第5節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考試要求1.能畫出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).【知識(shí)梳理】1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.對(duì)稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).3.對(duì)于y＝tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).【診斷自測】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸是y軸.()(2)正切函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).()(3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.()(4)y＝sin|x|是偶函數(shù).()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸有無窮多條，y軸只是其中的一條.(2)正切函數(shù)y＝tanx在每一個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù).(3)當(dāng)k>0時(shí)，ymax＝k＋1；當(dāng)k<0時(shí)，ymax＝－k＋1.2.(必修一P214T10)函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的值域是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))解析由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))得x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，所以y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).3.(必修一P214T16改編)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin(2x－eq\f(π,3))，x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋kπ，\f(11π,12)＋kπ))(k∈Z)解析由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(5π,12)＋kπ≤x≤eq\f(11π,12)＋kπ，k∈Z，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋kπ，\f(11π,12)＋kπ))(k∈Z).4.函數(shù)f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的定義域是________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(1,2)kπ＋\f(π,6)，k∈Z))解析由2x＋eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(1,2)kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域例1(1)函數(shù)y＝lgsinx＋eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域?yàn)開_______.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z))解析要使函數(shù)有意義，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx－\f(1,2)≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,cosx≥\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2kπ＜x＜π＋2kπ，,－\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(π,3)＋2kπ))(k∈Z)，所以2kπ＜x≤eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＜x≤\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).(2)函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1))解析設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；當(dāng)t＝－eq\r(2)時(shí)，ymin＝－eq\f(1,2)－eq\r(2).∴函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).感悟提升1.三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)的圖象來求解.2.三角函數(shù)值域的不同求法(1)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ))的形式求值域.(2)把sinx或cosx看作一個(gè)整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.訓(xùn)練1(1)函數(shù)y＝eq\r(cosx－\f(\r(3),2))的定義域?yàn)開_______.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)解析由cosx－eq\f(\r(3),2)≥0，得cosx≥eq\f(\r(3),2)，∴2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))時(shí)，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的值域?yàn)開_______.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2))解析因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)，所以當(dāng)sinx＝eq\f(1,4)時(shí)，ymin＝eq\f(7,8)，當(dāng)sinx＝－eq\f(1,2)或sinx＝1時(shí)，ymax＝2.即函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,8)，2)).考點(diǎn)二三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性例2(1)(多選)(2024·福州調(diào)研)設(shè)f(x)＝2cos2x，則()A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)的最小正周期是eq\f(π,2)C.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))對(duì)稱答案AD解析∵f(x)＝2cos2x，∴f(x)為偶函數(shù)，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，A正確，B錯(cuò)誤；∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3)≠±2，∴f(x)的圖象不關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝0，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))對(duì)稱，D正確.(2)(2023·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)在區(qū)間(eq\f(π,6)，eq\f(2π,3))單調(diào)遞增，直線x＝eq\f(π,6)和x＝eq\f(2π,3)為函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸，則f(－eq\f(5π,12))＝()A.－eq\f(\r(3),2) B.－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案D解析由題意得eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)，解得ω＝2，易知x＝eq\f(π,6)是f(x)的最小值點(diǎn)，所以eq\f(π,6)×2＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得φ＝eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)＋2kπ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(7π,6)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)×2＋\f(7π,6)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).感悟提升有關(guān)三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性問題的解題思路(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx的形式.(2)周期的計(jì)算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為eq\f(2π,ω)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期為eq\f(π,ω)求解.(3)解決對(duì)稱性問題的關(guān)鍵：熟練掌握三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心.訓(xùn)練2(1)(多選)(2024·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)的最大值為eq\r(3)B.f(x)的最小正周期為πC.