三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................4

題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題....................................................................4

題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題..............................................................9

題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.................................................................12

題型四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題...................................................................14

題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題...................................................................16

題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題...................................................................19

題型七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題...................................................................27

題型八：等極值線問(wèn)題..........................................................................31

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................35

1、基本性質(zhì)

設(shè)三次函數(shù)為：f(x)=ax'+bx2+cx+d(a>b、c、deR且awO),其基本性質(zhì)有:

由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)解決，故以三

次函數(shù)為例來(lái)研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a^O)

其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):/'(x)=3依2+2瓜+c(aN0),

判別式為：△=4b?T2ac=4(/-3ac),設(shè)/''(x)=0的兩根為國(guó)、x2,結(jié)合函數(shù)草圖易得：

⑴若〃一3acV0,則/"(X)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(2)若/一3ac>0,且/(%1)-/(x2)>0,則/(%)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(3)若〃-3ac>0,且/(%>/(%)=0,則〃x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(4)若江一3ac>0,且/?(占)./。)<0,則〃x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.

說(shuō)明:⑴(2)/(x)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y=/(x)與x軸只相交一次，即/(x)在R上為單

調(diào)函數(shù)(或兩極值同號(hào))，所以/一3℃40(或Z?-3ac>0,且/(西)-/(x?)>0);

(5)/(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線y=/(x)與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以

2

b-3ac>0,J!Lf(xl)-f(x2)=0;

(6)/(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線y=/(x)與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即/(x)有一個(gè)極大

值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以〃一3呢>0且/(匹卜/卜卜。.

性質(zhì)3：對(duì)稱性

(1)三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線，且對(duì)稱中心是；,/(-—))；

3a3a

(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2、常用技巧

(1)其導(dǎo)函數(shù)為了〈X)=3"2+2Zzx+c=0對(duì)稱軸為1=———所以對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的

3。

對(duì)稱軸，可見(jiàn)，p=/(%)圖象的對(duì)稱中心在導(dǎo)函數(shù)y=的對(duì)稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)

也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；

(2))=/(%)是可導(dǎo)函數(shù)，若y=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(九九)對(duì)稱，則y=/，(%)圖象關(guān)于直線x=加

對(duì)稱.

(3)若y=/(x)圖象關(guān)于直線x=加對(duì)稱，則y=/，(%)圖象關(guān)于點(diǎn)(冽,0)對(duì)稱.

(4)已知二次函數(shù)+6%2+B+"的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)再，x2f

則有〃6/伍)=一羽一xj=1r(x。).

題型歸船總結(jié)

題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

【典例1-1】一般地，對(duì)于一元三次函數(shù)/(X),若/"國(guó))=0,則(％)(%))為三次函數(shù)1(X)的對(duì)稱中心,

己知函數(shù)/^)=尤3+辦2+1圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為%(%>0),且/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是()

A.—00,——B.(—8,0)C.(-1,0)D.——,—1

、2J12,

【答案】A

【解析】由函數(shù)/。)=/+辦2+1求導(dǎo)得：/(無(wú))=3尤?+2辦，則/"(x)=6x+2a,

由/"(Xo)=6Xo+2a=O解得/=_*|>0,則有a<0,

/,(x)=3x(x+—).當(dāng)x<0或x>-現(xiàn)時(shí)，f^x)>0,當(dāng)0<x<-,時(shí)，/。)<°，

333

則/'(X)在(-8,0),，彳,+［上單調(diào)遞增，在，，一年］上單調(diào)遞減，

因此，當(dāng)尤=0時(shí)，/(X)取得極大值/⑼=1,當(dāng)x=-g時(shí)，/(X)取得極小值〃一日)=今+1,

因函數(shù)/(X)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=〃x)的圖象與X軸有三個(gè)公共點(diǎn)，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知,

/(0)>0

2。、八，

/(-y)<0

于是得3《+i<o,解得”—逆,

272

綜上得：〃<_逆，

2

實(shí)數(shù)。的取值范圍是-哈-當(dāng).

I2J

故選：A.

