平分和

Z.CMN,直接寫出NNGM與ZE,/￡)的關(guān)系.

【答案】⑴①244。；②244。(2)/比＞。=90。-；24,理由見解析(3)/E+，D+2NNGM=360。.

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等

知識點，靈活運用相關(guān)知識是正確解答的關(guān)鍵.(1)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義進行計算

即可；②根據(jù)①的結(jié)論即可解答；(2)由(1)的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理即可解答；

(3)由(2)的結(jié)論可得+=再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行解答即可.

【詳解】(1)解：①如圖1,

*/Nl=ZA+ZADE,Z2=ZA+ZAED,4+N2=ZA+ZADE+ZAED+ZA,

VZA+ZADE+ZAED=180°,ZA=64°,AZl+Z2=ZA+180o=64°+180o=244°；

②由①方法可得：Z3+Z4=Z1+Z2=244°.

(2)解：ZEOD=9Q°--ZA,理由如下：由(1)可得/BED+/CDE=180。+ZA.

2

---EO,DO分別平分ZBED和NCDE,：.ZOED=|NBED/EDO=|ZCDE,

；.ZOED+ZEDO=；(/BED+ZCDE)=1(180°+ZA)=90°+1zA,

ZEOD=180°-(ZOED+/EDO)=180°-,0°+1/A]=90°-1ZA.

(3)解：ZE+ZD+2ZNGM=360°,理由如下：由圖2可得，ZBNM+ZCMN=ZD+ZE,

,：NG,MG分別平分和/CMV,:.NBNG=NMNG=；NBNM,/CMG=NNMG=；NCMN,

：.4MGN=180°-(ZMNG+ZNMG)=180°-1(ZBNM+ZCMN)=180°-1(ZZ)+ZE),

2ZMGN+ZZ)+Z￡=360o.

模型3.三角板拼接模型

模型解讀

由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ汀?/p>

模型證明

當(dāng)題中含三角板時，先根據(jù)度數(shù)或隱含條件判斷三角形的形狀，標(biāo)注其中的特殊角度（90。、30。、45。、60°）,

再根據(jù)題干解題。一副三角板可以拼接出的角度為三角板所含角度的和差，且均為15。的整數(shù)倍。

常見角度拼接（證明特別簡單，故略過）：

模型運用

例1.（2023春?貴州遵義?八年級校聯(lián)考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中ZE=90°,

ZC=90°,ZA=45°,"=30°,貝!J/l+N2=.

【答案】210°

【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出=N2=NE+NEPB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和解

答即可.

【詳解】解：如圖可知：Zl=ZZ）+Zr>OA,N2=NE+NEPB,

■,ZDOA=ZCOP,Z.EPB=ZCPO,

.-.Zl+Z2=ZD+Z￡,+ZCOP+ZCPO=ZD+ZE+180o-ZC=30o+90o+1800-90o=210o,故答案為：210。.

【點睛】此題考查三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答.

例2.（23-24七年級下?四川成都?期末）將一副直角三角板如圖擺放，點A落在DE邊上，AB//DF,則N1

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得N&忘="=90。，

從而得到NC4E=60。，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：：?D90?,Z&4E=/D=90。，

VZBAC=30°,AZCAE=60°,VZE=45°,/.Zl=180°-ZE-ZC4E=75°.故選：D

例3.（2023春?江蘇無錫?七年級統(tǒng)考期末）有一副直角三角板ABC、DEF,其中NACB==90。，

ZA=3O°,ZD=45°.如圖，將三角板￡>EF的頂點E放在AB上，移動三角板DEF,當(dāng)點E從點A沿AB

向點2移動的過程中，點￡、C、。始終保持在一條直線上.下列結(jié)論：①當(dāng)工時，ZACE=60°；

②ZB￡F逐漸變小;③若直線。下與直線A3交于點M,則NACE+NZM位為定值;④若AABC的一邊與J）EF

的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個.正確的有.（填序號）

D

【答案】①③④

【分析】①由DEIAB即可判斷；②過點C作CHLA5,即可判斷；③分別討論當(dāng)直線w與線段A3相

交、直線"'與線段的延長線相交即可判斷；④根據(jù)平行線的判定定理即可進行判斷.

【詳解】解：①；DE，AB,點、E、C、。始終保持在一條直線上CE人AB

ZA=30°ZACE=60°故①正確；②如圖1：過點C作CHJ_A3

當(dāng)點E從點A移動到點H位置時，NDEB的度數(shù)在逐漸增大,ZBEF的度數(shù)在逐漸減小

當(dāng)點E從點X移動到點B位置時，ZBEF的度數(shù)在逐漸增大故②錯誤；

③當(dāng)直線D尸與線段交于點如圖2：?.,NDEB=NA+NACE,NE?+NOEB+NOME=180。

二46￡+30。+45。+/。腔=180。；.ZACE+ZDME=W5°

當(dāng)直線。尸與線段A3的延長線交于點如圖3：ZDEB=ZA+ZACE,ZD+ZDEB+ADME=180°

ZACE+30。+45。+"ME=180。ZACE+ZDME=10