2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1第1課時排列與排列數(shù)公式（教師用書）教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修2-3主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第1章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1第1課時排列與排列數(shù)公式（教師用書）

2.教學(xué)年級和班級：高一年級全體學(xué)生

3.授課時間：2024年10月15日，星期一，上午第2節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過排列與組合的概念，讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行問題分析和解決。

2.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，使學(xué)生能夠從具體情境中抽象出排列與組合的數(shù)學(xué)模型。

3.強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，通過實(shí)際問題引入排列與組合，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價值。

4.增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，通過排列數(shù)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，提高學(xué)生的計算技能和精確度。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)，

①排列與組合的概念理解：使學(xué)生能夠準(zhǔn)確區(qū)分排列和組合的定義，理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。

②排列數(shù)和組合數(shù)的計算公式掌握：確保學(xué)生能夠熟練運(yùn)用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式進(jìn)行計算。

③實(shí)際問題的解決：通過實(shí)例讓學(xué)生學(xué)會如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為排列與組合問題，并運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行解答。

2.教學(xué)難點(diǎn)，

①排列與組合的靈活運(yùn)用：學(xué)生能夠根據(jù)不同的問題靈活選擇排列或組合，并正確應(yīng)用相應(yīng)的公式。

②排列數(shù)和組合數(shù)公式的推導(dǎo)：理解排列數(shù)和組合數(shù)公式的推導(dǎo)過程，并能夠證明其正確性。

③復(fù)雜問題的簡化：在面對復(fù)雜問題時，學(xué)生能夠找到合適的簡化方法，將問題轉(zhuǎn)化為簡單易解的形式。

④排列與組合在實(shí)際情境中的應(yīng)用：學(xué)生能夠?qū)⑴帕信c組合的概念應(yīng)用到實(shí)際生活中，解決實(shí)際問題。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)資源-軟件資源：教學(xué)PPT、數(shù)學(xué)計算軟件（如Mathematica、Geogebra等）

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺、教育資源共享平臺

-信息化資源：在線教育視頻、數(shù)學(xué)題庫、互動式教學(xué)軟件

-教學(xué)手段：實(shí)物教具（如排列組合模型）、多媒體教學(xué)設(shè)備（如投影儀、白板）

-教學(xué)工具：計算器、幾何圖形繪制軟件教學(xué)過程設(shè)計一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（用時5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：以學(xué)校即將舉辦的校園文化節(jié)為例，引入排列與組合的概念。

2.提出問題：假設(shè)文化節(jié)需要選出10個節(jié)目參加開幕式，而可供選擇的節(jié)目有15個，如何進(jìn)行選擇？

3.引導(dǎo)學(xué)生思考：討論不同的選擇方法，并預(yù)測可能的結(jié)果。

二、講授新課（用時15分鐘）

1.排列的定義：介紹排列的概念，解釋排列數(shù)是如何計算得出的。

2.排列數(shù)公式講解：推導(dǎo)排列數(shù)公式A(n,m)，并解釋公式中n和m的含義。

3.排列的應(yīng)用實(shí)例：通過實(shí)例講解排列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如人員排列、產(chǎn)品排列等。

三、鞏固練習(xí)（用時10分鐘）

1.練習(xí)題展示：展示幾道排列的練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成。

2.學(xué)生展示：請學(xué)生上臺展示解題過程，其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評和補(bǔ)充。

3.教師點(diǎn)評：對學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評，指出錯誤和不足。

四、師生互動環(huán)節(jié)（用時10分鐘）

1.課堂提問：針對排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行提問，引導(dǎo)學(xué)生思考和回答。

2.小組討論：將學(xué)生分成小組，討論排列與組合在實(shí)際問題中的應(yīng)用，并分享討論結(jié)果。

3.教師總結(jié)：對學(xué)生的討論結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)排列與組合在解決問題中的重要性。