【典例1-2】已知加，n,peR,若三次函數(shù)/'(x)=x?+加f+nx+p有三個(gè)零點(diǎn)a,b,c,且滿足

/(-1)=/(1)<a4，/(0)=/(2)>2,則1▲+1：1的取值范圍是()

2abc

【答案】D

【解析】?."(-!)=/⑴<，/(0)=/(2)>2

(-1+m-n+p=1+m+n+p［〃+l=0

??,即《

［夕=8+4加+2〃+2［2m+n+4=0

3

ffl---q

得2,代入得/(x)=%3一工十夕，

n=-l

a

V/(-l)<p/(O)>2

’33

-1-----bl+〃<—

「.<22,解得2<?<3,

p>2

設(shè)三次函數(shù)的零點(diǎn)式為f(x)=(x-a)(x-b){x-c),

比較系數(shù)得ab+bc+ca=-\,abc=-p,

,,111ab+be+ca1fl1A

故—+7+-=——A——=~e

abcabcp132J

故選：D.

【變式1-1］已知三次函數(shù)f(x)=y+ax2-3a2x+b(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，若方程廣"(初=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根,

則實(shí)數(shù)a的范圍為()

［解析］f\x)=x+lax-3a2(。＞0)一定有兩零點(diǎn)。與-3a,所以只需/(x)=?；?(x)=-3°共有四個(gè)根即

可.結(jié)合/(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以必有/⑷=0或/(一3a)=0.然后分兩種情況結(jié)合函數(shù)圖象討論即可.由

f'(x)=x2+lax_3a2m>0),則f'(x)=0得x=a或一3a

三次函數(shù)f(x)=^+ax2-3a2x+b(a＞0)有兩個(gè)零點(diǎn)，且程川/⑴]=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根,

所以只需/(x)=?；?(尤)=-3a共有四個(gè)根即可,

/(。)=0

所以＜或伉一3a"CT

/(-3a)>0

又方程/U(x)]=。有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則/(x)=a或〃x)=-3。共有四個(gè)根.

/(x)在(-*-3a),(a,+8)上單調(diào)遞增,在(-3a,a)單調(diào)遞減.

當(dāng)/(4=0時(shí)，6=|a3,要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖①)

貝1|0＜。＜/(一3。)，即一9/+903+9/+903＞*解得.＞好

38

當(dāng)/(-3〃)=0,得6=—9",要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖②)

貝||/(。)＜-3。＜0,即；/+/-3/一9/＜一3.,解得.＞毛.

綜上所述，當(dāng)°＞逅時(shí)，方程廣"(x)]=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根.

8

故選：C

【變式1-2】已知/⑴弋；：)；)：1〉1，g(x)為三次函數(shù)，其圖象如圖所示.若y=/(g(x))-機(jī)有9個(gè)零

【答案】0＜m＜l

—2.x-1,x?—

2

由題設(shè)/(x)=<2x+1,——<x<1,其圖象如下,

log2(x-l),x>1

當(dāng)加￡(-8,0),>=冽與/(%)只有一個(gè)交點(diǎn)且(1,2)；

當(dāng)機(jī)=o,y=加與/*)有兩個(gè)交點(diǎn)且》=-,或x=2；

2

當(dāng)加e(0,3),卜=，"與"刈有三個(gè)交點(diǎn)且工€(-2,-｝。(一31)口(2,9)；

當(dāng)加￡[3,+co),y=m與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)且xG(-00,-2]o[9,+00)；

由題圖，要使，=g(x),>=/?)—加有9個(gè)零點(diǎn)，則加￡(0,3),，￡(刃—3,加+2),且/?)=加有

g<%2<l<2</3<9,

-2<^<-

根據(jù)/(x)解析式：％=——m丁+1名=m-—5—1，4=2"'+1,

。加+1c

m-3<-------<m+255

2——<m<—

33

m-1c

綜上，m—3<-----<m+2可得<—5<加<5,故0<小<1.

2

0<m<1

m—3<2m+1<m+2

0<m<3

0<m<3

故答案為：0<加〈1

【變式1-3]已知三次函數(shù)/'")=工3+依2+瓜+。在工=-；和工=1處取得極值，且/'(%)在(-IJ(T)處的

切線方程為了=丘+4.

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)-小的圖象上有兩條與x軸平行的切線，求實(shí)數(shù)陰的取值范圍;

(2)若函數(shù)Mx)=2d+8x+〃與/⑺在上有兩個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解析】(1)?.,/'(%)=3工2+2辦+6,

由題得了'L=o,旦/”)=0,

12Q7八

---------HZ?-0,

即<33解得a=-1,6=-1.

