空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

思維導圖

法本守實|推論］

(推論2

空

間L基本事實基A小實2」口推論3

點

、基本事實3

直基本名實4

線

、

平一等角定理

相交在線

面「共面直線］

之江線與直線平行直線

間的位置關(guān)系

的L洋面在線

位

置

關(guān)l宜紋在

系J位置關(guān)系有線與平面—平面內(nèi)直線與平

的位置關(guān)系［直線在J面相交

平?面外宜縝與平

面平行

平面與平面I平行

的位置關(guān)系工相交

知識點總結(jié)

1.與平面有關(guān)的基本事實及推論

(1)與平面有關(guān)的三個基本事實

基本事實1:過的三個點，有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有過該點的公共直

線.

(2)“三個”推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條_____直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條_____直線，有且只有一個平面.

2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系

產(chǎn)面直線［除匿

異面直線!不同癥任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.

(2)空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面、直線與平面三種情況.

(3)空間中平面與平面的位置關(guān)系

平面與平面的位置關(guān)系有、兩種情況.

3.基本事實4和等角定理

(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線.

(2)等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點。分別作直線優(yōu)〃a,b'//b,把優(yōu)與//

所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

［常用結(jié)論］

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3；

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異

面直線所成的角，也可能等于其補角.

典型例題分析

考向一基本事實的應(yīng)用

例1如圖所示，在正方體4BC。一小51GA中，點E,尸分別是48,Z4的中點，連接￡＞小,

CE.求證:

(1)E,C,Di，尸四點共面；

(2)CE,DRD4三線共點.

感悟提升共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

考向二空間兩直線位置關(guān)系的判斷

例2(1)(多選)已知Z,8是不在平面a內(nèi)的任意兩點，則()

A.在平面a內(nèi)存在直線與直線AB異面

B.在平面a內(nèi)存在直線與直線AB相交

C.存在過直線4B的平面與平面a垂直

D.在平面a內(nèi)存在直線與直線AB平行

(2)如圖，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GX,是異面直線

的圖形的序號為_______.

感悟提升空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.異面直線的判定

可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形（梯形）中位線的性質(zhì)、基本事實4及線

面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.

考向三求異面直線所成的角

例3（1）（2021?全國乙卷）在正方體48。。一481。。1中，尸為比5的中點，則直線05與ZQ

所成的角為（）

（2）⑴在長方體48co一中，AB=BC=1,AA.?則異面直線ZQ與所成

角的余弦值為（）

1

A-

5

c叵

5

感悟提升綜合法求異面直線所成角的步驟：

(1)作：通過作平行線得到相交直線；

(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補角)；

(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求

出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.

基礎(chǔ)題型訓練

一、單選題

1.已知/8〃尸0,BC//QR,ZABC=60°,則與448C兩邊方向相同的“。尺等于（）

A.60°B.60。或120°C.120°D.以上結(jié)論都不對

2.在正方體/BCD-44GA中，異面直線48與所成角的大小為

3.異面直線6上分別有4個點和5個點，由這9個點可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是（）

A.20B.9C.C：D.C；C；+C；C；

4.已知加、〃是不同的直線，/?是不同的平面，下列命題中真命題為（）

A.若加則B.若加||a,m||[3,則

C.若a||〃，加u〃，則1|aD.若a||",加||a,則加||2

77

5.平面。的斜線/與平面。交于點4且斜線/與平面。所成的角是7，貝I"與平面。內(nèi)所有不過點4的直

4

線所成的角的范圍是（）

（c萬]，八乃1「萬；r]「乃乃、

A.0,—B.0,—C.—D.—

I4」（2」[42J]42；

6.如圖，在正四棱錐尸-/8C。中，設(shè)直線尸5與直線DC、平面N2CZ）所成的角分別為a、萬，二面角

尸一C。一3的大小為7,則（）

Zr-c

AB

A.a>/3,y>/3B.a>P，y<P

C.a<P，y>f3D.a</3，Y<13

二、多選題

7.下列命題中正確的是（）

A.如果一個平面內(nèi)有兩條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

B.如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

C.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線互相平行

D.過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面平行

8.已知加，〃為兩條不同的直線，a,夕為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若加//a,allP,則

