/專題05面積轉(zhuǎn)化問(wèn)題一、平行轉(zhuǎn)化法（等積變形）：平行轉(zhuǎn)化法1：條件：PMAC結(jié)論：S△PAC=S△MAC平行轉(zhuǎn)化法2：條件：PMAB結(jié)論：S△PAB=S△MAB二、三角形面積之比：1．底相等，面積比=高之比2．高相等，面積比=底之比一、平行轉(zhuǎn)化法：例1．（2024?酒泉二模）1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)，連接，，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；對(duì)應(yīng)練習(xí)：2．如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若的面積是6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．二、三角形面積之比：例2．（2024?濟(jì)寧二模）3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA．（1）試求拋物線的解析式；（2）直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線BC交于點(diǎn)M，記m=，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．對(duì)應(yīng)練習(xí)：（2024?單縣三模）4．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接交于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2023?懷遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）5．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，P是第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2024春?昆都侖區(qū)校級(jí)月考）6．如圖，拋物線y＝ax2＋2x＋c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC＝3．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD，CD，OD交BC于點(diǎn)F，當(dāng)S△COF∶S△CDF＝3∶2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2024?濟(jì)寧）7．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，其中a，b，c為常數(shù)，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點(diǎn)E，連接，，．是否存在點(diǎn)P，使？若存在，求此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2024?東營(yíng)）8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，的長(zhǎng)為l，請(qǐng)寫出l關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，連接，交于點(diǎn)F，求的最大值．（2024?湖北模擬）9．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸在y軸的右邊，，點(diǎn)P是直線下方拋物線上的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接，記的面積分別為．當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為直線時(shí)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；三、面積差例3．（2023?武漢模擬）10．如圖1，拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，且，點(diǎn)D為拋物線上第四象限的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖，直線交于點(diǎn)P，連接，若和的面積分別為和，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求直線的解析式．對(duì)應(yīng)練習(xí)：（2024?資陽(yáng)）11．已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)K．記的面積分別為，，求的最大值；參考答案與解析參考答案：1．(1)(2)點(diǎn)【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，及面積問(wèn)題，（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式，根據(jù)題意得，則，連接，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)，則，有，當(dāng)時(shí)，取的最大值，即可求得，那么，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將,代入上式得：，，則拋物線的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，將，，代入中，，解得，∴直線的表達(dá)式為，∵∴，則，連接，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交于點(diǎn)E，如圖，設(shè)，則，則，∴當(dāng)時(shí)，取的最大值，∴，當(dāng)時(shí)，，∴．2．(1)(2)或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解方程組等知識(shí)點(diǎn)，（1）由拋物線解析式可得拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，從而可得a的值，進(jìn)而即可得解．（2）過(guò)點(diǎn)P作的平行線交x軸于點(diǎn)H，連接，求出直線解析式為，直線解析式為，聯(lián)立解方程組即可得解；熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵拋物線，∴對(duì)稱軸為直線，令，解得，，又，，代入解析式得，；（2）過(guò)點(diǎn)P作的平行線交x軸于點(diǎn)H，連接，，，，，，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，∴設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得，或．3．（1）y=﹣x2+x+4；（2）m的最大值為，此時(shí)P（2，4）．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的交點(diǎn)式解析式為y=a（x+2）（x﹣4），由OC=2OA，OA=2，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入點(diǎn)C（0，4），利用待定系數(shù)法解題即可；（2）作PE⊥x軸于E，交BC于F，可證明△CMD∽△FMP，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解得m=，接著求得CD的長(zhǎng)，設(shè)P（n，﹣n2+n+4），F(xiàn)（n，﹣n+4），代入線段的比值，解得PF的長(zhǎng)，用配方法化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解得最大值．【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，∴設(shè)y=a（x+2）（x﹣4），∵OC=2OA，OA=2，∴C（0，4），代入解析式得到a=﹣，∴y=﹣（x+2）（x﹣4），即y=﹣x2+x+4；（2）如圖，作PE⊥x軸于E，交BC于F，∵CD//PE，∴△CMD∽△FMP，∴m=，∵直線y=kx+1（k＞0）與y軸交于點(diǎn)D，∴D（0，1），∴CD=4-1=3，設(shè)BC的解析式為y=dx+e，代入點(diǎn)B（4，0）,C（0，4），得，，BC的解析式為，設(shè)P（n，﹣n2+n+4），則F（n，﹣n+4），且0＜n＜4，∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，∴m==﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)n=2時(shí)，m有最大值，最大值為，此時(shí)P（2，4）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，面積問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)拋物線解析式求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，根據(jù)得出則點(diǎn)到軸的距離為2，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：令，得，解得：，，令，則，，，，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，，，，．5．(1)(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，求得直線的解析式為，據(jù)此求解即可；【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：存在，如圖，過(guò)點(diǎn)P作交x軸于點(diǎn)Q，，，設(shè)中邊上的高為h，，，，，，，，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的解析式知，設(shè)直線的解析式為，把代入得，，解得，∴直線的解析式為，，∴設(shè)直線的解析式為，代入得，解得：，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)在拋物線，∴聯(lián)立得，解得：，把代入，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)【分析】（1）c＝3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．【詳解】解：（1）∵OB＝OC＝3．∴c＝3，點(diǎn)B(3，0)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2＋2x＋3；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M，S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，由B、C的坐標(biāo)得：直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x＋3，設(shè)點(diǎn)D(x，﹣x2＋2x＋3)，則點(diǎn)M(x，﹣x＋3)，DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，解得：x＝1或2，故點(diǎn)D(1，4)或(2，3)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．(1)，(2)①該二次函數(shù)的解析式為：；，②存在，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或【分析】（1）先求得，則可得和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，由此可得，進(jìn)而可求得；（2）①根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由此可求得，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而可得，；②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵的圖像經(jīng)過(guò)，∴，∴和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，，，∴，．（2）解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數(shù)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，．②設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得，∴直線的表達(dá)式為：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：設(shè)，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為或；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，作于F，如圖所示：設(shè)，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，綜上所述，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．（1）將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式得出方程組，解方程組，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）先求出直線的解析式，進(jìn)而表示出的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，作，交于，可得出，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意得，，，拋物線的表達(dá)式為：；（2）解：拋物線與y軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為：，代入，兩點(diǎn)得，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為：，∵過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，，，；（3）解：如圖1，當(dāng)時(shí)，作，交于，∴，，把代入得，，，，當(dāng)時(shí)，，，∴．9．(1)(2)【分析】（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)求得，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，由，證明，得到，求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，，∴∵，∴，∵點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，即，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：∵，設(shè)直線的解析式為，，解得：，∴直線的解析式為，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的值最大，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式和一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，面積最值問(wèn)題等知識(shí)內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)直線AD的表達(dá)式為：【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，（1）由二次函數(shù)，令，則，則，又由得到，，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）由和得到當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，的值最小，則當(dāng)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大值．利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；【詳解】（1）解：由二次函數(shù)，令，則，∴．又∵，∴，，代入得，解得，∴拋物線的解析式是；（2）．∵，為定值，∴當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，的值最小．∵，∴點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)