3+2Q+Z?—0,

于是/'(-1)=4,即后=4,

故切線方程為y=4x+4.

因?yàn)榍悬c(diǎn)在切線上，所以/(T)=4X(_1)+4=0,

將(-1,0)代入f(x),解得c=l,

尤)=x，—無(wú)2—X+1.

g(x)=x3-x2-x+1-mx.

由題得g'(x)=3x2-2x-l-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

A=(-2)2-4x3x(-l-m)>0,

4

解得心g

(2)由題得4x)=/(x)在［-2,1］上有兩個(gè)不同的解，

即〃=V-3*一9x+1在［-2,1］上有兩個(gè)不同的解.

令尸(x)=x3-3尤2-9尤+l,xe［—2,1］,

貝1J尸(X)=3X2_6X-9,

由尸'(x)>0得了<一1或x>3,

由尸(x)<0得-1cx<3,

因?yàn)閤e［-2,1］，所以尸(無(wú))在(-2,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，

?,心心=尸(-1)=6.

由圖象知一14”<6.

【變式1-4］已知三次函數(shù)/(X)的零點(diǎn)從小到大依次為a,0,2,其圖象在尸-1處的切線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),

則加=()

853

A.——B.-2C.——D.——

532

【答案】B

【解析】由題意可設(shè)/(x)=QX(X—加乂無(wú)一2)=。,3_儂+2?2+加x。o,

貝U/'(X)=Qp/一2(冽+2)x+2加］,

可得/(T)=-3〃(加+1)/(-1)=。(4優(yōu)+7),

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,-3。(加+1)),切線斜率左=。(4加+7),

則切線方程為歹+3〃(加+1)=〃(4加+7乂m+1),

代入點(diǎn)(2,0)得3〃(加+1)=3〃(4加+7),

且QWO,得冽+1=4m+7,解得m=—2.

故選：B.

題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題

【典例2-1】已知三次函數(shù)+其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),存在年(1,4),滿足

/(2-/)=/(0=r(?)=0.記/(x)的極大值為/,則M的取值范圍是—.

【答案】(0,32)

【解析】因?yàn)?(2-0=/?)=(?)=0,

所以才是/(x)的零點(diǎn)也是極值點(diǎn)，2-也是/(無(wú))的零點(diǎn)，

不妨設(shè)/(X)=(X+/-2)(XT)2,

故^/'(x)=(x-/)2+2(x+1-2)(x-1)—(x--1+2x+2t-4)=(x—%)(3x+1-4),

因?yàn)?e(l,+°°)，所以彳■</，

故當(dāng)或x<?時(shí)，/%)>0,〃x)單調(diào)遞增，

當(dāng)?<x<f時(shí)，r(x)<0,7'(x)單調(diào)遞減，

可得了⑺的極大值

3?

因?yàn)橹?1,4),所以“=藥("1)3?0,32).

故答案為：(0,32)

【典例2-2】已知三次函數(shù)/(x)=；ax3+6/+x+c無(wú)極值，且滿足。+?48,則/一^一

【答案】12

【解析】由題設(shè)/''(;<)=a/+26x+l,貝IA=4b2-4aV0，即a2b2>0,

所以Q+壓淮2+Q2M.一

~=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=/=4時(shí)等號(hào)成立,

又"故可得”心4,

所以/一Z>2=16-4=12.

故答案為：12

a+b+c

【變式2-1】已知三次函數(shù)/⑴=加+而+次+或口/）在E上單調(diào)遞增，則最小值為（）

b-a

A2-\/6+5口V6+5C7+加D2>+5

A.----------D.-----------------

2323

【答案】D

【解析】:/（x）在R上單調(diào)遞增，.,?/'（工）=3辦2+2阮+。20恒成立,

3〃〉0b2

..j2/八，b?W3cle，c>—>0,

A=4Z?-12dic<03a

2

b2b

ci~\~b-----i44-|

a+b+c〉3〃a3Ia

b-ab-a

a

令，="1,-t2+/+1

設(shè)g（，）3-----------"])'

at-1v)

12?