五、課堂提問（用時5分鐘）

1.提問排列與組合的定義，讓學(xué)生復(fù)述。

2.提問排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程，考察學(xué)生對公式的理解。

3.提問排列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，讓學(xué)生舉例說明。

六、課堂小結(jié)（用時5分鐘）

1.教師總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)排列與組合的概念和計算方法。

2.回顧課堂練習(xí)和討論環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決問題中的思考過程。

3.布置課后作業(yè)，鞏固學(xué)生對排列與組合的理解和應(yīng)用。

七、拓展能力培養(yǎng)（用時5分鐘）

1.提供一些拓展練習(xí)，讓學(xué)生嘗試解決更復(fù)雜的排列與組合問題。

2.引導(dǎo)學(xué)生思考排列與組合在其他學(xué)科中的應(yīng)用，如計算機(jī)科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等。

3.鼓勵學(xué)生課后查閱資料，了解更多關(guān)于排列與組合的知識。

教學(xué)過程設(shè)計總計用時45分鐘。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-排列與組合的實(shí)際應(yīng)用案例：收集并整理一些排列與組合在實(shí)際生活中的應(yīng)用案例，如建筑設(shè)計、密碼學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等領(lǐng)域。

-排列與組合的歷史背景：介紹排列與組合的發(fā)展歷史，包括著名的數(shù)學(xué)家及其貢獻(xiàn)，如排列組合的起源、發(fā)展過程等。

-排列與組合的數(shù)學(xué)證明方法：探討排列與組合的數(shù)學(xué)證明方法，如歸納法、反證法等，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)證明的思維方式。

-排列與組合的計算機(jī)實(shí)現(xiàn)：介紹排列與組合在計算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用，如算法設(shè)計、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：《離散數(shù)學(xué)》、《組合數(shù)學(xué)導(dǎo)論》等，深入了解排列與組合的理論知識。

-參加數(shù)學(xué)競賽：鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，如數(shù)學(xué)建模競賽、數(shù)學(xué)奧林匹克競賽等，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。

-實(shí)踐項目：組織學(xué)生參與實(shí)踐項目，如設(shè)計密碼系統(tǒng)、分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，將排列與組合的知識應(yīng)用于實(shí)際問題。

-利用在線資源：引導(dǎo)學(xué)生使用在線教育資源，如KhanAcademy、Coursera等平臺上的數(shù)學(xué)課程，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和拓展。

-小組合作研究：鼓勵學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，共同研究排列與組合的相關(guān)問題，培養(yǎng)團(tuán)隊合作精神和溝通能力。

-教師指導(dǎo)：教師可以根據(jù)學(xué)生的興趣和需求，提供個性化的指導(dǎo)，幫助學(xué)生深入探索排列與組合的奧秘。

-撰寫論文：鼓勵學(xué)生撰寫關(guān)于排列與組合的論文，通過研究和撰寫，加深對知識點(diǎn)的理解和應(yīng)用。

-實(shí)驗室研究：如果條件允許，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗室研究，如使用計算機(jī)模擬排列與組合的過程，驗證理論結(jié)果的正確性。教學(xué)反思今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了排列與組合，這是高中數(shù)學(xué)中一個重要的知識點(diǎn)。在回顧這節(jié)課的教學(xué)過程時，我想分享一下我的幾點(diǎn)反思。

首先，我覺得導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計挺成功的。通過校園文化節(jié)的情境引入，學(xué)生們的興趣立刻被激發(fā)起來。他們對于如何從15個節(jié)目中選出10個參加開幕式的問題表現(xiàn)出了濃厚的興趣，這為接下來的教學(xué)奠定了良好的基礎(chǔ)。

在講授新課的過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對排列數(shù)公式的理解比較吃力。我意識到，公式推導(dǎo)的過程需要更加清晰和簡潔。因此，我在講解時盡量用最簡單的話來解釋，并且通過具體的例子來幫助學(xué)生理解。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我注意到有些學(xué)生能夠迅速完成練習(xí)，而有些學(xué)生則顯得有些吃力。這讓我反思，可能需要針對不同層次的學(xué)生設(shè)計不同的練習(xí)題目，以便于他們都能在練習(xí)中得到提升。

