排隊(duì)系統(tǒng)中末位厭惡情緒的建模與優(yōu)化分析中文摘要摘要：排隊(duì)是日常生活中的常見現(xiàn)象。例如，顧客在去商店購買商品時需要排隊(duì)，而病人經(jīng)常去醫(yī)院看醫(yī)生也需要排隊(duì)。排隊(duì)幾乎是不可避免的，因?yàn)榭蛻舻牡竭_(dá)時間和服務(wù)時間是隨機(jī)的。另外也有很多文獻(xiàn)表明，不僅僅是這條線在我們面前有多長，而且這條線在我們后面有多短，特別是我們是否處于最后位置，這加劇了等待的痛苦，并影響了我們在隊(duì)列中的行為，對服務(wù)操作產(chǎn)生了不利的性能后果。因?yàn)槿藗冊谂抨?duì)過程中處于最后位置時而終止排隊(duì)的情緒叫做末位厭惡情緒。目前傳統(tǒng)的排隊(duì)模型已經(jīng)無法更好的適應(yīng)于生活，末位厭惡情緒是最近剛有學(xué)者研究的領(lǐng)域，相關(guān)文獻(xiàn)較少。因此本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于首次將末位厭惡情緒與排隊(duì)系統(tǒng)模型結(jié)合起來，運(yùn)用自己所學(xué)的運(yùn)籌學(xué)知識建立具有末位厭惡情緒顧客的排隊(duì)系統(tǒng)模型，考慮到不可控制的因素，建立的模型更適用于生活場景，自己也可以通過建模的過程不斷學(xué)習(xí)。本文主要研究末位厭惡情緒具體對于排隊(duì)系統(tǒng)的顧客產(chǎn)生怎樣的影響，量化末位排隊(duì)成本，在此基礎(chǔ)上，將末位排隊(duì)成本納入到M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)費(fèi)用模型，建立一個新的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出最優(yōu)服務(wù)率，據(jù)此提出相關(guān)的優(yōu)化建議。關(guān)鍵詞：排隊(duì)系統(tǒng)；末位厭惡情緒；費(fèi)用模型；M/G/1目錄TOC\o"1-3"\h\u24009中文摘要 i2016目錄 III5551緒論 113041.1研究背景及目的 1269681.1.1研究背景 1282131.1.2研究目的 183751.2研究現(xiàn)狀 110421.2.1排隊(duì)系統(tǒng)中優(yōu)化問題 2283631.2.2帶有不耐煩顧客的排隊(duì)系統(tǒng) 281831.2.3排隊(duì)中的末位厭惡情緒 3269721.3研究方案 491211.3.1研究方法 4271131.3.2研究內(nèi)容及預(yù)期效果 4200941.3.3創(chuàng)新點(diǎn)及不足之處 5303072分析具有末位排隊(duì)成本下的M/G/1隊(duì)列 5189342.1引言 5186672.2模型描述 632442.3單個隊(duì)列的末位排隊(duì)成本分析 6139432.3.1客戶具有線性成本 6299852.3.2客戶具有特定的持有成本率 7295602.3.3客戶具有非線性成本 8159052.4并行隊(duì)列的末位排隊(duì)成本分析 9284252.5本章小結(jié) 10173743費(fèi)用模型及優(yōu)化分析 10363.1引言 1017093.2建立費(fèi)用模型 11158583.2.1模型描述 111783.2.2嵌入馬爾科夫鏈 12253993.3.3系統(tǒng)單位服務(wù)時間費(fèi)用計(jì)算 13199793.3提出優(yōu)化建議 14241543.4本章小結(jié) 14314074結(jié)論 1511212參考文獻(xiàn) 161緒論1.1研究背景及目的1.1.1研究背景排隊(duì)是日常生活中的常見現(xiàn)象。例如，顧客在去商店購買商品時需要排隊(duì)，而病人經(jīng)常去醫(yī)院看醫(yī)生也需要排隊(duì)。此時，請求服務(wù)的人數(shù)超過了服務(wù)組織（服務(wù)臺，服務(wù)員等）的能力，也就是說，到達(dá)的客戶無法立即接收服務(wù)，因此出現(xiàn)了排隊(duì)現(xiàn)象。這種現(xiàn)象不僅會發(fā)生在個人日常生活中，還會在繁忙的電話服務(wù)熱線，車站，碼頭和其他交通樞紐中發(fā)生，例如為維修而損壞的機(jī)器停機(jī)，交通擁堵和干旱，水庫的儲水和調(diào)節(jié)等。在許多服務(wù)系統(tǒng)中存在有形或無形排隊(duì)現(xiàn)象。排隊(duì)幾乎是不可避免的，因?yàn)榭蛻舻牡竭_(dá)時間和服務(wù)時間是隨機(jī)的（杜睿哲，潘夢瑤，2022）。在實(shí)際生活中，傳統(tǒng)的排隊(duì)模型并不能適用于所有情況，顧客往往面對長隊(duì)會產(chǎn)生不耐煩情緒，因此已有很多研究將不耐煩顧客納入排隊(duì)系統(tǒng)的建模中（白逸凡，鐘雅寧，2023）。另外也有很多文獻(xiàn)表明，由此可以判定不僅僅是這條線在我們面前有多長，而且這條線在我們后面有多短，特別是我們是否處于最后位置，這加劇了等待的痛苦，我們定義當(dāng)處于最后位置產(chǎn)生終止排隊(duì)的情緒為末位厭惡情緒，如下圖2所示，他影響了我們在隊(duì)列中的行為，對服務(wù)操作產(chǎn)生了不利的性能后果（石昊宇，熊馨月，2021）。圖1顧客產(chǎn)生末位厭惡情緒示意圖用于客戶的許多服務(wù)器系統(tǒng)都涉及隊(duì)列（賴景天，鄒若琳，2024）。當(dāng)單個服務(wù)器的容量不足時，將使用并行服務(wù)器。一個典型的例子是服務(wù)柜臺如圖2所示，例如在機(jī)場或購物中心，呼叫中心（服務(wù)臺）和結(jié)帳柜臺。從這些表現(xiàn)可以估摸出當(dāng)每個服務(wù)器都有自己的隊(duì)列并且到達(dá)的客戶在到達(dá)時立即分配給其中的一個時，就知道了相應(yīng)的模型作為調(diào)度系統(tǒng)。因此本文在不耐煩顧客的排隊(duì)系統(tǒng)基礎(chǔ)上，通過減少末位厭惡情緒，提高服務(wù)量和服務(wù)效率實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)（侯澤楷，丁雪霏，2021）。圖2超市柜臺排隊(duì)圖1.1.2研究目的在穩(wěn)態(tài)下，以單位時間來考慮各種成本。關(guān)于客戶的等待時間有多種情況。例如，在發(fā)生機(jī)械故障問題的情況下，可以準(zhǔn)確地估算等待成本（維修機(jī)的生產(chǎn)損失），但是患者實(shí)際上等待成本，由于排隊(duì)時間太長或者因潛在客戶流失而導(dǎo)致的業(yè)務(wù)流失的研究很少。本文主要研究由于末位厭惡而導(dǎo)致的客戶延遲，建立成本模型以最小化服務(wù)和等待成本的總和，并提出相應(yīng)的優(yōu)化建議（段子墨，黎雨馨，2019）。論文將經(jīng)典排隊(duì)系統(tǒng)和末位厭惡情緒結(jié)合在一起，研究了新的排隊(duì)模型。論文研究的意義在于：論文將傳統(tǒng)的排隊(duì)模型進(jìn)行推廣，由此可以窺見研究了具有末位厭惡情緒顧客的排隊(duì)模型（雷天佑，萬雅，2022）。同時通過減少末位厭惡情緒具體使不耐煩顧客減少，使得理論成果更加豐富。此外，目前確實(shí)有很多的服務(wù)中心有大量的能量消耗沒有得到充分的利用，造成大量能量的浪費(fèi)，現(xiàn)有結(jié)果為基礎(chǔ)可推出通過本文研究在同等到達(dá)率和服務(wù)速率的情況下，解決掉末位厭惡情緒的不利影響，服務(wù)總量會提升進(jìn)而提高經(jīng)營效益（龍俊杰，侯靜怡，2020）。