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))為奇函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(11π,12)對(duì)稱答案ABD解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，所以f(x)的最大值為eq\r(3)，A正確；最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，B正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－eq\r(3)cos2x為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；f(x)的對(duì)稱軸滿足2x－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，當(dāng)k＝1時(shí)，x＝eq\f(11π,12)，故D正確.(2)函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))＋1，φ∈(0，π)，且f(x)為偶函數(shù)，則φ＝________，f(x)圖象的對(duì)稱中心為________.答案eq\f(5π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(kπ,2)，1))，k∈Z解析若f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋φ))＋1為偶函數(shù)，則－eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則φ＝eq\f(5π,6)＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq\f(5π,6).∴f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＋1＝3cos2x＋1，由2x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z得x＝eq\f(π,4)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)圖象的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(kπ,2)，1))，k∈Z.考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性例3(1)(多選)(2024·石家莊調(diào)研)下列不等式成立的是()A.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))B.cos400°>cos(－50°)C.sineq\f(7π,8)<sineq\f(8π,7)D.sin3<sin2答案BD解析因?yàn)椋璭q\f(π,2)<－eq\f(π,8)<－eq\f(π,10)<0，且函數(shù)y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上單調(diào)遞增，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閏os400°＝cos40°，cos(－50°)＝cos50°，且當(dāng)0°≤x≤90°時(shí)，函數(shù)y＝cosx單調(diào)遞減，所以cos40°>cos50°，即cos400°>cos(－50°)，故B正確；因?yàn)閑q\f(π,2)<eq\f(7π,8)<eq\f(8π,7)<eq\f(3π,2)，且函數(shù)y＝sinx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上單調(diào)遞減，所以sineq\f(7π,8)>sineq\f(8π,7)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閑q\f(π,2)<2<3<eq\f(3π,2)，且函數(shù)y＝sinx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上單調(diào)遞減，所以sin3<sin2，故D正確.(2)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的單調(diào)遞減區(qū)間為________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z解析f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的單調(diào)遞增區(qū)間.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z.故所給函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.遷移本例(2)中，若函數(shù)不變，求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.解令A(yù)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，π))，∴f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，π)).感悟提升1.已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解.但如果ω＜0，可借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò).2.比較三角函數(shù)值的大小，首先看是否可以直接利用三角函數(shù)在某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性比較大小，若不能，則利用周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.訓(xùn)練3(1)(2022·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則()A.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))上單調(diào)遞減B.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,12)))上單調(diào)遞增C.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞減D.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,12)))上單調(diào)遞增答案C解析依題意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.對(duì)于A，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))，所以2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,3)))，f(x)＝cos2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))上單調(diào)遞增，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,12)))，所以2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，f(x)＝cos2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,12)))上不單調(diào)，所以B不正確；對(duì)于C，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，f(x)＝cos2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞減，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,12)))，所以2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(7π,6)))，f(x)＝cos2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,12)))上不單調(diào)，所以D不正確.(2)若tan2＝a，tan3＝b，tan5＝c，則()A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.c＜b＜a D.c＜a＜b答案D解析因?yàn)閠an5＝tan(5－π)，eq\f(π,2)＜5－π＜2＜3＜π，且函數(shù)y＝tanx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞增，所以tan(5－π)＜tan2＜tan3，所以tan5＜tan2＜tan3，即c＜a＜b.【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.函數(shù)f(x)＝eq\r(2sin\f(π,2)x－1)的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋4kπ，\f(5π,6)＋4kπ))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋4k，\f(5,6)＋4k))(k∈Z)答案B解析由題意，得2sineq\f(π,2)x－1≥0，eq\f(π,2)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))(k∈Z)，則x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z).2.函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A.－1 B.－eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(2),2) D.0答案B解析由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，故函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為－eq\f(\r(2),2).3.(2024·濟(jì)南調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))(ω>0)的最小正周期為π，則f(x)的圖象關(guān)于()A.直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱 B.直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱C.