高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(3)

9COQA—COQRA

15.在VA5C中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,------------二一

cosC+lc

(1)證明：C=2A；

(2)記邊和2C上的高分別為4和%若兒：4=1:百，判斷VABC的形狀.

16.已知函數(shù)/(%)=力!11+以2-(2〃+1)%+1,其中〃>0.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)對任意x￡[a,+8),都有f(x)a3—a——,求實數(shù)〃的取值范圍.

8

17.如圖，在.AOP中，OALOP,OA=2,0P=^3-將AOP繞OP旋轉(zhuǎn)60。得

到△30P,D,E分別為線段。P,AP的中點.

(1)求點。到平面A3尸的距離；

(2)求平面05E與平面A3P所成銳角的余弦值.

22

18.已知雙曲線C：J—方=1（。〉0/〉0）過點「（2,26）,離心率為6.

（1）求。的方程；

（2）過點尸且斜率為《（左20）的直線/交雙曲線左支于點。，平行于/的直線交雙曲線

的漸近線于A,B兩點，點A在第一象限，直線AP的斜率為區(qū).若四邊形A3QP為平行四

邊形,證明：4/2為定值.

19.夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天

都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是冬，若前一天選擇綠

3

豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為工，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹

3

的概率為上，如此往復(fù).

2

（1）求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；

（2）記該同學(xué)第〃天選擇綠豆湯的概率為匕，證明：（匕-為等比數(shù)列；

（3）求從第1天到第10天中，該同學(xué)選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數(shù).

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（3）

15.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,--------------=-.

cosC+lc

（1）證明：C=2A；

⑵記邊AB和8c上的高分別為4和%若he：%=1:6,判斷VABC的形狀.

【答案】（1）證明見解答；

（2）直角三角形.

【解答】

【分析】（1）利用正弦定理計算即可；

（2）利用正弦定理及（1）的結(jié)論證明即可.

【小問1詳解】

因為2c°s"_cosB上,由正弦定理得，sinC（2cosA-cosB）=sinBcosC+sinB,

cosC+lc

整理可得，2sinCeosA=sinBcosC+sinCeosB+sinB=sinA+sinB,

又sin3=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

于是sinCeosA—cosCsinA=sinA,即sin（C-A）=sinA,

因為ACc（。,兀），所以O(shè)VC-AVTT,

所以C—人=4或。一A=—A（舍去），

所以C=2A；

【小問2詳解】

根據(jù)等面積法可知SABc=；AB-hc=；CB-ha，即c?4=。?4，

由兒：4二1：6，可得c=6a，

又由C=24及正弦定理可得，，—=^=二?=一叵_

sinAsinCsin2A2sinAcosA

解得cosA=,

2

兀

由于人￡（0,兀），所以A=

6

7T

所以3=兀一A-C=g,所以VA3C是直角三角形.

16.已知函數(shù)/(x)=xlnx+依2-(2a+l)x+l,其中a>0.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對任意xe[a，+8),都有了(乃2°3一。求實數(shù)。的取值范圍.

8

【答案】(1)函數(shù)/(%)在(L”)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減.

(2)。的取值范圍是1o,g

【解答】

【詳解】試題分析：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求解函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對于任意xe[a,+8),都有/如一?！?，轉(zhuǎn)化為/(，皿同Na~—a—,多次

8min8

構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可求函數(shù)求實數(shù)。的取值范圍.

試題解答：(1)函數(shù)的定義域為(0,+8),

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=lnx+l+2ar-2a-l=lnx+2a(x-l),

因為a>0，

所以當(dāng)0<x<l時，In尤<0,2a(x—1)<0,此時r(x)<0,函數(shù)〃尤)在(0,1)上單調(diào)

遞減，

當(dāng)%>1時，lnx>0,2a(x-l)>。，it匕時/''(x)>0,函數(shù)/(%)在(1,y)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)7(%)在(L也)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減.

⑵當(dāng)0<a<l時，由(1)知"X)在3,1)上單調(diào)遞減，"%)在(1,y)上單調(diào)遞減，

所以對任意的xe[a,+8),都有/(x)?/(1)=—a,

因為對任意的xe[a,+oo),者B有/(x)三/—a—,

8

1.11

所以一。(X3—a—,即o?—,得aV一，

882

所以當(dāng)0<a<，時，對于任意的xe[a,+oo),都有/(x)三/一。一J_,

28

當(dāng)。之1時，［a,+8)ni,+°0),由⑴得/(X)在［a,+8)上單調(diào)遞增,

所以對于任意xe[a,+8),有/(x)>/(a)=alna+a3-2a2-a+l,

因?qū)τ谌我鈞e[a,+8),都有f(%)a3—a—,

8

[9

以aInci+/—2a2—Q+1N—a—,即aIna—2a?~\—NO,

88

設(shè)g(i)-a\na-2a2+—,a>l,貝！Jg'(a)=lnQ-4a+l,

設(shè)/z(Q)=lnQ-4Q+l,QNl,

則研a)=：—4<0,所以/z(a)在［L+8)上單調(diào)遞減，

7

則當(dāng)。之1時，g(a)<g(l)=--<0,

8

9

此時不等式alna—2a92+-20不成立，

8

綜上，所求。的取值范圍是(0,：］.

小結(jié)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值與最值等知識點的運用，解答中轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值

之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生的推理與運算能力，綜合性強，屬于中檔試題.

17.如圖，在49。中，OALOP,。4=2,0P=5將49。繞0P旋轉(zhuǎn)60。得

到△3。。，D，E分別為線段OP,"的中點.

(1)求點。到平面A3P的距離;

(2)求平面05E與平面所成銳角的余弦值.

