單元檢測（八）立體幾何

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.設a,￡是兩個不同的平面，貝卜，口的充要條件是（）

A.平面a內(nèi)任意一條直線與平面.垂直

B.平面a,夕都垂直于同一條直線

C.平面a,/都垂直于同一平面

D.平面a內(nèi)存在一條直線與平面.垂直

2.經(jīng)過一個圓柱體上底面圓的一條直徑作兩個平面分別與下底面圓相切，則圓柱體在

這兩個平面以下的部分就構(gòu)成一個正劈錐體（如圖），現(xiàn)將此幾何體水平放置，從如圖所示的

方向觀察該幾何體（正視方向所在的直線平行于所作兩個平面的交線），則其正視圖、側(cè)視圖、

俯視圖的形狀分別為（）

A.梯形、長方形、圓

B.三角形、長方形、圓

C.梯形、梯形、圓

D.三角形、梯形、圓

3.[2023?四川省成都市陽安中學月考]設a,6為兩條直線，a、￡為兩個平面，下列說法

正確的是（）

A.若a_L6,a_La,貝U6J_a

B.若a_L6,bua,貝Ua〃a

C.若?！?,a//a,貝!|6〃a

D.若aua,aC\/3—b,則a.L/3

4.[2023?河北唐山模擬]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長度為

A.2/B.3C.\ToD.23

5.[2023?安徽省九師聯(lián)盟高三質(zhì)量檢測]用一個平面去截正方體，如果截面是三角形，

則截面三角形的形狀不可能是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.等邊三角形

6.[2023?江西省“紅色十?！甭?lián)考]在長方體/BCD-//iCbDi中，40=2/2=2441，則異

面直線ZG與ABi所成角的余弦值為（）

7.[2023?云南昆明模擬]如圖①，已知E42C是直角梯形，AB//PC,ABLBC,。在線

段尸C上，4D_LPC.如圖②，將△BID沿4D折起，使平面平面/2C。，連接尸2,PC,

設總的中點為N.對于圖②，下列選項錯誤的是（）

圖①圖②

A.平面R13_L平面P2C

B.平面PDC

C.PD1.AC

D.PB=2AN

8.[2023?懷仁市一模]在矩形/BCD中，BC=4,M為3C的中點，將AIW和△DC"

分別沿/M,DW翻折，使點3與點C重合于點P若//尸。=150。，則三棱錐M一玄。的

外接球的表面積為（）

A.127CB.34無C.687tD.126兀

9.[2023?甘肅省張掖市某重點校檢測]已知一四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的

較長側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）

B-f

10.[2023?廣西貴港市百校聯(lián)考]正三棱柱/8C-NbBCi的底面邊長是4,側(cè)棱長是6,

M,N分別為BBi,CG的中點，若點尸是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動點，VP〃平面A81N,

則動點尸的軌跡面積為（）

A.53B.5C.亞D.^26

11.[2023?江門市模擬]如圖，在四邊形/BCD中，4B=BC=2,N/2C=90。，D4=DC

=?,現(xiàn)沿對角線/C折起,使得平面NC_L平面/8C,此時點/,B,C,。在同一個球

面上，則該球的體積是（)

B

兀B.蝮兀

A.9C.

232

12.

[2023?四川省蓉城名校聯(lián)考]如圖，點4B,C在球心為。的球面上，已知，

BC=\,ZACB=60°,球。的表面積為32兀，下列說法正確的是（）

A.ABLOC

B.平面CU8_L平面OBC

C.03與平面/2C所成角的正弦值為工I,

4

D.平面OAB與平面48c所成角的余弦值為也

8

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.

[2023?四川綿陽檢測]如圖，正八面體的棱長為2,則該正八面體的體積為.

14.如圖，四棱臺的底面是正方形，￡>Di_L底面/5CD,D?=AB

2/19，則直線ADi與8cl所成角的余弦值為________.

15.[2023?黑龍江齊齊哈爾市模擬]三棱錐尸-/8C中，底面N3C,24=3,在底面

/BC中，4B=2,ZC=60°,則三棱錐P—42C的外接球的體積等于.