—t+%+1[/+3%+31(%-1)+5(%-1)+7

則g(>3_14——同'

t-13t-13t-1Hr，一1)

Q%>1,—1>0,.\t-l-\------>2>/y(當(dāng)且僅當(dāng)才—1=------，即％=1+時(shí)取等號(hào)),

t-1t-1

2V7+5a+b+c的最小值為漢也

，g（心即

3b-a3

故選：D.

【變式2-2］（多選題）定義：設(shè)/'（尤）是/（x）的導(dǎo)函數(shù),/〃⑺是函數(shù)廣⑺的導(dǎo)數(shù)，若方程/〃（司=0有

實(shí)數(shù)解％，則稱點(diǎn)（尤。為函數(shù)y=/（x）的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐

點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)/（%）=/+辦2—3x+b圖象的對(duì)稱中心為（0,3）,則下列說(shuō)法中

正確的有（）

A.。=0,6=3B.函數(shù)/（x）的極大值與極小值之和為6

C.函數(shù)/（力有三個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)/（X）在區(qū)間［-3,3］上的最小值為1

【答案】AB

【解析】由題意，點(diǎn)(0,3)在函數(shù)/(x)的圖象上，故/(O)=3n6=3；

又/(x)=9+爾—3x+3nf(x)=3x2+lax—3^>f"(x)=6x+2a.

由/(0)=0=>2A=0,即a=0.故A正確；

所以〃X)=X3-3X+3,所以/")=3X2_3.

由/'(x)=3x?—3=3(x+l)(x—l)>。=尤<-1或x>1.

所以/(X)在(-8,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(T1)上單調(diào)遞減，

所以/(x)的極大值為/(-1)=-1+3+3=5；極小值為/'(l)=l-3+3=l,

所以極大值與極小值之和為：5+1=6,故B正確；

因?yàn)楹瘮?shù)的極小值/'(1)=1>0,所以三次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

又止3)=-27+9+3=-15,/(3)=27-9+3=21,

所以函數(shù)/'(x)在[-3,3]上的最小值為T(mén)5,故D錯(cuò).

故選：AB

【變式2-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知三次函數(shù)〃x)=2x3+辦2+6工+1的極小值點(diǎn)為°,極大值點(diǎn)為

2b,則6等于()

A.472B.-472

C.±472D.±5近

【答案】A

【解析】由題意，得/。)=6/+2辦+6,關(guān)于x的一元二次方程6x2+2辦+6=0的兩根為6,2b,

又極小值點(diǎn)為6,極大值點(diǎn)為助，所以26<6,即6<0,

3b=_%口_

由韋達(dá)定理得到3,所以6=一注，a=-9b,得到a+6=-86=40.

2b2=12

故選：A.

【變式2-4](2024?江西新余?二模)已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=3/-3ax,/(0)=/),6為實(shí)數(shù).

⑴若曲線了=/(x)在點(diǎn)(。+1,〃。+1))處切線的斜率為12,求。的值；

⑵若/(x)在區(qū)間上的最小值，最大值分別為-2,1,且1<”2,求函數(shù)/⑴的解析式.

【解析】(1)由已知，三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=3/-3"，

曲線，=/(x)在點(diǎn)(a+lJ(a+D)處切線的斜率為12,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義八。+1)=12,.?.3(a+l)2-3a(a+l)=12

「?3。=9,?\a=3.

(2)Vf'(x)=3x2-3ax,f(0)=b

R37

??f(%)—x——ax+bf

由fXx)=3x(x-a)=0得再=0,%=Q,

*.*XG[-1,1],l<a<2f

???當(dāng)x4-1,0)時(shí)，/'(x)〉0,遞增；

當(dāng)X￡(0,l]時(shí)，/G)<0,/(%)遞減.

???/(%)在區(qū)間上的最大值為7(0),

???/(0)=6,Ab=l,

3333

Vf(r)=i--a+l=2--aff(-l)=-l--a+l=--a,

：./(一1)<〃1),二〃-l)是函數(shù)/(x)的最小值，

—Q=-2a=一,

23

/(x)=x3-2x2+1.

題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

【典例3-1】(2024?江西景德鎮(zhèn)?一模)設(shè)三次函數(shù)/(X)=X3+A2+CX(6,c為實(shí)數(shù))的導(dǎo)數(shù)為/'(x),設(shè)

g(x)=/(x)-r(x),若〉=g(x)在R上是增函數(shù)，則上的最大值為_(kāi)_______.