【答案】(1)如

4

1

(2)

4

【解答】

【分析】(1)作垂足為E,由線面垂直的判定得平面上鉆，可得點D

到平面A3P的距離為。尸的長度，求解即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由面面夾角的向量公式計算即可.

【小問1詳解】

因為。4,0尸，將AOP繞0P旋轉(zhuǎn)60。得到△BOP,

所以03,0尸，又QA05=0,。4,05匚平面4。8,

所以POJ_平面A05,

取中點C，連接PC。。，作。尸，尸C,垂足為尸，

因為PA=P5,QA=O5,點C為AB中點，

所以AB，PC,AB，OC,

又PCcOC=C,PCOCu平面POC,

所以A3,平面POC，

因為DFu平面POC,所以ABLDP,

又因為ObLPCPCAB=C,AB,PCu平面E4B,

所以。尸工平面Q4B,即點。到平面P4B的距離為。b的長度,

因為PO_L平面AOB,OCu平面A05,

所以POJ.OC,

因為VAOB是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)C=Q,

又0P=也，所以NOPC=45°,

所以DR=DPsin45°=^.

4

【小問2詳解】

以點C為坐標(biāo)原點，CB,C。所在直線為龍,丁軸，以過點C,垂直于平面80c的直線為z

軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

/

則C(O,O,O),P(0,73,百),A(-l,0,0),5(1,0,0),0(0,50),E-

7

所以。—孝考

,OB=(1,-A/3,0)

7

設(shè)平面OBE的法向量為n=(x,y,z)，

x-6y=0

n-OB=0

可得《，取則“=(百

,即186y=l,,1,2),

n-OE=0——x-——yH-----z=0

[22'2

取PC中點G,連接OG,

則小半

由等腰_C(9P得，OG±PC,,由(1)得。G,平面上43,

、

所以為平面ABP的一個法向量,

7

設(shè)平面OSE與平面ABP所成夾角為e,

\nOG

則cos0=

\n\\OG4

所以平面。班與平面,所成銳角的余弦值為:.

18.已知雙曲線C：《=1（?！?]〉0）過點尸（2,26），離心率為6.

（1）求。的方程；

（2）過點尸且斜率為￡（勺n0）的直線/交雙曲線左支于點。，平行于/的直線交雙曲線

的漸近線于A,2兩點，點A在第一象限，直線群的斜率為上2?若四邊形ABQP為平行四

邊形，證明:左/2為定值?

2

【答案】（1）尤2_乙=1

4

（2）證明見詳解

【解答】

【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率公式，結(jié)合代入法進行求解即可；

（2）設(shè)直線/的方程為y=&x+"z,直線AB的方程為y=%x+”,（mw”），

0（%，%），將尸代入直線/可得加=26—24，聯(lián)立直線/與橢圓方程得關(guān)于x的一元二

2klm

次方程，由韋達定理得馬+芯=屋主；聯(lián)立A3方程和漸近線方程求出A3,得到

—4〃

AB＞由題易得A8=PQ，即石一馬=匚記，聯(lián)立求出加，”的關(guān)系式，再由定義表示

出k2,將所有未知量全部代換成發(fā)即可求證.

【小問1詳解】

22

因為雙曲線C：3-]=1（。〉0力〉0）過點P（2,2指），離心率為百,

412,

/一*1

=19>,2

所以有＜cn冗1；

/=44

a

小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為y=左述+加,

直線的方程為丁=+,。（玉，x）,

即m=2石-2kl,

y=%x+m

聯(lián)立《得（一；）（2）

x2-^=l4kd—2klmx-m+4=0,

4

4-好wO

得（-2尢m）?_4（4-左；）［-（/+4）］>0,即加2+4>好，勺w±2,

2klm

x+x=........-

p］1

P4—片

因為A在第一象限，雙曲線漸近線方程為y=±2x,

y=2xn2n/nIn'

聯(lián)立得x=------，y=-------即A

仔、

y=k1x+n2—k12—k2-%,

y=-2xn-2n/nIn'

聯(lián)立得"=/.即B

y=kYx+n、—2—h2+尢，

'-4n-4叫'

所以A3=

、4一左;4-k：J

-4〃

因為〃〃@AB|=|P0,所以AB=PQ,所以石一馬=晨7記①,

2klm

又Xp+石=4_卜2②

一4〃2klm_

①一②得，一2埠=4—片pi

所以T24］根+4（4—左；）=0,

所以2rl=8—2k；—k^Tn=8—2k；—左］（2y—2左）=8—2^^^,

2n2x/3

用弟”—力—力_2_k［_2n-20（2-k［）_2n-46+26kl

因為0—"n2-"-2（2-幻1+2匕

2_%

8-2聞-4G+2電8-4X/3

白甌'所以*=4,為定值?

4-a-4+2L

【小結(jié)】方法小結(jié)：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為（玉,％）,（馬,%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于工（或丁）的一元二次方程，注意△的判斷;

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為％+%2、占%2（或%+為、的形式；

（5）代入韋達定理求解.

19.夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學(xué)每天

2

都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是若前一天選擇綠

豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為工，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹

3

的概率為如此往復(fù).

2

（1）求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率；

（2）記該同學(xué)第〃天選擇綠豆湯的概率為匕，證明：］5-為等比數(shù)列；

（3）求從第1天到第10天中，該同學(xué)選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數(shù).

7

【答案】(1)—

18

(2)證明見解答(3)1天

【解答】

【分析】(1)利用條件概率公式計算即得；

(2)利用全概率公式列式，再利用構(gòu)造法證明即得；

(3)由(2)求出數(shù)列的通項公式，再分奇偶解不等式得解.

【小問1詳解】

設(shè)A表示第1天選擇綠豆湯，4表示第2天選擇綠豆湯，則無表示第1天選擇銀耳羹，

根據(jù)題意得，p(a)=