16.[2021?陜西高三二模]將正方形/BCD沿對角線折成直二面角，給出下列四個結(jié)

論：①/瓦所成的角為60。；②△/DC為等邊三角形；?AC±BD；④48與平面8CD

所成角為60。.其中真命題是..（請將你認為是真命題的序號都填上）

三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐尸-N8CD中，底面為正方形，且B4_L底面4SCD

（1）求證：平面aCJ_平面P3D；

（2）若E為棱3c的中點，在棱刃上求一點尸，使8尸〃平面PDE.

18.(本小題滿分12分)

S

也\

[2023?四川省成都市月考]如圖，在三棱錐S-48。中，4g=/C=2,S/=S8=SC=3g,

8c=2也，。為BC的中點.

(1)證明：SD_L平面48C；

(2)若點E在棱NC上，S.EC=2EA,求點C到平面SDE的距離.

°】

(本小題滿分12分)

如圖，已知圓臺50的下底面半徑為2,上底面半徑為1,母線與底面所成的角為5,

3

44i，ABi為母線，平面44QiO_L平面AB。。，M為23的中點，P為上的任意一點.

⑴證明：BBJOP；

(2)當點尸為線段的中點時，求平面。尸2與平面所成銳二面角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

[2023?湖南省部分校檢測]如圖，在直角△P。/中，POLOA,PO=2CU=4,將△P。/

繞邊尸。旋轉(zhuǎn)到△P08的位置，使//。8=90。，得到圓錐的一部分，點C為4s上的點，

且AC=1AB

3

(1)求點。到平面PAB的距離；

(2)設直線尸。與平面所成的角為夕，求sin夕的值.

21.(本小題滿分12分)

如圖，梯形48CD中，AB//CD,矩形瓦石。所在的平面與平面A8CZ)垂直，且

DC=CB=BF=-AB=2.

2

(1)求證：平面4D￡_L平面BFED

(2)若P為線段封上一點，直線/。與平面為8所成的角為0,求。的最大值.

22.(本小題滿分12分)

[2023?沈陽市質(zhì)量監(jiān)測]如圖，矩形45cA和梯形所在平面互相垂直，BE//CF,

ZBCF=9Q°,AD=\[i,BE=3,CF=4,EF=2.

⑴求證：AE〃平面。CK

(2)當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°?

單元檢測（八）立體幾何

1.答案：D

解析：若a_L或，則平面a內(nèi)存在直線與平面或不垂直，選項A不正確；若平面a,尸都垂

直于同一條直線，則平面a與夕平行，選項B不正確；若平面a,￡都垂直于同一平面，則平

面a,乃可以平行，也可以相交，選項C不正確；若平面a內(nèi)存在一條直線與平面￡垂直，則

根據(jù)南面垂直的判定定理，可知a_L￡,若a_L或，則由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面a內(nèi)垂直

于兩個平面的交線的直線一定垂直于平面小故選項D正確.

2.

正視方向

答案：B

解析：由題意知，正劈錐體的模型如圖所示，按照題圖的視角觀察，其正視圖的形狀為

三角形，側(cè)視圖的形狀為長方形，俯視圖的形狀為圓.

3.答案：D

解析：由a、6為兩條直線，a、￡為兩個平面，在A中，若a_L6,a_La,則可能存在

6ua的情況，故A錯誤；在B中，若a_L6,b//a,則可能存在a_La的情況，故B錯誤；在

C中，若.〃6,a//a,則可能存在6ua情況，故C錯誤；在D中，若a_L￡,aua,aC\fi=b,

a_L6,則a_L/，故D正確.故選D.

4.答案：B

解析：在棱長為2的正方體中，根據(jù)三視圖，截取四棱錐尸一/BCD如圖所示.

根據(jù)三視圖可得，48=1,PD=2,AD=2.

根據(jù)立體圖形可知，最長邊為PA

連接。8,在RtA4￡>8中，根據(jù)勾股定理得

DB2=AD2+AB2^22+12=5,

在RSPDB中，根據(jù)勾股定理得尸爐=尸。2+。32=4+5=9,

所以尸8=3.

故該幾何體的最長棱的長度為3.