點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))對(duì)稱 D.點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))對(duì)稱答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π，由π＝eq\f(2π,2ω)得ω＝1，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝1，故直線x＝eq\f(π,6)不是f(x)圖象的對(duì)稱軸，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))也不是f(x)圖象的對(duì)稱中心；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2，故直線x＝eq\f(π,3)是f(x)圖象的對(duì)稱軸，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))不是f(x)圖象的對(duì)稱中心.故選B.4.已知α，β為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論正確的是()A.sinα<sinβ B.cosα<sinβC.cosα<cosβ D.cosα>cosβ答案B解析因?yàn)棣粒率卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以α＋β>eq\f(π,2)，所以0<eq\f(π,2)－β<α<eq\f(π,2).所以cosα<coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝sinβ.故選B.5.(2024·茂名模擬)下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期與其余三個(gè)函數(shù)不同的是()A.f(x)＝cos2x＋sinxcosxB.f(x)＝eq\f(1－cos2x,2sinxcosx)C.f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))D.f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))答案C解析對(duì)于A，f(x)＝eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，∴T1＝π.對(duì)于B，sinx≠0且cosx≠0，f(x)＝eq\f(1－（1－2sin2x）,2sinxcosx)＝eq\f(2sin2x,2sinxcosx)＝tanx，∴T2＝π.對(duì)于C，f(x)＝eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝cosx，∴T3＝2π.對(duì)于D，f(x)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴T4＝π.6.(2024·景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)將函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則φ可能的取值是()A.－eq\f(π,3) B.－eq\f(π,6) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)答案B解析將函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度后得到g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,3)))的圖象.因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以φ－eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，所以φ可能的取值是－eq\f(π,6).7.(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sinx|，下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))單調(diào)遞增C.f(x)在[－π，π]有4個(gè)零點(diǎn)D.f(x)的最大值為2答案AD解析f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)eq\f(π,2)<x<π時(shí)，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，故B不正確；f(x)在[－π，π]上的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)f(x)在[－π，π]上只有3個(gè)零點(diǎn)，故C不正確；∵y＝sin|x|與y＝|sinx|的最大值都為1且可以同時(shí)取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正確.8.寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)＝________.①定義域?yàn)镽；②函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；③f(x＋π)＝f(x).答案sin2x(答案不唯一)解析由③f(x＋π)＝f(x)知要求函數(shù)的周期為π，故要求的函數(shù)可以是f(x)＝sin2x，此時(shí)亦滿足①②，答案不唯一.9.(2024·衡水調(diào)研)函數(shù)f(x)＝2cosx－cos2x的最大值為________.答案eq\f(3,2)解析f(x)＝2cosx－cos2x＝－2cos2x＋2cosx＋1，設(shè)t＝cosx，t∈[－1，1]，g(t)＝－2t2＋2t＋1＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,2)，則當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，g(t)max＝eq\f(3,2)，∴函數(shù)f(x)＝2cosx－cos2x的最大值為eq\f(3,2).10.已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,3)))，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，則a，b，c的大小關(guān)系是________(用“<”表示).答案c<a<b解析函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)＋2π))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,7)))＝2sineq\f(10π,21)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sineq\f(π,2)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sineq\f(2π,3)＝2sineq\f(π,3)，因?yàn)閥＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，且eq\f(π,3)<eq\f(10π,21)<eq\f(π,2)，所以sineq\f(π,3)<sineq\f(10π,21)<sineq\f(π,2)，即c<a<b.11.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)性.解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π，最大值為eq\f(2－\r(3),2).(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時(shí)，0≤2x－eq\f(π,3)≤π，從而當(dāng)0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，即eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,12)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤π，即eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(2π,3)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.綜上可知，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減.12.已知函數(shù)f(x)＝4sinωxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))－1(ω＞0)的最小正周期為π.(1)求ω及f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)圖象的對(duì)稱中心.解(1)f(x)＝4sinωxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinωx＋\f(\r(3),2)cosωx))－1＝2sin2ωx＋2eq\r(3)sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx－1＝eq\r(3)sin2ωx－cos2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6))).∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π，∴eq\f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))(k∈Z).(2)令2x－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)圖象的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))，k∈Z.【B級(jí)能力提升】13.(多選)(2024·廣州模擬)若直線x＝eq\f(π,6)是函數(shù)f(x)＝asinx＋bcosx(ab≠0)圖象的一條對(duì)稱軸，則下列說法正確的是()A.b＝eq\r(3)aB.直線x＝－eq\f(5π,6)是函數(shù)f(x)圖象的一條對(duì)稱軸C.點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))是函數(shù)f(x)圖象的一