C+9

【答案】變二1

2

【解析】f(x)=x3+bx2+cx,

f\x)=3X2+2bx+c,

：.g(x)=/(x)-(x)-x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c,

g'(x)=3x2+2(6-3)x+c-2b>0恒成立

/.A=4(ft-3)2-12(c-2Z7)<0,

故方V3c-9，

b2,3c-9

———<-；——，

C2+9C2+9

令c-3=/,

3c-93t3,3V2-1

,-------------------------------------------------------

2-2---

■-C+9(;+3)+9?+18+66V2+62-

t

當(dāng)且僅當(dāng)，=9,即1=30時(shí)等號(hào)成立，

故答案為：立匚

2

【典例3-2】已知函數(shù)八?=底+L（xeR）.

（1）若函數(shù)/⑴的圖象在點(diǎn)x=3處的切線與直線x+24y+l=0垂直，函數(shù)"X）在x=l處取得極值，求函

數(shù)/（x）的解析式.并確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若。=1,且函數(shù)"X）在［-M］上減函數(shù)，求6的取值范圍.

【解析】（1）先對(duì)函數(shù)/（尤）進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)尸（1）=0,/⑶=24確定函數(shù)的解析式，然后令/'（力40求

單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將。=1代入函數(shù)f（x）后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)/（力=3/+640在上恒成立轉(zhuǎn)

化為b<-3x2在卜1』上恒成立求出b的值.

試題解析：（1）已知函數(shù)/（力=a/+加：（xeR）,：.f\x）^3ax2+b.

又函數(shù)/（x）圖象在點(diǎn)x=3處的切線與直線。垂直，且函數(shù)/（無(wú)）在x=l處取得極值，

.?.尸（3）=27。+6=24,

且尸⑴=3a+6=0,計(jì)算得出a=l,6=-3.

二/（X）=9-3x令/'（%）=3X2-340得：-1<X<1,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為卜1』.

（2）當(dāng)a=l時(shí),f（x）=x3+bx（xeR）,又函數(shù)/（x）在上是減函數(shù),

二/⑴=3—+6<0在［-1,1］上恒成立，

即6V-3x2在［-M］上恒成立，-3.

當(dāng)6=-3時(shí)，/'（X）不恒為0,；.64-3.

【變式3-1】三次函數(shù)/（刈=妙3-x在（ro,+s）上是減函數(shù)，則冽的取值范圍是（）

A.m<0B.m<\C.m<0D.m￡1

【答案】A

【解析】對(duì)函數(shù)/（x）=如？-x求導(dǎo)，得八x）=3/-l

因?yàn)楹瘮?shù)Ax）在（-*+8）上是減函數(shù)，則/'（尤）W0在R上恒成立，

即3m?two恒成立,

當(dāng)無(wú)2=o，即》=0時(shí)，3加Y-IV0恒成立；

當(dāng)/wO，即xwO時(shí)，x2>0,貝U3機(jī)4』，即3加4住］,

x\x/min

因?yàn)椤?20,所以3加W0,即加工0；

又因?yàn)楫?dāng)初=0時(shí)，/（x）=f不是三次函數(shù)，不滿足題意,

所以加<0.

故選：A.

題型四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題

【典例4-1](2024?新疆烏魯木齊?一模)已知函數(shù)/(xXax'+bf+cx+d在R上是增函數(shù)，且存在垂

直于y軸的切線，則善的取值范圍是.

【答案】U[o,+<?)

【解析】由已知得：/'(尤)=3加+26x+c20恒成立且/.)=3加+26尤+c=0有解,

J4〉0

9\b2=3ac，

c

①當(dāng)6=0時(shí)，可得c=0,；.---0,

a+b

②當(dāng)b>0時(shí)，Z>=V3oc,_la>0,c>0,

③當(dāng)b<0時(shí)，b=-s/3ac,J!La>0,c>0,

1

——Vs-=t—\[3te—,+“，產(chǎn)-y/~3t豐C,

c(41

二--e-co,--u(0,+co),

a+b\3

綜上，—-oo,-^u[0,+co),

a+bI3J

故答案為：f-00,_yU[o,+oo)

【典例4-2](2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè))貝塞爾曲線(Beziercurve)是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線,