5.答案：A

解析：如圖1,易知A4/G為正三角形，于是B,C,D都有可能，

對A,如圖2,

若△EFG為直角三角形，根據(jù)正方體的對稱性，不妨假設斯J_FG,由正方體的性質(zhì)可

知：GB」EF,GB^FG=G,所以E7LL平面N38A,而￡Bi_L平面/8修4,于是過同一

點作出了一個平面的兩條垂線，顯然不成立，A錯誤.

故選A.

6.答案：A

解析：如圖，

因為CCi/ZBBi,所以NCGN即為異面直線NG與381所成角，

設40=2,貝！J4B=44i=1,________

在長方體中/。="岳+402+44：=#,

在RtA4CG中，cosZCCiA^—=5=?,故選A.

ACi~\)66

7.答案：A

解析：由N5〃尸C,ABLBC,ADLPC,

得4D〃BC.

'：AD±PD,AD±DC,PDC\DC=D,二/。_1平面尸￡>。.

y.AD//BC,：.BC±^PDC,；.B正確.

?.?平面刃D_L平面4BC。，平面刃。Cl平面4BCD=4D,PDVAD,ABLAD,：.PD1.

平面48CD,4B_L平面為D；/Cu平面48cx>,C.PDLAC,；.C正確.

由/2_L平面及0,得.?.△/MB是直角三角形.又依的中點為N,；.網(wǎng)=2/乂

.".D正確.

8.答案：C

解析：由題意可知，MPLPA,MPLPD.

且我(1尸￡)=尸，為U平面為D,PDu平面所以平面我D

設的外接圓的半徑為r,則由正弦定理可得一——=2r,

sinZAPD

4

即-------=2r,所以r=4.

sin150°

設三棱錐M—刃。的外接球的半徑為凡貝U(27?)2=尸》+(2r)2,

即(2R)占4+64=68,所以尺2=17,

所以外接球的表面積為4兀尺2=68兀.

9.答案：C

解析:

設該四棱錐為尸-48CD,則由題意可知四棱錐P-/BCD的底面48CD為矩形，平面

P￡>C_L平面4BCD,且PC=PD=3,48=4,AD=2,如圖，過點尸作P￡_LCD交CD于點

E,貝1]尸￡L平面N8CD,連接4E,可知乙以E為直線以與平面45。所成的角，則尸￡=

yjPD2-DE2=3，AE^AD^+DE2=2^2,

PF^5V10

所以tanAPAE=-=

AE2也4

故選C.

10.答案：c

解析：取48的中點。，連接M。，CQ,MC,由M,N,。分別為ABi,CCi,AB的中

點可得A/C〃8iN,VCC平面4BiN,BiNu平面48iN,

所以〃平面4BiN,同理"得M0〃平面4BiN,MC^MQ^M,MC,MQu

平面MCQ,則平面M0C〃平面4BiN,

所以動點P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部(挖去點M).

在正三棱柱/8C-N山C中，△N3C為等邊三角形，0為N3的中點，則C0L/8,平面

4BC_L平面/幽/1,平面4BCTI平面ABBA=4B,貝I]CQ_L平面ABB1A1，QMu平面ABBiAi，

所以C。，。"

因為/3=4,所以。。=23，因為側(cè)棱長是6,所以/51=2413.

所以M°=A/13,則的面積S=gx2^3xy/13=^39,

故動點P的軌跡面積為標.故選C.

11.答案：A

解析：如圖，取NC的中點￡,連接。E,BE,

因為AD=CD,所以?！阓L/C,

因為平面￡MC_L平面4BC,平面D4Cn平面48C=/C,DEu平面D4C,

所以。E_L平面/2C,

因為N48C=90。，所以棱錐外接球的球心O在直線上，

因為AB=3C=2,ZABC^9Q°,DA=DC=?,

所以BE=AE=CE=；女=也,DE=^AD2~AE7=2,

設OE=x,貝UOD=2-x,OB=\jBE2+OE序=W+2,

所以2—x=\]x2-\-2,解得x=g,

所以外接球的半徑為r=2—x=2—1=3,

22

外接球的體積為「=也3=犯x(3)3=宜.

3322

12.答案：C

解析：如圖1,,；4B=6,3C=1,N/C5=60。，由余弦定理得/C=2,：.AB±BC,

三角形/BC為RtA42C,取NC中點為Q,連接。。，貝平面A8C,又S球=32兀,

：.R=OA=OB=OC=2^2,：.OO尸由.