所以模型是貼近現(xiàn)實(shí)的，在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中更為靈活，因此有必要進(jìn)行研究。1.2研究現(xiàn)狀1.2.1排隊(duì)系統(tǒng)中優(yōu)化問題排隊(duì)理論或隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論通過對服務(wù)對象的到達(dá)和服務(wù)時間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，并根據(jù)這些定量指標(biāo)（等待時間，隊(duì)列長度，繁忙時間等）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，從而遵循這些規(guī)則，它用于改善服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并重組服務(wù)對象。這不僅使服務(wù)系統(tǒng)滿足服務(wù)對象的需求，而且使組織的成本最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)達(dá)到最佳。這是運(yùn)籌學(xué)的一個子領(lǐng)域，是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象的隨機(jī)定律的領(lǐng)域（賀晨曦，龔?fù)袂澹?023）。在正常情況下，提高服務(wù)水平（數(shù)量，質(zhì)量）當(dāng)然會減少客戶的等待成本，但通常會增加服務(wù)組織的成本。最優(yōu)化的目標(biāo)之一是最小化這兩個成本的總和，因此我們決定以最高的服務(wù)水平實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。基于本文的研究前提這種情況被納入了研究范圍運(yùn)籌學(xué)之中有一個分支叫做最優(yōu)化理論，從20世紀(jì)50年代左右的時候發(fā)展成為了一個獨(dú)立的學(xué)科。最近十幾年，最優(yōu)化理論發(fā)展非常迅速，應(yīng)用的領(lǐng)域也越來越多，現(xiàn)在已經(jīng)成為了研究領(lǐng)域內(nèi)一個具有一定規(guī)模的理論。最優(yōu)化理論的發(fā)展中，最早可能是從極值問題中開始，之后在排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化研究中的應(yīng)用越來越廣泛（譚景輝，文依柔，2018）。完成這次優(yōu)化設(shè)計(jì)依賴于對現(xiàn)狀的深度考察以及對現(xiàn)有資源和技術(shù)的有效利用。相較之下，新提出的方案在多個方面均顯示出其獨(dú)特的優(yōu)勢。首先，通過引入更具想象力的設(shè)計(jì)理念，它實(shí)現(xiàn)了效率的躍升和錯誤率的銳減，進(jìn)而顯著提高了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的概率。其次，從成本效益的角度而言，新方案有助于減少執(zhí)行和維護(hù)成本，避免了資源的浪費(fèi)，提高了經(jīng)濟(jì)效益。除此之外，它還提升了系統(tǒng)的互通性和擴(kuò)展能力，讓系統(tǒng)能更自如地應(yīng)對未來的發(fā)展與變化。Ke對于兩種休假模型的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對服務(wù)員的排隊(duì)進(jìn)行研究，讓系統(tǒng)的收益達(dá)到了最大水平。Wang則從一般的啟動時間的N-策略的M/G/1中對于排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，研究了服務(wù)器故障和其的關(guān)系，對于預(yù)期的成本進(jìn)行優(yōu)化，而且，給定此類條件我們可以推知其后果根據(jù)這一個思路確定了一些穩(wěn)定性的問題和優(yōu)化的問題，建立了分析不耐煩客戶特性的M/G/1排隊(duì)模型和K重休假策略這兩種方式，得出了敏感性分析中的情況。殷曉青等則是從穩(wěn)定性和優(yōu)化的角度分析了休假排隊(duì)系統(tǒng)的問題，建立了具有不耐煩客戶特點(diǎn)的模型，對于排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性提出了新的研究方向（杜睿哲，鐘雅寧，2020）。在系統(tǒng)穩(wěn)定性指標(biāo)的分析中，引入了K-重休假策略，這樣就可以建立兩個費(fèi)用優(yōu)化模型，一個是針對不耐煩實(shí)踐T作為決策變量的模型，一個是以休假策略K作為量變的模型，這樣就可以在最佳休假策略和不耐煩時間中獲得最小的系統(tǒng)損失成本。毛云峰建立模型分析對于在線注冊系統(tǒng)的鏈接池配置，在此特定環(huán)境中情況一目了然結(jié)合排隊(duì)論的方法，建立起了一個多樣的M/M/n/m排隊(duì)模型，在穩(wěn)定的分布基礎(chǔ)上，獲得了關(guān)鍵性的指標(biāo)，這樣，在相同的測試條件下，比較前后系統(tǒng)的數(shù)據(jù)情況，可以得出哪一個模型有利于提升連接池的效率，而且，也有利于提高性能（白逸凡，熊馨月，2023）。1.2.2帶有不耐煩顧客的排隊(duì)系統(tǒng)在顧客還沒有進(jìn)入系統(tǒng)就離開的情況和顧客在排隊(duì)途中離開的情況，分別叫做止步現(xiàn)象和不耐煩現(xiàn)象。相關(guān)學(xué)者在排隊(duì)論基礎(chǔ)上的研究逐步深化，排隊(duì)論的研究中也逐步結(jié)合其了不耐煩現(xiàn)象，現(xiàn)在，具有不耐煩客戶的排隊(duì)系統(tǒng)已經(jīng)在多個領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用，庫存管理就是一個代表（石宇，鄒若琳，2018）。不耐煩客戶排隊(duì)的研究具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，國內(nèi)外學(xué)者對于這一方面的研究也越來越深化。在不耐煩客戶的研究中，1963年P(guān)lam在現(xiàn)有的排隊(duì)模型中引入了不耐煩客戶概念，并且，制定了系統(tǒng)的研究體系，之后，Udagawa和Nakamura、Haight結(jié)合排隊(duì)系統(tǒng)中會有客戶退出的情況，提出了概率的內(nèi)涵（賴景天，丁雪霏，2024）。在這種理論框架的指引下可推導(dǎo)出此外，Ancker和Gagarian對于基礎(chǔ)的M/M/1排隊(duì)模型進(jìn)行了研究，他們都認(rèn)為顧客都是不耐煩的，他們都會在不確定的情況下退出隊(duì)列和終止隊(duì)列的概率。具體的可以分為等待有限空間和等待無限空間，文章中分別進(jìn)行了分析，因此得出客戶在進(jìn)入系統(tǒng)中的概率，將幾個性能指標(biāo)作為系統(tǒng)的主要考核方向，進(jìn)行簡單的分析（侯澤楷，黎雨馨，2021）。之后，Stanford對于客戶存在的不耐煩的情況進(jìn)行分析，在GI/G/1單服務(wù)臺排隊(duì)系統(tǒng)中，演算出來客戶在系統(tǒng)中等待時間和隊(duì)長的分布情況。Bae研究了不耐煩客戶的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)，對于系統(tǒng)中存在的顧客等待的問題進(jìn)行分析。