一般的矢量圖形軟件通過(guò)它來(lái)精確畫(huà)出曲線.三次函數(shù)/'(x)的圖象是可由A,B,C,。四點(diǎn)確定的貝塞

爾曲線，其中A,。在〃尤)的圖象上，/(無(wú))在點(diǎn)A,。處的切線分別過(guò)點(diǎn)8,C.若/(0,0),5(-1,-1),

C(2,2),￡>(1,0),則/(x)=()

A.5x3-4x2-xB.3x3-3x

C.3x3-4x2+xD.3x3-2x2-x

【答案】C

【解析】設(shè)/(x)=a/+6%2+5+d,貝!J/'(x)=3〃%2+2fox+c,

/(0)=6?=0

/(1)=a+b+c+d=04=3

b=—4

由題意4/⑼-丁--鮑*解得<1,所以/(%)=3/一4、2+工

c=1

2—0d=0

f(1)=3a+2b+c=、=%c

I2—1

故選：C.

【變式4-1］已知函數(shù)/(x)=ax3+bx2-3x(a,be出在點(diǎn)(1,/■⑴)處的切線方程為y+2=0.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)

M(2,〃?)可以作出曲線y=/(x)的三條切線，則實(shí)數(shù)〃z的取值范圍為.

【答案】(-6,2)

【解析】?；/(x)=ax'+6x?-3x,/.(x)=3ax2+2bx-3,

f(l)=a+b-3=-2解得/[a=1

根據(jù)題意得<

/,(l)=3a+2Z>-3=0,

???函數(shù)的解析式為/(x)=X，-3x,r(x)=3--3

設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則為=溫-3%,/)=3焉-3,故切線的斜率為3君-3,

由題意得3焉-3=如一———,BP2xg-6x?+6+m=0,

x0-2

?.?過(guò)點(diǎn)M(2,加)(加/2)可作曲線了=/(x)的三條切線，

方程2x；-6x；+6+機(jī)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

，函數(shù)8(》)=2丁-6/+6+加有三個(gè)不同的零點(diǎn).

由于g'(x)=6x2-12x=6x(x—2),

.,.當(dāng)x<0時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)0<x<2時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x>2時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

.?.當(dāng)x=0時(shí)，g(x)有極大值，且極大值為g(0)=加+6；

當(dāng)x=2時(shí),g(x)有極小值,且極小值為g(2)=加-2.

/、f6+m>0

?.?函數(shù)g(”有3個(gè)零點(diǎn)，，cc，解得-6<加<2.

'/-2+m<0

???實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-6,2).

故答案為：(-6,2)

【變式4-2](2024?廣東深圳?一模)已知函數(shù)/(%)=。(％-再)卜-、2)(%-X3)(。〉0)，設(shè)曲線尸1卜)

在點(diǎn)(4/(再))處切線的斜率為勺(:1,2,3),若國(guó)逃2，%3均不相等，且左2=-2,則左+4左3的最小值為一.

【答案】18

【解析】由于/(%)=4%"匹)(。一%2)(%-%3)(。＞0)，

故/'(X)=Q[(XT)(工-12)+)6_13＞卜_工3』，

故后1=〃(再一々乂石-W),后2=61(%一%3)(%2—石)'左3=Q(工3—石)(七一工2)，

111111

貝U---1---1----—7------------H---7-----%-----消一7-------------r

61XXXX〃X

k1左2左3(1~2)81~3)4色一、3),2~1)83~\火3一、2)

aixx-x2)(x2-x3)(x3-xj

111

由左2二—2,得7-+廠=3，

Kx左32

由左2=-2,即左2=。(%2-工3)(工2-石)<0，知巧位于玉,％3之間，

不妨設(shè)石＜%2V)3，則后1＞°，后3＞0，

故《1+4左3=2(4+4左3)

kx_4k3

k,ky

當(dāng)且僅當(dāng)[]]即kx=64=3時(shí)等號(hào)成立,

—I—=—

k{k32

故則占+4左3的最小值為18,

故答案為：18

題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題

【典例5-1】(2024?高三?廣東珠海?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)函數(shù)y=/(x)是y=/'(x)的導(dǎo)函數(shù).某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究

發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)+bx2+s+d(awO)的圖像都有對(duì)稱中心(尤0,/1(%)),其中％滿足

/"(%)=0.已知三次函數(shù)〃x)=/+2x-l,若再+馬=0,則/(再)+/(%)=.