據(jù)此，繪制出圖2,則

圖1圖2

對A選項，如圖2,ABLOC,而/B〃CD,：.CDLOC,而OD=OC=2\{i,AB

=3,顯然C。，。。不成立，故A錯誤；

對B選項，如圖2,假設平面。平面O3C,過點C作。2垂線交08于。點，即

CQLOB,，CQ_L平面。48,：.CQLAB,又CBUB,；.C。與C3重合，即三角形。BC

為RtAOBC,而在三角形O3C中，。8=。。=2/，8c=1,08090。，三角形OBC

不是Rt^OBC,故矛盾，因此B不成立；

對C選項，如圖1,OO1_L平面48C,03與平面/2C所成角為NO3O1，.,.在RdOBOi

中，。。1=由，0B=R=2也,Z.sin=g=①,故C成立；

OB2也4

對D選項，如圖2,取中點為E,連接￡。1,EO,則0EL4B,OyELAB,ZOEOi

為平面CUB與平面/8C所成角的平面角，.?.在RtAOEOi中，EOi=-BC=-,EO=

22

1

業(yè)0：+。。：=-，AcosZOEO1=-=3=迤，故D不成立.故選C.

2OE^2929

2

13.答案：蜉

3

解析：正八面體可看成由上、下兩個相同的正四棱錐組成的，由棱長為2,可得每個正

四棱錐的斜高為隹=1,高為=也，則該正八面體的體積為言也x2=

14.答案：言

3

解析：設A3的中點為E,連接EA,則易知8E〃CiDi，...四邊形質(zhì)GA

是平行四邊形，，8。1〃￡△，，//。1石為直線/功與3。1所成的角.：四邊形/3。是正

方形，：ADi_L底面/BCD,又ADnaDi=。，平面N/LDLD,

：.BA±ADI,△/￡￡>］是直角三角形.設。Di=/5=2/山i=2a,則/￡>1=山/"力汨=

(2a)2+(2a)2=2/a,ED^AD\+AE2=4(2也a)2+/=3。，AcosZAD^E

=ADi=2^2

~ED\~3'

15.答案：43、而兀

54

解析：設G為A4HC外接圓圓心，。為三棱錐尸-Z5C外接球球心，

則。G，平面A8C,作(W_LB4,垂足為M

由正弦定理可知A42C外接圓直徑:

2,：.AG=^

2r=2AG=——

sinNBCAsin-33

3

平面45C,OG_L平面45C,

J.AP//OG

又(W_LB4,AG.LPA,：.OM//AG

???四邊形為矩形，AOG=AM

設OG=x,OP=OA=R

3

x=~

2

在RtAOMP和Rt2\OGN中，由勾股定理可得:,解得:

(3-x)2+R2

r6

9

...三棱錐尸-N8C外接球體積：/=4成3=43巫71.

354

16.答案：①②③

解析：在①中：：將正方形48CD沿對角線AD折成直二面角，得到四面體/-BCD,

設AB=BC=CD=AD=2,

取中點。，/C中點E,BC中點尸，連結(jié)/。，CO,OF,OE,EF,

貝I|CM=OC=仍，且CM_LOC,：.OE=-AC^l,

2

由三角形中位線定理得。9=LCO=1,EF=-AB=\,且。b〃CO,EF//AB,

22

:.NEFO是AB,CD所成的角，

：.OF=EF=OE=l,.?.△EFO是等邊三角形，:.NEFO=60。,

.'.AB,CO所成的角為60。，故①正確；

在②中：?；OA=OC=芯,且。/_LOC,；.AC=、l2^2=2,

：.AC=CD=AD=2,

.?.△/OC為等邊三角形，故②正確；

在③中：,；AB=BC=CD=AD,。是助中點，

：.AO±BD,CO±BD,又/OnCO=。，：.BD±^\SAOC,

；/Cu平面/OC,：.AC±BD,故③正確；

在④中：是直二面角，AOLBD,

平面BDC,：.NABO是AB與平面BCD所成角，

?：AO=BO,：.ZABO=45°,

.../8與平面BCD所成角為45。，故④錯誤.