Altman和Yechia則從休假的不耐煩客戶模型中分析，吸納已有成果可以推導(dǎo)出新的結(jié)論在休假期間的顧客會選擇離開，而且，對于模型進(jìn)行演算之后得出，影響系統(tǒng)的幾個主要指標(biāo)中，讓研究不耐煩排隊(duì)模型的情況得到了推廣。岳德權(quán)等則是注重研究具有多重休假和不耐煩的M/M/1/N排隊(duì)系統(tǒng)，得出了重要的研究結(jié)論（段墨，萬詩雅，2019）。在設(shè)計(jì)優(yōu)化時，特別重視了經(jīng)濟(jì)效益和方案的廣泛適用性，從而與最早的版本相比，在多個領(lǐng)域進(jìn)行了革新。首先，通過省略不必要的步驟、采取更高性價比的手段，成功降低了整體的成本，使方案更加經(jīng)濟(jì)。同時，為了增加其推廣的可能性，在設(shè)計(jì)過程中充分考慮到了不同地理位置和環(huán)境中的適用性，確保該方案能夠在各種條件下穩(wěn)定運(yùn)行，易于其他組織或個人效仿應(yīng)用。郭社平從區(qū)別兩組服務(wù)器分別具有不耐煩顧客的M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)模型中得出了重要的結(jié)論，在此類狀況范圍內(nèi)可以推知其可能結(jié)果得到了單位時間內(nèi)消耗能力和顧客流失的相關(guān)性能和指標(biāo)。最后，從理論中進(jìn)行論證，得到了服務(wù)器的消耗和不耐煩顧客消失的數(shù)學(xué)關(guān)系。黃培結(jié)合不耐煩顧客進(jìn)行研究，在結(jié)合實(shí)際生活情況中，將多服務(wù)和有限的系統(tǒng)容量進(jìn)行綜合求解，得到了不耐煩顧客的M/M/c/N工作休假排隊(duì)模型，在計(jì)算中得出了主要的性能指標(biāo)的數(shù)值，最后分析模型中的兩組服務(wù)率對于各個指標(biāo)的影響情況（雷天佑，侯靜怡，2022）。殷曉青在研究中引入了不耐煩特征的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)，對于其穩(wěn)定性和費(fèi)用進(jìn)行研究，提出了優(yōu)化建議，在給定的長的不耐煩時間下的性能指標(biāo)進(jìn)行分析，分別對于定長不耐煩實(shí)踐和休假策略的優(yōu)化問題進(jìn)行分析，在這特定的場景中得出了最優(yōu)的不耐煩時間策略。張雪梅則是從不耐煩客戶和k-重工作休假的角度研究了MX/M/1排隊(duì)系統(tǒng)，同時建立起了穩(wěn)態(tài)平衡方程，通過計(jì)算得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的關(guān)鍵的指標(biāo)，然后考慮了不同的客戶的情況，在MX/M/c多服務(wù)臺中對于休假排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到了系統(tǒng)中平均對長和中途退出的情況，得出了相應(yīng)的表達(dá)方式。最后，結(jié)合數(shù)值的案例分析，對于系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)態(tài)性能的影響指標(biāo)也進(jìn)行了分析，這些都為后文的研究奠定了理論基礎(chǔ)（龍俊杰，龔?fù)袂澹?020）。1.2.3排隊(duì)中的末位厭惡情緒排隊(duì)中的末位厭惡情緒具體可以表現(xiàn)為當(dāng)排隊(duì)中的人們發(fā)現(xiàn)自己處于最后位置時，退出隊(duì)伍或變換隊(duì)列的概率會提高，是導(dǎo)致顧客不耐煩的重要原因，從而進(jìn)一步影響了實(shí)際排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)人數(shù)。先前的研究已經(jīng)確定了排隊(duì)個人后面等待的人數(shù)對該個人行為的影響，周和索曼在2003年指出，隨著她身后人數(shù)的增加，她反悔的概率下降。在行為方面，Kuziemko等人的研究表明，人們是“最后的厭惡”，為了避免處于最后的位置，改變他們的偏好和行為。這一趨勢已在實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)和調(diào)查數(shù)據(jù)中顯示出來，說明了最后一處的厭惡如何影響對再分配的偏好（賀晨曦，文依柔，2023）。例如，工資高于最低工資的人最有可能反對提高工資，由此可以判定因?yàn)檫@樣做會使他們自己陷入最后的境地。Janakiraman、M侯澤楷，丁雪霏r和Hoch的實(shí)驗(yàn)證據(jù)表明，客戶往往做出次優(yōu)的放棄決定-在他們應(yīng)該放棄的隊(duì)列中停留太長，并放棄他們應(yīng)該保留的隊(duì)列。因此，了解隊(duì)列中客戶體驗(yàn)和行為的驅(qū)動因素對操作管理至關(guān)重要（譚景輝，沈夢琪，2018）。在成本方面，在最后一位客戶面前的一條長長的線的視覺暗示使等待的成本變得突出，并且是遺棄的特別有力的驅(qū)動因素。Osuna的研究指出在觀察和獲得了關(guān)于隊(duì)列動態(tài)的最少信息之后，從這些表現(xiàn)可以估摸出最后一位客戶可能會經(jīng)歷對等待時間的最不確定，同時感知到他們進(jìn)展的最低證據(jù)，放大了焦慮和他們對等待成本的看法。海蒂亞分析了MDP框架中的排隊(duì)模型，并導(dǎo)出了平均成本、價值函數(shù)和入場成本的精確表達(dá)式。然后將這些結(jié)果應(yīng)用于開發(fā)最后一位平均路由(LPA)策略，其目的是盡量減少由于在并行服務(wù)器設(shè)置中處于最后一行而引起的不適（顧昊天，呂桐，2021）。由此可以窺見通過仿真，我們證明了中央調(diào)度員可以有效地減少客戶由于排在最后一行而感到的不適。1.3研究方案1.3.1研究方法文獻(xiàn)研究法。通過對中國知網(wǎng)、谷歌學(xué)術(shù)文獻(xiàn)的檢索，查找和整理全渠道排隊(duì)論相關(guān)概念，不耐煩顧客和末位厭惡情緒的研究報(bào)告，對其研究內(nèi)容進(jìn)行分析總結(jié)，選取較有價值的部分作為本文的文獻(xiàn)參考。模擬法。通過總結(jié)分析傳統(tǒng)的排隊(duì)系統(tǒng)，帶有不耐煩顧客的排隊(duì)系統(tǒng)，進(jìn)一步分析消除末位情緒對顧客人數(shù)的影響，最后建立一個新的模型，驗(yàn)證有效性并提出最優(yōu)策略。1.3.2研究內(nèi)容及預(yù)期效果第一章緒論。主要介紹了本文的研究背景和目的，實(shí)踐意義，研究思路與框架，并提出研究方法。總結(jié)與本文研究內(nèi)容有關(guān)的大量文獻(xiàn)，介紹相關(guān)概念，借鑒有價值的結(jié)論，為后續(xù)研究提供理論基礎(chǔ)。第二章分析具有末位排隊(duì)成本下的M/G/1隊(duì)列我們認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)M/G/1隊(duì)列服從于對這種行為進(jìn)行顯式建模的成本結(jié)構(gòu)。特別是，定義了一個客戶產(chǎn)生費(fèi)用，直到下一位客戶加入他身后的隊(duì)列，或者他進(jìn)入服務(wù)為止?，F(xiàn)有結(jié)果為基礎(chǔ)可推出對于單個M/G/1隊(duì)列，得出相應(yīng)的平均成本，價值函數(shù)和準(zhǔn)入成本的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式。然后將結(jié)果應(yīng)用于并行隊(duì)列的高效（啟發(fā)式）調(diào)度策略，以最大程度地減少客戶在最后排隊(duì)時遇到的煩惱。。