高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(10)

15.若數(shù)列｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，且％=2,點(diǎn)(%,%)在函數(shù)/(%)=3”的圖象上

("eN*),記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S”.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

b,.1

(2)設(shè)共，記數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為7“，證明:刀小谷.

16.如圖，在四棱臺(tái)A5CD—4耳中，底面四邊形A8CZ)為菱形，

ZABC=60°,AB=2AAi=2AlBi,AAl1平面ABCD.

(1)證明：BD±CQ；

(2)若M是棱3c上的點(diǎn)，且滿足也=2,求二面角-。的余弦值.

BC3

17.某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開(kāi)發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，

分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)

結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(〃,b2),并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)

品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為5等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣

本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)亍作

為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為。的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該

芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量&服從正態(tài)分布

〃)，則P(/z-cr<&<〃+cr)a0.6827,P(/z-2cr<。<〃+2cr)?0.9545,

P"-3cr<J<月+3cr)?0.9973.)

(2)(i)從樣本質(zhì)量指標(biāo)值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量

指標(biāo)值在［85,95］的芯片件數(shù)為〃，求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知

一件A等品芯片的利潤(rùn)是切(1<加<24)元，一件8等品芯片的利潤(rùn)是ln(25-加)元，根

據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求加的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.

18.已知?jiǎng)訄AM與圓G：(x+iy+V=49和圓C2：(%—1了+/=1都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓

心"的軌跡為r.

(1)求r方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為

于2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則曲線上一點(diǎn)(%,%)處的切線方程為：

AxgX+B^y+為x)+Cyoy+%+x)+E(%+y)+P=0.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)

題：點(diǎn)p為直線x=9上一點(diǎn)(尸不在》軸上)，過(guò)點(diǎn)p作r的兩條切線p4，尸&，切點(diǎn)

分別為4，

(i)證明：AA±；

PC2

(ii)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，直線44交X軸于點(diǎn)N,直線尸。2交曲線「于

G,"兩點(diǎn).記aGCzN,△"GN的面積分別為跖，邑，求S「S2的取值范圍.

19.若函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?,有與?a使/''(%)=0且/(尤0)=。，則對(duì)任意實(shí)數(shù)匕

b,曲線y=/(x)+Ax+b與直線y=Ax+b總相切，稱函數(shù)y=/(x)為恒切函數(shù).

(1)判斷函數(shù)/(%)=x-sinx是否為恒切函數(shù)，并說(shuō)明理由；

Z7AX

(2)若函數(shù)g(x)=*_—x—為恒切函數(shù)(a,peR).

(i)求實(shí)數(shù)P的取值范圍；

(3e'

(ii)當(dāng)P取最大值時(shí)，若函數(shù)丸(刈=8(為＜田+2"為恒切函數(shù)，記A=一至，°，證

明：meA.

(注：e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：e3?20)

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(10)

15.若數(shù)列｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，且％=2,點(diǎn)(%,%)在函數(shù)/(%)=3”的圖象上

("eN*),記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S”.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

b,.1

(2)設(shè)共，記數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為7“，證明:7；〈二.

【答案】(1)4="—1,2=3'」

(2)證明見(jiàn)解答

【解答】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解4=〃T,代入(4也)到f(Q=3'中

即可求解勿=3"」，

(2)利用裂項(xiàng)求和即可求解.

小問(wèn)1詳解】

由。3=2得％=0,二=G+(〃-l)xd=72-1,

一點(diǎn)(。“也)在函數(shù)/(x)=3*的圖象上(〃eN*),

bn=3%=3'」

【小問(wèn)2詳解】

一1

，2=3樂(lè)=3"」,顯然數(shù)列也｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1,公比為3,則

1

.°bn=3"-=11______1_

一_4_S“+i—(3"-1)(3"+—)-63n-l-3n+1-r

:.Tn=C1+c2+c3++cn

_j_1_1_1__L_J__1_11

-62882626803,!-l3n+1-1

111111

--(Z-------------)x--------------------<---

623"i-1126(3/i-1)12

■.T<—

n12

16.如圖，在四棱臺(tái)ABC?！?4GA中，底面四邊形ABC。為菱形,

ZABC=60°,AB=2AAi=2AlBl,AAl±平面ABCD.

（1）證明：BD±CQ；

（2）若M是棱2C上的點(diǎn)，且滿足啰幺=2,求二面角的余弦值.

BC3

【答案】（1）證明見(jiàn)解答

⑵

55

【解答】

【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得A4，5。，再根據(jù)線面垂直的判定定理得80人

平面ACCiA,從而利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用法向量求法求出平面AMR和平面

的法向量，再利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

在四棱臺(tái)AB?！?4G2中，AA，ca延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，

故A,C,Ci，A四點(diǎn)共面，因?yàn)锳&，平面ABCD,&）u平面ABCD,故

連接AC，4C],因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD為菱形，故AC/BD,

故5D工平面ACG4，

因?yàn)镃C1U平面ACQA，所以BD工CC[.