【答案】-2

【解析】由題意，/'(X)=3/+2,f\x)=6x,令尸(x)=6x=0解得x=0,又〃0)=-1,故

/(x)=、+2x-l的對(duì)稱中心為(0,-1).故當(dāng)再+3=0時(shí),/(X1)+/(X2)=2X(-1)=-2.

故答案為：-2

【典例5-2］(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于三次函數(shù)〃同=加+次+”+〃叱0)給出定義：設(shè)/'(x)是

函數(shù)了=/■(無(wú))的導(dǎo)數(shù)，/"(x)是/'⑺的導(dǎo)數(shù)，若方程—("=0有實(shí)數(shù)解年,則稱點(diǎn)&/(%))為函數(shù)

V=/(x)的“拐點(diǎn)”，同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心,

且拐點(diǎn)就是對(duì)稱中心，若〃耳=$3-；/+3》-1，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)計(jì)算：

1232023

+/+/

2024202420242024

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】C

【解析】由題意可知/'(x)=/-x+3,所以廣(x)=2x-l,令r(x)=2x-l=0,則x=g,

由題意可知函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為

2,即/(x)+〃I)=2,

所以/［比/［籍)/卜/景］

所以2

=2x2023=4046,

所以晟W募］+…+(常=4。4&12023.

故選：C

【變式5-1】設(shè)/(X)是函數(shù)＞=/(x)的導(dǎo)數(shù)，/⑨是/(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程/〃(x)=0有實(shí)數(shù)解飛,則稱點(diǎn)

(尤。，/■(%))為函數(shù)了=/(尤)的“拐點(diǎn)”.已知：任何三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對(duì)稱中心，且拐點(diǎn)就是對(duì)稱中

心.設(shè)/(x)=/-6/+5X+7,數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=2"-5,貝U/(%)+/3)+…/■(R)=()

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】由〃x)=d-6/+5X+7,得/(尤)=31-12尤+5,/"(力=6尤-12,

由尸(x)=0可得：x=2,

因?yàn)?⑵=1

所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,

所以/(x)+/(4-x)=2,

因?yàn)?=2/7-5,

所以％=—3,4=11,%=1，04=3,%=5,&=7,

所以/(%)+/(&)=2,/Q)+f(%)=2,f(a3)+f(a4)=2,

所以/(%)+/(&)+…/(6)=3x2=6,

故選：C

【變式5-2】函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,6)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=[(x+a)-6為奇函

數(shù).已知任意一個(gè)一元三次函數(shù)的圖象均為中心對(duì)稱圖形，若〃x)=/-3/,則/5H士衿

的值為()

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【解析】設(shè)〃幻=胃_3%2的對(duì)稱中心為P(〃,b),

設(shè)g(x)-/(x+Q)-6=(x+a)，-3(x+a)2-b,

則g(x)為奇函數(shù)，由題可知g(—%)=/(—%+〃)—6，且g(—%)=-g(x)，

所以/(t+a)-b=b-f(x+a),即/(-x+Q)+f{x+a)=2b,

則[(—x+a)，—3(—x+a)?]+[(x+a]—3(x+a)?]=2b,

整理得(6。-6)，+2/一6。2-26=0,

[6a—6=0

所以13a2，解得a=l/=—2,

[2a-6a-2b=0

所以函數(shù)/(x)=/_3/的對(duì)稱中心為(1,_2)；

所以“f+l)+/(x+l)=—4,

【變式5-3】已知任意三次函數(shù)的圖象必存在唯一的對(duì)稱中心，若函數(shù)/(%)=丁+〃/+瓜+。，且

M(x0,/(%))為曲線＞=y(x)的對(duì)稱中心，則必有g(shù)'(%)=o(其中函數(shù)g(x)=f'(x)).若實(shí)數(shù)加，〃滿足

m3+6m2+13m=10

貝u加+〃=(

/+6n2+13〃=-30

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】A

【解析】令/(x)=丁+6Y+i3x,貝I](x)=3f+12%+13,

令力(x)=3—+12x4-13

/(x)=6x+12=0,

解得x=-2,

又/(―2)=(-2)3+6x(—2)2+13x(—2)=—10.

..?函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,-10)成中心對(duì)稱.