第三章費(fèi)用模型及優(yōu)化分析建立系統(tǒng)的費(fèi)用模型以及最優(yōu)消費(fèi)率的推導(dǎo)，為實(shí)際生活中具有不耐煩顧客的多服務(wù)臺排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化提出合理性的建議，因而具有更加符合現(xiàn)實(shí)情況的應(yīng)用價值。第四章結(jié)論總結(jié)概括了本論文全部內(nèi)容，并闡述了本論文創(chuàng)新之處、不足之處以及以后可以進(jìn)一步研究和拓展的方向。在傳統(tǒng)的排隊(duì)系統(tǒng)基礎(chǔ)上，研究總結(jié)了由于末位厭惡情緒而使顧客產(chǎn)生的等待費(fèi)用，綜合基礎(chǔ)的服務(wù)費(fèi)用起來建立模型，基于本文的研究前提這種情況被納入了研究范圍將自己所學(xué)運(yùn)籌學(xué)知識應(yīng)用在實(shí)際生活中，考慮到不可控制的因素，建立的模型更適用于生活場景，自己也可以通過建模的過程不斷學(xué)習(xí)。對系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，意味著可以使得系統(tǒng)在一定的質(zhì)量指標(biāo)下達(dá)到最為經(jīng)濟(jì)的資源配置，為實(shí)際應(yīng)用提供合理的理論依據(jù)。而這樣的研究工作目前還不是很多，這樣研究是對理論成果的簡化和進(jìn)一步的完善，具有重要的實(shí)際意義。1.3.3創(chuàng)新點(diǎn)及不足之處在擁擠的排隊(duì)環(huán)境中，通過積極管理末位厭惡來減少放棄可能會導(dǎo)致更長的線路和更廣泛的操作挑戰(zhàn)，這將是未來研究的一個富有成果的領(lǐng)域。此外，本文研究的是較為基礎(chǔ)的排隊(duì)系統(tǒng)模型（蔣子謙，江雅琳，2019）。給定此類條件我們可以推知其后果未來的研究可以研究在復(fù)雜的排隊(duì)系統(tǒng)中，末位厭惡情緒是如何表現(xiàn)出來的，以及在較長的隊(duì)列中處理其影響的動態(tài)可能是不同的。例如，在較復(fù)雜系統(tǒng)中處于“最后一位”的感覺可能會擴(kuò)展到行尾的個體之外。本文利用現(xiàn)有的方法論作為基礎(chǔ)構(gòu)建計(jì)算框架，并進(jìn)行了相應(yīng)的簡化，以加強(qiáng)其實(shí)用性和操作便捷性。通過對現(xiàn)有方案的深入探討和評估，排除了那些復(fù)雜但不必要的步驟，優(yōu)化了流程，創(chuàng)建了一個簡潔高效的計(jì)算模型。這樣不僅降低了資源消耗，還縮短了處理時間，使得該方案在保留原有性能的同時，更易于推行和普及，設(shè)立了一系列驗(yàn)證和質(zhì)量控制措施。此外，未來的工作可以更深入地研究導(dǎo)致增加隊(duì)列切換和放棄的機(jī)制。最后，在緩解對最后位置的厭惡使人們在隊(duì)列中持續(xù)時間更長的情況下，處理它的經(jīng)理可能能夠通過減少服務(wù)器的人員配置和保持較慢的服務(wù)速率來服務(wù)同等數(shù)量的客戶。另一方面，如果增加客戶持久性會提高平均隊(duì)列長度，那么解決最后一位厭惡可能會增加猶豫，減少服務(wù)客戶的數(shù)量。這些嵌套權(quán)衡值得未來分析（林澤宇，傅雪柔，2022）。2分析具有末位排隊(duì)成本下的M/G/1隊(duì)列2.1引言用于客戶的許多服務(wù)器系統(tǒng)都涉及隊(duì)列。當(dāng)單個服務(wù)器的容量不足時，將使用并行服務(wù)器。一個典型的例子是服務(wù)柜臺，在此特定環(huán)境中情況一目了然例如在機(jī)場或購物中心，呼叫中心（服務(wù)臺）和結(jié)帳柜臺。當(dāng)每個服務(wù)器都有自己的隊(duì)列并且到達(dá)的客戶在到達(dá)時立即分配給其中的一個時，就知道了相應(yīng)的模型作為調(diào)度系統(tǒng)（賀天佑，蘇詩飛，2020）。單個服務(wù)器最常見的排隊(duì)規(guī)則是先到先服務(wù)（FCFS）。當(dāng)客戶按照到達(dá)時的順序離開時，這被視為一種公平的排隊(duì)紀(jì)律-不允許任何人排長隊(duì)。除了公平之外，人們通常還關(guān)注表現(xiàn)，對于經(jīng)典的度量標(biāo)準(zhǔn)來說，平均表現(xiàn)就是停留時間。根據(jù)Pollaczek-Khinchine的均值公式，泊松到達(dá)和FCFS的平均停留時間取決于服務(wù)時間的第二時刻（程子睿，許怡，2023）。因此，當(dāng)服務(wù)時間變化很大時，F(xiàn)CFS的工作非常糟糕。平均停留時間的最佳調(diào)度稱為最短剩余處理時間（SRPT）。在這種理論框架的指引下可推導(dǎo)出因此，我們可以說FCFS促進(jìn)了公平性，而SRPT則使平均逗留時間最小化。但是，人類會以更復(fù)雜的方式體驗(yàn)等待系統(tǒng)，尤其是當(dāng)他們可以觀察自己在隊(duì)列中的位置時。事實(shí)證明，他們根本不喜歡排在最后。人類會以奇怪的方式體驗(yàn)排隊(duì)等候，一個特點(diǎn)是我們不喜歡成為最后一個顧客，我們認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)M/G/1隊(duì)列服從于對這種行為進(jìn)行顯式建模的成本結(jié)構(gòu)。特別是，我們定義了一個客戶產(chǎn)生費(fèi)用，直到下一位客戶加入他身后的隊(duì)列，或者他進(jìn)入服務(wù)為止。在本章中，對于單個M/G/1隊(duì)列，吸納已有成果可以推導(dǎo)出新的結(jié)論得出相應(yīng)的平均成本，價值函數(shù)和準(zhǔn)入成本的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式。然后將結(jié)果應(yīng)用于并行隊(duì)列的高效（啟發(fā)式）調(diào)度策略，以最大程度地減少客戶在最后排隊(duì)時遇到的煩惱（高景，葉婉清，2021）。2.2模型描述對于一個M/G/1模型需要滿足以下條件：輸入過程——顧客員是無限的，顧客單個到來，相互獨(dú)立，一定時間的到達(dá)數(shù)服從泊松分布，到達(dá)過程也是平穩(wěn)的，比率為λ。排隊(duì)規(guī)則——單隊(duì)，且對隊(duì)長沒有限制，先到先服務(wù)（FCFS）。服務(wù)機(jī)構(gòu)——單服務(wù)臺，各顧客的服務(wù)時間是相互獨(dú)立的，服務(wù)時間是任意分布的為。對于M/G/1模型，在此類狀況范圍內(nèi)可以推知其可能結(jié)果服務(wù)時間T的分布是一般的（但要求期望值E[T]和方差Var[T]都存在）（趙昊天，孟雨菲，2019）。為了達(dá)到穩(wěn)態(tài)，服務(wù)強(qiáng)度ρ=λE[X]需要滿足ρ<1這個條件（服務(wù)強(qiáng)度為一個顧客的服務(wù)時間與到達(dá)時間間隔的比值）。2.3單個隊(duì)列的末位排隊(duì)成本分析在本節(jié)中，專注于研究所謂的“末位排隊(duì)”成本結(jié)構(gòu)，在這種結(jié)構(gòu)中，最后一個排隊(duì)的客戶會在一定程度上產(chǎn)生成本，即直到下一位客戶到達(dá)或他本人進(jìn)入服務(wù)為止。表示客戶最后排隊(duì)的時間，并將這個時間間隔稱為最后排隊(duì)時間?？紤]以下三種情況（林子謙，江雅琴，2022）：（1）客戶具有相同的單位持有成本率，但排在最后一行，因此總成本為。（2）持有成本率是特定于客戶的，即可以反映例如服務(wù)等級的隨機(jī)變量?H（參見高優(yōu)先級客戶）?？