17.解析：（1）證明：因為底面/BCD,3￡>u平面48CD,所以又底面

/BCD為正方形，所以8OJ_NC,ACHPA=A,所以平面為C,又5Du平面P8D,所

以平面aCLL平面尸以3得證.

（2）如圖所示，取我的中點0,的中點打，連接8。、QH、HE,

所以會有QH=^AD,XBE//AD,BE=^AD,

所以QH//BE且QH=BE,

所以四邊形為平行四邊形，

所以BQ〃EH,BQC平面尸DE,￡〃u平面尸￡>￡,

所以8?！ㄆ矫媸珼E,

所以。點，即為我們要找的下點.

18.解析：（1）因為S3=SC=3也,又。為BC的中點，

所以SD_L3C,且SD=NSB2—BD2=4,

連接4D,AB=AC=KBC,所以A42C為等腰直角三角形，且4DL3C,

2

AD=-,由AD2+SD2=S/2,可知

2

由SD_L/。，SDLBC,ADCBC=D,可知SD_L平面NBC

(2)作CH_LDE,垂足為X,又由(1)可得SO_LCH,所以S_L平面ME

故CH的長為點C到平面SDE的距離.

1/-74

由題設可知。C=，BC=42,CE=，C=",ZACD=45°.

233

所以由余弦定理得DE^DC^+C^-IDC-CEcos45°=遮

-DCC￡sin45°

所以CH=Z------

-DE

2

所以點C到平面SDE的距離為4四

19.解析：(1)證明：過點Bi作平面4。8的垂線，垂足為C,如圖，則。是08的中

點，所以2C=1.又/。23=匹，所以231=2.連接。坊,因為321=03=2,所以△。2與

3

為等邊三角形.因為點M為ABi的中點，所以ABi，。"因為平面44101。，平面

平面441。10rl平面231。1。=。。1，且/0_L00i，/0u平面44。。,所以NO_L平面BBOO.

因為8SU平面38101。，所以N0_L38i.又因為/。0。河=。，/Ou平面。OAfu平面

OAM,所以38i_L平面CUV.因為OPu平面OAM,所以BByVOP.

(2)以。為坐標原點，04OB,。。1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標系，則/(2,0,0),B(0,2,0),Bi(0,1,3)，M(0,-，巨),

22

P(1,-，/)，所以辦=(1,-，也)，仍=(0,2,0).

4444

Op-n=0,x+|y+￥z=0,

設平面OP8的法向量〃=(x,y,z),貝小即144取Z=4A/3,

叫n=0,29=0,

得》=—3,y=0.所以〃=(—3,0,4\/3).

因為88i_L平面OAM,

所以平面的一個法向量班尸(0,一1,3),

BB「n122^57

所以cos〈BBi,n)

\BBi\\n\一2'屈19

所以平面。尸8與平面所成銳二面角的余弦值為2歷.

19

20.解析：(1)由題意知：POLOA,POLOB,OA^OB=O,

O/u平面O3u平面：.POL^^AOB,

又尸。=2。/=4,所以R4=PB=2、B,/2=2也，

所以x2也x~\](2、舊2—)2=6,

2

設點0到平面PAB的距離為d,由Vo-PAB=Vp.OAB,

1114

得一x[x6=—x4x—x2x2,解得d——.

3323

(2)以O為原點，川,Oh,OP的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的

空間直角坐標系，則加2，0,0),8(0,2,0),p[0,0,4),

由題意知//oc=&，則。(韻，1,。)，

6

所以范=(-2,2,0),#=(—2,0,4),pj=(#,1,-4).

設平面刃5的法向量為〃=(。，b,c),

n'A^=—2a~\~2b=Q

則1?叁=一2Q+4c=0，取c=l,則。=6=2,

可得平面刃B的一個法向量為〃;⑵2,1),

I”加_|2^3-2|_V15-^5

所以sin9=1cos〈n,鈍〉

|〃|反I—6^5—1^

21.

解析：(1)如圖，取48的中點G,連接。G,

則CD//BG,又CD=~AB,所以CD=BG,

2

從而四邊形BCDG為平行四邊形，

所以。G=3C=士AB=AG=BG,