師生互動環(huán)節(jié)，我嘗試讓學(xué)生參與到問題的解答中來，這樣可以提高他們的參與度和思考能力。不過，我也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生回答問題時缺乏條理性，這說明我在今后的教學(xué)中需要更加注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

課堂提問環(huán)節(jié)，我提問了一些關(guān)于排列與組合定義和公式的深入問題，學(xué)生的回答不盡如人意。這讓我意識到，我在教學(xué)過程中可能過于注重知識的傳授，而忽視了學(xué)生對知識的應(yīng)用和理解。今后，我需要更加注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

在課堂小結(jié)時，我總結(jié)了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，但感覺學(xué)生們的反應(yīng)并不熱烈。這讓我想到，可能需要在小結(jié)環(huán)節(jié)增加一些互動，比如讓學(xué)生自己總結(jié)，或者通過小組討論的方式，這樣既能加深他們的記憶，也能提高他們的表達(dá)能力。

課后，我布置了一些拓展練習(xí)，希望學(xué)生能夠通過這些練習(xí)來鞏固所學(xué)知識。同時，我也計劃在下一節(jié)課前進(jìn)行一個小測驗，以檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

在今后的教學(xué)中，我打算做以下幾點(diǎn)改進(jìn)：

-在講解公式和概念時，注重用生活中的例子來幫助學(xué)生理解。

-設(shè)計更多層次性的練習(xí)題，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

-加強(qiáng)課堂互動，鼓勵學(xué)生積極參與討論和提問。

-課后及時反饋，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識。

-定期進(jìn)行教學(xué)反思，不斷調(diào)整和優(yōu)化教學(xué)方法。

我相信，通過這些努力，我能夠更好地幫助學(xué)生掌握排列與組合的知識，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。典型例題講解例題1：從5名男生和4名女生中選出3名學(xué)生參加比賽，求選出的3名學(xué)生中至少有1名女生的選法有多少種？

解答：首先，計算從9名學(xué)生中選出3名學(xué)生的總選法數(shù)，即組合數(shù)C(9,3)。然后，計算選出的3名學(xué)生都是男生的選法數(shù)，即從5名男生中選出3名學(xué)生的組合數(shù)C(5,3)。最后，用總的選法數(shù)減去都是男生的選法數(shù)，得到至少有1名女生的選法數(shù)。

計算過程如下：

C(9,3)=9!/(3!*(9-3)!)=84

C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)=10

至少有1名女生的選法數(shù)=C(9,3)-C(5,3)=84-10=74

例題2：從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中，任取三個數(shù)字（可以重復(fù)），組成一個三位數(shù)，求這個三位數(shù)是偶數(shù)的選法有多少種？

解答：要組成一個偶數(shù)，個位數(shù)必須是0、2或4。分兩種情況討論：

（1）個位是0，則百位和十位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，即C(4,2)。

（2）個位是2或4，則百位和十位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，但百位不能是0，即C(3,1)*C(3,1)。

計算過程如下：

C(4,2)=4!/(2!*(4-2)!)=6

C(3,1)*C(3,1)=3*3=9

總選法數(shù)=C(4,2)+2*C(3,1)*C(3,1)=6+2*9=24

例題3：從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中，任取三個數(shù)字（可以重復(fù)），組成的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字大于百位上的數(shù)字的選法有多少種？

解答：分兩種情況討論：

（1）千位上的數(shù)字是0，則百位上的數(shù)字可以從1、2、3、4中任選，十位和個位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，即C(4,3)。

（2）千位上的數(shù)字是1、2、3、4，則百位上的數(shù)字必須小于千位上的數(shù)字，十位和個位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，即C(4,1)*C(3,2)。