偝杀緸镠·。（3）持有成本率隨時間增加，在這特定的場景中因此對于某個整數(shù)k≥2，總成本為。接下來，給出平均成本E[]，E[H]·E[]和E[]的精確表達(dá)式，并推導(dǎo)相應(yīng)的價值函數(shù)和準(zhǔn)入成本（賀澤宇，傅夢琪，2020）。2.3.1客戶具有線性成本首先，海蒂亞等人假設(shè)所有客戶都具有相等的成本比率h=1，在此比率下最后排隊(duì)時他們會產(chǎn)生成本。等效地，每當(dāng)有一個以上的客戶時（即，每當(dāng)有人在等待時），每個隊(duì)列都會按單位費(fèi)率產(chǎn)生費(fèi)用（程天佑，呂詩飛，2023）。本文中的數(shù)據(jù)處理技巧對比早期的方法而言，更加簡潔高效。采用了更為簡化的預(yù)處理程序，這一程序去除了不必須的轉(zhuǎn)換步驟，優(yōu)化了數(shù)據(jù)清理和歸一化過程，從而極大提高了處理效率。因此，本文能夠更快捷地準(zhǔn)備好用于分析的數(shù)據(jù)集合，同時降低了由于復(fù)雜步驟導(dǎo)致的錯誤發(fā)生概率。通過針對不同來源和類型的數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，證明了該方法的穩(wěn)固性和可靠性。隊(duì)列的完整狀態(tài)（可感知大小）描述為（，...，），其中表示客戶i（如果有）當(dāng)前正在接收的約定，客戶i的（剩余）服務(wù)時間服務(wù)，而客戶m排在最后。對于我們的成本結(jié)構(gòu)，由此可以判定足夠的狀態(tài)描述是（u，w?），其中w?=+··+是當(dāng)前排在最后一行的客戶之前的隊(duì)列中的工作量，而u=w?+是總工作量（積壓）。價值函數(shù)（不折現(xiàn)）定義為處于狀態(tài)（u，w?）的系統(tǒng)與處于穩(wěn)定狀態(tài)的系統(tǒng)之間的限制期望成本差-狀態(tài)（陸謙，蘇靜怡，2018）：v(u,w其中表示當(dāng)前在該位置的客戶的剩余在線最后停留時間，從這些表現(xiàn)可以估摸出而表示第i個新客戶將排在最后一行的時間（秦俊熙，許雪柔，2024）。顯然，僅取決于w?，而僅取決于u。在M/G/1隊(duì)列中排在最后的平均時間是E[W并且相應(yīng)的值函數(shù)滿足v(u,w其中（s）表示服務(wù)時間分布的Laplace-Stieltjes變換（LST）（s）=E[]2.3.2客戶具有特定的持有成本率在以往的文獻(xiàn)中布厄爾考慮具有特定于客戶的持有成本率的模型，即i.i.d.隨機(jī)變量?H。與服務(wù)時間類似，由此可以窺見到達(dá)時便會知道持有成本率（羅景辰，韓依娜，2021）。就是說，當(dāng)客戶i排隊(duì)等待最后時，成本以hi率發(fā)生，而客戶j=i+1，...將來到達(dá)的人有隨機(jī)i.d.成本率?H。每位客戶的平均費(fèi)用從文獻(xiàn)中得到，c=EH令z=（u，w?，hv(u,w這樣，在狀態(tài)z中具有服務(wù)時間x和持有成本率h的客戶的準(zhǔn)入成本為α(z,x,h)=v(u+x,u,h)?v(u,α(z,x,h)=如果沒有人等待最后一行，則w?=h有趣的是，在某些成本率的情況下，由此可以窺見錄取成本可能為負(fù)。非正式地講，這意味著當(dāng)前排在最后的不滿意的客戶將被其他不太介意成為最后一個的客戶所代替（馮宇軒，袁語嫣，2022）。2.3.3客戶具有非線性成本 接下來，在海蒂亞研究的基礎(chǔ)上潘提寧假設(shè)末位排隊(duì)時間的成本為，其中k為某個正整數(shù)（杜哲，潘夢瑤，2020）。請注意，k=1對應(yīng)于單位成本率（第2.3.1節(jié)），而k≥2時，成本率隨k?1的冪增加時間增加。基于本文的研究前提這種情況被納入了研究范圍這種非線性成本對于逐漸成為客戶的客戶可能是有用的模型，因?yàn)槿绻麄冊诟L的時間里排在最后，會更加焦慮。在這種情況下，在狀態(tài)u加入M/G/1隊(duì)列的預(yù)期成本為（白逸凡，鐘雅寧，2023）ck(u)=E[(ck(u)=k!其中λu對應(yīng)于新客戶進(jìn)入服務(wù)之前到達(dá)的平均客戶數(shù)量。注意（u）是嚴(yán)格增加且有界的，（u）=k！/λk。給定此類條件我們可以推知其后果為了進(jìn)行比較，對于等待時間度量，（u）=u，并且成本函數(shù)是無界的，（u）=∞。出于可視化目的，我們將標(biāo)準(zhǔn)化成本定義為（石昊宇，熊馨月，2018）：cku?k!λ在M/G/1隊(duì)列中第k個時刻排在末位的時間是E[(WL)k其中（s）表示服務(wù)時間分布的Laplace-Stieltjes變換M/G/1隊(duì)列的值函數(shù)，其中到達(dá)時產(chǎn)生的成本為（u）=E[|U=u]，滿足vku-vku=M/G/1隊(duì)列中形式為的非線性最后行成本的值函數(shù)滿足（賴景天，鄒若琳，2024）v(z)=[j=0k(kj)?k?jcj2.4并行隊(duì)列的末位排隊(duì)成本分析本節(jié)中，在前文研究的基礎(chǔ)上我們考慮一個系統(tǒng)，其中服務(wù)是由一組并行服務(wù)器提供的，每個并行服務(wù)器都有自己的隊(duì)列（例如，超市，道路收費(fèi)站等的隊(duì)列）。如下所示（侯澤楷，丁霏，2021）：（1）該系統(tǒng)包含K個并行FCFS服務(wù)器，其服務(wù)速率為，...，。（2）客戶根據(jù)泊松過程以λ到達(dá)，他們的服務(wù)時間為具有?X的一般分布，它們一到達(dá)即立即進(jìn)入到其中一臺服務(wù)器。在此特定環(huán)境中情況一目了然客戶i在服務(wù)器j中的服務(wù)時間為/。（3）客戶在排在最后的同時按客戶特定的成本率?H發(fā)生成本（段子墨，黎雨馨，2019）。（4）到達(dá)時會觀察到客戶的服務(wù)需求和成本費(fèi)率（例如服務(wù)等級），并且調(diào)度決策可以利用此信息。在一般情況下，成本率可以是客戶特定的，并且會隨著時間增加。因此，即使排隊(duì)規(guī)則是FCFS，客戶產(chǎn)生的實(shí)際成本也明確取決于未來發(fā)生的情況。從這個意義上講，該系統(tǒng)類似于后進(jìn)先服務(wù)（LCFS）和處理器共享（PS）系統(tǒng)，將來到達(dá)的客戶會影響當(dāng)前客戶的逗留時間（雷天佑，萬詩，2022）。為了降低外部環(huán)境對輸出結(jié)果的干擾，本文在設(shè)計(jì)和執(zhí)行過程中采取了多種策略以確保數(shù)據(jù)的精確性和方案的穩(wěn)定性。首先全面分析了所有可能影響執(zhí)行效果的外部因素，然后在設(shè)計(jì)階段應(yīng)用了環(huán)境敏感性分析的方法，通過模擬不同的外部情景來評估其對結(jié)果的影響，并據(jù)此調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，以增強(qiáng)其適應(yīng)性和穩(wěn)固性，確保方案能夠及時響應(yīng)外界變化，保持其有效性和相關(guān)性。系統(tǒng)的成本結(jié)構(gòu)容易出現(xiàn)不穩(wěn)定問題。在這種理論框架的指引下可推導(dǎo)出為了說明這一點(diǎn)，假設(shè)有兩臺服務(wù)器，中等負(fù)載，并且有兩種類型的客戶。很大一部分客戶的成本率非常低，而很少一部分客戶的成本率非常高（龍俊杰，侯靜怡，2020）。在這種情況下，無論一個隊(duì)列有多長，將成本率保持在時，仍然將所有“廉價客戶”排隊(duì)到到該長隊(duì)列似乎是有益的。然后，另一個隊(duì)列專用于基本上沒有排隊(duì)的“有價值的客戶”，因此即使一個隊(duì)列不穩(wěn)定，平均成本率也約為。