32

1_,、，fm4-6m+13m=10

因?yàn)閉,

[n3+6n?2+13n=-30

所以/(")+/⑺=—20,

X/\x)=3x2+12x+13=3(r+2)2+l>0,

所以函數(shù)/(工)=/+6/+13%在R上單調(diào)遞增，

所以根+〃=2x(-2)=-4.

故選：A.

題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題

【典例6-1]若a,b,ceR,關(guān)于％的一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的兩個(gè)根分別為演,馬，則方程可寫(xiě)成

bc

a(x-xl)(x-x2)=0,即辦2_°(X]+尤2卜+%占=0,容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系：x,+x2=——,再/=—;若

aa

a,b,c,deR,設(shè)關(guān)于x的一元三次方程亦s+bf+cx+d=0(。N0)的三個(gè)非零實(shí)數(shù)根分別為再,％片,貝!]

X；+X；+X；=.

【解析】由題意可得:

32

=ax-a(xx+x2+x3)x+a(%/+%2%3+項(xiàng)9)1-ax1x2x3

由待定系數(shù)法可得：

所以x；+xf=-——

b1-lac

故答案為:

【典例6-2］（多選題）已知三次函數(shù)/卜）=加+X2+CX+（有三個(gè)不同的零點(diǎn)X1,尤2，彳3（占<%2<%），函數(shù)

g（x）=/（x）-l.則（）

A.3ac<1

B.若國(guó),％,三成等差數(shù)列，貝打€（-1,0）3。,1）

C.若g（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)見(jiàn)〃（〃2<〃），則為+-—工

3a

D.若g（無(wú)）有三個(gè)不同的零點(diǎn)小2片（％<12</3），則X；+X；+X；=/；+/；+/；

【答案】ABD

【解析】f（x）=ax3+x2+exH■--,/'（x）=3a%2+2x+c,awO,對(duì)稱中心為1-丁—―||,對(duì)A：因?yàn)?/p>

2713Gl

/■（X）有三個(gè)零點(diǎn)，所以/（X）必有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以A=4-12ac>0,3ac<1,A正確；

對(duì)B,由再,w成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對(duì)稱性可知馬=-［,

所以/伉）=/,：］=2+；-9團(tuán)=0,

y3aJ27〃

又ac<；,故2+/=9碇<3，所以a?<1，所以。e（T,0）u（0,l）,故B正確；

DQ

對(duì)"C：g（x）=O,即ax'+x~+ex-----=0,

27

若g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則冽或〃必為極值點(diǎn)；

若加為極值點(diǎn)，則該方程的三個(gè)根為加，m,n,由一元三次方程的韋達(dá)定理可知：2m+n=--；

a

若〃為極值點(diǎn)，同理可得加+2〃=-工，故C錯(cuò);

a

1

X]+%+%3=4+/2+”3=-------

a

對(duì)D：由韋達(dá)定理

C

XX+XX+XX=環(huán)2+tt+t3tl=—

X2233X23a

得(+X2(再入2+^2X3+工3再)=(+,2+/3)2—(巾2+‘2/3+)，

X]2+X3)—242

即x；+x；+x；=d+g+],故D正確.

故選：ABD.

【變式6-1］（多選題）下列關(guān)于三次函數(shù)/（尤）=辦3+涼+“+"（"0）卜?2敘述正確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象一定是中心對(duì)稱圖形

B.函數(shù)/(x)可能只有一個(gè)極值點(diǎn)

C.當(dāng)天片-二時(shí)，/卜)在x=x0處的切線與函數(shù)>=〃無(wú))的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

3a

D.當(dāng)/片-±時(shí)，則過(guò)點(diǎn)(尤的切線可能有一條或者三條

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,7|--+xj+f\~--x\=a\--+x\+/)|--+xj+c\-—+x\+d

\3a)(34)(3。)[3〃)(3。)

2--2-

3a)I3〃JI3“J

+2bx2+2cx

3

2b32b③2bc「z4b2bc。z

——7+—7-------+2d=-7--------+2d，

27a29a23a9a23Q

故d—++為定值，故函數(shù)f(x)的圖象一定是中心對(duì)稱圖形.

對(duì)于B,f(x)=3ox2+2bx+c,

若/(x)有極值點(diǎn)，則廣(無(wú))有變號(hào)零點(diǎn)，而/''(X)的圖像為拋物線，

故A