計算過程如下：

C(4,3)=4!/(3!*(4-3)!)=4

C(4,1)*C(3,2)=4*3=12

總選法數(shù)=C(4,3)+4*C(4,1)*C(3,2)=4+4*12=52

例題4：從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中，任取三個數(shù)字（可以重復(fù)），組成的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字是偶數(shù)的選法有多少種？

解答：分兩種情況討論：

（1）千位上的數(shù)字是0，則百位、十位和個位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，即C(4,3)。

（2）千位上的數(shù)字是2或4，則百位、十位和個位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，即C(4,3)。

計算過程如下：

C(4,3)=4!/(3!*(4-3)!)=4

總選法數(shù)=C(4,3)+2*C(4,3)=4+2*4=12

例題5：從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中，任取三個數(shù)字（可以重復(fù)），組成的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字不相等的選法有多少種？

解答：分兩種情況討論：

（1）千位上的數(shù)字是0，則百位上的數(shù)字可以從1、2、3、4中任選，十位和個位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，即C(4,3)。

（2）千位上的數(shù)字是1、2、3、4，則百位上的數(shù)字不能與千位上的數(shù)字相同，十位和個位可以從剩下的4個數(shù)字中任選，即C(4,1)*C(3,2)。

計算過程如下：

C(4,3)=4!/(3!*(4-3)!)=4

C(4,1)*C(3,2)=4*3=12

總選法數(shù)=C(4,3)+4*C(4,1)*C(3,2)=4+4*12=52課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

今天我們學(xué)習(xí)了排列與組合的基本概念和計算方法。通過幾個具體的例子，我們了解了排列和組合在生活中的應(yīng)用，以及如何使用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式來解決實(shí)際問題。

1.排列是指從n個不同的元素中，按照一定的順序取出m個元素的方法數(shù)，記作A(n,m)。

2.組合是指從n個不同的元素中，不考慮順序地取出m個元素的方法數(shù)，記作C(n,m)。

3.排列數(shù)公式A(n,m)=n!/(n-m)!，組合數(shù)公式C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]。

在課堂練習(xí)中，我們通過實(shí)際問題的解決，加深了對這些概念的理解。以下是對今天所學(xué)內(nèi)容的總結(jié)：

-排列與組合是解決實(shí)際問題的重要工具，它們在日常生活、工程設(shè)計和科學(xué)研究等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

-排列數(shù)和組合數(shù)的計算公式是解決排列與組合問題的核心，學(xué)生需要熟練掌握并能夠靈活運(yùn)用。

-在解決實(shí)際問題時，首先要明確問題的類型，然后選擇合適的公式進(jìn)行計算。

當(dāng)堂檢測：

為了檢測學(xué)生對今天所學(xué)內(nèi)容的掌握情況，以下是一些練習(xí)題：

1.從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中，任取三個數(shù)字（可以重復(fù)），組成的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字是偶數(shù)的選法有多少種？

2.從5名男生和4名女生中選出3名學(xué)生參加比賽，求選出的3名學(xué)生中至少有1名女生的選法有多少種？

3.從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中，任取三個數(shù)字（可以重復(fù)），組成的四位數(shù)中，千位上的數(shù)字大于百位上的數(shù)字的選法有多少種？

4.一個班級有10名學(xué)生，需要從中選出3名學(xué)生代表班級參加比賽，求選法有多少種？

5.一個密碼鎖由4位數(shù)字組成，每位數(shù)字可以是0到9中的任意一個，求這個密碼鎖的總數(shù)。

學(xué)生完成練習(xí)后，教師可以收集答案并進(jìn)行講解，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識。通過當(dāng)堂檢測，教師可以了解學(xué)生對排列與組合的理解程度，并及時調(diào)整教學(xué)策略。板書設(shè)計1.重點(diǎn)知識點(diǎn)：

①排列與組合的定義

②排列數(shù)公式A(n,m)