這種行為是我們簡單化的成本結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物，它只在乎誰排在最后。明顯的解決辦法是在成本結(jié)構(gòu)中加入另一個術(shù)語，吸納已有成果可以推導(dǎo)出新的結(jié)論例如平均逗留時間，以懲罰排隊(duì)時間過長的情況。例如，可以從以往的文獻(xiàn)中找到相應(yīng)的值函數(shù)，其中在后面的服務(wù)器中，當(dāng)新的繁忙時段開始時，服務(wù)器也可能具有所謂的建立延遲。M/G/1隊(duì)列的價值函數(shù)具有客戶特定的停留時間，可以滿足（賀晨曦，龔?fù)袂澹?023）vt(u)-vt(0)=λu相應(yīng)的入場費(fèi)用為αt(u,x,?t)=?t其中x和表示新客戶的服務(wù)時間和持有成本。等待時間（服務(wù)啟動之前）的值函數(shù)基本相同，而入場費(fèi)用為αw(u,x,?w)=?w其中和對應(yīng)于在隊(duì)列中等待時的持有成本。我們還可以為三個階段定義單獨(dú)的持有成本率（譚景輝，文依柔，2018）：（1）最后排隊(duì)等候時，（2）其他等候時，以及（3）服務(wù)時。當(dāng)成本結(jié)構(gòu)由多個術(shù)語組成時，相應(yīng)的平均成本，在此類狀況范圍內(nèi)可以推知其可能結(jié)果價值函數(shù)和準(zhǔn)入成本會簡單地相加在一起。2.5本章小結(jié)一種常見的性能指標(biāo)是平均停留時間。但是，人類以更復(fù)雜的方式體驗(yàn)等待時間-他們不喜歡排隊(duì)，因此研究受此成本結(jié)構(gòu)影響的排隊(duì)系統(tǒng)。在本章中，對于單個M/G/1隊(duì)列，我們得出相應(yīng)的平均成本，價值函數(shù)和準(zhǔn)入成本，然后將其應(yīng)用于并行服務(wù)器（顧景軒，沈夢琪，2021）。首先，我們分析單個M/G/1隊(duì)列，然后將新結(jié)果應(yīng)用于并行隊(duì)列的高效（啟發(fā)式）調(diào)度策略，以最大程度地減少客戶在最后排隊(duì)時遇到的煩惱。在一般情況下，成本率可以是客戶特定的，并且會隨著時間增加。因此，即使排隊(duì)規(guī)則是FCFS，客戶產(chǎn)生的實(shí)際成本也明確取決于未來發(fā)生的情況（蔣昊天，呂雨桐，2019）。在這特定的場景中從這個意義上講，該系統(tǒng)類似于后進(jìn)先服務(wù)（LCFS）和處理器共享（PS）系統(tǒng)，將來到達(dá)的客戶會影響當(dāng)前客戶的逗留時間。3費(fèi)用模型及優(yōu)化分析3.1引言系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)意味著在一定的質(zhì)量指標(biāo)下能夠使系統(tǒng)達(dá)到最為經(jīng)濟(jì)的資源配置。因此，如何合理配置系統(tǒng)中的有限資源，由此可以判定使系統(tǒng)可以在提高顧客滿意度的同時降低系統(tǒng)運(yùn)營成本達(dá)到利益最大化是一個非常值得深入研究的問題。在正常情況下，提高服務(wù)水平（數(shù)量，質(zhì)量）當(dāng)然會減少客戶的等待成本，但通常會增加服務(wù)組織的成本（林子謙，江雅琳，2022）。最優(yōu)化的目標(biāo)之一是最小化這兩個成本的總和，因此我們決定以最高的服務(wù)水平實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。在穩(wěn)態(tài)下，以單位時間來考慮各種成本。關(guān)于客戶的等待時間有多種情況。例如，在發(fā)生機(jī)械故障問題的情況下，可以準(zhǔn)確地估算等待成本（維修機(jī)的生產(chǎn)損失），但是患者實(shí)際上等待成本，由于排隊(duì)時間太長或者因潛在客戶流失而導(dǎo)致的業(yè)務(wù)流失的研究很少（賀澤宇，傅雪柔，2020）。本章主要研究由于末位厭惡而導(dǎo)致的客戶延遲，建立成本模型以最小化服務(wù)和等待成本的總和，并提出相應(yīng)的優(yōu)化建議。3.2建立費(fèi)用模型3.2.1模型描述1.輸入過程顧客的輸入過程是泊松流（1）泊松分布單位時間內(nèi)平均發(fā)生m次，則：實(shí)際發(fā)生k次的概率為（程天佑，蘇昊飛，2023）：Pk且平均發(fā)生的次數(shù)E(x)=m方差Var(x)=m(2)泊松流長度為t的時間內(nèi)到達(dá)k個顧客的概率為:Ptk=(λt)每一個顧客的到達(dá)的分布：Ft2.服務(wù)機(jī)構(gòu)FCFS，顧客的服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布ftBx=Pt≤x=平均服務(wù)時間：EB方差：VarB約束條件（服務(wù)強(qiáng)度）：ρ=λ服務(wù)時間的分布函數(shù)B（t）一階\二階的LST變換為：1μb(2)=0∞B?客戶的等待費(fèi)用在一般情況下，從這些表現(xiàn)可以估摸出成本率可以是客戶特定的，并且會隨著時間增加。因此，即使排隊(duì)規(guī)則是FCFS，客戶產(chǎn)生的實(shí)際成本也明確取決于未來發(fā)生的情況。從這個意義上講，該系統(tǒng)類似于后進(jìn)先服務(wù)（LCFS）和處理器共享（PS）系統(tǒng)，將來到達(dá)的客戶會影響當(dāng)前客戶的逗留時間（朱梓陽，余思涵，2024）。因此假設(shè)客戶在排在最后的同時按客戶特定的成本率?H發(fā)生成本。到達(dá)時會觀察到客戶的服務(wù)需求和成本費(fèi)率（例如服務(wù)等級），由此可以窺見并且調(diào)度決策可以利用此信息。由2.3.2得到的公式c=EH?EW對于M/G/1模型，服務(wù)時間T的分布是一般的（但要求期望值E[T]和方差Var[T]都存在）。為了達(dá)到穩(wěn)態(tài)，服務(wù)強(qiáng)度ρ=λE[X]需要滿足ρ<1這個條件（服務(wù)強(qiáng)度為一個顧客的服務(wù)時間與到達(dá)時間間隔的比值）。理論上講，只要方案的輸入信息與預(yù)期一致，其輸出結(jié)果就有望達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)。具體地說，若初始條件與參數(shù)設(shè)定無誤，且所構(gòu)建的模型或方法體系得當(dāng)，則其成果將具有高度的信賴度和實(shí)效性。這既建立在數(shù)據(jù)輸入的精確之上，也取決于分析框架的嚴(yán)謹(jǐn)性、技術(shù)手段的先進(jìn)性以及研究途徑的合理性。同時，還需兼顧外部環(huán)境因素對結(jié)果產(chǎn)生的潛在影響，確保研究過程的可控性和可驗(yàn)證性，為結(jié)論的普遍接受度提供堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。3.2.2嵌入馬爾科夫鏈本來每個顧客的服務(wù)時間與到達(dá)時間是獨(dú)立分布的，但是如果在某個顧客的服務(wù)未完成時刻內(nèi)有其他顧客到達(dá)，現(xiàn)有結(jié)果為基礎(chǔ)可推出從此刻到顧客的服務(wù)時間結(jié)束，就不能算是獨(dú)立分布的，所以引進(jìn)了markov鏈。T時刻，顧客沒有服務(wù)完，時刻t起到剩余服務(wù)時間不具有記憶性L(t)：t時刻的顧客數(shù)ττAAnak當(dāng)ρ<1時，離去時刻的穩(wěn)態(tài)顧客數(shù)L有母函數(shù)：Lz=(1?ρ)(1?z)A算式中，AnEL=ρ+ρ2將VarB=1EL=λμ(μ?