B.若加〃〃，w±a,nL/3,則a〃夕；

C.若機_La,alip,則機_L尸；

D.若加ua,"u〃，aV/3,則

三、填空題

9.正方體/BCD-4與GA中，異面直線4。與ZC所成角的大小為

10.如圖所示，正方形8CDE的邊長為a,已知幺8=68（7,將直角A48E沿BE邊折起，折起后A點在

平面上的射影為。點，則翻折后的幾何體/-BCDE中A8與DE所成角的正切值為

①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內(nèi)；

②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi),則/h；

③若直線/與平面a相交，則I與平面a內(nèi)的任意直線都是異面直線；

④如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線一定與該平面相交;

⑤若直線/與平面a平行，則I與平面a內(nèi)的直線平行或異面；

⑥若平面a||平面.，直線au為直線bu￡,則直線a\\b.

12.三棱錐尸一4BC中，二面角尸一為120。，和13C均為邊長為2的正三角形，則三棱錐尸

-ABC外接球的半徑為.

四、解答題

13.四條線段順次首尾相接，所得的圖形一定是平面圖形嗎？為什么？

14.在四面體48CD中，H,G分別是ND,C。的中點，E,尸分別是邊48,8c上的點，且

WE,F,G,"四點共面；

(2)直線EH,BD,FG相交于一點.

15.空間四邊形/BCD中，AB=CD,點、M、N分別為對角線AD、NC的中點.

(1)若直線與九W所成角為60。，求直線28與所成角的大小;

(2)若直線與所成角為0，求直線與所成角的大小.

16.如圖，在三棱柱ABC-&B1C1中,BBP平面ABC,?C=90°,AC=AB=AAltE是BC的中點.

(1)求證：AE1BC

(2)求異面直線4E與4C所成的角的大?。?/p>

(3)若G為GC中點，求二面角C-AG-E的正切值.

提升題型訓練

一、單選題

1.給出下列三個命題:

①若直線/與平面a平行，則/與平面々內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點;

②若直線/與平面a所成角為60。，則經(jīng)過/有且只有一個平面與。垂直;

③平行于同一條直線的兩個平面平行.

其中正確命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

2.設(shè)加、〃是兩條不同的直線，a、〃是兩個不同的平面,則下列說法正確的是()

A.若mlla，n<=a,貝！J加〃〃B.若ml/a,a!I/3,則機//￡

C.若加〃n,mLa,貝!J〃_LtzD.若m11a,aVp,則加J_￡

3.給出以下結(jié)論:

(1)直線。II平面口,直線bua,則。11b；(2)若au。，bUa,則。、b無公共點;

(3)若a<Za,則a||a或a與a相交;(4)若ana=A,則a<Za.

正確的個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.如圖，在長方體/BCD-44GA中,AB=AD=\,AA1=2,且E為。，的中點，則直線8。與/E所成

角的大小為()

71715兀

C.一D.——

3466

5.下列命題:

①若mila,則加與。內(nèi)的任何直線平行；

②若a邛,bua,冽u夕，且bl■加，則6邛；

③若加ua,nua,且冽//￡,nil',則a//尸；

④若加u。，nua,且加，aln,則Q_LO；

⑤若""二尸,G30,13cl尸S（P、0、S是不同的三點）,則。,12,，3共面;

其中真命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

TT

6.如圖，空間四邊形/BCD中，AB=CD,與CD所成角為§,點尸分別為2C,的中點，則直

線與EF所成角為（）

二、多選題

7.給出以下說法，其中正確的是

A.不共面的四點中,其中任意三點不共線

B.若點、A,B,C,D共面，點A,B,C,E共面，則點4B,C,D,E共面

C.若直線6共面，直線共面,則直線仇c共面

D.過直線外一點和直線上三點的三條直線共面

8.如圖，在長方體/BCD-44GA中，AAX=AB=^BC=2,M,N分別為棱GQ,CG的中點，則下列說

法正確的是（）

A.M,N,A,8四點共面B.直線8N與平面相交

C.直線8N和4M所成的角為60。D.平面ADM和平面48cA的夾角的正切值為2

三、填空題

9.設(shè)與的兩邊分別平行，若//=40。，則4=.

10.若向量2=(7",