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)點(diǎn)A作3c的垂線，交BC與息N,以AN.ARAA所在直線分別為x軸，y軸，z軸

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z(如圖)，

設(shè)44=1,則48=244=2,由于NABC=60°,故BN=\,

則4(0,0,0),。(0,1,1),D(0,2,0),M(V3,1,0),

ULIL1----------[―1

則AD|=(0,U),AM=(V3,j,0),AD=(0,2,0),

記平面AMD｝的法向量為〃=(a,4c),

b+c=0

AD,-n=0

則,即《a+2=0'令》=3,

AM?〃二0

則〃=一^>0=一3，即〃二

,3,-3)，

3

平面AD。的法向量可取為m=(1,0,0),

n-m

貝Ucos(n,ni)=

\n\\m\

卜個(gè)+32+(—3)2

所以二面角M-AD.-D的余弦值為上工.

55

17.某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開(kāi)發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，

分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：［45,55),［55,65),［65,75),［75,85),［85,95］.根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)

結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(〃,b2),并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)

品稱為A等品，其它產(chǎn)品稱為3等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣

(1)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)元作

為〃的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該

芯片為A等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布

N(〃,/)，則-cr<J<〃+cr)a0.6827,P(/z-2cr<J<〃+2cr)?0.9545,

P(/j—3b<J<月+3cr)。0.9973.)

(2)(i)從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量

指標(biāo)值在［85,95］的芯片件數(shù)為〃，求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知

一件A等品芯片的利潤(rùn)是機(jī)(1(加<24)元，一件3等品芯片的利潤(rùn)是ln(25-形)元，根

據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求加的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.

【答案】(1)0.16

379

(2)(i)分布列見(jiàn)解答，一；(ii)m——

24

【解答】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率.

(2)(i)先求出〃取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；

(ii)先根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求出E(Z)=16m+841n(25-m),然后構(gòu)造函數(shù)

f(x)=16x+84ln(25-x)(l<x<24),利用導(dǎo)數(shù)求出最大值時(shí)的加即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：

x=10x(0.01x50+0.025x60+0.04x70+0.015x80+0.01x90)=69.

即〃”最=69,cr?5?ll,所以X?N(69,U2),

因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布2V(69,H2)，

1-P(69-11<X<69+11)1—尸(〃—b<X<〃+b)

所以P(X?80)=

22

1—0.6827

=0.15865^0.16,

2

所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為A等品的概率約為0.16.

【小問(wèn)2詳解】

⑴(0.01+0.01)x10x100=20,所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件,

質(zhì)量指標(biāo)值在［85,95］的芯片件數(shù)為10件，故〃可能取的值為0,1,2,3,

相應(yīng)的概率為：

。(〃=。)=*P(〃=D=善=||，

P①=2)=要如7=3)=等4，

V->2QJ-

隨機(jī)變量〃的分布列為:

0123

215152

P

19383819

2151523

所以〃的數(shù)學(xué)期望E(〃)=0X—+1X—+2X—+3X—=—.

193838192

(ii)設(shè)每箱產(chǎn)品中4等品有y件，則每箱產(chǎn)品中8等品有(100—Y)件，

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)為Z元，

由題意知：Z=mY+(100-K)ln(25-m)=(m-ln(25-m))Y+1001n(25-m),

由(1)知：每箱零件中A等品的概率為0.16,

所以y~5(100,0.16),所以￡(7)=100x0.16=16,

所以E(Z)=E[(m-ln(25-m))Y+l001n(25-m)]

=(m-ln(25-ni))EY+1001n(25-m)=16(m-ln(25-m))+1001n(25-m)

=16m+84ln(25—m).

8479

令/(x)=16x+841n(25—x)(l<x<24),由了'(尤)=16—---=0得，x=—,

25-x4

7Q79

又xe(l,‘)，/'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，xe(—,24),/'(x)<0,/(%)單調(diào)遞

4'4

減，

79

所以當(dāng)x=二e(1,24)時(shí)，/(%)取得最大值.

4

79

所以當(dāng)"2=一時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤(rùn)最大

4

18.已知?jiǎng)訄AM與圓G：(x+ff+V=49和圓C2：(%—1了+/=1都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓

心"的軌跡為r.

(1)求「的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為

于2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則曲線上一點(diǎn)(%,%)處的切線方程為：

AxgX+B^y+為x)+Cyoy+%+x)+E(%+y)+P=0.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)

題：點(diǎn)p為直線x=9上一點(diǎn)(尸不在》軸上)，過(guò)點(diǎn)p作r的兩條切線p4，尸&，切點(diǎn)

分別為4，

證明：

(i)AA±PC2；

(ii)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，直線44交X軸于點(diǎn)N,直線PG交曲線「于

G,H兩點(diǎn)、.記LGC?N,△HC2N的面積分別為跖，邑，求S「S2的取值范圍.

22

【答案】(1)土+匕=1;

98

808A/2

(2)(i)證明見(jiàn)解答；(ii)——.