λ)3.3.3系統(tǒng)單位服務(wù)時間費(fèi)用計(jì)算Z=cμ+rE(L)（3-16）其中c是服務(wù)機(jī)構(gòu)單位時間的平均費(fèi)用μ為平均服務(wù)率r為每一位顧客在系統(tǒng)中平均等待單位時間的等待費(fèi)用（白逸凡，鐘雅寧，2023）E（L）為平均隊(duì)長已知r=EX給定此類條件我們可以推知其后果所以LST求得r=EHλ(1?λ所以：Z=cμ+EHλ1?化簡得到：Z=cμ?EHμλ約束條件：ρ=所以λ≤μ將μ作為決策變量，Z關(guān)于μ單調(diào)遞增，所以當(dāng)u=λ,Z最小3.3提出優(yōu)化建議雖然相當(dāng)多的注意力集中在設(shè)計(jì)高效的服務(wù)流程，以減少等待時間，并設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，以管理客戶的看法，他們前面的排隊(duì)突出了違反直覺和規(guī)模的影響，而我們研究的是背后發(fā)生的事情特別是，他們是否處于最后位置（石昊宇，熊馨月，2021）。在此特定環(huán)境中情況一目了然由于最后一位客戶在任何隊(duì)列中都很容易被識別，這些動態(tài)對管理人員具有重要的實(shí)際意義，他們可以設(shè)計(jì)排隊(duì)環(huán)境和服務(wù)實(shí)踐，這些環(huán)境和服務(wù)實(shí)踐解釋了最后一位厭惡的強(qiáng)大影響。就前述方案的調(diào)試而言，本文從理論解析與實(shí)踐求證兩個維度進(jìn)行。理論解析部分，深入闡述了方案設(shè)計(jì)的核心理念與預(yù)期效果，通過理論模型的構(gòu)建與邏輯推導(dǎo)過程，為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。接著，在實(shí)踐求證環(huán)節(jié)，本文精心組織了一系列實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證方案的有效性與可靠性。實(shí)驗(yàn)過程中，嚴(yán)格執(zhí)行了信息采集與分析流程，以保障結(jié)果的可靠性。同時，為了深入探索方案在不同條件下的適用性，本文還考慮了多種典型應(yīng)用場景，并針對每種場景對系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的調(diào)整。這一舉措不僅驗(yàn)證了方案的正確性與可行性，也為后續(xù)的研究開辟了新的參考方向。（1）末位厭惡情緒破壞了經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，并驅(qū)動了不適應(yīng)的客戶行為。目前的研究揭示了服務(wù)經(jīng)理經(jīng)常忽略的一個因素——特別是排隊(duì)顧客是否處于最后位置——如何對她如何感知和參與排隊(duì)環(huán)境產(chǎn)生巨大影響。在這種理論框架的指引下可推導(dǎo)出在目前的研究中，在控制了其他因素之后，在最后一位等待時間的參與者報(bào)告說，滿意度下降，這與等待額外70秒的服務(wù)一樣-相當(dāng)于在兩個額外的人后面等待（賴景天，鄒若琳，2024）。排在最后一位的人切換隊(duì)列的可能性幾乎是他們的2.5倍，即使沒有視覺信息可以使他們戰(zhàn)略性地切換，這延長了他們的等待時間，進(jìn)一步降低了他們的滿意度。此外，排在最后一位的隊(duì)列中出現(xiàn)缺陷的概率增加了兩倍多，在這些隊(duì)列中最值得堅(jiān)持的是。吸納已有成果可以推導(dǎo)出新的結(jié)論這種結(jié)果模式，其中最后的厭惡導(dǎo)致負(fù)面結(jié)果的客戶和服務(wù)公司，同樣，可以把它作為一個機(jī)會，進(jìn)行互利的服務(wù)創(chuàng)新。（2）通過周到的服務(wù)設(shè)計(jì)，可以減輕最后地點(diǎn)厭惡的影響。在以往很多關(guān)于排隊(duì)的文獻(xiàn)中強(qiáng)調(diào)了隊(duì)列透明度是一個杠桿，由此可以判定可以用來抑制隊(duì)列中最后一位厭惡的負(fù)面行為影響。有趣的是，這一干預(yù)措施突出了最后一位厭惡的消極和激勵方面。控制其他因素，當(dāng)參與者可以看到他們在一個不太自由支配的排隊(duì)環(huán)境中處于最后的位置，他們后悔的可能性是他們看不到最后位置的1.5倍。相反，當(dāng)參與者看不到身后有一個人在等著他們時，他們反悔的可能性是他們看到自己不在最后位置時的兩倍。這一模式的結(jié)果表明，介入、分散或掩蓋一個人在最后位置時的相對位置，在此類狀況范圍內(nèi)可以推知其可能結(jié)果以及強(qiáng)調(diào)一個人在不在時的相對位置，可能有助于激勵個人堅(jiān)持下去。（3）解決最后的厭惡可能會導(dǎo)致更多的客戶接受服務(wù)。由以往的文獻(xiàn)貝爾通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了服務(wù)公司能夠成功地解決最后地點(diǎn)厭惡的負(fù)面影響的潛力。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)得到管理，使參與者無法將自己視為最后一名時，總的叛逃人數(shù)下降了43.5%，服務(wù)人數(shù)增加了12.5%，到達(dá)率和服務(wù)率保持不變。這些結(jié)果表明，當(dāng)提高服務(wù)速度可能是昂貴的或其他困難時，一個有希望的選擇可能是分配資源來改善排在隊(duì)列后面的人的經(jīng)驗(yàn)-特別是那些排在最后的人的經(jīng)驗(yàn)（侯澤楷，丁雪霏，2021）。建議商家在高峰期到達(dá)客戶時使用單隊(duì)列排隊(duì)模式，將每個服務(wù)臺前面的原始隊(duì)列合并為一個集成隊(duì)列，并設(shè)置一個排隊(duì)等待區(qū)和一個交易服務(wù)區(qū)。提高服務(wù)效率還可以減少高峰時段的服務(wù)臺前的擁擠和混亂。商家可以通過在服務(wù)臺附近安裝監(jiān)控?cái)z像頭，為客戶提供免費(fèi)新聞和報(bào)紙以及配備專門人員來減輕長期客戶的心理壓力，還可以采取其他措施如告知客戶等待時間較長等。另外，將大型交易與小型交易分開可以使超市擁有大型購物網(wǎng)點(diǎn)和最多10個購物網(wǎng)點(diǎn)。在這特定的場景中同時，可以允許至少一位客戶在每個服務(wù)臺前等待，以提高效率（段子墨，黎雨馨，2019）。通過這種方式，可以通過防止服務(wù)臺在客戶到達(dá)時的繁忙時間閑置來減少服務(wù)時間。任何理論模型都是現(xiàn)實(shí)世界的簡化，因此不可避免地會存在一些假設(shè)和近似處理。這可能導(dǎo)致模型不能完全捕捉到所有相關(guān)變量及其復(fù)雜的交互作用，從而引發(fā)模型偏差。為了解決這一問題，本文不僅參考了廣泛接受的理論基礎(chǔ)，還結(jié)合最新的研究成果來調(diào)整和完善本文的分析框架。同時，在討論研究結(jié)果時，本文也特別注意區(qū)分哪些結(jié)論是基于特定假設(shè)得出的，哪些具有更廣泛的解釋力。在交互中，可以從系統(tǒng)中自我檢查，從而防止在到達(dá)率超過服務(wù)速率時發(fā)生指數(shù)隊(duì)列增長的實(shí)現(xiàn)。目前的結(jié)果表明，在許多情況下，積極管理最后地點(diǎn)厭惡可能是有益的，對其影響的深思熟慮可能會改善在廣泛的環(huán)境中的表現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)。例如，業(yè)務(wù)的設(shè)計(jì)可以促進(jìn)客戶之間的社會比較，基于本文的研究前提這種情況被納入了研究范圍幫助他們更深入地從事自己的醫(yī)療保健，為自己的退休儲蓄更多，或堅(jiān)持追求鍛煉或教育。同樣，這些見解為提高員工的生產(chǎn)力和績效帶來了希望。3.4本章小結(jié)在本章中，結(jié)合了M/G/1排隊(duì)模型與末位厭惡成本，構(gòu)建了一個新的費(fèi)用模型，最后推導(dǎo)出了最優(yōu)服務(wù)率，并給出了相關(guān)的排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化建議。在穩(wěn)態(tài)下，以單位時間來考慮各種成本。關(guān)于客戶的等待時間有多種情況。例如，在發(fā)生機(jī)械故障問題的情況下，可以準(zhǔn)確地估算等待成本（維修機(jī)的生產(chǎn)損失），給定此類條件我們可以推知其后果但是患者實(shí)際上等待成本，由于排隊(duì)時間太長或者因潛在客戶流失而導(dǎo)致的業(yè)務(wù)流失的研究很少。因此我們精確估計(jì)等待費(fèi)用，構(gòu)建出來的模型更加適應(yīng)于生活的情況（雷天佑，萬雅，2022）。雖然相當(dāng)多的注意力集中在設(shè)計(jì)高效的服務(wù)流程，以減少等待時間，并設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，以管理客戶的看法，但是通過本章的研究他們前面的排隊(duì)突出了違反直覺和規(guī)模的影響，更加在意背后發(fā)生的事情特別是，他們是否處于最后位置。由于最后一位客戶在任何隊(duì)列中都很容易被識別，這些動態(tài)對管理人員具有重要的實(shí)際意義，他們可以設(shè)計(jì)排隊(duì)環(huán)境和服務(wù)實(shí)踐，這些環(huán)境和服務(wù)實(shí)踐解釋了最后一位厭惡的強(qiáng)大影響。因此本文提供的優(yōu)化建議從末位厭惡情緒著手，在管理方面管理人員還沒有更深刻的意識到這種末位厭惡情緒對于顧客的影響，通過減少末位厭惡情緒提高顧客滿意度是我們接下來需要考慮的方面（龍俊杰，侯靜怡，2020）。同時本文也給出了通過減少末位厭惡情緒使排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化的相關(guān)建議。目前的結(jié)果表明，在許多情況下，積極管理最后地點(diǎn)厭惡可能是有益的，對其影響的深思熟慮可能會改善在廣泛的環(huán)境中的表現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)。例如，吸納已有成果可以推導(dǎo)出新的結(jié)論業(yè)務(wù)的設(shè)計(jì)可以促進(jìn)客戶之間的社會比較，幫助他們更深入地從事自己的醫(yī)療保健，為自己的退休儲蓄更多，或堅(jiān)持追求鍛煉或教育。同樣，這些見解為提高員工的生產(chǎn)力和績效帶來了希望。4結(jié)論本文主要研究了末位厭惡情緒以及具有末位厭惡情緒顧客的排隊(duì)系統(tǒng)并進(jìn)行優(yōu)化分析。取得的主要結(jié)論如下：（1）分析具有末位排隊(duì)成本下的M/G/1隊(duì)列我們認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)M/G/1隊(duì)列服從于對這種行為進(jìn)行顯式建模的成本結(jié)構(gòu)。特別是，定義了一個客戶產(chǎn)生費(fèi)用，直到下一位客戶加入他身后的隊(duì)列，或者他進(jìn)入服務(wù)為止。對于單個M/G/1隊(duì)列，得出相應(yīng)的平均成本，價值函數(shù)和準(zhǔn)入成本的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式。然后將結(jié)果應(yīng)用于并行隊(duì)列的高效（啟發(fā)式）調(diào)度策略，以最大程度地減少客戶在最后排隊(duì)時遇到的煩惱。。（2）最后建立系統(tǒng)的費(fèi)用模型以及最優(yōu)消費(fèi)率的推導(dǎo)，為實(shí)際生活中具有不耐煩顧客的多服務(wù)臺排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化提出合理性的建議，因而具有更加符合現(xiàn)實(shí)情況的應(yīng)用價值。本文的創(chuàng)新之處在于雖然目前有很多研究將不耐煩顧客納入排隊(duì)系統(tǒng)的建模中去，但是不耐煩顧客策略背后的原因還沒有很多人關(guān)注到，關(guān)于末位厭惡情緒的研究并不多。這一結(jié)果與已有的文獻(xiàn)結(jié)論大致相同，這也驗(yàn)證了前期研究中所提出的構(gòu)思，從而進(jìn)一步為解決該領(lǐng)域中的關(guān)鍵問題提供了新的解決方案。本研究通過對問題的系統(tǒng)分析和實(shí)證驗(yàn)證，明確了該方案的可行性和優(yōu)勢，為相關(guān)問題的優(yōu)化提供了更具針對性的策略。同時，這一發(fā)現(xiàn)也為其他類似問題的解決提供了參考，有助于提升該領(lǐng)域的整體研究水平和實(shí)踐效果。本文作出的貢獻(xiàn)是將末位厭惡情緒與不耐煩顧客的排隊(duì)系統(tǒng)結(jié)合起來，研究末位厭惡情緒對于排隊(duì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的的影響，基于本文的研究前提這種情況被納入了研究范圍可以根本上解決顧客不耐煩行為，進(jìn)而提高總體服務(wù)量。運(yùn)用所學(xué)的運(yùn)籌學(xué)知識將基礎(chǔ)的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)費(fèi)用與所得的末位排隊(duì)成本結(jié)合起來建立總體的費(fèi)用模型，得到的最優(yōu)服務(wù)率更具有實(shí)際意義，更適用于生活場景。對排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)一步優(yōu)化，使得系統(tǒng)在一定的質(zhì)量指標(biāo)下達(dá)到最為經(jīng)濟(jì)的資源配置，為實(shí)際應(yīng)用提供合理的理論依據(jù)。而這樣的研究工作目前還不多，這樣研究是對理論成果的簡化和進(jìn)一步的完善，具有重要的實(shí)際意義。在未來的研究中，通過積極管理末位厭惡來減少放棄可能會導(dǎo)致更長的線路和更廣泛的操作挑戰(zhàn)，這將是未來研究的一個富有成果的領(lǐng)域。此外，本文研究的是較為基礎(chǔ)的排隊(duì)系統(tǒng)模型。未來的研究可以研究在復(fù)雜的排隊(duì)系統(tǒng)中，末位厭惡情緒是如何表現(xiàn)出來的，以及在較長的隊(duì)列中處理其影響的動態(tài)可能是不同的。例如，在較復(fù)雜系統(tǒng)中處于“最后一位”的感覺可能會擴(kuò)展到行尾的個體之外。此外，在此特定環(huán)境中情況一目了然未來的工作可以更深入地研究導(dǎo)致增加隊(duì)列切換和放棄的機(jī)制。最后，在緩解對最后位置的厭惡使人們在隊(duì)列中持續(xù)時間更長的情況下，處理它的經(jīng)理可能能夠通過減少服務(wù)器的人員配置和保持較慢的服務(wù)速率來服務(wù)同等數(shù)量的客戶。另一方面，如果增加客戶持久性會提高平均隊(duì)列長度，那么解決最后一位厭惡可能會增加猶豫，減少服務(wù)客戶的數(shù)量。這些嵌套權(quán)衡值得未來分析。參考文獻(xiàn)[1]BuellRyanW..Last-PlaceAversion