33

【解答】

【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

(2)(i)根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)尸坐標(biāo)后，得出直線44的方

程，從而算出斜率，再去判斷與另一直線是否垂直；

(ii)聯(lián)立直線A4的方程與橢圓r的方程，由韋達(dá)定理得出%+%，%%，進(jìn)而求解出直

線44與％軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用垂直關(guān)系又去設(shè)出直線的方程與橢圓r的方程聯(lián)

NPC2

立，再用坐標(biāo)去表示出I、-邑|,最后可由基本不等式得出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)動(dòng)圓河的半徑為「，由題意得圓G和圓C2的半徑分別為7,1,

因?yàn)?與G，c2都內(nèi)切,

所以|MCj=7_r"MG|=rT，

所以=7-廠+廠-1=6,

又G(—1,0),C2(l,0),故|GG|=2<6,

所以點(diǎn)〃的軌跡是以G，G為焦點(diǎn)的橢圓,

22

設(shè)「的方程為：=+與=l(a〉6〉0),

ab

則2a=6,2c=2,所以—c~=9—1=8,

22

故「的方程為：土+匕=1

98

【小問(wèn)2詳解】

⑴證明：設(shè)4（和％），4（%，%），尸（9,/）（"0）,

由題意中的性質(zhì)可得，切線尸4方程為總+空=1,

98

切線P4方程為號(hào)+青=1，

因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（9/）,所以西+他=1，々+皿=1,

88

故直線A4的方程為：x+型=1,可得直線的斜率為：kM2=--

82t

而直線PC2的斜率為：kp「占=（，

因?yàn)閗pc,此出=；（一%=一1，所以A41PC2；

=1,可改設(shè)直線A4的方程為:

%=沖+1（冽wO）,

x=my+1

聯(lián)立"3整理得（8/+9）丁+16my-64=0,

16m

%+%=-

8m2+9

由韋達(dá)定理得＜

64

8m2+9

又A'(%,—X),所以直線AA的方程為y+%=匹曰(％-西)，

X2—玉

令產(chǎn)。得，

_X(無(wú)2—%)X/+%為_(kāi)X(切2+1)+%(7町+1)

XN—rXy——

%+X%+%+%

"64)

=2切通+乂+%=1+2切通=1+I8"+T=I+8=9,

%+%為+%16m

8m2+9

所以直線44經(jīng)過(guò)定點(diǎn)N(9,o),又G(1,O)，

再由可設(shè)直線尸02的方程為：y=-m(x-\),

y=-m(x-\\(816

再聯(lián)立/2\/，整理得J+9W9――y-64-0,

8/+91/=72(〃2一)m

16

m16m

%+”=色+9-8+9療

2十”

設(shè)6（七,%），〃（x4，%），則由韋達(dá)定理得《m

6464m2八

y3y4=o=…2<0

Qq8+9m

Im

因?yàn)椋￢4＜。，所以|S「S2|=gGNh|一切|=4|%+%|

64|m|_6464872

3，

\m\

8

m=土馬但時(shí)取等號(hào).

所以國(guó)―邑|=—,當(dāng)且僅當(dāng)9H=L時(shí)，即

I12Imax3\m\3

8080

又因?yàn)閚zwO,所以S]—邑｛

亍，亍

【小結(jié)】方法小結(jié)：

（1）利用兩圓相內(nèi)切的幾何關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出橢圓的幾何定義，從而求出軌跡方程;

(2)利用曲線上某點(diǎn)的切線方程去推導(dǎo)出切點(diǎn)弦方程.

19.若函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?,有與?/,使/'(%)=0且/(5)=0,則對(duì)任意實(shí)數(shù)上

b,曲線y=/(x)+Ax+b與直線y="+/?總相切，稱函數(shù)y=/(x)為恒切函數(shù).

(1)判斷函數(shù)/(x)=x-sinx是否為恒切函數(shù)，并說(shuō)明理由；

Z7AX

(2)若函數(shù)g(x)—pa為恒切函數(shù)(a,peR).

(i)求實(shí)數(shù)P的取值范圍；

(3e-

(ii)當(dāng)P取最大值時(shí)，若函數(shù)丸(刈=8(兀)<>1+27〃為恒切函數(shù)，iHA=--,0,證

明：A.

(注：e=2.71828.是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：e3?20)

【答案】(1)是恒切函數(shù)，理由見(jiàn)解答

(2)(i)(―*；］；(ii)證明見(jiàn)解答

【解答】

【分析】(1)對(duì)/(幻求導(dǎo)，利用恒切函數(shù)的定義求出與,即可判斷；

(2)(i)根據(jù)恒切函數(shù)的定義解方程，用與表示P,再利用導(dǎo)數(shù)即可求解P的取值范圍;

(ii)由P的值可得。的值，從而可得〃(％)的解答式，利用新定義，可得2e*。-％-2=0,

令T(x)=2e、-x-2,求出X。的取值范圍，由—2根=(e*-X?！猯)e加+'=—1毛(毛+2),從而可

得加的取值范圍，從而得證.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=x,sinx為恒切函數(shù)，則有與e/,

,sinx+cos=0

使八%)=0且/(%)=0,即?n八，

xQsmx0=0

解得/=0,故函數(shù)/(x)=x-sinx是恒切函數(shù).

【小問(wèn)2詳解】

ae,x

(i)由函數(shù)g(x